Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Oszthatóság. Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán):"

Átírás

1 Oszthatóság Oszthatóság definíciója (az egészek illetve a természetes számok halmazán): Azt mondjuk, hogy az a osztója b-nek (jel: a b), ha van olyan c egész, amelyre ac = b. A témakörben a betűk egész számot jelentenek, hacsak nem jegyzünk meg mást róluk. Egy adott számkörben egységeknek nevezem azokat a számokat, amik a számhalmaz minden elemének osztói. A természetes számok halmazában az egység: az 1. Az egész számok halmazában az egységek: 1 és 1. A páros számok halmazán nincsenek egységek. Valódi osztók Minden szám osztható az egységekkel és önmagával (illetve önmaga egységszereseivel). Ezért ezeket az osztókat nem valódi osztóknak nevezzük. Egy szám valódi osztói azok az osztók, amelyek nem egyenlők valamely egységgel, vagy a szám valamelyik egységszeresével. Prímszámok Az egész számok négy nagy csoportra oszthatók: I. A nulla II. Az egységek: ők mindennek osztói a halmazban (egymásnak is). III. Felbonthatatlanok (az egész számok halmazában ők a prímszámok): azok a számok, amiknek nincs valódi osztójuk (csak az egységek ill. a szám egységszeresei az osztók). Úgy is fogalmazhatunk, hogy az egész számok körében azok a prímek, amiknek négy osztójuk van: maga a szám, az 1, illetve ezek ellentettjei. IV. Összetett számok: azok, amiknek van valódi osztójuk. Az eraszthotenészi szita Prímszámokat az ún. eraszthotenészi szita segítségével lehet keresni. Egymás után írjuk 2-től a természetes számokat addig, amíg keresni akarunk. Első lépésben bekarikázzuk a 2-est, majd minden többszörösét kihúzzuk. Utána megkeressük a megmaradt legkisebb prímszámot, ezt bekeretezzük, a többeseit pedig kihúzzuk. Ezt a műveletsort folytatjuk. Előbb-utóbb minden számot vagy bekarikázunk, vagy kihúzunk. A bekarikázott számok a (pozitív) prímszámok, a kihúzottak pedig az összetett számok. A számelmélet alaptétele Minden szám sorrendtől és egységszeresektől eltekintve egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára. Ezt az egyértelmű felbontást nevezzük a szám prímtényezős felbontásának. Ezt a tételt középiskolában nem bizonyítjuk, de megjegyezzük, hogy a páros számok körében ez például nem teljesül. A 36 = 6 6 és 36=2 18 ugyanis két különböző felbontás; a 6, a 2 és a 18 ugyanis felbonthatatlanok ezen a számhalmazon. A prímek száma végtelen. Ez egy tétel. Bizonyítása indirekt: Tegyük fel, hogy véges sok prímszám van. Ekkor fel lehet sorolni őket, sőt a felsorolás véget is ér. Legyen egy ilyen felsorolás: p 1; p 2; p 3; ; p n. Elvileg ebben a sorozatban van az összes prím. Szorozzuk őket össze. A szorzathoz adjunk 1-et. A kapott szám valamennyi felsorolt prímszámmal osztva 1 maradékot ad, tehát egyikkel sem osztható. Ekkor viszont vagy prím (de minden felsorolttól különbözik, tehát nem is soroltuk fel mindegyiket, ellentmondásra jutottunk); vagy nem prím, de akkor felbontható prímek szorzatára; tehát van prímosztója. De ez a prímosztó biztosan nem szerepel a felsorolásban, hiszen azok egyikével sem osztható. Ez is ellentmond annak, hogy minden prímet felsoroltunk. Mindenképpen ellentmondásra jutunk tehát, ezért a kiindulási feltétel hamis: nem igaz, hogy csak véges sok prímszám van. Megjegyzés: a bizonyítást nem kötelező indirekt módon elvégezni. Elég megmutatni, hogy akármennyi véges prímszámból éppen az előző bizonyításban leírt módszerrel legalább egy új prímet lehet képezni. Ez azt jelenti, hogy a prímek száma felülről nem korlátos, tehát végtelen sok van belőlük. Lnko, lkkt. (A természetes számok halmazán érvényes definíciók) Két szám legnagyobb közös osztóján a közös osztók legnagyobbikát értjük. Meghatározása: a törzstényezős felbontásban szereplő közös tényezőket vesszük az előforduló legkisebb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. Két szám legkisebb közös többszörösén a közös többszörösök legkisebbikét értjük. Meghatározása: a két szám törzstényezős felbontásában szereplő összes tényezőt vesszük az előforduló legnagyobb kitevővel, s ezeket a prímhatványokat összeszorozzuk. A lnko és a lkkt szorzata Tétel: két szám lnko-ja és lkkt-e összeszorozva a két szám szorzatát adja eredményül. Bizonyítás: Tekintsük a két szám prímtényezős felbontását. Válasszunk ki egy prímtényezőt. A két szám szorzatában ez a prímtényező a két előforduló hatványkitevő összegére van emelve. A lnko és lkkt összeszorzásakor kapott szám felbontásában ugyancsak. ( ) Ez minden prímtényezőre elmondható. Az a b és a lkkt(a;b) lnko(a;b) számok prímtényezős felbontása tehát megegyezik. A SZAT-vel összhangban ezek szerint a két szám is megegyezik. 1. Határozzuk meg a 90 összes egész osztójának az összegét! 1.H a.) Soroljuk fel az 54 összes osztóját az egész számok halmazán! b.) Hány olyan 100-nál kisebb egész szám van, amelynek a 17 és a 49 is osztója? 2. Soroljuk fel az 5ab 2 kifejezés osztóit! 2.H a.) Határozzuk meg a 3a 2 b 3 és a 9ab 4 kifejezések legnagyobb közös osztóját! b.) Lehetséges-e, hogy 7 osztója a 9a 3 b 2 kifejezésnek, ha a nem osztható 7-tel? c.) Lehetséges-e, hogy 729 osztója a 2n 2 m 3 kifejezésnek, ha n és m prímszámok? 3. Határozzuk meg az x 2 y 2 kifejezés osztóit! 3.H a.) Bizonyítsuk be, hogy az x 3 8 kifejezés mindig osztható x 2 +2x+4-gyel, ha x egész. b.) Igazoljuk, hogy az x 2 25 kifejezés mindig osztható x+5-tel! c.) Határozzuk meg az x x x x 80 kifejezés összes elsőfokú polinom osztóját, ha tudjuk, hogy (x+2) az egyik! 4. Bizonyítsuk be, hogy a (4k+1) 2 5 kifejezés minden egész k esetén osztható 4-gyel! 4.H a.) Igazoljuk, hogy a (3k+2) 2 (3k+1) kifejezés minden egész k-ra osztható 3-mal!

2 b.) Bizonyítandó, hogy az 5-tel osztva 3 maradékot adó számok négyzete 5-tel osztva 4 maradékot ad. c.) Mutassuk meg, hogy (2n+1) 2 1 mindig osztható 4-gyel! (Sőt: 8-cal is, erről később ) 5. Határozzuk meg az összes olyan c egész számot, amelyre a 12/c kifejezés is egész! 5.H a.) Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre a 40/n kifejezés is egész! b.) Melyek azok az x egészek, amelyekre 128/x is egész szám? c.) Melyek azok a k természetes számok, amelyekre 72/(3k) is természetes szám? 6. Határozzuk meg az összes olyan m egész számot, amelyre a 42/(m+2) kifejezés pozitív egész szám lesz! 6.H a.) Milyen egész t számok esetén lesz a 6/(t 7) kifejezés pozitív egész? t eleme a {13; 10; 9; 8; 6; 5; 4; 1} halmaznak. b.) Adjuk meg azokat az m egész számokat, amelyekre 24/(m + 13) természetes szám! c.) Melyek azok a c természetes számok, amelyekre -50/(c 111) egész szám? 7. Határozzuk meg az összes olyan n egész számot, amelyre az (n+2)/(n 4) kifejezés is egész szám lesz! 7.H a.) Határozzuk meg az összes olyan k egész számot, amelyre a (k+8)/k kifejezés is egész szám lesz! b.) Melyek azok az m egész számok, amelyekre az (m + 2) / (m 10) kifejezés természetes szám? c.) Adjuk meg az összes olyan n természetes számot, amelyre (n + 5) / (3 n) egész! 8. Oldjuk meg a (3+m) (2 n) = 9 egyenletet a pozitív egész számok halmazán! 8H. a.) Adjuk meg az (x 2) (y 5) = 6 egyenlet összes egész megoldás-párját! b.) Oldjuk meg az (a+4) (b 7) = 50 egyenletet az egész számok halmazán! c.) Mely egész számpárok oldják meg az xy + y = 18 egyenletet? 9. Oldjuk meg az xy 4x + 6y = 1 egyenletet az egész számok halmazán! 9.H a.) Ha két egész szám összegéhez hozzáadjuk a szorzatát, 36-ot kapunk. Melyik lehet ez a két egész szám? b.) Határozzuk meg az xy + x + 5y = 3 egyenlet összes egész megoldáspárját! c.) Oldjuk meg a 2a + 8b = ab diofantikus egyenletet! 10. Bizonyítsuk be, hogy (a b) osztója a n b n -nek! felelés kérdés is! 10.H a.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója a n +b n -nek, ha n páratlan szám! felelés kérdés is! b.) Bizonyítsuk be, hogy (a+b) osztója a n b n -nek, ha n páros szám! c.) Bizonyítsuk be, hogy (x 1) osztója (x k 1)-nek, ha k pozitív egész szám! 6. Osztási maradék Egy egész szám n-nel való osztási maradékán a vizsgált szám és a nála nem nagyobb n-nel osztható számok legnagyobbikának különbségét értjük. Az n-nel osztható számok k n alakba írhatók. Az n-nel osztva 1 maradékot adó számok k n+1 alakba írhatók. Az n-nel osztva 2 maradékot adó számok k n+2 alakba írhatók. stb. Az 4-gyel osztva 1 maradékot adó számok halmazát 1-es maradékosztály modulo 4 -nek nevezzük, vagy a 4 osztó 1-es maradékosztályának. Jele: (n). (Kézírásban: karikás 1-es.) Az (n) halmaz elemei: 1; 5; 9; 13; továbbá -3; -7; -11; ; rövidebben: {4k+1 k egész} = (4) Hasonlóan: {4k+2 k egész} = (4); {4k+3 k egész} = (4) {4k k egész} = (4) Megjegyzés: elvileg egy maradékosztályt bármelyik képviselőjével jelölhetünk. Például (4) = (4), de a jobb átláthatóság kedvéért a végtelen sok képviselő közül azt szokás választani a maradékosztály megadásánál, amely az n osztó esetén 0 és n-1 közé esik. Megállapodás: a modulust (osztót) hosszabb fejtegetésnél elegendő egyszer (az elején) kiírni, amennyiben ez az egész leírás során ugyanaz. A fentiekből következik, hogy n-nel oszthatóság szempontjából n darab maradékosztály létezik. A maradékosztályok között különleges műveleteket végezhetünk: értelmezhető közöttük az összeadás, a kivonás és a szorzás művelete. (Az osztás mint a szorzás megfordítása nem működik, amint azt majd látni fogjuk.) A értelmezése (4): Kérdés: ha egy 2-es és egy 3-as maradékosztálybeli számot összeadok, mondhatok-e valami általános törvényszerűséget az összeg maradékáról? A válasz: igen. Adjuk össze a 4k + 2 és a 4m + 3 számokat. Az első a 2-es, a második a 3-as maradékosztályból való, amennyiben k és m egészek. Az összeg: 4k m + 3 = 4k + 4m + 5 = 4k + 4m = 4 (k + m + 1) + 1. A zárójelben egész szám áll, így azt kaptuk, hogy az összeg az 1-es maradékosztályba került. Általánosságban kimondható a következő tétel: Legyen adott az n osztó és két tetszőleges (akár megegyező) maradékosztálya. A két maradékosztályból tetszőlegesen választott egy-egy elem összege a választástól függetlenül mindig ugyanabba a maradékosztályba tartozik. - Ezt a maradékosztályt nevezhetjük a két maradékosztály összegének. Hasonlóan határozható meg két maradékosztály szorzata és különbsége is. A hányadossal nem ilyen egyszerű a helyzet. Az osztás a szorzás megfordított művelete. Mivel például 4 2 = 8 (12) és 4 5 = 8 (12), ezért a 8:4 művelet eredményéről nem tudhatjuk, hogy 2 vagy 5 (sőt lehet 8 és 11 is). (Más szóval: nem igaz a fenti tétel osztásra. Vizsgáljuk a 8 és a 4 maradékosztályt mod 12. Ha a 8-as maradékosztályból a 20-at, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados 5, az 5-ös maradékosztályba kerül. Ha viszont a 8-as maradékosztályból a 44-et, a 4-esből a 4-et választjuk, a hányados a 11-es maradékosztályba tartozó lesz. Így az osztásnál nem mindig ugyanabba a maradékosztályba kerülünk.) Maradékosztályok hányadosát ezért általában nem értelmezzük. Összeg, különbség, szorzat osztási maradéka egyenlő a tagok/tényezők osztási maradékainak összegével, különbségével, szorzatával, illetőleg ezek osztási maradékával. Biz: egyszerű, de hosszú. HF. 11. Végezzük el a következő műveleteket a mod 5 maradékosztályok körében! H a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 8-as osztási maradékosztályok körében! a.) Adjuk meg a következő műveletek eredményét a 3-as osztási maradékosztályok körében! Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 8-cal osztva?

3 H Mely maradékosztályba tartoznak a következő számok 6 szerint (azaz 6-tal osztva, modulo 6)? Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 5-tel osztva? H Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 9-cel osztva? Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 7-tel osztva? 14.H a.) Milyen maradékot adnak a 4 hatványai 11-gyel osztva? b.) Milyen maradékot adnak a 3 hatványai 8-cal osztva? c.) Milyen maradékot adnak a 9 hatványai 5-tel osztva? d.) Milyen maradékot adnak az 5 hatványai 12-vel osztva? e.) Milyen maradékot adnak a 2 hatványai 9-cel osztva? 15. Mely maradékosztályba tartoznak a következő műveletekkel megadott számok 7-tel osztva? H Határozzuk meg a következő számok maradékát a megadott modulus mint osztó szerint! (2) (3) (7) (10) (8) Oszthatósági szabályok (ismétlés, HF): 2-vel, 4-gyel, 8-cal, 2 n -nel; illetve 5-tel, 25-tel, 125-tel, 5 n -nel. 3-mal és 9-cel 6-tal, 12-vel, 24-gyel, 120-szal. 11-gyel Tétel: n darab egymást követő egész szám közül pontosan egy darab lesz n-nel osztható. Bizonyítás: az n darab egymást követő egész szám mindegyike különböző maradékot ad n-nel osztva, így különböző maradékosztályokba tartoznak. Tudjuk, hogy n darab maradékosztály van n szerint, így mindegyik maradékosztályba pontosan egy elem kerül. Ez igaz a 0 maradékosztályra is, tehát pontosan egy 0 maradékosztálybeli elem van az n szám között, így pontosan egy osztható közülük n-nel. Tétel: Ha egy szám osztható a-val és b-vel, akkor osztható ezek legkisebb közös többszörösével is. Bizonyítás: vizsgáljuk a szám törzstényezős felbontását és ebben egy tetszőleges p prím kitevőjét, ez legyen k p. Mivel a szám a-val osztható, a-ban p kitevője legfeljebb k p; hasonlóan b-ben is legfeljebb ennyi. Ebből következik, hogy lkkt(a; b) törzstényezős felbontásában is a vizsgált p kitevője legfeljebb annyi, mint az eredeti szám felbontásában. Ez a tény bármely p-re elmondható, azaz lkkt(a; b) minden törzstényezőt legfeljebb annyiadik hatványon tartalmaz, mint a vizsgált szám. Ez éppen azt jelenti, hogy osztója neki. 21. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő természetes szám szorzata osztható 6-tal. 21.H a.) Bizonyítsuk be, hogy négy egymást követő természetes szám szorzata osztható 24-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy öt egymást követő természetes szám szorzata osztható 120-szal! c.)* Bizonyítsuk be, hogy n darab egymást követő természetes szám szorzata osztható n!-sal! 22. Bizonyítsuk be, hogy a n 3 +23n kifejezés osztható 24-gyel, ha n osztható 8-cal! 22.H Bizonyítsuk be, hogy 6 osztója az n 3 +11n-nek! 23. Bizonyítsuk be, hogy az 57 osztója 7 n+2 +7 n+1 +7 n -nek! (n pozitív egész). 23.H a.) Bizonyítsuk be, hogy a 6 n+2 6 n n kifejezés biztosan osztható 31-gyel! (n pozitív egész). b.) Igazoljuk, hogy a 8 n n n+2 kifejezés biztosan osztható 3 4 -nel, ha n pozitív egész szám! 24. Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám 8-cal osztható-e? 24.H a.) Hogyan lehet megállapítani egy szám prímtényezős felbontásáról, hogy a szám négyzetszám-é? b.) Hogyan lehet megállapítani egy szám törzstényezős felbontásáról, hogy a szám 6-tal osztható-e? c.) Egy szám törzstényezős felbontásában minden kitevő osztható 3-mal. Mit állíthatunk biztosan a számról? 25. Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 7-tel! 25.H a.) Egy háromjegyű számot kétszer leírunk egymás után. Bizonyítsuk be, hogy az így nyert hatjegyű szám biztosan osztható 11- gyel és 13-mal! b.) Egy kétjegyű számot háromszor leírunk egymás után. Igazoljuk, hogy az így kapott szám osztható 37-tel, 13-mal és 7-tel is! 26. Két szám legnagyobb közös osztója 6, legkisebb közös többszöröse 108. Melyik lehet ez a két szám? 26.H a.) Két szám legnagyobb közös osztója 14, legkisebb közös többszöröse 420. Melyik lehet ez a két szám? b.) Két szám lnko-ja 2, lkkt-e 91. Melyik lehet ez a két szám? c.) Két szám lnko-ja 8, lkkt-e 360. Mennyi a két szám négyzetösszege? 27. Egy buszvégállomásról az 1-es buszok 15 percenként, a 2-es buszok 24 percenként követik egymást. Reggel 6 órakor egyszerre indul egy 1-es és egy 2-es busz a végállomásról. Melyik a következő olyan időpont, amikor ismét egyszerre indulnak ezek a buszok? 27.H a.) Egy út egyik oldalán 30 méterenként fák, a másik oldalán 42 méterenként villanyoszlopok sorakoznak. Egy helyen pontosan szemben áll egymással egy fa és egy villanyoszlop. Hány méterenként ismétlődik meg ez a találkozás? b.) Egy templom tornyában délben két haranggal harangoznak hosszasan. Az egyik 1,4 másodpercenként, a másik 1,8 másodpercenként üt egyet. Egy adott pillanatban egyszerre üt mindkét harang. Mikor következik be legközelebb ez a jelenség? 28. Bizonyítsuk be, hogy három egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 48-cal! 28H. a.) Bizonyítsuk be, hogy két egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 8-cal! b.) Igazoljuk, hogy négy egymást követő páros szám szorzata biztosan osztható 192-vel! 29. Bizonyítsuk be, hogy 2 7 n + 1 mindig osztható 3-mal! 29.H a.) Bizonyítsuk be, hogy 5 13 n + 4 mindig osztható 3-mal! b.) Bizonyítsuk be, hogy n n+1 bármilyen pozitív egész n esetén osztható 16-tal! 30. Lehet-e 46 egymást követő természetes szám összege osztható 46-tal? 30.H a.) Lehet-e 46 egymást követő páros szám összege osztható 46-tal? b.) Igaz-e, hogy 2009 egymást követő természetes szám összege 2009-cel biztosan osztható? 31. Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 7-tel osztva 6; 8-cal osztva 7; 9-cel osztva pedig 8 maradékot ad? 31.H a.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelyik 4-gyel osztva 3; 5-tel osztva 4; 7-tel osztva pedig 6 maradékot ad? Bizonyítsuk be, hogy két tetszőleges ilyen tulajdonságú szám különbsége osztható 140-nel! b.) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amely 7-tel osztva 5, 8-cal osztva 6 és 10-zel osztva 8 maradékot ad? 32. A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 45-tel! 32H. a.) A 23x9y ötjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 36-tal! b.) Az 1x8x3y hatjegyű számban határozzuk meg x és y értékét úgy, hogy a kapott kifejezés osztható legyen 72-vel! 33H. Bizonyítsuk be, hogy osztható 120-szal!

4 Négyzetszámok osztási maradékai Példa: Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 3-mal osztva? Állítás: A maradék 0 vagy 1 lehet, 2 sohasem. Bizonyítás: az egész számokat három csoportba sorolhatjuk: 3k alakú számok; ezek négyzetei: (3k) 2 = 9k 2 = 3 3k 2, tehát 0 maradékot adnak 3-mal osztva. 3k+1 alakú számok; ezek négyzetei: (3k+1) 2 = 9k 2 +6k+1 = 3 (3k 2 +2k)+1, ezek tehát 1-et adnak maradékul 3-mal osztva. 3k+2 alakú számok; ezek négyzetei (3k+2) 2 = 9k 2 +6k+4 = 9k 2 +6k+3+1 = 3 (3k 2 +2k+1)+1, ezek is 1-et adnak tehát maradékul 3- mal osztva. A világ összes egész számát négyzetre emeltük, és sohasem kaptunk 2-es maradékot. Állításunkat ezzel igazoltuk. 33. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 8-cal osztva? 33.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 4-gyel osztva? 0 vagy 1. b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 6-tal osztva? 34. Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 10-zel osztva? 34.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 5-tel osztva? b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 16-tal osztva? 35. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám negyedik hatványa? 35.H a.) Milyen maradékot adhat egy egész szám negyedik hatványa 5-tel osztva? b.) Melyik maradékosztályba tartozhat egy egész szám negyedik hatványa mod 8? 36. Milyen számjegyre végződhet egy egész szám harmadik hatványa? 36.H a.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 7-tel osztva? 0; 1; 2; 4. Sosem lehet 3; 5; 6. b.) Milyen maradékot adhat egy négyzetszám 11-gyel osztva? 0; 1; 3; 4; 5; 9. Sosem lehet 2; 6; 7; 8; Legyen t egész szám. Mennyi lehet a t szám maradéka 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? (Több feladat, rendesen dolgozzuk ki, fontos!) 37.H a.) Milyen számjegyre végződhet az r kifejezés, ha r egész szám? b.) Legyen b egész szám. Mennyit ad maradékul a b ! szám 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal, 9-cel, 10-zel, 16-tal osztva? c.) Mi lehet a 8-as maradéka az x 4 + y számnak, ha x és y egészek? d.) Legyen c egész szám. Milyen maradékot adhat a (c + 2) (c 2) + 5 kifejezés 8-cal osztva? 38. Az y számról tudjuk, hogy egész. Mennyi lehet a maradéka az y 2 2 számnak 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 8-cal, 10-zel és 16-tal osztva? 38.H a.) Az e 2 11 számot 6-tal osztjuk. Mi NEM lehet a maradék, ha e egész szám? b.) Mennyi lehet a 4-es osztási maradéka a 3 2 u 2 kifejezésnek, ha u egész szám? c.) Határozzuk meg az (x 13) (x + 13) szorzat 5-tel való osztási maradékát, ha x egész szám! Minden lehetséges megoldást adjunk meg! d.) Adjuk meg az (a 2 + b) (a 2 b) szorzat utolsó számjegyének lehetséges értékeit, ha a és b egész számok és b nem nulla! e.) Milyen számjegyre végződhet a (2x+1) 4 (4y 2) 4 kifejezés, ha x és y egész számok? 39. Adjuk meg az összes olyan p prímszámot, amelyre p 2 +2 is prím! 39.H a.) Keressük meg az összes olyan n egész számot, amelyre n 2 és n egyaránt prím! b.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p+14 és p+28 is prím! c.) Keressük meg az összes olyan p prímet, amelyre p vagy p (legalább az egyikük) prím! 40. Bizonyítsuk be, hogy két páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! 40H. a.) Bizonyítsuk be, hogy három páratlan szám négyzetének összege sohasem lehet négyzetszám! b.) Bizonyítsuk be, hogy bármely négy egész szám négyzete közül kiválasztható úgy kettő, hogy különbségük 8-cal osztható legyen! 41. Keressük meg az összes olyan négyzetszámot, amely csupa egyforma számjegyből áll! 41.H a.) Keressük meg az összes olyan egész számot, amelyiknek a negyedik hatványa csupa egyforma számjegyekből áll! 0; 1; -1. b.) Hány olyan egész szám van, amelynek a négyzete csupa egyforma számjegyből áll? 42. Lehet-e négyzetszám az az egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 42.H a.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek számjegyei a 0, 2, 3, 5 számok, valamilyen sorrendben? Igen. b.) Van-e olyan négyzetszám, amely csupa 0-ból és 3-asokból áll? Nincs. c.) Van-e olyan négyzetszám, amelynek 10-es számrendszerbeli alakjában 2009 darab 1-es és valahány 0 szerepel? Nincs. 43. Bizonyítsuk be, hogy n 2 + n 4 + n 8 minden egész n esetén osztható 3-mal! 43.H a.) Bizonyítsuk be, hogy n 2 + n 4 + n 6 + n 8 minden egész n esetén osztható 4-gyel! b.) Bizonyítsuk be, hogy n 4 + n 8 + n 12 + n 16 + n 20 minden egész n esetén osztható 5-tel! 44. Van-e olyan prímszám, amelyik osztható egy négyzetszámmal? 44.H a.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 2 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy négyzetszámmal? Van. b.) Van-e olyan szám, amelynek a törzstényezős felbontásában a 7 páratlan kitevőn szerepel, de a szám osztható egy páros négyzetszámmal? Van. Jó munkát!

5 Az eraszthotenészi szita Keressük meg a prímszámokat 1 és 1000 között!

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!

Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros! Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása

Részletesebben

Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Hatványozás. A hatványozás azonosságai Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes

Részletesebben

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla

Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2

Részletesebben

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.

Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra. 1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz

Részletesebben

4. Számelmélet, számrendszerek

4. Számelmélet, számrendszerek I. Elméleti összefoglaló A maradékos osztás tétele: 4. Számelmélet, számrendszerek Legyen a tetszőleges, b pedig nullától különböző egész szám. Ekkor léteznek olyan, egyértelműen meghatározott q és r egész

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz

Diszkrét matematika 1. estis képzés. Komputeralgebra Tanszék ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 6. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2015. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis

Részletesebben

Matematika 7. osztály

Matematika 7. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos képzés Matematika 7. osztály III. rész: Számelmélet Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III.

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok

Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 21 és 5 7 = 15

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 21 és 5 7 = 15 Megoldások 1. Írj fel 4 számot törtalakban a 3 7 és 5 7 között! Bővítsük a nevezőket a megfelelő mértékig: 3 7 = 9 21 és 5 7 = 15 21. Ezek alapján a megoldás: 10 21, 11 21, 12 21, 13 21. 2. Írd fel törtalakban

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok 2

Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Bevezetés az algebrába az egész számok 2 Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2015. december

Részletesebben

illetve a n 3 illetve a 2n 5

illetve a n 3 illetve a 2n 5 BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)

Részletesebben

Számelmélet. Oszthatóság

Számelmélet. Oszthatóság Számelmélet Oszthatóság Egy szám mindazok az egész számok, amelyek az adott számban maradék nélkül megvannak. Pl: 12 osztói: 12=1x12=(-1)x(-12)=2x6=(-2)x(-6)=3x4=(-3)x(- 4) Azt is mondhatjuk, hogy 12 az

Részletesebben

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:

HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet: Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései

1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései 12. Mellékletek 1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései 1. Mikor tanít számelméletet és hány órában? (Pl. 9. osztályban a nevezetes azonosságok után 4 órában.) 2. Milyen könyvet használnak

Részletesebben

Bizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n.

Bizonyítási módszerek - megoldások. 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha. Megoldás: 9 n n = 9k = 3 3k 3 n. Bizonyítási módszerek - megoldások 1. Igazoljuk, hogy menden természetes szám esetén ha (a) 9 n 3 n (b) 4 n 2 n (c) 21 n 3 n (d) 21 n 7 n (e) 5 n 25 n (f) 4 n 16 n (g) 15 n (3 n 5 n) 9 n n = 9k = 3 3k

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N}

2. Feladatsor. N k = {(a 1,...,a k ) : a 1,...,a k N} 2. Feladatsor Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, prímfaktorizáció az egész számok körében 1 Kötelező házi feladat(ok) 2., Határozzuk meg a ϕ:z Z, z [ z 5] leképezés magját. Adjuk meg a ker(ϕ)-hez tartozó

Részletesebben

SZÁMELMÉLET FELADATSOR

SZÁMELMÉLET FELADATSOR SZÁMELMÉLET FELADATSOR Oszthatóság 1. Az 123x4 számban milyen számjegy állhat x helyén, ha a szám osztható a) 3-mal; e) 6-tal; b) 9-cel; f) 24-gyel; c) 4-gyel; g) 36-tal; d) 8-cal; h) 72-vel? 2. Határozd

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet Számelmélet DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. DEFINÍCIÓ: (Reciprok) Egy 0

Részletesebben

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5.

SzA XIII. gyakorlat, december. 3/5. SzA XIII. gyakorlat, 2013. december. 3/5. Drótos Márton 3 + 2 = 1 drotos@cs.bme.hu 1. Határozzuk meg az Euklidészi algoritmussal lnko(504, 372)-t! Határozzuk meg lkkt(504, 372)-t! Hány osztója van 504-nek?

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Kongruenciák. Waldhauser Tamás

Kongruenciák. Waldhauser Tamás Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek

Részletesebben

Megoldások 9. osztály

Megoldások 9. osztály XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 2016. március 1115. Megoldások 9. osztály 1. feladat Nevezzünk egy számot prímösszeg nek, ha a tízes számrendszerben felírt szám számjegyeinek összege

Részletesebben

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával: Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL

NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL NEVEZETES SZÁMELMÉLETI FÜGGVÉNYEKRŐL SZAKDOLGOZAT Készítette: Farkas Mariann Matematika BSc Tanári szakirány Témavezető: Pappné Dr. Kovács Katalin, egyetemi docens Algebra és Számelmélet Tanszék Eötvös

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 1

Bevezetés az algebrába 1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egész számok 2 H406 2016-09-13,15,18 Wettl Ferenc

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást? 1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?

Részletesebben

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1

148 feladat 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 200 > 1 2. 1022 + 1. 5. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 51 + 1 52 + + 1 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Számelmélet, 7 8. évfolyam

Számelmélet, 7 8. évfolyam Számelmélet, 7 8. évfolyam Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András és Rubóczky György 2014. június 28. 4 TARTALOMJEGYZÉK Tartalomjegyzék Bevezetés 7 Feladatok 9 1. Bemelegítő feladatok..............................

Részletesebben

Számelméleti alapfogalmak

Számelméleti alapfogalmak 1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =

Részletesebben

Számelmélet. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19.

Számelmélet. 7 8. évfolyam. Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György. 2015. október 19. Számelmélet 7 8. évfolyam Szerkesztette: Blénessy Gabriella, Dobos Sándor, Fazakas Tünde, Hraskó András, Rubóczky György 2015. október 19. Technikai munkák (MatKönyv project, TEX programozás, PHP programozás,

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm 5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88

Részletesebben

SZÁMELMÉLETI FELADATOK

SZÁMELMÉLETI FELADATOK SZÁMELMÉLETI FELADATOK 1. Az 1 = 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4 számokat a pitagoreusok háromszög számoknak nevezték, mert az összeadandóknak megfelelő számú pont szabályos háromszög alakban

Részletesebben

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató Oktatási Hivatal 04/0 tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MTEMTIK I KTEGÓRI (SZKKÖZÉPISKOL) Javítási-értékelési útmutató Határozza meg a tízes számrendszerbeli x = abba és y =

Részletesebben

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI,

HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, Halmazok definíciója, megadása HALMAZOK TULAJDONSÁGAI, 1. A következő definíciók közül melyek határoznak meg egyértelműen egy-egy halmazt? a) A: a csoport tanulói b) B: Magyarország városai ma c) C: Pilinszky

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Számokkal kapcsolatos feladatok.

Számokkal kapcsolatos feladatok. Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 12. évfolyam 01/01 1. évfolyam 1. Egy röplabda bajnokságban minden csapat pontosan egyszer játszik a többi csapat mindegyikével. A bajnokságból még két forduló van hátra és eddig 104 mérkőzést játszottak le. Hány csapat

Részletesebben

Bevezetés az algebrába az egész számok

Bevezetés az algebrába az egész számok Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók

Részletesebben

KÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT évfolyam

KÉSZÍTSÜNK ÁBRÁT évfolyam Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2018/2019.

Részletesebben

2005_01/1 Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyik eggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál.

2005_01/1 Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyik eggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál. Számolásos feladatok, műveletek 2004_1/1 Töltsd ki az alábbi bűvös négyzet hiányzó mezőit úgy, hogy a négyzetben szereplő minden szám különböző legyen, és minden sorban, oszlopban és a két átlóban is ugyanannyi

Részletesebben

MATEMATIKA C 9. évfolyam 4. modul OSZTOZZUNK!

MATEMATIKA C 9. évfolyam 4. modul OSZTOZZUNK! MATEMATIKA C 9. évfolyam 4. modul OSZTOZZUNK! Készítette: Kovács Károlyné MATEMATIKA C 9. ÉVFOLYAM 4. MODUL: OSZTOZZUNK! TANÁRI ÚTMUTATÓ 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

2. témakör: Számhalmazok

2. témakör: Számhalmazok 2. témakör: Számhalmazok Olvassa el figyelmesen az elméleti áttekintést, és értelmezze megoldási lépéseket, a definíciókat, tételeket. Próbálja meg a minta feladatokat megoldani! Feldolgozáshoz szükségesidö:

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem. Természettudományi Kar. Gyarmati Richárd. Számelmélet feladatok szakkörre. Bsc szakdolgozat.

Eötvös Loránd Tudományegyetem. Természettudományi Kar. Gyarmati Richárd. Számelmélet feladatok szakkörre. Bsc szakdolgozat. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Gyarmati Richárd Számelmélet feladatok szakkörre Bsc szakdolgozat Témavezet : Dr. Szalay Mihály Algebra és számelmélet tanszék Budapest, 206 2 Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (

Részletesebben

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA

TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA TERMÉSZETES SZÁMOK OSZTHATÓSÁGA A MATEMATIKA A TITKOK SZOBÁJÁBAN Természetes számokat fogsz azonosítani különböző kontextusokban: természetes számokat fogsz azonosítani egy diagramban, egy grafikonban

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás

LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET. Példák és feladatok. ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás LÁNG CSABÁNÉ SZÁMELMÉLET Példák és feladatok ELTE IK Budapest 2010-10-24 2. javított kiadás Fels oktatási tankönyv Lektorálták: Kátai Imre Bui Minh Phong Burcsi Péter Farkas Gábor Fülöp Ágnes Germán László

Részletesebben

VERSENYFELADATOK AZ ÁLTALÁNOS ÉS KÖZÉPISKOLÁBAN SZAKDOLGOZAT. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

VERSENYFELADATOK AZ ÁLTALÁNOS ÉS KÖZÉPISKOLÁBAN SZAKDOLGOZAT. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar VERSENYFELADATOK AZ ÁLTALÁNOS ÉS KÖZÉPISKOLÁBAN SZAKDOLGOZAT Készítette: Besenyei Beáta Témavezető: Dr Kiss Emil Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Matematika Alapszak Tanári Szakirány

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

2017, Diszkrét matematika

2017, Diszkrét matematika Diszkrét matematika 10. előadás Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, Románia mgyongyi@ms.sapientia.ro 2017, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a prímszámtétel prímszámok,

Részletesebben

0645. MODUL SZÁMELMÉLET. Gyakorlás, mérés KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA

0645. MODUL SZÁMELMÉLET. Gyakorlás, mérés KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0645. MODUL SZÁMELMÉLET Gyakorlás, mérés KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0645. Számelmélet Gyakorlás, mérés Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok A

Részletesebben

Egészrészes feladatok

Egészrészes feladatok Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges

Részletesebben

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer)

A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) A lehetetlenségre visszavezetés módszere (A reductio ad absurdum módszer) Ezt a módszert akkor alkalmazzuk, amikor könnyebb bizonyítani egy állítás ellentettjét, mintsem az állítást direktben. Ez a módszer

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!

Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! 1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok

Részletesebben

A törzsszámok sorozatáról

A törzsszámok sorozatáról A törzsszámok sorozatáról 6 = 2 3. A 7 nem bontható fel hasonló módon két tényez őre, ezért a 7-et törzsszámnak nevezik. Törzsszámnak [1] nevezzük az olyan pozitív egész számot, amely nem bontható fel

Részletesebben

Racionális és irracionális kifejezések

Racionális és irracionális kifejezések Racionális és irracionális kifejezések a + b a + ac a_ a+ ci a 77. A feltétel szerint b ac, ezért b c. + ac + c c_ a+ ci c ab ac bc 78. A feltétel szerint: ab+ ac+ bc- b, ezért + + + + a b c abc b -b -,

Részletesebben

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak.

Prímszámok. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. A cikkben szereplő eredmények 2008 decemberéből származnak. Bevezetés on vagy felbonthatatlan számokon olyan pozitív egész számokat értünk, amelyeknek csak két pozitív osztójuk van, nevezetesen az 1 és

Részletesebben

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12.

XXIV. NEMZETKÖZI MAGYAR MATEMATIKAVERSENY Szabadka, április 8-12. XXIV. NEMZETKÖZI MGYR MTEMTIKVERSENY Szabadka, 05. április 8-. IX. évfolyam. Egy -as négyzetháló négyzeteibe a bal felső mezőből indulva soronként sorra beirjuk az,,3,,400 pozitív egész számokat. Ezután

Részletesebben

Waldhauser Tamás december 1.

Waldhauser Tamás december 1. Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500

1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 1. Mit nevezünk egész számok-nak? Válaszd ki a következő számok közül az egész számokat: 3 ; 3,1 ; 1,2 ; -2 ; -0,7 ; 0 ; 1500 2. Mit nevezünk ellentett számok-nak? Ábrázold számegyenesen a következő számokat

Részletesebben

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 =

4. Sorozatok. 2. Igazoljuk minél rövidebben, hogy a következő egyenlőség helyes: 100 = 4. Sorozatok Megjegyzés: A szakirodalomban használt a sorozat tagjáról, máskor eleméről beszélni. Az alábbiakban mindkét kifejezést használtuk megtartva a feladatok eredeti fogalmazását. I. Feladatok.

Részletesebben

Matematika. 1. évfolyam. I. félév

Matematika. 1. évfolyam. I. félév Matematika 1. évfolyam - Biztos számfogalom a 10-es számkörben - Egyjegyű szám fogalmának ismerete - Páros, páratlan fogalma - Sorszám helyes használata szóban - Növekvő, csökkenő számsorozatok felismerése

Részletesebben

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =?

148 feladat 21 + + 20 20 ) + ( 1 21 + 2 200 > 1 2. 1022 + 1 51 + 1 52 + + 1 99 2 ) (1 1 100 2 ) =? 148 feladat a Kalmár László Matematikaversenyről 1. ( 1 19 + 2 19 + + 18 19 ) + ( 1 20 + 2 20 + + 19 20 ) + ( 1 21 + 2 21 + + 20 21 ) + ( 1 22 + 2 22 + + 21 22 ) =? Kalmár László Matematikaverseny megyei

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Ellentett) Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz. Egy szám ellentettje megegyezik a szám ( 1) szeresével. Számfogalmak kialakítása:

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM)

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA II. KATEGÓRIA (GIMNÁZIUM) Javítási értékelési útmutató 1. Melyek azok a pozitív p és q prímek, amelyekre a számok mindegyike

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Nevezetes sz amelm eleti probl em ak Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev Algebra és számelmélet 3 előadás Nevezetes számelméleti problémák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Számok felbontása hatványok összegére 2. Prímszámok 3. Algebrai és transzcendens számok Tartalom

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. II. fejezet (kb. 18 tanóra) > o < november 1.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. II. fejezet (kb. 18 tanóra) > o < november 1. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár II. fejezet (kb. 18 tanóra) > o < 2015. november 1. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo

SZÁMELMÉLET. Vasile Berinde, Filippo Spagnolo SZÁMELMÉLET Vasile Beride, Filippo Spagolo A számelmélet a matematika egyik legrégibb ága, és az egyik legagyobb is egybe Eek a fejezetek az a célja, hogy egy elemi bevezetést yújtso az első szite lévő

Részletesebben

Érdekességek az elemi matematika köréből

Érdekességek az elemi matematika köréből Érdekességek az elemi matematika köréből Csizmadia László Bolyai Intézet, Szegedi Tudományegyetem Kutatók éjszakája Szeged, SZTE L. Csizmadia (Szeged) Kutatók éjszakája 2011. 2011.09.23. 1 / 17 Társasház

Részletesebben

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be

Részletesebben