First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Átírás

1 Valós függvények (2) (Határérték)

2 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni. Az a szám az A R halmaz torlódási pontja, ha a minden δ sugarú környezete tartalmaz a-tól különböző A-beli pontot. A + az A R halmaz torlódási pontja, ha minden (a, + ) intervallum tartalmaz A-beli pontot. A az A R halmaz torlódási pontja, ha minden (, a) intervallum tartalmaz A-beli pontot. Példa 1 A (0, 1] intervallumnak minden pontja torlódási pontja is egyben, de van egy további torlódási pont is, a 0. Egy halmaz torlódási pontja tehát nem biztos, hogy eleme a halmaznak is. A torlódási pont számunkra legfontosabb tulajdonsága az, hogy minden ilyen pont végtelen sok olyan sorozat esze, amelynek minden eleme a halmazhoz tartozik. A torlódási pont végtelen közel közel van a halmazhoz.

3 Az a szám az A R halmaz belső pontja, ha van olyan δ > 0 szám, hogy A tartalmazza az a egész δ sugarú környezetét: (a δ, a + δ) A. Az A halmaz nyílt halmaz, ha minden pontja belső pont. A (, a), (a, b), (a, + ) típusú nyílt intervallumok nyílt halmazok. 2. Véges helyen vett kétoldali véges határérték. Legyen f egyváltozós valós függvény, a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke az a helyen a L R szám, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n a, és x n a, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (1) x a Ez a definíció azt fejezi ki, hogy minél közelebb vagyunk a függvény argumentumával az a-hoz, a függvényérték annál közelebb van L-hez. Ez a definíció megfogalmazható környezetek segítségével is: az f függvénynek pontosan akkor L a határértéke az a helyen, ha minden ε > 0 számhoz megadható olyan δ > 0 szám, hogy a D f tartalmazza a δ sugarú környezetét, esetleg magától az a-tól eltekintve, és 0 < x a < δ esetén f(x) L < ε.

4 3. Feladat 1 Tekintsük az f(x) = x2 1, D x 1 f = (, 1) (1, + ) függvényt és számoljuk ki a f(x) határértéket. x 1 Megoldás: Először is az 1 valóban torlódási pontja D f -nek. Legyen ezután (x n ) D f olyan, hogy x n 1, és x n egyetlen n-re sem 1. Ekkor azaz x 2 1 n x n 1 = (x n + 1)(x n 1) x n 1 f(x) = 2. x 1 = x n + 1 2, 4. Egyáltalán nem biztos, hogy egy függvénynek egy adott a helyen létezik határértéke, de ha létezik, akkor az egyértelmű. Az iménti definícióval azt definiáltuk, hogy egy függvény véges helyen vett kétoldali határértéke egy véges szám. Ez talán a legegyszerűbb határérték típus. Összesen 15 féle határérték típussal fogunk dolgozni. Ezek mind a fenti kis módosításával keletkeznek.

5 5. Legyen f és g két egyváltozós valós függvény, a olyan torlódási pontja D f -nek D g -nek, hogy D f is D g is tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve, továbbá f(x) = x a A, g(x) = B, ahol persze A, B R. Ekkor x a x a (f(x) ± g(x)) = A ± B, (2) x a f(x) g(x) = A B, (3) f(x) x a g(x) = A, feltéve, hogy B 0. (4) B

6 6. Végtelenben vett véges határérték. Legyen + torlódási pontja D f -nek. f határértéke a + -ben a L R szám, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n +, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (5) x + Legyen torlódási pontja D f -nek. f határértéke a -ben a L R szám, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: 7. Végtelenben vett végtelen határérték. f(x) = L. (6) x Legyen + torlódási pontja D f -nek. f határértéke a + -ben +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n +, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (7) x +

7 Legyen + torlódási pontja D f -nek. f határértéke a + -ben, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n +, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (8) x + Legyen torlódási pontja D f -nek. f határértéke a -ben +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (9) x Legyen torlódási pontja D f -nek. f határértéke a -ben, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, x n, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (10) x

8 8. Véges helyen vett kétoldali végtelen határérték. Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve. f határértéke az a-ban +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: x a f(x) = +. (11) Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza az a egy δ sugarú környezetét, esetleg magától az a ponttól eltekintve. f határértéke az a-ban, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n a és x n a, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: x a f(x) =. (12)

9 9. Egyoldali véges határérték. Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a, a + δ) halmazt. f jobb oldali határértéke az a-ban L, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n > a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (13) x a+ Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a δ, a) halmazt. f bal oldali határértéke az a-ban L, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n < a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) L. Ezt így jelöljük: f(x) = L. (14) x a

10 10. Egyoldali végtelen határérték. Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a, a + δ) halmazt. f jobb oldali határértéke az a-ban +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n > a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (15) x a+ Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a, a + δ) halmazt. f jobb oldali határértéke az a-ban, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n > a és x n a, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (16) x a+

11 Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a δ, a) halmazt. f bal oldali határértéke az a-ban +, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n < a és x n a, teljesül, hogy f(x n ) +. Ezt így jelöljük: f(x) = +. (17) x a Legyen a olyan torlódási pontja D f -nek, hogy D f tartalmazza valamilyen δ-ra az (a δ, a) halmazt. f bal oldali határértéke az a-ban, ha minden (x n ) sorozatra, amelyre (x n ) D f, minden n-re x n < a és x n a, teljesül, hogy f(x n ). Ezt így jelöljük: f(x) =. (18) x a

12 11. Erre a 15 definícióra persze számos tétel vonatkozik. Bevezetünk, szigorúan házi használatra, egy tömör jelölést. + = azt jelöli, hogy ha egy függvénynek valamelyik, (véges helyen kétoldali, véges helyen egyoldali vagy valamelyik végtelenben vett) határértéke +, egy másik függvénynek ugyanott a határétéke, akkor a szorzatuknak, persze szintén ugyanott, a esze. Legyen A R, ha A a nevezőben van, akkor még A 0. Ezzel a jelöléssel: + ±A=+ ±A= + A=+, ha A > 0 A=, ha A > 0 + A=, ha A < 0 A=+, ha A < =+, + =+, + =, + =, + + =+ =+ + = A:± =0 ± :A=±, ha A > 0 ± :A=, ha A < 0 Ajánljuk, hogy az olvasó mindegyik tételre keressen egy-egy konkrét példát.

13 12. A kétoldali f(x) határérték pontosan akkor létezik, ha léteznek a x a f(x) és f(x) egyoldali eszek, és ezek egyenlők is. Ekkor x a+ x a x a f(x) = x a+ f(x) = x a f(x). (19)

14 13. Az f függvény folytonos az a D f helyen, ha x a f(x) = f(a). Az f függvény jobbról folytonos az a D f helyen, ha f(x) = f(a). x a+ Az f függvény balról folytonos az a D f helyen, ha f(x) = f(a). x a 14. Ha f jobbról is és balról is folytonos az a D f helyen, akkor folytonos is. 15. Az f függvény folytonos az I intervallumon, ha folytonos I minden belső pontjában és I végpontjai közül az I-hez tartozókban folytonos az I felőli oldalról. Az f függvény mindenütt folytonos, ha az értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Szinte az összes elemi függvényre igaz, hogy azok mindenütt folytonosak.

15 16. Legyen f és g folytonos az a D f D g helyen. Ekkor f + g és f g folytonos az a helyen, (20) f g f g folytonos az a helyen, (21) folytonos az a helyen, ha g(a) 0. (22) 17. Tegyük fel, hogy R f D g. Ha f folytonos az a D f helyen, g folytonos az f(a) D g helyen, akkor a h = g f függvény folytonos az a helyen. 18. Legyen a torlódási pontja D f -nek, f(x) = b. Ha g folytonos x a b-ben, akkor g(f(x)) = g(b). (23) x a Itt f(x) = b helyett f(x) = b, f(x) = b, x a x a+ x a f(x) = b vagy f(x) = b is állhat. x + x

16 19. Tegyük fel, hogy f folytonos az [a, b] zárt intervallumon, és legyen y olyan, hogy f(a) < y < f(b) vagy f(a) > y > f(b). Ekkor van olyan ξ (a, b), hogy f(ξ) = y. 20. A legfontosabb nevezetes határértékek: sin x x 0 x 1 cos x x 0 x = 1, (24) = 0, (25)

17 21. Limeszek kiszámolásakor most is a határozatlan alakú eszek okozzák a nehézséget. Ezek: 0 0, ±, 0 ±, (26) ± (+ ) (+ ), ( ) ( ), (27) Feladat 2 1 +, (0+) 0, + 0. (28) ch x + cos(2x) Számoljuk ki a határértéket. x 0 e 3x + 3 Megoldás: A ch elemi függvény mindenütt, így a nullában is folytonos, folytonos a nullában a cos(2x) és a e 3x kompozíció is. Ezért a törtnek mind a számlálója, mind a nevezője, és emiatt az egész tört is folytonos a nullában, tehát itt a esze a helyettesítési értéke, azaz ch x + cos(2x) x 0 e 3x + 3 = ch 0 + cos 0 e0 + 3 = 2 4 = 1 2.

18 22. Feladat 3 Számoljuk ki a x ( 2x3 + 3x 2 + x + 1) határértéket. Megoldás: Az összeg tagjai között + -be és -be tartó tag is van, tehát a (+ ) (+ ) típussal van dolgunk. Úgy, mint sorozatok esetén, egy polinom valamelyik végtelenben vett eszét úgy lehet kiszámolni, hogy kiemeljük a polinom legmagasabb fókú tagját, most x 3 -t. Ekkor x ( 2x3 + 3x 2 + x + 1) = = x }{{} x3 ( x x x3 ( x + 1 x x 3) = ) = +. }{{}}{{} x 2 }{{} x } {{ } 2

19 23. Feladat 4 x 3 2 Számoljuk ki a x 2x 2 6x 1 határértéket. Megoldás: Egy polinomnak mindkét végtelenben vett esze valamelyik végtelen, ezért a ± határozatlan alakkal van dolgunk. Ismét ugyanúgy, ± mint sorozatok esetén, a nevező legmagasabb fokú tagját emeljük ki a számlálóból és a nevezőből is. x x 3 2 2x 2 6x 1 = x x 2 (x 2 x 2 ) x 2 (2 6 x 1 x 2 ) = = x x 2 x x 1 x 2 =.

20 24. Feladat 5 x 2 3x + 2 Számoljuk ki a x 2 x 2 + x 6 határértéket. Megoldás: A polinomok mindenütt folytonosak, így itt a számláló és a nevező esze 2-ben a helyettesítési érték, ami mindkét esetben nulla, a 0 határozatlan alakkal van tehát dolgunk. 0 Ha az ax 2 + bx + c másodfokú polinomnak x 1 és x 2 a két gyöke, akkor a polinom felírható az a(x x 1 )(x x 2 ) gyöktényezős alakban. Most a számláló két gyöke 1 és 2, ezért x 2 3x + 2 = (x 1)(x 2), a nevező két gyöke 3 és 2, tehát x 2 + x 6 = (x + 3)(x 2). Ezeket felhasználva x 2 3x + 2 x 2 x 2 + x 6 = (x 1)(x 2) x 2 (x + 3)(x 2) = = x 2 x 1 x + 3 = 1 5.

21 25. Feladat 6 3 2x3 x Számoljuk ki a x + x2 + x határértéket. Megoldás: A esz ± típusú, és a két különböző kitevőjű gyökvonás ± okoz gondot, ezért átírjuk őket azonos kitevőjű gyökvonásokká. Ez a kitevő lehet a két eredeti kitevő legkisebb közös többszöröse, most 6. Ekkor x + = x x3 x x2 + x = (2x3 x) 2 x + (x 2 + x) 3 = felhasználva a nagyon fontos (23) tételt. 6 (2x3 x) 2 (x2 + x) 3 = 6 x + 6 4x 6... = 6 4, } x 6 + {{... } 4

22 26. Feladat x 1 Számoljuk ki a határértéket. x 0 x Megoldás: A esz 0 típusú, és, mivel 1 = 1, a számlálóban 0 négyzetgyökök különbsége szerepel, tehát gyöktelenítünk. x x 1 x = x 0 (1 + 2x) 1 = x 0 x( 1 + 2x + 1) = x x 1 x = x + 1 = 1.

23 27. Feladat 8 x Számoljuk ki a határértéket. x 0+ x 2 Megoldás: Mint az előbb, most is 0 típusú a esz, és gyöktelenítünk. 0 x (x + 4) 4 = x 0+ x 2 x 0+ x 2 ( x ) = = x 0+ x x 2 ( x ) = x 0+ 1 x( x ) }{{} 0 és >0 = +.

24 28. Feladat 9 x Számoljuk ki a határértéket. x 0 x 2 Megoldás: Hasonlóan mint az előbb, most is 0 típusú a esz, és 0 gyöktelenítünk. x (x + 4) 4 = x 0 x 2 x 0 x 2 ( x ) = = x 0 x x 2 ( x ) = x 0 A (19) tétel alapján a kétoldali x 0 1 x( x ) }{{} 0 és <0 =. x esz most nem létezik. x 2

25 29. Feladat 10 Számoljuk ki a x + ( x x) x határértéket. Megoldás: Most az első tényezőben a (+ ) (+ ) típussal van dolgunk, ezért ott megintcsak gyöktelenítünk. ( x x) x = x + ((x 2 + 1) x 2 )x x + x x = 2 = x + x x x 2 } {{ } ± ± típusú = x x 2 = 1 2.

26 30. Feladat 11 sin 2 x + sin x Számoljuk ki a határértéket. x 0 x cos x Megoldás: A esz 0 típusú, trigonometrikus függvény és polinom is 0 szerepel benne, ilyenkor a (24) vagy a (25) nevezetes esz alkalmazása merül fel. Valóban, kiemelve a számlálóban sin x-et, a nevezőben x-et sin 2 x + sin x x 0 x cos x sin x = x 0 }{{ x } 1 sin x + 1 cos x }{{} 1 = 1.

27 31. Feladat 12 cos x cos 3 x Számoljuk ki a határértéket. x 0 x 2 Megoldás: A esz most is 0 típusú, a cos x-et célszerű kiemelni a 0 számlálóban cos x cos 3 x x 0 x 2 = x 0 cos x sin2 x x 2 = x 0 cos x 1 cos2 x x 2 = = x 0 cos x ( sin x ) 2 } x{{ } 1 = 1.

28 32. Feladat 13 1 cos 2x Számoljuk ki a határértéket. x 0 3x 2 Megoldás: A esz most is 0 típusú, és gyöktelenítünk. 0 1 cos 2x x 0 3x 2 = x 0 =2 sin 2 x {}}{ 1 cos 2x 3x 2 (1 + cos 2x) = 2 = x 0 3 ( sin x x ) cos 2x = 1 3.