Hatványozás. A hatványozás azonosságai

Átírás

1 Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = = 84 Elnevezés: a n = b, a: alap; n: kitevő; b: hatványérték A hatványozás azonosságai I. a n a m = a n+m Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk össze, hogy az alapot a kitevők összegére emeljük = = 5 11 II. a n = an m am Azonos alapú hatványokat úgy osztunk, hogy az alapot a számláló és a nevező hatványkitevőjének különbségére emeljük = 58 2 = 5 6 III. (a n ) m = a n m Hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük. (2 3 ) 5 = (2 5 ) 3 = = 2 15 IV. (a b) n = a n b n Azonos kitevőjű hatványok szorzata egyenlő az alapok szorzatának ugyanilyen kitevőjű hatványával. (5 6) 7 = = 30 7 V. ( a b )n = an b n Azonos kitevőjű hatványok hányadosa egyenlő az alapok hányadosának ugyanilyen kitevőjű hatványával. ( 3 2 )4 = 34 =

2 Negatív egész kitevőjű hatványok Definíció: a n = 1 an, ahol a R{0}, n Z 2 1 = = = 1 8 ( ) = 1 ( 2 1 = 3 ) ( 2 3 ) 4 = = 3 2 = 1 ( 2 3 )4 2 4 = = Számok normál alakja Egy számot normálalakban a következő módon írunk fel: 1 és 10 közötti számot szorozzuk 10 hatványával = 1, , = 5, Polinom, algebrai tört Polinomok Algebrai kifejezés: számokkal és változókkal összeadást, szorzást, kivonást, osztást, gyökvonást véges sokszor végzünk. 5x + 3, 5 2y², stb. 8x - 7y³: x együtthatója 8; y³ együtthatója 7 10a: egytagú kifejezés 5y + 8x: kéttagú kifejezés Definíció: Egynemű kifejezések legfeljebb együtthatóikban különböznek, azaz ugyanazok a betűk szerepelnek bennük, és minden betű ugyanarra a kitevőre vannak emelve. Egynemű kifejezések összevonhatóak. példa: 7a 2 b 5ab 2 + 3a 2a + 3a 2 b + 2ab 2 = 10a 2 b 3ab 2 + a Definíció: Az olyan algebrai kifejezéseket, amelyekben nem jelölünk ki betűs kifejezéssel osztást, egész kifejezéseknek nevezzük, más néven polinomoknak.

3 polinom: 5x 2 + 3; 3x y 4 nem polinom: 1 b ; x+y y+2 Polinom fokszáma példa: x 2 + 3x + 2 fokszáma: 2, mert x-re nézve ez a legmagasabb kitevő x 2 + 5y + y 3 fokszám: x-re nézve 2, y-ra nézve 3 Rendezett polinom A változok hatványai szerint növekvő, vagy csökkenő sorrendben felírt polinom példa: rendezett polinom: x 5 + 3x 4 7x 3 + x 2 nem rendezett polinom: 3x 4 7x 3 + x 2 + x 5 1. Polinom szorzása valós számmal 3(7a + 13b) = 21a + 39b (5x 4y)2 = 10x 8y ( 3)(4a + 5b) = 12a 15b 2x3 = 6x 2. Polinom szorzása polinommal Műveletek polinomokkal (5x + 2y)(2a 3b) = 10xa 15xb + 4ya 6yb 3. Kiemelés 15ay + 10xy = 5y(3a + 2x) 4. Kiemelés csoportosítással ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b)(c + d) Nevezetes azonosságok I. (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 II. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 III. (a b)(a + b) = a 2 b 2 Algebrai tört Definíció: Két polinom hányadosát algebrai törtnek nevezzük, ha a tört nevezője legalább elsőfokú polinom.

4 A számelmélet elemei, hatványozás Alapfogalmak Számelmélet Definíció: Az a és b természetes számok esetén az a számot a b szám osztójának nevezzük, ha van olyan c természetes szám, amelyre fennáll, hogy a c = b. Jelölés: 3 osztója 6-nak: 3 6, mert 3 2 = 6 2 nem osztója 5-nek, 2 5 Tulajdonságok: o Bármely szám osztója önmagának 2 osztója önmagának, mert 2 1 = 2 o Ha a b és b c, akkor a c 2 4 és 4 6, akkor 2 8 o Ha a b és a c, akkor a b + c 2 4 és 2 6, akkor = 10 o Ha a b, akkor a b c 2 4, akkor = 24 o Ha a b és b a, akkor a = b Definíció: Azokat az 1-nél nagyobb természetes számokat, melyek 1-gyel és önmagukkal oszthatóak, prímszámoknak nevezzük. Azokat az 1-nél nagyobb természetes számokat, amelyeknek kettőnél több osztójuk van, összetett számoknak nevezzük. prímszámok: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, Végtelen sok prímszám van. összetett szám: 4, 6, 8, 9, 10, A számelmélet alaptétele: Bármely összetett szám, a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen felírható prímszámok szorzataként = Osztó, többszörös A legkisebb közös többszörös meghatározása: az összes prímszámot a legnagyobb kitevőjével szorozzuk össze. Jele: [] A legnagyobb közös osztó meghatározása: a közös prímszámok közül a legkisebb kitevőjűeket szorozzuk össze. Jele: () [72, 4450] =? és (72, 4450) =? Megoldás: 72 = és 4450 = [72; 4450] = (72; 4450) = 2

5 Definíció: Ha két szám legnagyobb közös osztója az 1, akkor a két számot relatív prímnek nevezzük. Oszthatósági szabályok 2-vel való oszthatóság: utolsó számjegy 0, 2, 4, 6, 8 3-mal való oszthatóság: számjegyek összege osztható 3-mal 4-gyel való oszthatóság: utolsó két számból alkotott szám osztható 4-gyel 5-tel való oszthatóság: utolsó számjegy 0, 5 8-cal való oszthatóság: utolsó három számjegyből alkotott szám osztható 8-cal 9-cel való oszthatóság: számjegyek összege osztható 9-cel Számrendszerek 10-es számrendszer számjegyei: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 2-es számrendszer számjegyei: 0, = es számrendszerből 10-es számrendszerbe átírás: = = = es számrendszerből 2-es számrendszerbe átírás: = = , mert 13 = , mert 6 = , mert 3 = , mert 1 = Alulról felfelé leolvasható a 13 2-es számrendszerbeli alakja.