3. Algebrai kifejezések, átalakítások

Átírás

1 I Elméleti összefoglaló Műveletek polinomokkal Algebrai kifejezések, átalakítások Az olyan betűs kifejezéseket, amelyek csak valós számokat, változók pozitív egész kitevőjű hatványait, valamint összeadás, kivonás és szorzás műveleteket tartalmaznak, polinomoknak nevezzük Például: +, y + y, a + b, ( a+ ( a + b, 0 A polinomokat az összeadás és a kivonás szerint tagokra, a szorzás szerint tényezőkre bonthatjuk Például a 0ab b 4y + y y egy kéttényezős szorzat, + egy háromtagú kifejezés, amelynek első tényezője egy kéttagú, második tényezője egy háromtagú kifejezés (Valójában y = y y -t és y= y-t is tekinthetnénk egy-egy kéttényezős szorzatnak, de általában tényezőkről csak a többtagú kifejezéseket tartalmazó zárójelek például ( 4y és ( y y + esetében beszélünk Az azonos tényezőkből álló szorzatot hatványalakban is írhatjuk, például ( a háromtényezős szorzat + egy A polinomok tagjaiban szereplő számokat együtthatóknak, az egy tagban szereplő ismeretlenek kitevőinek összegét fokszámnak nevezzük Például 0ab együtthatója 0, fokszáma, míg együttha- tója, fokszáma Egy polinom fokszámának (vagy fokának a benne szereplő tagok fokszámai közül a legnagyobbat nevezzük Például a harmadfokú, az y + y y ötödfokú, az nulladfokú (konstans kifejezés A polinomok tagjait gyakran fokszámuk szerinti csökkenő sorrendben írjuk (több azonos fokú tag esetén azokat valamelyik változó fokszáma szerint rendezzük Két kifejezést egyneműnek nevezünk, ha ugyanazon változók szerepelnek bennük, ugyanazokon a hatványkitevőkön, azaz legfeljebb együtthatóikban különböznek Például c d és 0c d egynemű kifejezések Az egynemű kifejezéseket gyakran összevonjuk, például cd+ 0cd= 7cd Egy kéttényezős szorzatot átalakíthatunk zárójelfelbontással úgy, hogy az egyik kifejezés minden tagját megszorozzuk a másik kifejezés minden tagjával, majd a kapott szorzatokat összeadjuk, például 4y y y y y 4y 4y 4yy y y 4y 4y + = + + = + + (az utolsó lépésben az egynemű kifejezéseket összevontuk, továbbá a polinom tagjait fokszám szerinti csökkenő sorrendbe rendeztük, az azonos fokú tagokon belül fokszáma szerint haladva Szorzattá alakítás Gyakran célszerű egy többtagú kifejezést több kifejezés szorzataként felírnunk Ha ezt meg tudjuk ten- 4y = + y y, ni, akkor azt mondjuk, hogy szorzattá alakítjuk a kifejezést Például + + = ( + ( + = ( + A szorzattá alakítás nem mindig végezhető el, például c cd d c d c d c d + 4y nem írható fel két (vagy töb polinom szorzataként A szorzattá alakítás történhet: a több tagban is szereplő változó(k kiemelésével, például u u u ( u + = + ;

2 a tagok megfelelő sorrendbe történő csoportosításával, majd több egymás utáni kiemeléssel, például ac + bd + ad + bc = ac + bc + ad + bd = c ( a + + d ( a + = ( a + ( c + ; egyváltozós polinomok esetén a gyöktényezős alak segítségével, például + 0 esetén a + 0= 0 másodfokú egyenlet = és = gyökeit felhasználva ( ( módon (ez magasabb fokú polinomoknál csak akkor alkalmazható, ha könynyen ki tudjuk számítani a megfelelő egyenlet gyökeit; a nevezetes azonosságok alkalmazásával (ezek felsorolását lásd a következő részben Másodfokú függvények ábrázolásakor használatos még a teljes négyzetté alakítás, amikor a megadott kifejezést egy zárójeles kifejezés négyzetének segítségével próbáljuk meg felírni Ha a függvénynek van (egy vagy két zérushelye, akkor eljuthatunk a szorzatalakig, például 0 ( + = és 6+ = ( 4= ( ( + = ( ( A teljes négyzetté alakítás azonban nem mindig jelent szorzattá alakítást Ha ugyanis a függvénynek nincs zérushelye (és így a kifejezésnek sincs gyöktényezős alakj, akkor nem kaphatunk szorzatalakot, hanem csak egy kifejezés négyzetének és egy konstans tagnak az összegét, például 6+ = ( + 4 Nevezetes azonosságok A gyakran használt zárójelfelbontási és szorzattá alakítási összefüggéseket nevezetes azonosságok formájában szoktuk megfogalmazni Az alábbiakban a, b és c tetszőleges valós számokat jelölnek A zárójelfelbontásból adódó azonosságok a következők: a+ b = a + ab+ b ; a b = a ab+ b ; a+ b = a + a b+ ab + b ; a b = a a b+ ab b ; a + b + c = a + b + c + ab + ac + bc A szorzattá alakításból adódó azonosságok a következők: a + b a valós számkörben nem alakítható szorzattá; a b ( a ( a = + ; a b ( a ( a ab b + = + + ; a b ( a ( a ab b = + + Megjegyzés: Az azonosságok fenti két csoportba sorolása nem jelent éles elkülönülést, mind a két

3 típusú (zárójelfelbontással, illetve szorzattá alakítással keletkező azonosság megfordítható Ha például egy kifejezés átalakítása során ( a+ helyére írunk a + ab+ b -et, akkor zárójelfelbontást + + helyére írunk alkalmaztunk, ha viszont a ab b a+ b -t, akkor szorzattá alakítást Ugyanígy bizonyos feladatokban (főként törtek egyszerűsítésénél, közös nevező meghatározásánál célszerű a b helyére ( a+ ( a -t írnunk (szorzattá alakítás, míg más feladatokban (főként összevonásnál, polinomok összeadásakor célravezető ( a+ ( a helyére a b -et írnunk (zárójelfelbontás Megjegyzés: A nevezetes azonosságok a következőképpen általánosíthatók (ahol n pozitív egész: n n n n 0 n n n 0 n n n k k a+ b = a b + a b + + a b = a b 0 n k (binomiális tétel; n n 0 n 0 n n k k a b = a b a b + ± a b = a b ( k= 0 n n n n n k 0 n k ; n n n n n n ha n páratlan, akkor a b ( a ( a a b a b b k= 0 + = ; n n n n n n ha n páros, akkor a b ( a ( a a b a b b = ; n n n n n n tetszőleges pozitív egész n-re a b ( a ( a a b a b b = Megjegyzés: A nevezetes azonosságoknak geometriai jelentést is tulajdoníthatunk, például pozitív a és b esetén a+ b = a + ab+ b szemléltethető egy a+ b oldalú négyzet területének kétféle kiszámításával: a négyzet területe egyrészt ( a+, másrészt az ábra szerint négy részre darabolva az egyes részek területének összege a + ab+ ab+ b Algebrai törtek Két polinom hányadosát algebrai törtnek nevezzük Például: y, + y a b a b a +, ( Míg a polinomokat a bennük szereplő változók bármely (valós értéke esetén értelmezni tudtuk, addig az

4 algebrai törtek értelmezési tartományának vizsgálatakor ki kell zárnunk azokat a helyettesítési értékeket, amikor a nevező 0 Az algebrai törtekkel a következő műveleteket végezhetjük: Algebrai törtek egyszerűsítésekor a számlálót és a nevezőt is szorzattá alakítjuk (ha lehet, és + a közös tényezőket (ha vannak elhagyjuk, például + + = = y + ( y + y + Nagyon fontos, hogy egyszerűsíteni csak szorzatalakban, szorzótényezővel szabad, tehát például + -at nem egyszerűsíthetjük -ra (hiszen ez egy másik algebrai tört, amelynek helyettesítési értéke általában nem egyezik meg az eredeti tört helyettesítési y + y értékével Algebrai törtek összevonásakor a törteket bővítéssel közös nevezőre hozzuk, majd a számlálókat összevonjuk, például + = + = y+ ( + y ( y+ + + y + y y + y + y + y + Algebrai törtek szorzása a törtek szorzásának megfelelően történik (a szorzat számlálója a számlálók szorzata, nevezője a nevezők szorzata lesz, például Természetesen szükség esetén egyszerűsíthetünk, például a b ab = a+ b a b a+ b a b y = y = y + y + + Algebrai törtek osztása a törtek osztásának megfelelően történik (az osztó reciprokával szorzunk, például c d c d c d c : = = ( + c d c Természetesen itt is egyszerű- c c c c+ d c c+ d ( síthetünk, az előző példában c d c c+ d c d c c d = = c c+ d c c+ d c II Kidolgozott feladatok Végezzük el a kijelölt műveleteket, majd adjuk meg az eredményt minél egyszerűbb alakban! ( a+ 7 ( a ( a ( a+ ( b 4 ( c+ A zárójelek felbontása, majd az egynemű kifejezések összevonása után a következőket kapjuk: = = + a a a a a a a a a a a a b 4c c + b = bc + 0b c 8bc = 0b + 7bc c 4

5 A zárójelek felbontásával alakítsuk át többtagú kifejezéssé a következőket! ( 4 + ( b + ( 4 ab ( 4ij + k ( 4ij k d f ( d ( d + cd + 4c A nevezetes azonosságok alkalmazásával a következőket kapjuk: + c = 9+ 6c+ c 4 4ab 6ab 8ab = + 4ij + k 4ij k = 4ij k = 6i j 9k b+ = b + b + b + = 8b + 6b + 4b+ 7 d 4 = d d 4 + d 4 4 = d d + 48d 64 d c d cd c d c d c = = 8 f Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! + a ( y b ( y 0 i ij ik jk l 0l y 8c + c d + 6cd + d f p p 6 89 Az első két esetben csoportosítást és kiemelést alkalmazunk: ( i 0ij ( ik jk i ( i j k ( i j ( i j( i k + = + = + Másképpen csoportosítva: ( i ik ( 0ij jk i ( i k j ( i k ( i k ( i j + + = + + = + a ( y b ( y a ( y b ( y ( y ( a = + = + A következő három esetben a nevezetes azonosságokat alkalmazzuk: l 0l 00 ( l 0 + = y 4y ( 4y ( 0y 6y = = + + 8c + c d + 6cd + d = c+ d Az utolsó esetben a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakját használjuk: f A p 6 p 89 = 0 egyenlet megoldásai p = 7 és p = 9, így a gyöktényezős alak a kö-

6 vetkező: p 6p 89= ( p+ 7 ( p 9 Ugyanezt megadhatjuk ( p ( p 9 ( p 7 ( p 7 + alakban is 4 Egyszerűsítsük a következő algebrai törteket a változók lehetséges értékei mellett! + vagy a 7a c 4d 8c 8d y 0 + 0y Először a számlálót és a nevezőt is szorzattá alakítjuk, majd a közös szorzótényezőkkel egyszerűsítünk Bár a feladat szövege nem kérdezett rá, megadjuk azt is, hogy az egyes kifejezések a változók mely értékeire nincsenek értelmezve (mert ekkor a törtek nevezője 0 lenn 4a 4 4 a 4 a+ a 4 a = = = 7a+ 7 7 a+ 7 a+ 7, ahol a ( c ( c cd d 4c 4d c + cd + d = = Az egyszerűsítés során bővül a kifejezés 8c 8d 8 ( c+ ( c ( c+ értelmezési tartománya, ugyanis az eredeti kifejezésben c+ d 0 és c d 0 (vagyis c ± d, míg az egyszerűsítés után már csak a c+ d 0 feltétel (vagyis c d marad meg Viszont az átalakítás csak az eredeti értelmezési tartományon igaz, hiszen c= d esetén csak az egyszerűsített kifejezést tudnánk értelmezni, az eredetit nem Így az ilyen típusú feladatokban mindig az eredeti kifejezés értelmezési tartományát (pontosabban a meg nem engedett eseteket fogjuk megadni ( y ( y y + y = = 0 + 0y 0 + y y + y y + y, ahol + y 0, azaz y Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékei mellett! a+ 4a a + a+ 4a 4a e ef e f + ef e + ef ef + y y : y y A szükséges összevonások, illetve a lehetséges egyszerűsítések céljából mindhárom esetben először szorzattá alakítjuk a kifejezések számlálóit és nevezőit (ahol ez lehetséges, majd ezekkel végezzük el a műveleteket a+ 4a a a+ 4a a + = + = a+ 4a 4a a+ ( a ( a+ ( a ( a+ ( a ( a+ ( a a+ 4a + 4a a+ a a 6a+ 8a 4 + a+ 8a 4a 4a = = = =, ahol + ( a ( a a ± e e f ef e+ f = = e+ f = e f e ef e f + ef e f e + ef ef e e+ f ef e+ f e f, ahol e 0, f 0 és 6

7 + y y + y y + y y + y+ y : = = = y y y y y + y y + y y + y+ y + y+ y = = y + y y y, ahol 0, y 0, + y 0 és y 0, vagy összefoglalóan 0 és ± y (Az értelmezési tartomány vizsgálatakor az eredeti törtek nevezőiről, illetve az osztó számlálójáról kötöttük ki, hogy egyik sem lehet 0 6 Egyszerűsítsük a 6b 9b + 9b 6 b törtet, ahol b,! A törtet akkor tudjuk egyszerűsíteni, ha a számlálót szorzattá alakítva ki tudunk emelni belőle b ( b, b =, esetén a számláló értéke Tehát b =, gyöke a szerepelni fog a b, tényező = -et (vagy b, -et Ezt valóban meg tudjuk tenni, mert 6, 9, + 9, 6 = 0, 4, 7 + 8, 6 = 0 6b 9b + 9b 6= 0 egyenletnek, így annak gyöktényezős alakjában A harmadfokú egyenlet további gyökeinek ismerete nélkül azonban közvetlenül nem tudjuk felírni a b, kiemelése után maradó további szorzótényező(kt Ezért a racionális számok osztásához hasonlóan el kell osztanunk a számlálót b, -tel Ezt a következőképpen tehetjük meg, az úgynevezett polinomosztás módszerével: ( b b b ( b :, = Mivel az osztandó harmadfokú, az osztó pedig elsőfokú, ezért a hányados biztosan másodfokú lesz Az osztandóban a legmagasabb fokú tag 6b, az osztóban pedig b, ezért a hányados legmagasabb fokú tagja = 6b Visszaszorozva kapjuk, hogy 6b ( b, = 6b 9b, amelyet le- 6b b vonunk az osztandóból: 6b 9b + 9b 6 : b, = 6 b + 6b 9b 0b + 9b 6 Innentől az eddigi lépéseket ismételjük, először a 0b + 9b 6 kifejezésre, és így tovább: 6b 9b + 9b 6 : b, = 6b 0b+ 4 6b 9b 0b + 9b 6 0b + b 4b 6 4b 6 0 Az utolsó lépésben 0 maradékot kaptunk, tehát a osztható, 6b 9b 9b 6 + kifejezés maradék nélkül b -tel Vagyis 6b 9b 9b 6 ( b, ( 6b 0b 4 + = + A második ténye- 7

8 ( b ( b b+ 6b 9b + 9b 6 zőből -t kiemelve a tört így írható fel: =, b ( b, a tört egyszerűsített alakja b b+ 7 Határozzuk meg számológép használata nélkül a következő műveletek végeredményét! Tehát f 999 A szorzások írásbeli elvégzése helyett alkalmazhatjuk a nevezetes azonosságokat, így a műveletek végeredményei akár fejben is kiszámíthatók: 9 6 = ( 60 ( 60 + = 60 = 600 = = + = + + = + + = = = + = + = = + = = = 6 8 = = 00 4 = 400 f = = + = + = = = Igazoljuk grafikus úton az a b ( a ( a = + összefüggést! Tegyük fel először, hogy a> b, majd tekintsük a következő ábrát ( T, T, T és T 4 a megfelelő téglalapok területét jelöli, de a bizonyításban ezeket felhasználjuk az egyes téglalapokra történő hivatkozásként is: Az ábrán T, T és T 4 együttesen egy a oldalú négyzetet alkot, így T T T a T = Mivel 4 8

9 egy b oldalú négyzet, ezért T4 = b, vagyis T + T = a b Mivel T és T együttesen egy a+ b szélességű, a b magasságú téglalapot alkot, ezért T + T = ( a+ ( a Továbbá T = T, hiszen mindkettő egy-egy b és a b oldalhosszúságú téglalap Vagyis T+ T = T+ T, így éppen a b = a+ b a b összefüggést kaptuk, ezzel az állítást beláttuk a bizonyítandó Ha a= b, akkor az a b = ( a+ ( a egyenlőség mindkét oldala 0, tehát az biztosan teljesül Ha pedig a b <, akkor az egyenlőség mindkét oldalát ( -gyel szorozva a b a = b+ a b a összefüggést kapjuk, amelynek bizonyításához elegendő az előző ábrán a és b szerepét felcserélni 9 Oldjuk meg a valós számok halmazán a = egyenletet! I A negyedfokú egyenletekre létezik általános megoldási eljárás, ez azonban meghaladja a középiskolai módszereket A mostani feladatban szereplő negyedfokú egyenlet viszont speciális, úgynevezett szimmetrikus egyenlet, mert az együtthatók szimmetrikusak (a negyedfokú és a konstans tag együtthatója egyaránt 6, a harmadfokú és az elsőfokú tag együtthatója egyaránt Szimmetrikus egyenletekre alkalmazható a következőkben ismertetett módszer Mivel = 0 nem megoldása az egyenletnek (hiszen a konstans tag 6, tehát = 0 esetén a bal oldal értéke 6, ezért leoszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát -tel: = A szimmetrikus tagokat egymás mellé rendezve ezt kapjuk: = Mivel + = + + = + +, ezért + = + Így az y = + 6 y y+ 8 = 0 alakban írható, amely y-ra új ismeretlen bevezetésével az egyenlet nézve másodfokú, a rendezés után ezt kapjuk: y = 6y y = Ennek megoldásai y = és 6 Ha y =, akkor az + = egyenlet mindkét oldalát -szel szorozva az + = másodfokú egyenlethez jutunk, amelynek megoldásai = és = Ha y =, akkor az + = egyenlet mindkét oldalát -szel szorozva az + = 0 másodfokú egyenlethez jutunk, amelynek egyetlen megoldása = Tehát az eredeti egyenletnek három valós megoldása van:, és Ellenőrzéssel meggyőződhetünk róla, hogy ezek valóban jó megoldások II Magasabb fokú egyenletek megoldásánál hasznos lehet, ha valamilyen úton megsejtjük az egyenlet egyik gyökét, ekkor ugyanis a megfelelő gyöktényező kiemelésével és poli- 9

10 nomosztással a megoldást visszavezethetjük egy alacsonyabb fokú egyenlet megoldására Mivel a = 0 egyenletben az együtthatók összege = 0, ezért az egyenletnek gyöke az (mert = esetén a kifejezés helyettesítési értéke pont az együtthatók összeg, vagyis biztosan kiemelhető gyöktényezőként Polinomosztással kapjuk: + + = : A = 0 harmadfokú egyenletben az együtthatók összege = 0, tehát ennek az egyenletnek is gyöke az, így még egyszer kiemelhető gyöktényezőként: : = A + = másodfokú egyenlet gyökei (a megoldóképlettel = és = Tehát az eredeti negyedfokú egyenlet megoldásai: =, = és = 4 = Ellenőrzéssel meggyőződhetünk róla, hogy ezek valóban jó megoldások Megjegyzés: A fenti gondolatmenetben láttuk, hogy ha egy egyenletben az együtthatók összege 0, akkor az egyenletnek gyöke az Hasznos megfigyelés még, hogy ha egy egyenlet együtthatóinak váltakozó előjelű összege 0, akkor az egyenletnek gyöke a III Ajánlott feladatok Végezzük el a kijelölt műveleteket, majd adjuk meg az eredményt minél egyszerűbb alakban! ( a ( a ( a ( a ( p 4q ( pq+ p + + +, ahol n ( ( n n n n n n w + w+ w w ( u v ( u u v v A zárójelek felbontásával alakítsuk át többtagú kifejezéssé a következőket! + e+ f ( y y ( c+ ( + 0

11 n 4 n 4 ( a + b ( a b ( pq f ( t u ( 4t + tu+ u g ( c + 4 h ( uv + 4s ( uv 4s i ( k + l+ m Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 44 j + 0ij + i 4 6 ur 6 p 49z rz+ 64r u 6u v+ uv 8v a + 8 f jl km jm kl g 6 64c 7d h 6z z i y y y Egyszerűsítsük a törteket a változók lehetséges értékei mellett! 6b + 6 b 8c 8d 0c + 0d u u u u 9 b b + 6b+ + b+ a + v a v + av f ac bc + ad bd ac + bc + ad + bd g ab a b + c a + c b + ac h + + i 4 s + st st s + st st Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékei mellett! c + d c+ d c d c d 4 + e f e + f m m : m m m m m g 6 + g 8g + 6 g 0 a 8 7a+ a+ a + a+ 4 f a a 6 0 : a + + a a a+ 6a+ 9a g u+ v u v + u u v u uv h l+ l+ + l l i j i j i + : i ij i+ j i + ij j + ij 6 Egyszerűsítsük a törteket a változók lehetséges értékei mellett! 9a 4a + a 6 6a 8 4 8b b + b + b 9 4b 9 7 Határozzuk meg számológép használata nélkül a következő műveletek végeredményét! f 8 Határozzuk meg számológép használata nélkül, hogy az 9 és a 489 közül melyik számnak van több pozitív osztója!

12 9 Határozzuk meg a és b értékét, ha tudjuk, hogy minden a = b összefüggés!, esetén teljesül az 0 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! = = 0 Döntsük el a következő műveletek végeredményeiről, hogy racionálisak vagy irracionálisak-e! Határozzuk meg a lehet! y y kifejezés minimumát, ha és y tetszőleges valós szám y z Határozzuk meg az a + b + c kifejezés értékét, ha y z + + = a b c a b c és + + = 0 teljesül y z (ahol a, b, c,, y és z egyike sem 0! 4 Írjuk fel minél egyszerűbb alakban a következő kifejezést, ahol { 0; ; ; ; 4; } : ( ( ( 4 ( 4 ( Az ajánlott feladatok megoldásai Végezzük el a kijelölt műveleteket, majd adjuk meg az eredményt minél egyszerűbb alakban! ( a ( a ( a ( a ( p 4q ( pq+ p + + +, ahol n ( ( n n n n n n w + w+ w w ( u v ( u u v v a a+ + a+ a 4 = a + a a + a 4a+ a 8= a 4a p q pq+ p = pq+ p p pq pq+ q= = p 7 pq 4 pq 0 p+ 8q 4 4 w w w w w w w w w w w w w w w + + = + + = Más- képpen: ( ( 4 w w w w w w w w w = + = ( n n n n n n n n n n n n n n n n n n u + v u u v + v + = u u v + u v + u + u v u v + v + v = n = u + v n + u n + v n n n n n n n n n n n Másképpen: ( u v ( u u v v u v u v =

13 A zárójelek felbontásával alakítsuk át többtagú kifejezéssé a következőket! e+ f ( y y ( c+ ( + n 4 n 4 ( a + b ( a b ( pq f ( t u ( 4t + tu+ u g ( c + 4 h ( uv + 4s ( uv 4s i ( k + l+ m A nevezetes azonosságok alkalmazásával a következőket kapjuk: 9 e+ f = e ef + f y y = 8 y 6 y + 4 y 7 y c+ + c = c+ = 4c + 0c+ n 4 n 4 n a + b a b = a b 8 pq 9p q 6 pq 4 = + t u 4t tu u 8t u + + = f g c+ 4 = c + c + 48c+ 64 uv + 4s uv 4s = 4u v 6s h i k + l + m = k + 4l + 9m + 4kl + 6km + lm Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! 44 j + 0ij + i 4 6 ur 6 p 49z rz+ 64r u 6u v+ uv 8v a + 8 f jl km jm kl g 6 64c 7d h 6z z i y y y j 0ij i ( j i + + = + ur 4 6 p 6 ( ur 4 p ( ur 4 p = + + = = 49z rz 64r ( 7z 8r ( 8r 7z

14 u 6u v+ uv 8v = u v a 8 ( a ( a a 4 + = + + f 8 jl 0km jm kl ( 8 jl jm ( kl 0km 6 j ( l m k ( l m + = + = + = ( l m ( 6j k = + g 64c 7d 6 ( 4c d ( 6c cd 9d 4 = + + h A 6z z 0 = egyenlet gyökei z = és z =, így ( z ( z = + 6z z = 6 z+ z = i ( y ( 6y ( 0y 0 ( y 6 ( y 0 ( y + + = + + = ( y ( 6 0 = + + Mivel az = 0 másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása (a diszkriminánsa negatív, ezért az 4 Egyszerűsítsük a törteket a változók lehetséges értékei mellett! szorzótényező nem bontható tovább 6b + 6 b 8c 8d 0c + 0d u u u u 9 b b + 6b+ + b+ a + v a v + av f ac bc + ad bd ac + bc + ad + bd g ab a b + c a + c b + ac h + + i 4 s + st st s + st st 6 ( b + 6b + 6 = = b b+ b b, ahol b ± 8c 8d 8 c+ d c d 4 c d = = 0c + 0d 0 c+ d c cd + d c cd + d, ahol c d ( u ( u u 9u + 7u 7 = = u 9 u+ u u+, ahol u ± ( b+ ( b+ b b b = = b b b b b , ahol b és b a + v ( a+ v ( a av+ v ( a+ v ( a av+ v = = = a+ v a v + av a av+ v + av a av+ v, ahol a av+ v 0 4

15 (ez csak az a= v= 0 esetet zárja ki f ac bc + ad bd c a b + d a b a b c+ d a b = = = ac + bc + ad + bd c a + b + d a + b a + b c + d a + b, ahol a b és c d g ( a + ac+ c b a+ c b ab a b + c c a ab b c a b c a b c a b c a + b = = = = a + c b + ac a+ c+ b a+ c b a+ c+ b ahol b ± ( a+ h ( + ( = = = = +, ahol és i 4 + s s + st t s s st+ st t s s s t + t s t s s t s t = = = = s + s t st s s + st t s s + 6st st t s s s+ t t s+ t ( s s t s t s s t + = = s s+ t s t s t, ahol s 0, s t és t s Megjegyzés: Az i feladat számlálója és nevezője más módszerrel is szorzattá alakítható, amely hasznos bizonyos kétismeretlenes másodfokú polinomok esetében Például a nevezőben lévő s + st t szorzattá alakításakor tekintsük a s + st t = 0 egyenletet, amely s-re nézve t± t + 4t t± 7t egy másodfokú, t paraméterű egyenlet Ennek megoldásai s, = =, 6 6 t t vagyis s = t és s =, így az egyenlet gyöktényezős alakja ( s+ t s, amely ( s t ( s t + alakban is írható Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékei mellett!, c + d c+ d c d c d 4 + e f e + f m m : m m m + m+ m g 6 + g 8g + 6 g 0 a 8 7a a a a 4 f a a 6 0 : a + + a a a+ 6a+ 9a g u+ v u v + u u v u uv h l+ l+ + l l i j i j i + : i ij i+ j i + ij j + ij ( c + d ( c+ c + d c+ d c + d c+ d c d c d c d c d c d c d c d = = = + +

16 ( c c + d c cd d c cd + d c d = = = = c+ d c d c+ d c d c+ d c d c+ d 4 e + f + 4 e f 7 e f + = = e f e + f e f e + f e f ( m + + m m 4 m+ m 4 = = m 6m 8 m 4m 4 : m m m m m m m m és m, ahol c ± d, ahol 0 e, f és e f, ahol m, ( g + 6 ( g 4 g 6 g 6 g + 6g 4 + = + = = = g 4 4 g 4 g 4 g g g g g + =, ahol g 4 4 ( g, ahol a (A máso- a 8 7a+ a a + a+ 4 7 ( a+ 7 ( a = = a+ a + a+ 4 ( a+ a + a+ 4 dik tört nevezője sosem 0, mert a + a+ 4= ( a = f a a 6a + 0a a a+ + a a a + : = = a a+ 6a+ 9a a a+ a a+ 9a + a+ a 6a a a + a a a a+ a = = = = a a+ a a+ a+ a a+ a+ a a+ a =, ahol + g ( a a ±, a 0 és a ( + ( ( + u+ v u v u v u + u+ v u u v u v u u v + = = = = u u v u uv u u v u u v u u v = u v, ahol u 0 és u v h l+ l+ + = l + + l+ + + l = l + +, ahol l 0 Másképpen: l l l l l l l l = l+ = l + + = l + + l l l l l i j i j i j i j i + : : = + = i ij i+ j i + ij j + ij i ( i j i+ j i ( i+ j j ( j+ i j + i i j i j j i i j + i ij ij j i = : = : = i i+ j i j i j i+ j i i+ j i j i j i+ j 6

17 i + j ij i j i+ j j j = = = i i+ j i j i j j i ( ( i + j ij ( 6 Egyszerűsítsük a törteket a változók lehetséges értékei mellett!, ahol i 0, i ± j és j 0 9a 4a + a 6 6a 8 4 8b b + b + b 9 4b 9 A tört akkor értelmezhető, ha 4 a Az eredményt polinomosztással kapjuk: a a + a a = a a+ 9a a 0a + a 6 0a + 40a a 6 a : 6 8 Tehát az egyszerűsített tört értéke + a a Megjegyzés: Ha a nevezőt ( a 4 alakra hozzuk, majd a számlálót csak a 4 a 0a 4 -gyel osztjuk + el, akkor a végeredményt alakban kapjuk meg Így az osztás során minden együttható egész lesz, ez azonban nem szükségszerű egy polinomosztásnál, mint azt a fenti példa is mutatja Fontos megfigyelnünk, hogy a 6a 8 -cal történő osztáskor az első lépésben a hányados első tagja a lett (tehát a nem egész együtthatók is megengedettek, nem pedig a, ekkor ugyanis a 9a -ből még a megmaradt volna, viszont az osztási lépésekben a maradék fokszámának mindig kisebbnek kell lennie az osztó fokszámánál (kivéve, ha a hányados 0 A tört akkor értelmezhető, ha b ± (ezek a nevező gyökei Polinomosztással kapjuk, hogy: 4 8b b + b + b 9 : 4b 9 = b b+ 4 8b 8b b + 0b + b 9 b + 7b 0b 0b 4b 9 4 4b + 6 Mivel az utolsó lépésben a maradék 4b + 6, ez viszont már nem osztható 4b 9-cel, ezért a tört számlálója nem osztható maradék nélkül a nevezővel (A maradékos osztás a következőkép- 4 8b b + b + b 9 = b b+ 4b 9 4b+ 6 pen lenne felírható: 7

18 A nevező viszont szorzattá alakítható: 4b 9 ( b ( b = +, így megpróbálhatjuk külön- külön a szorzótényezők valamelyikével elosztani a tört számlálóját Mivel b = gyöke a számlálónak (ezt behelyettesítéssel ellenőrizhetjük, de b = nem gyöke, ezért b -mal fogjuk tudni maradék nélkül elosztani a számlálót: A kapott 4b b b b + b + b b = b + b+ 8b b b + b 9 b b 6b 9 6b : kifejezés már biztosan nem osztható maradék nélkül b + -mal, hiszen b = nem gyöke 4b + b+ -nak (Ráadásul ha osztható lenne vele, akkor az eredeti kifejezéssel is el tudtuk volna osztani az eredeti számlálót Így tehát az egyszerűsítés a következőképpen írható le: ( 4b + b+ ( b b 9 b+ b b+ 4 8b b b b 9 4b b = = 7 Határozzuk meg számológép használata nélkül a következő műveletek végeredményét! 4b f = + = + + = + + = 8 + = = = 0 = = = + = + = 6 79 = ( 70 9 ( = 70 9 = = 489 = ( = ( = = ( = = = 9 = + + = = 0 = 0 f 8

19 8 Határozzuk meg számológép használata nélkül, hogy az 9 és a 489 közül melyik számnak van több pozitív osztója! Az osztók számát meghatározhatnánk a számok prímtényezős felbontásából, azonban sem az 9, sem a 489 nem osztható semelyik egyjegyű prímmel sem, így a prímtényezők keresése hosszabb írásbeli osztásokat igényelne Vegyük észre, hogy 9 = = 40 és azonosságokkal 9 ( 40 ( = = 70, így a nevezetes = + = és 489 = = 7 67 adódik Mivel a 7, 4, 67, 7 számok mindegyike prím, ezért az 9 és a 489 is két prím szorzata, tehát ugyanannyi (4 d pozitív osztójuk van 9 Határozzuk meg a és b értékét, ha tudjuk, hogy minden a = b összefüggés!, esetén teljesül az A jobb oldal átalakítva: a + a + b b Mivel = + + egyenlősége 0 ( a ( a a b a + + b a+ a+ b b + = = teljesül minden megengedett értékre, ezért a számlálók + = + + alakban is írható Két (elsőfokú polinom pontosan akkor egyenlő, ha együtthatóik rendre megegyeznek, azaz a+ b= 0 és a b= Az első összefüggésből a b és 0 a = adódik 7 =, ezt a másodikba helyettesítve b b= 7b=, ahonnan b = 7 Megjegyzés: Ezt az eljárást amikor tehát egy (legaláb másodfokú nevezőjű algebrai törtet több elsőfokú nevezőjű tört összegeként írunk fel parciális törtekre bontásnak nevezzük 0 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! = = 0 Mivel az együtthatók váltakozó előjeles összege 8 ( 6 + ( 9 ( = 0, ezért az = gyöke az egyenletnek, így + szorzótényezőként kiemelhető belőle Polinomosztással kapjuk: + = : 8 4 9

20 A 8 4 = 0 másodfokú egyenlet gyökei = és = Tehát az eredeti egyenlet 4 három megoldása a, az és a Ellenőrzéssel meggyőződhetünk róla, hogy ezek mindegyike valóban jó 4 megoldás Mivel szimmetrikus negyedfokú egyenletről van szó, amelynek a 0 nem gyöke, ezért -tel végigosztva a = egyenletet kapjuk, amely az re nézve má- összefüggés alapján = 0 alakra hozható Ez sodfokú, a két gyök és = + Ha + =, akkor az + = 0 egyenletből az = és = megoldásokat kapjuk 9 9 Ha + =, akkor az + + = 0 egyenletből az = és 4 = megoldásokat 0 0 kapjuk Ellenőrzéssel meggyőződ- Tehát az eredeti egyenlet négy megoldása az, a, a és a hetünk róla, hogy ezek mindegyike valóban jó megoldás Döntsük el a következő műveletek végeredményeiről, hogy racionálisak vagy irracionálisak-e! = 9 6 = = = racionális + + = ( + + ( = + + = + + ( = irracionális = ( + 6 ( 6 = = + 6 ( 6 = racionális Határozzuk meg a lehet! y y kifejezés minimumát, ha és y tetszőleges valós szám Keressünk teljes négyzeteket: y y ( y ( egy teljes négyzet értéke mindig nemnegatív, ezért ( y ( = Mivel , vagyis a ki- 0

21 fejezés értéke legalább Pontosan akkor lehet, ha + y= 0 és + = 0 Ez meg is valósulhat, = és y = esetén Tehát a kifejezés minimuma y z Határozzuk meg az a + b + c kifejezés értékét, ha y z + + = a b c a b c és + + = 0 teljesül y z (ahol a, b, c,, y és z egyike sem 0! a b c Az + + = 0 egyenletet yz -vel szorozva az ayz + bz + cy = 0 összefüggést y z yz z y y z kapjuk, amelyet abc -vel elosztva a + + = 0 egyenlethez jutunk Mivel + + =, bc ac ab a b c y z y z y z yz y z így = + + = , ahonnan + + = a kere- a b c a b c ab ac bc a b c sett kifejezés értéke 4 Írjuk fel minél egyszerűbb alakban a következő kifejezést, ahol { 0; ; ; ; 4; } : ( ( ( 4 ( 4 ( Az ( ( ( ( 4 ( közös nevező választása rendkívül hosszú számolást eredményezne Ehelyett észrevehetjük (a parciális törtekre bontás korábban ismertetett módszerével, hogy = =, és így tovább, ( + +, = Vagyis a vizsgált kifejezés felírható a következőképpen: = = IV Ellenőrző feladatok Végezzük el a kijelölt műveleteket, majd adjuk meg az eredményt minél egyszerűbb alakban! ( ( b+ ( b ( b 4b ( f f + ef ( e + ef f A zárójelek felbontásával alakítsuk át többtagú kifejezéssé a következőket! ef 4e ( q r + c+ d 4 4 ( uv u v y y ( y ( y + f ( f g 4h

22 Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! i ij ik jk + m ( a n ( b 00 f + 60 f g + 9g p q + 8p q 64 j 96 jk + 6k f a a b+ 6ab 8b g v 7v h q 8 6q q + i y+ 8 y+ 9y+ y 4 Egyszerűsítsük a törteket a változók lehetséges értékei mellett! c 7d c + 0cd + 4d 8t + 6tu+ 8u 4 4 9t 9u de+ 8de+ 7e de d + 7e 4 Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékei mellett! i j i + j i+ j i j o o + : o+ o a+ 6b 9b a a ab ab 6b b a b a b ( a+ b + a b k l k l + l k l k f a+ 6 a+ 4a 4 + a a a+ 6 Egyszerűsítsük a 4 4k k 9k + k 8 ( k + ( k 7 törtet, ahol k és k 7! 7 Oldjuk meg a valós számok halmazán a = egyenletet! 8 Határozzuk meg számológép használata nélkül a következő műveletek végeredményét! Bizonyítsuk be, hogy a kifejezés értéke minden egész a esetén páratlan szám! 80a a : + a 4a 0 a a+ Az ellenőrző feladatok megoldásai Végezzük el a kijelölt műveleteket, majd adjuk meg az eredményt minél egyszerűbb alakban! ( ( b+ ( b ( b 4b ( f f + ef ( e + ef f 4 b b+ b b 4b = 4b 7b + 8b b+ f f + ef e + ef f = e f + e f + e f + ef 4 0ef ef f 4 + f

23 A zárójelek felbontásával alakítsuk át többtagú kifejezéssé a következőket! ( ef 4 q+ r c+ d 4 4 ( uv u v y y ( y ( y 6 ef 4e = e f 40e f + 6e q+ r = 8q + 60q r+ 0qr + r + f ( f g 4h 9 c+ d = c + cd + d uv u 4 v = 7u v 4u 6 v + 6u 9 v 7 8u v y y y + y y = y f g 4h = 4f + 9g + 6h fg 6fh+ 4gh f Alakítsuk szorzattá a következő kifejezéseket! i ij ik jk + m ( a n ( b 00 f + 60 f g + 9g p q + 8p q 64 j 96 jk + 6k f a a b+ 6ab 8b g v 7v h q 8 6q q + i y+ 8 y+ 9y+ y i ij ik jk ( i k ( i j + = + m ( a n ( b ( m n ( a = + 00 f + 60 f g + 9g = 0 f + g p q 6 8 p q ( 4 pq p 4 q ( 6 p q 4 8p q 4 p 8 q + = j 96 jk + 6k = 8 j 6k f a a b 6ab 8b ( a +, mert ez utóbbi értéke a 6a b+ ab 8b Ezt felhasználva a a b 6ab 8b ( a a b 6ab ( a ab ( a + = + = + =

24 ( a ( a ab 4b = + g v 7v 4 ( v ( v = + + h q 8 6q q ( q 6q ( q ( q ( q 8q 4 + = + = + + i y 8y 9y y y( 8 9 y( ( ( = = A megoldás öt- lete, hogy az = 0 egyenletnek gyöke a, így + -et kiemelve polinomosztással kapjuk a szorzatalakot 4 Egyszerűsítsük a törteket a változók lehetséges értékei mellett! c 7d c + 0cd + 4d 8t + 6tu+ 8u 4 4 9t 9u de+ 8de+ 7e de d + 7e 4 ( c+ c 7d c+ d c d c d = = c + cd + d c+ d 0 4, ahol c d 8t + 6tu+ 8u 8 t+ u t+ u = = t u t + u t+ u t u t + u t u de + 8de+ 7e e d + 7 d + e d + = = de d + 7e 4 d + 7 e e, ahol d 7 és e, ahol t ± u Végezzük el a kijelölt műveleteket a változók lehetséges értékei mellett! i j i + j i+ j i j o o + : o+ o a+ 6b 9b a a ab ab 6b b a b a b ( a+ b + a b k l k l + l k l k f a+ 6 a+ 4a 4 + a a a+ i j i + j i j i + j i+ j i j = = = i+ j i j i+ j i j i+ j i j i j, ahol i ± j ( + o ( o o o o+ 4o o+ o + : : = = =, o+ o o+ ( + o ( o o+ + o o o ahol o ± és o ± 4

25 a+ 6b 9b a a+ 6b b 9b a a a a b 4b a b = = =, a ab ab 6b b a a b b a a b b a ahol a 0, a b és b 0 a b a+ b ( a+ b ( a+ a+ b a b a+ b = = a b a b, ahol a ± b k l k l k 4l k 4l + = =, ahol k 0 és l 0 l k l k 4l k 4l k f a+ 6 a+ 4a 4 a+ + 6 a+ a 4 a+ a + = = a a a+ a a+ ( a ( a ( a ( a = = +, ahol a ± 6 Egyszerűsítsük a 4 4k k 9k + k 8 ( k + ( k 7 törtet, ahol k és k 7! 4 4k k 9k + k 8 ( 4k k + ( k + ( k 7 4k k = = + A végeredményt megkaphatjuk két egymás utáni polinomosztással (például először k + -vel osztjuk el ( k + ( k 7 ( k + ( k 7 az eredeti számlálót, majd a kapott hányadost k 7 -tel osztjuk, vagy fordított sorrendben Megtehetjük azonban azt is, hogy a számlálót rögtön ( k + ( k 7 = k k 4-gyel osztjuk el, ekkor kettő helyett csak egy osztást kell végrehajtanunk Ilyenkor elvileg elképzelhető lenne, hogy az osztás során maradék keletkezik (ha a számláló nem osztható a nevező mindkét szorzótényezőjével, de a mostani feladatban nincsen maradék, ezzel a módszerrel is a helyes végeredményt kapjuk 7 Oldjuk meg a valós számok halmazán a = egyenletet! Mivel az együtthatók összege = 0, ezért az egyenletnek biztosan gyöke az = Az -et szorzótényezőként kiemelve polinomosztással a következő alakot kapjuk: ( ( = 0 A második tényező egy szimmetrikus negyedfokú kifejezés, amely -tel osztva ( 0 és rendezve alakra hozható Ennek + -re vett gyökei 0 és Az 0 + = eset megoldásai = és =, míg az + = eset nem ad valós megoldást (hiszen + = 0 diszkriminánsa negatív, illetve ismert, hogy +

26 Tehát az egyenletnek három valós megoldása van: az, a és a Ellenőrzéssel meggyő- ződhetünk róla, hogy ezek mindegyike valóban jó megoldás 8 Határozzuk meg számológép használata nélkül a következő műveletek végeredményét! = = + = + = 8 7 = = 00 6 = = ( 00 4 ( = 00 4 = = Bizonyítsuk be, hogy a kifejezés értéke minden egész a esetén páratlan szám! 80a a : + a 4a 0 a a+ A nevezők miatt a ±,, vagyis a kifejezés minden egész a-ra értelmezve van 80a a+ a 40a a+ a 40a a a+ : = : = = a +, 4a 0 a a+ a a a+ a 40a amely valóban minden egész a esetén páratlan szám, hiszen egy páros ( a és egy páratlan ( szám összege 6