y + a y + b y = r(x),
|
|
- Alfréd Szilágyi
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan nulla függvény, akkor az egyenletet homogén egyenletnek nevezzük, ellenkező esetben az egyenlet inhomogén. Definíció 2 A ( ) alatti egyenlet karakterisztikus polinomja a λ 2 + a λ + b = 0 másodfokú polinom.
2 Először a homogén egyenlet megoldását ismertetjük. Ennek általános alakja tehát y + a y + b y = 0, ( ) karakterisztikus polinomja λ 2 + a λ + b = 0. A karakterisztikus polinom gyökeit tekintve három eset lehetséges. Tétel 1 A karakterisztikus polinomnak két különböző valós gyöke van, λ 1 és λ 2. Ekkor a ( ) egyenlet általános megoldása y = C 1 e λ 1x + C 2 e λ 2x.
3 Tétel 2 A karakterisztikus polinom teljes négyzet, azaz egy darab kétszeres gyöke van, jelölje ezt λ. Ekkor a ( ) egyenlet általános megoldása y = C 1 e λx + C 2 xe λx. Tétel 3 A karakterisztikus polinomnak két komplex gyöke van, amelyek egymás konjugáltjai, jelölje őket λ 1 = α + βi és λ 2 = α βi. Ekkor a ( ) egyenlet általános megoldása y = e αx (C 1 cos(βx) + C 2 sin(βx)).
4 Tétel 4 Az inhomogén y + a y + b y = r(x) egyenlet y általános megoldása feĺırható a fenti egyenlethez tartozó y + a y + b y = 0 homogén egyenlet y H általános megoldásának és az eredeti egyenlet egy y p partikuláris megoldásának összegeként: y = y H + y p. Az inhomogén egyenlet megoldásához tehát arra van szükség, hogy módszert adjunk az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldásának a megtalálására.
5 Partikuláris megoldást a próbafüggvény módszer segítségével keresünk, amelyet csak az r(x), gyakran zavarófüggvénynek nevezett függvény, néhány típusára ismertetünk. A módszer lényege, hogy a partikuláris megoldást olyan alakban keressük, mint a zavarófüggvény, csak a próbafüggvényt a zavarófüggvény,,általános alakjának választjuk, ismeretlen együtthatókkal. Ezt a próbafüggvényt és a deriváltjait behelyettesítve az eredeti inhomogén egyenletbe, az ismeretlen együtthatókra egy lineáris egyenletrendszert kapunk. Ezt megoldva megkapjuk az együtthatókat, amiket visszahelyettesítve a próbafüggvénybe az egyenlet egy partikuláris megoldását nyerjük. A zavarófüggvény típusától függően a következő eseteket tárgyaljuk.
6 Első típus: A zavarófüggvény alakja r(x) = P(x) e ux, ahol P(x) polinom, u valós szám. Ekkor a) ha u nem gyöke a karakterisztikus polinomnak, akkor a próbafüggvény alakja y p = Q(x) e ux, ahol Q(x) olyan fokszámú polinom, mint P(x), ismeretlen együtthatókkal; b) ha u t-szeres gyöke a karakterisztikus polinomnak (t = 1 vagy 2), akkor a próbafüggvény alakja y p = x t Q(x) e ux ahol Q(x) olyan fokszámú polinom, mint P(x), ismeretlen együtthatókkal.
7 Második típus: A zavarófüggvény alakja r(x) = M cos(vx) + N sin(vx), ahol M, N és v adott valós számok. Ekkor a) ha iv nem gyöke a karakterisztikus polinomnak (i a képzetes egység), akkor a próbafüggvény alakja y p = A cos(vx) + B sin(vx), ahol A és B ismeretlen együtthatók; b) ha iv gyöke a karakterisztikus polinomnak, (csak egyszeres gyök lehet), akkor a próbafüggvény alakja y p = x (A cos(vx) + B sin(vx)), ahol A és B ismeretlen együtthatók.
8 Harmadik típus: A zavarófüggvény alakja r(x) = P(x)e ux cos(vx) + S(x)e ux sin(vx), ahol P(x) és S(x) adott polinomok, u és v adott valós számok. Ekkor a) ha u + iv nem gyöke a karakterisztikus polinomnak, akkor a próbafüggvény alakja y p = Q(x)e ux cos(vx) + Z(x)e ux sin(vx), ahol Q(x) és Z(x) határozatlan eggyütthatójú, azonos fokszámú polinomok, mégpedig a közös fokszám egyenlő P(x) és S(x) fokszáma közül a nagyobbal; b) ha u + iv gyöke a karakterisztikus polinomnak, akkor a próbafüggvény alakja y p = x(q(x)e ux cos(vx) + Z(x)e ux sin(vx)), ahol Q(x) és Z(x) határozatlan együtthatójú, azonos fokszámú polinomok, mégpedig a közös fokszám egyenlő P(x) és S(x) fokszáma közül a nagyobbal.
9 Feladat 1 Oldjuk meg az y 2y = 0 egyenletet.
10 Feladat 1 Oldjuk meg az y 2y = 0 egyenletet. Megoldás: Egy homogén, állandó együtthatós egyenletről van szó. Az egyenlethez tartozó karakterisztikus polinom λ 2 2λ = 0. Ennek megoldása λ 1 = 0 és λ 2 = 2. Látjuk, hogy két különböző valós gyök van. Tehát a differenciálegyenlet általános megoldása: y H = C 1 + C 2 e 2x.
11 Feladat 2 Határozzuk meg az y + 3y 4y = 0 egyenlet általános megoldását.
12 Feladat 2 Határozzuk meg az y + 3y 4y = 0 egyenlet általános megoldását. Megoldás: Ez az egyenlet is homogén. A karakterisztikus polinomja λ 2 + 3λ 4 = 0, (λ + 4)(λ 1) = 0. Innen látszik, hogy a karakterisztikus polinom két gyöke λ 1 = 4 és λ 2 = 1, ismét két különböző valós gyök. Ez alapján az általános megoldás y H = C 1 e 4x + C 2 e x.
13 Feladat 3 Oldjuk meg az y 2y + y = 0 homogén egyenletet.
14 Feladat 3 Oldjuk meg az y 2y + y = 0 homogén egyenletet. Megoldás: A karakterisztikus polinom most λ 2 2λ + 1 = 0, (λ 1) 2 = 0. Ennek egy, kéteszeres multiplicitású gyöke van, a λ = 1. Ez alapján az általános megoldás y H = C 1 e x + C 2 xe x. Feladat 4 Határozzuk meg az y + 2y = 0 egyenlet általános megoldását.
15 Feladat 3 Oldjuk meg az y 2y + y = 0 homogén egyenletet. Megoldás: A karakterisztikus polinom most λ 2 2λ + 1 = 0, (λ 1) 2 = 0. Ennek egy, kéteszeres multiplicitású gyöke van, a λ = 1. Ez alapján az általános megoldás y H = C 1 e x + C 2 xe x. Feladat 4 Határozzuk meg az y + 2y = 0 egyenlet általános megoldását. Megoldás: A karakterisztikus polinom λ = 0. Ennek két komplex gyöke λ 1 = 2i és λ 2 = 2i. A korábbi jelöléseinkkel tehát α = 0, β = 2. Ezt felhasználva az általános megoldás y H = C 1 cos( 2x) + C 2 sin( 2x).
16 Feladat 5 Számoljuk ki az y 4y + 13y = 0 egyenlet általános megoldását.
17 Feladat 5 Számoljuk ki az y 4y + 13y = 0 egyenlet általános megoldását. Megoldás: A karakterisztikus polinom λ 2 4λ + 13 = 0. Mivel a diszkrimináns negatív, a gyökök komplexek. Megoldva ezt a másodfokú polinomot λ 1,2 = 4 ± = 4 ± 6i 2 = 2 ± 3i. Vagyis α = 2 és β = 3. Ez alapján az általános megoldás y H = e 2x (C 1 cos(3x) + C 2 sin(3x)).
18 Feladat 6 Oldjuk meg az y 3y + 2y = xe 3x egyenletet.
19 Feladat 6 Oldjuk meg az y 3y + 2y = xe 3x egyenletet. Megoldás: Egy inhomogén egyenletről van szó. Először megoldjuk a hozzá tartozó homogén egyenletet, azaz az y 3y + 2y = 0 egyenletet. Ennek karakterisztikus polinomja λ 2 3λ + 2 = (λ 1)(λ 2) = 0. Látható, hogy a gyökök λ 1 = 1 és λ 2 = 2, ezért a homogén egyenlet általános megoldása: y H = C 1 e x + C 2 e 2x. Rátérünk az inhomogén egyenletre. A zavarófüggvény r(x) = xe 3x feĺırható P(x) e ux alakban, ha P(x) = x és u = 3. Tehát az első típusról van szó. Mivel most az u = 3 nem gyöke a karakterisztikus polinomnak, a próbafüggvényt, miután P(x) lineáris függvény, amelynek általános alakja Ax + B, y p = (Ax + B)e 3x alakúnak kell választani, (első típus, a) eset). Ekkor y p = Ae3x + 3(Ax + B)e 3x = (A + 3B)e 3x + 3Axe 3x, és y p = 3(A + 3B)e3x + 3Ae 3x + 9Axe 3x = (6A + 9B)e 3x + 9Axe 3x.
20 Ezeket behelyettesítve az inhomogén egyenletbe, kapjuk, hogy (6A + 9B)e 3x + 9Axe 3x 3(A + 3B)e 3x 9Axe 3x + 2Axe 3x + 2Be 3x = xe 3x (3A + 2B)e 3x + 2Axe 3x = xe 3x. Ez az egyenlőség teljesül, ha az e 3x együtthatója az egyenlet két oldalán egyenlő, azaz 3A + 2B = 0, és hasolóan, ha az xe 3x együtthatója is egyenlő a két oldalon, vagyis 2A = 1. Így tehát az ismeretlen A és B konstansokra a { 3A + 2B = 0 2A = 1 egyenletrendszert kapjuk. Ebből A = 1 2 és B = 3 4. Ezeket visszahelyettesítve próbafüggvény képletébe a partikuláris megoldás ( x y p = 2 3 ) e 3x. 4 Tudjuk, hogy az inhomogén egyenlet y-nal jelölt általános megoldására y = y H + y p, vagyis ( y = C 1 e x + C 2 e 2x x ) e 3x. 4
21 Feladat 7 Oldjuk meg az y + 4y = 2 cos x egyenletet.
22 Feladat 7 Oldjuk meg az y + 4y = 2 cos x egyenletet. Megoldás: A homogén egyenlet most amelynek karakterisztikus polinomja y + 4y = 0, λ = 0. Ennek két gyöke λ 1 = 2i és λ 2 = 2i. Ez alapján a homogén egyenlet általános megoldása: y H = C 1 cos(2x) + C 2 sin(2x). Az inhomogén egyenlet zavarófüggvénye a második típusba tartozik, M = 2, N = 0 és v = 1 választással. Mivel vi = 1 i = i nem gyöke a karakterisztikus polinomnak, a próbafüggvényt y p = A cos x + B sin x alakúnak választjuk, (második típus a) eset). Ekkor y p = A sin x + B cos x illetve y p = A cos x B sin x.
23 Visszahelyettesítve ezeket az inhomogén egyenletbe A cos x B sin x + 4A cos x + 4B sin x = 2 cos x Innen ( A + 4A) cos x + ( B + 4B) sin x = 2 cos x. A = 2 3 és B = 0. A partikuláris megoldás tehát y p = 2 cos x. 3 Ezt felhasználva az eredeti egyenlet általános megoldására az y = C 1 cos(2x) + C 2 sin(2x) + 2 cos x. 3
24 Feladat 8 Oldjuk meg az y 4y + 4y = xe 2x egyenletet.
25 Feladat 8 Oldjuk meg az y 4y + 4y = xe 2x egyenletet. Megoldás: A homogén egyenlet y 4y + 4y = 0, amelynek karakterisztikus polinomja λ 2 4λ + 4 = 0, (λ 2) 2 = 0. Ennek egy darab kétszeres gyöke van, λ = 2. Ez alapján a homogén egyenlet általános megoldása y H = C 1 e 2x + C 2 xe 2x. A zavarófüggvény r(x) = xe 2x, ez P(x) e ux alakú, ahol P(x) = x és u = 2. Tehát az első típusról van szó. Mivel most az u = 2 kétszeres gyöke a karakterisztikus polinomnak, a próbafüggvényt, miután P(x) lineáris függvény, amelynek általános alakja Ax + B, y p = x 2 (Ax + B)e 2x = (Ax 3 + Bx 2 )e 2x alakúnak kell választani, (első típus b) eset). Ekkor y p = (3Ax2 + 2Bx)e 2x + (2Ax 3 + 2Bx 2 )e 2x = (2Ax 3 + (3A + 2B)x 2 + 2Bx)e 2x, y p = (6Ax2 + (6A + 4B)x + 2B)e 2x + (4Ax 3 + (6A + 4B)x 2 + 4Bx)e 2x = = (4Ax 3 + (12A + 4B)x 2 + (6A + 8B)x + 2B)e 2x.
26 Ha ezeket behelyettesítjük a differenciálegyenletbe, akkor azt kapjuk, hogy y 4y + 4y = (4Ax 3 + (12A + 4B)x 2 + (6A + 8B)x + 2B)e 2x (8Ax 3 + (12A + 8B)x 2 + 8Bx)e 2x + (4Ax 3 + 4Bx 2 )e 2x = xe 2x. Ha itt összevonjuk az azonos típusú tagokat, akkor (6Ax + 2B)e 2x = xe 2x, ahonnan A = 1/6, B = 0. Így yp = x3 6 e2x, és y = y H + y p = C 1 e 2x + C 2 xe 2x + x3 6 e2x.
27 Feladat 9 Oldjuk meg az y y 2y = xe x cos 2x + 2e x sin 2x egyenletet.
28 Feladat 9 Oldjuk meg az y y 2y = xe x cos 2x + 2e x sin 2x egyenletet. Megoldás: Az egyenlethez tartozó homogén differenciálegyenlet karakterisztikus polinomja feĺırható a (λ + 1)(λ 2) = 0 alakban. Ennek gyökei: λ 1 = 1 és λ 2 = 2, így a homogén egyenlet általános megoldása y H = C 1 e x + C 2 e 2x. Az r(x) = xe x cos 2x + 2e x sin 2x zavarófüggvény a harmadik típusba tartozik, ezért a próbafüggvényt y p = (Ax + B) e x cos(2 x) + (Cx + D) e x sin(2 x) alakúnak választjuk, hiszen u = 1, v = 2, és 1 + 2i nem gyöke a karakterisztikus polinomnak, (harmadik típus, a) eset). Ekkor y p = Aex cos(2 x) + (Ax + B) e x cos(2 x) 2 (Ax + B) e x sin(2 x)+ +Ce x sin(2 x) + (Cx + D) e x sin(2 x) + 2 (Cx + D) e x cos(2 x), és y p = 2 Aex cos(2 x) 4 Ae x sin(2 x) 3 (Ax + B) e x cos(2 x) 4 (Ax + B) e x sin(2 x) + 2 Ce x sin(2 x) + 4 Ce x cos(2 x) 3 (Cx + D) e x sin(2 x) + 4 (Cx + D) e x cos(2 x).
29 Behelyettesítve ezeket az inhomogén egyenletbe, összevonások után az Ae x cos(2 x) 4 Ae x sin(2 x) 6 (Ax + B) e x cos(2 x) 2 (Ax + B) e x sin(2 x) + Ce x sin(2 x) + 4 Ce x cos(2 x) 6 (Cx + D) e x sin(2 x) + 2 (Cx + D) e x cos(2 x) = = xe x cos(2 x) + 2 e x sin(2 x) formulát kapjuk. Ebből, mivel e x cos 2x együtthatója a bal oldalon A 6B + 4C + 2D, a jobb oladalon 0, e x sin 2x együtthatója a bal oldalon 4A 2B + C 6D, a jobb oladalon 2, xe x cos 2x együtthatója a bal oldalon 6A + 2C, a jobb oladalon 1, xe x sin 2x együtthatója a bal oldalon 2A 6C, a jobb oladalon 0, az ismeretlen konstansokra az A 6B + 4C + 2D = 0 4A 2B + C 6D = 2 6A + 2C = 1 2A 6C = 0 lineáris egyenletrendszert kapjuk. Ennek megoldása: A = 3 20, B = 3 50, C = 1 20, D =
30 Ezt felhasználva a partikuláris megoldás y p = 3 xex cos(2 x) 20 + xex sin(2 x) 20 3 ex cos(2 x) ex sin(2 x). 200 Mindent összevetve tehát az általános megoldása az eredeti egyenletnek: y = y H + y p = C 1 e x + C 2 e 2x 3 xex cos(2 x) 20 3 ex cos(2 x) 50 + xex sin(2 x) ex sin(2 x). 200
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenDefiníció Függvényegyenletnek nevezzük az olyan egyenletet, amelyben a kiszámítandó ismeretlen egy függvény.
8. Differenciálegyenletek 8.1. Alapfogalmak Korábbi tanulmányaink során sokszor találkoztunk egyenletekkel. A feladatunk általában az volt, hogy határozzuk meg az egyenlet megoldását (megoldásait). Az
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
RészletesebbenPolinomok maradékos osztása
14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik
RészletesebbenHatározatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 19 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDifferenciálegyenletek Oktatási segédanyag
VIK, Műszaki Informatika ANALÍZIS (2) Differenciálegyenletek Oktatási segédanyag A Villamosmérnöki és Informatikai Kar műszaki informatikus hallgatóinak tartott előadásai alapján összeállította: Fritz
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenDifferenciaegyenletek a differenciálegyenletek
Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben2.1. Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletek. A megfelelő másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet általános alakja
2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek 27 2. Másodrendű skaláris differenciálegyenletek Legyen I R egy nyílt intervallum, p, q, f : I R. Az explicit másodrendű inhomogén lineáris skaláris differenciálegyenlet
RészletesebbenKözönséges differenciálegyenletek
Szegedi Tudományegyetem Fizikus Tanszékcsoport Elméleti Fizikai Tanszék Közönséges differenciálegyenletek Segédlet Készítette: Szaszkó-Bogár Viktor PhD hallgató Szeged 2013 Tartalomjegyzék Előszó.......................................
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
Részletesebbeny = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)
III Az exp (Ax mátrixfüggvény módszere Ha y = ay, y( = y, a = állandó y = y exp (ax d dx [exp (Ax] = Y = AY, Y ( = Y, Y (x = exp (AxY exp (Ax = I + n= A n x n (n! = A A n x n, n! ] A n x n I + = A exp
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenMatematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.
Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenJPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
JPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) (Összeállította: Kis Miklós) Tankönyvek Megegyeznek az 1. félévben használtakkal.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenKomplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenPolinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
RészletesebbenVEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok
VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják
RészletesebbenMegoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!
MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenIntergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenMegoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7
A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDIFFERENCIAEGYENLETEK
DIFFERENCIAEGYENLETEK Példa: elsőrendű állandó e.h. lineáris differenciaegyenlet Ennek megoldása: Kezdeti feltétellel: Kezdeti feltétel nélkül ha 1 és a végtelen összeg (abszolút) konvergens: / 1 Minden
Részletesebben= λ valós megoldása van.
Másodredű álladó együtthatós lieáris differeciálegyelet. Általáos alakja: y + a y + by= q Ha q = 0 Ha q 0 akkor homogé lieárisak evezzük. akkor ihomogé lieárisak evezzük. A jobb oldalo lévő q függvéyt
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenKlasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,
Részletesebben1. Polinomok számelmélete
1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
Részletesebben(!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+1
Komlex analízis Komlex hatványsorok c n (z z 0 ) n ; R = lim n c n, R = (!), {z C z z 0 < R} K (K: konv. tart.) lim cn+ c n n=0. Van-e olyan komlex hatványsor, melynek a) üres a konvergenciatartománya,
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenMatematika példatár 4.
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Csabina Zoltánné Matematika példatár 4 MAT4 modul Integrálszámítás szabályai és módszerei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
Részletesebben1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
Részletesebben1. A maradékos osztás
1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenLÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások
LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika elméleti összefoglaló
1 Matematika elméleti összefoglaló 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... 2 1. Sorozatok jellemzése, határértéke... 3 2. Függvények határértéke és folytonossága... 5 3. Deriválás... 6 4. Függvényvizsgálat...
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben