Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja"

Átírás

1 Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t) gerjesztése és egyetlen y = y(t) válasza van. A rendszeregyenlet explicit alakja megadja y(t) kifejezését y(τ),u(τ), τ t segítségével. Továbbá kauzális rendszerekre szorítkozunk, vagyis ekkor csak τ t időbeni értékek fordulhatnak elő. A rendszerünk invariáns, vagyis a rendszeregyenlet állandó együtthatós, tehát ezen együtthatók nem függenek a t időtől. Ez azt jelenti, hogy a válasz és a gerjesztés késleltetett értékei nem fordulhatnak elő a rendszeregyenletben. Bevezetve az u gerjesztésű y válaszú, folytonos idejű (FI) invariáns, kauzális, lineáris rendszer rendszeregyenletét y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = b 0 u (m) (t) + b 1 u (m 1) (t) + + b m 1 u (1) (t) + b m u(t). A választ a t (0, ) intervallumban keressük, amely kiszámításához az n. rendű rendszeregyenleten kívül n darab y(+0), y (1) (+0),...,y (n 1) (+0) kezdeti értéket is ismernünk kell. Ezeket összefoglaló néven kezdeti feltételeknek nevezzük. megj: x (i) (t) = di x(t) dt i y (i) (+0) = di y(t) dt i t=+0 (1) i [0, n 1] Fentiekből következik, ha a gerjesztés belépő, vagyis u(t) = 0, t (,0), akkor y() = 0,...,y (n) = 0, vagyis minden kiindulási érték nulla. Általánosan elmondható, ha az u(t) gerjesztés, illetve valamennyi u i deriváltja véges a t = 0 helyen (itt nem tartalmaznak δ(t) összetevőt), akkor a kezdeti értékek megegyeznek a kiindulási értékekkel Ennek belátására későbbiekben kerül sor. y (i) (+0) = y (i) (), i [0,n 1]. (2) 2. FI rendszeregyenlet megoldása Az (1) rendszeregyenlet megoldásakor az y válasz egy y sz szabad, és y g gerjesztett összetevő összegeként adható meg y(t) = y sz + y g. (3) 1

2 A szabad válasz a gerjesztetlen rendszer válasza, vagyis ha u(t) = 0 t [0,+ ). Ez a válasz n darab állandót tartalmaz, amelyet a kezdeti értékek figyelembevételével később tudunk meghatározni. A gerjesztett összetevő a rendszeregyenlet egy megoldása, és nem elégíti ki a kezdeti feltételeket A szabad válasz Az előzőekből adódóan a szabad válasz esetén u(t) = 0 t [0,+ ), vagyis y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n 1 y (1) (t) + a n y(t) = 0. (4) Ennek megoldása t változó exponenciális függvényeinek összegéből adódik. y sz (t) = k 1 e λ1(t) + + k n e λn(t) (5) λ i kiszámításához (4) egyenlet alapján a karakterisztikus egyenletet felírva F(λ) = λ n + a 1 λ n a n λ 1 + a n. (6) A (6) karakterisztikus egyenlet gyökeit a rendszeregyenlet sajátértékeinek nevezik. Nyilvánvaló, a sajátértékek száma a rendszeregyenlet fokszámából adódik. Valós együtthatók esetén a sajátértékek vagy valósak, vagy konjugált komplex gyökpárt alkotnak λ i = a i + b i j λ i+1 = a i b i j. (7) A rendszer úgynevezett τ i időállandói a λ i sajátértékekből adódnak τ i = 1 R(λ i ). (8) Továbbiakban olyan rendszeregyenletekkel foglalkozunk, ahol a sajátértékek egyszeres gyökök A gerjesztett válasz Előzőekből adódóan a gerjesztett válasz a rendszeregyenlet egy megoldása, amelynek nem kell kielégítenie a kezdeti feltételeket. Ennek meghatározásához tételezzük fel, hogy a gerjesztő jel t [0, + ) tartományban elemi függvény, vagyis pl. állandó, exponenciális, polinomiális függvény. Dirac δ(t) impulzus esetén (végtelen amplitúdójú)a gerjesztett válasz nulla. Az y g (t) gerjesztett válasz meghatározásához próbafüggvény módszert használjuk, miszerint ezen próbafüggvény hasonló az adott gerjesztéshez. A próbafüggvény felvétele után azt viszzahelyettesítjük a rendszeregyenletbe. Az (1) táblázat néhány FI próbafüggvényt tartalmaz. 2

3 u(t) C Ce αt (α λ i ) Ce λit (λ i r-szeres pólus) y g (t) A Ae αt At r e λit 1. táblázat. Próbafüggvények 2.3. Az FI válasz Eddigiekből kiderült, hogy y g (t) gerjesztett válasz megoldásával még nem jutunk el a válasz végső alakjáig, hiányzik még y sz (t) szabad válaszban szereplő n számú ismeretlen állandó meghatározása. Ezek a kezdeti feltételek segítségével, egy lineáris egyenletrendszer megoldásával határozhatóak meg y (i) (+0) = y (i) sz (+0) + y (i) g (+0), i = 0,1,...n 1. (9) 3. FI rendszerek stabilitásvizsgálata 3.1. Gerjesztés-válasz stabilitás Egy rendszer gerjesztés-válasz (GV) stabilis, ha bármely korlátos gerjesztéshez korlátos válasz tartozik. Egy lineáris FI invariáns rendszer csak akkor GV stabilis, ha impulusválasza abszolút integrálható + x(t) dt. (10) A szabad összetevőt vizsgálva FI rendszereknél belátható, hogy akkor korlátos, ha minden R(λ i ) < 0. A gerjesztett válasz viszont minden korlátos gerjesztésre korlátos (lásd próbafüggvények). Ha a λ i sajátértékeket általánosan komplex számoknak tekintjük, akkor a GV stabilitás feltétele, hogy a sajátértékek a komplex számsík bal félsíkján helyezkedjenek el Aszimptotikus stabilitás A lineáris, invariáns FI rendszer akkor aszimptotikusan stabilis, ha minden állapotváltozója nullához tart, t esetén bármely kiindulási állapotra: x(t) 0,t,u(t) = 0,t [0, ). (11) Az aszimptotikus stabilitás feltétele FI rendszereknél, hogy R(λ i ) < 0. Ha R(λ i ) 0 feltétel teljesül, vagyis az egyszeres sajátértékek valós része 0, akkor az aszimptotikus stabilitás határhelyzetében van a rendszer. Ilyen válaszok a végtelenben egy periodikus jelhez tartanak. 3

4 4. Elsőrendű FI rendszeregyenletek megoldása Elsőként az elsőrendű rendszeregyenleteket tárgyaljuk, vagyis y (t) + a 1 y(t) = b 0 u (m) (t) + b 1 u (m 1) (t) + + b m 1 u (1) (t) + b m u(t). (12) 4.1. Feladatok y (t) + 0.8y(t) = 2s(t) ; y() = 0 (1) s(t) = ε(t) (2) s(t) = δ(t) (3) s(t) = 2ε(t)e.2t Megoldás y(t) = y sz + y g λ = 0 λ 1 =.8 y sz (t) = k 1 e.8t λ 1 =.8 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis. 1. s(t) = ε(t) Próbafüggvény : A A + 0.8A = 2 A = 2.5 y g (t) = 2.5 y(t) = k 1 e.8t y (t)dt ε(t)dt y(+0) y() = 2 0 y(+0) = y() = 0 t = +0 y(+0) = 0 = k 1 e k 1 = 2.5 y(t) = 2.5e.8t s(t) = δ(t) y g (t) = 0 y(t) = k 1 e.8t y (t)dt δ(t)dt y(+0) y() = 2 1 y(+0) = y() + 2 = 2 t = +0 y(+0) = 2 = k 1 e 0 k 1 = 2 4

5 y(t) = 2e.8t 3. s(t) = 2ε(t)e.2t Próbafüggvény : Ae.2t (Ae.2t ) (t) + 0.8Ae.2t = 2 2ε(t)e.2t A = 20/3 y g (t) = 20 3 e.2t y(t) = k 1 e.8t e.2t y (t)dt ε(t)e.2t dt y(+0) y() = 2 0 y(+0) = y() = 0 t = +0 y(+0) = 0 = k 1 e e0 k 1 = 20 3 y(t) = 20 3 e.8t e.2t y (1) (t) + 2y(t) = 0.5s(t) ; y() = 3 ; s(t) = 2ε(t) Megoldás y(t) = y sz + y g λ = 0 λ 1 = 2 y sz (t) = k 1 e 2t λ 1 = 2 < 0, így GV és aszimptotikusan stabilis. Próbafüggvény : A A + 2A = A = 0.5 y g (t) = 0.5 y(t) = k 1 e 2t y (t)dt + 2 y(t)dt = 0.5 2ε(t)dt y(+0) y() = y(+0) = y() = 3 t = +0 y(+0) = 3 = k 1 e k 1 = 2.5 y(t) = 2.5e 2t

6 y (t) 3y(t) = 2s(t) ; y() = 1 ; s(t) = 5ε(t) Megoldás y(t) = y sz + y g λ 1 3 = 0 λ 1 = 3 y sz (t) = k 1 e 2t λ 1 = +3 > 0, így GV és aszimptotikusan instabil. Próbafüggvény : A A 3A = 2 5 A = 10/3 y g (t) = 10 3 y(t) = k 1 e 3t 10 3 y (t)dt 3 5ε(t)dt y(+0) y() 3 0 = 2 0 y(+0) = y() = 1 Gyakorló feladatok t = +0 y(+0) = 1 = k 1 e k 1 = 13 3 y(t) = 13 3 e3t Adja meg az alábbi rendszeregyenletek megoldását! (a) y (t) + 3y(t) = 2s(t), s(t) = ε(t),y() = 0 Megoldás: y(t) = 4 3 (1 e 3t ) (b) y (t)+3y (t)+2y(t) = 1 2 s(t), s(t) = 2e 3t,y() = 2,y () = 1 Megoldás: y(t) = 1 2 e t (8e t e 2t 11) (c) y (t) + 2y (t) + 4y(t) = s(t), Megoldás: y(t) = 1 3 e t (1 + 2cos( 3t)) s(t) = e t,y() = 1,y () = 1 6

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás

Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Jelek és rendszerek - 1-2.előadás Bevezetés, rendszeranaĺızis az időtartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet

Részletesebben

FODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK

FODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK FODOR GYÖRGY JELEK ÉS RENDSZEREK EGYETEMI TANKÖNYV Műegyetemi Kiadó, 2006 Előszó A valóságos fizikai, kémiai, műszaki, gazdasági folyamatokat modellek segítségével írjuk le. A modellalkotás során leegyszerűsítjük

Részletesebben

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.

Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel. Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t

Részletesebben

2. Analízis az időtartományban

2. Analízis az időtartományban 2. Analízis az időtartományban Ebben a részben megadjuk az olyan lineáris, invariáns rendszerek különböző időtartománybeli leírását, amelyeknek a gerjesztései és a válaszai vagy egyaránt diszkrét idejűek

Részletesebben

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.

valós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság. 2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve

Részletesebben

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS

MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

6. Differenciálegyenletek

6. Differenciálegyenletek 312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges

Részletesebben

Jelek és Rendszerek 2. Kidolgozott Témakörök

Jelek és Rendszerek 2. Kidolgozott Témakörök Gábor Norbert és Kondor Máté András 2012 január Előszó, figyelmeztetés, jogi nyilatkozat, stb. 1. Ez nem hivatalos jegyzet! Nem oktatók írták! Hibák előfordulahatnak! 2. Ez nem a hivatalos tananyag, vagy

Részletesebben

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7.

Fourier-sorok. Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia. 2010. április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 21. április 7. A Taylor-polinom ill. Taylor-sor hátránya, hogy az adott függvényt csak a sorfejtés helyén ill. annak környezetében közeĺıti jól. A sorfejtés helyétől távolodva a közeĺıtés

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Kibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját!

1. Vizsgálat az időtartományban. 1.1. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! . Vizsgálat az időtartományban.. Határozza meg az ábrán vázolt diszkrét idejű hálózat állapotváltozós leírásának normál alakját! x x x xy x [ k ] x b( c eg x x gf u [ k ] x ( bd beh x x fh [ k ] bx( c

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék

Bevezetés a modern fizika fejezeteibe. 4. (b) Kvantummechanika. Utolsó módosítás: 2013. november 9. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 4. (b) Kvantummechanika Utolsó módosítás: 2013. november 9. 1 A legkisebb hatás elve (1) A legkisebb hatás elve (Hamilton-elv): S: a hatás L: Lagrange-függvény 2 A

Részletesebben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben

Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Közönséges differenciálegyenletek megoldása Mapleben Differenciálegyenlet alatt egy olyan egyenletet értünk, amelyben a meghatározandó ismeretlen egy függvény, és az egyenlet tartalmazza az ismeretlen

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

5. Lineáris rendszerek

5. Lineáris rendszerek 66 MAM43A előadásjegyzet, 2008/2009 5 Lineáris rendszerek 5 Lineáris algebrai előismeretek Tekintsük az a x + a 2 x 2 = b 5 a 2 x + a 22 x 2 = b 2 52 lineáris egyenletrendszert Az egyenletben szereplő

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n

Részletesebben

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8.

Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. Számítógépvezérelt irányítás és szabályozás elmélete (Bevezetés a rendszer- és irányításelméletbe, Computer Controlled Systems) 8. előadás Szederkényi Gábor Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását!

Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz. 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! Feladatok Differenciálegyenletek II. témakörhöz 1. Határozzuk meg a következő elsőrendű lineáris differenciálegyenletek általános megoldását! (a) (b) 2. Tekintsük az differenciálegyenletet. y y = e x.

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált

Matematika. 4. konzultáció: Kétváltozós függvények szélsőértéke. Parciális függvény, parciális derivált Matematika 1 NYME KTK, Egyetemi kiegészítő alapképzés 2004/2005. tanév, I. évf. I.félév Budapest Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet 9400 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt. 3. (99) 518

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Differenciálegyenletek a hétköznapokban

Differenciálegyenletek a hétköznapokban Differenciálegyenletek a hétköznapokban BSc Szakdolgozat Írta: Gondos Réka Matematika BSc, alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk

Részletesebben

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika

Bevezetés. 1. előadás, 2015. február 11. Módszerek. Tematika Bevezetés 1. előadás, 2015. február 11. Zempléni András Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Áringadozások előadás Heti 2 óra előadás + 2 óra

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees

Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Color profile: Generic CMYK printer profile Composite 150 lpi at 45 degrees Matematikai Lapo / Borító 2013. december 13. 19:28:39 13-1-borito 2014/5/20 11:55 page 0 #1 MATEMATIKAI LAPOK A Bolyai János

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás.

Következik, hogy B-nek minden prímosztója 4k + 1 alakú, de akkor B maga is 4k + 1 alakú, s ez ellentmondás. Prímszámok A (pozitív) prímszámok sorozata a következő: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... 1. Tétel. Végtelen sok prímszám van. Első bizonyítás. (Euklidész) Tegyük fel, hogy állításunk nem igaz, tehát véges

Részletesebben

Differenciál és integrálszámítás diszkréten

Differenciál és integrálszámítás diszkréten Differenciál és integrálszámítás diszkréten Páles Zsolt Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet MAFIÓK, Békéscsaba, 010. augusztus 4-6. Páles Zsolt (Debreceni Egyetem) Diff. és int.-számítás diszkréten

Részletesebben

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk.

2. Zárthelyi megoldásokkal 1998 tavasz I. évf. 13.-18.tk. . Zárthelyi megoldásokkal 998 tavasz I. év..-8.tk.. Döntse el, hogy létezik e, és ha igen, számítsa ki az ) e üggvény századik deriváltját az helyen! MO. Egyrészt e ) n origó körüli Taylor-sora alapján

Részletesebben

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j.

Fourier-sorok. néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól. Vizsgán. k=1. 1 k = j. Fourier-sorok Bevezetés. Az alábbi anyag a vizsgára való felkészülés segítése céljából készült. Az alkalmazott jelölések vagy bizonyítás részletek néhány esetben eltérhetnek az előadáson alkalmazottaktól.

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Tartalom. 1. Számítógéppel irányított rendszerek 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér

Tartalom. 1. Számítógéppel irányított rendszerek 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér Tartalom 1. Számítógéppel irányított rendszerek 2. Az egységugrásra ekvivalens diszkrét állapottér 2015 1 Számítógéppel irányított rendszerek Számítógéppel irányított rendszer blokkvázlata Tartószerv D/A

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet

Részletesebben

Differenciál egyenletek

Differenciál egyenletek Galik Zsófia menedzser hallgató Differenciál egyenletek osztályzása Differenciál egyenletek A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben

Részletesebben

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek

Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek Differenciaegyenletek a differenciálegyenletek tükrében Guzsvány Szandra Újvidéki Egyetem, Természettudományi Kar, Újvidék E-mail: g.sandra@citromail.hu 1. Bevezetés 1.1. Történeti áttekintés Dolgozatom

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Rendszeresen használt jelek és rövidítések

Rendszeresen használt jelek és rövidítések Rendszeresen használt jelek és rövidítések a «, együttható a rendszeregyenletben ÍJ, együttható az átviteli karakterisztika és az átviteli függvény nevezőjében A A rendszermátrix (az állapotegyenletben

Részletesebben

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2014. május 27.

Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki és Informatikai Kar. 2014. május 27. Név, felvételi azonosító, Neptun-kód: VI pont(45) : Csak felvételi vizsga: csak záróvizsga: közös vizsga: Közös alapképzéses záróvizsga mesterképzés felvételi vizsga Villamosmérnöki szak BME Villamosmérnöki

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Közönséges differenciálegyenletek numerikus megoldása Szakdolgozat Soós Ivett Matematika B.Sc., Matematikai elemz szakirány Témavezet : Mincsovics Miklós

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek

Diszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek 1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:

Részletesebben

Elektrotechnika- Villamosságtan

Elektrotechnika- Villamosságtan Elektrotechnika- Villamosságtan Általános áramú hálózatok 1 Magyar Attila Tömördi Katalin Alaptörvények-áttekintés Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Források Ellenállás Kondenzátor

Részletesebben

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Komplex számok. 2014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 = 2 3i és z 2 = 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét! Komplex számok 014. szeptember 4. 1. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. (z 1 z ) (z 1 z ) (( i) (4i 1)) (6 9i 8i + ) 8 17i 8 + 17i. Feladat: Legyen z 1 i és z 4i 1. Határozza meg az alábbi kifejezés értékét!

Részletesebben

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája

A kanonikus sokaság. :a hőtartály energiája A kanonikus sokaság A mikrokanonikus sokaság esetén megtanultuk, hogy a megengedett mikroállapotok egyenértéküek, és a mikróállapotok száma minimális. A mikrókanónikus sokaság azonban nem a leghasznosabb

Részletesebben

Differenciaegyenletek

Differenciaegyenletek Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 1 / 24 3.1 Differenciaegyenlet fogalma, egzisztencia- és unicitástétel

Részletesebben

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK

Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Dr. Kuczmann Miklós JELEK ÉS RENDSZEREK Z UNIVERSITAS-GYŐR Kht. Győr, 25 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM MŰSZAKI TUDOMÁNYI KAR TÁVKÖZLÉSI TANSZÉK Egyetemi jegyzet Írta:

Részletesebben

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009 86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek

Részletesebben

Villamosságtan szigorlati tételek

Villamosságtan szigorlati tételek Villamosságtan szigorlati tételek 1.1. Egyenáramú hálózatok alaptörvényei 1.2. Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.3. Nemlineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása 1.4. Egyenáramú hálózatok

Részletesebben

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen:

Véletlen gráfok. Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Virág Bálint Véletlen Gráfok/1 Véletlen gráfok Példák: Kávéra vizet öntünk és alul kifolyik a víz: Olaj vagy víz átszívárgása egy kőzetrétegen: Mind az olaj, mind a víz bekerül egy rendszerbe, mely makroszinten

Részletesebben

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges

Részletesebben

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2

x = 1 = ı (imaginárius egység), illetve x 12 = 1 ± 1 4 2 Komplex számok A valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A számfogalom a számegyenes pontjainak körében nem bővíthető tovább. A számfogalom bővítését

Részletesebben

Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája

Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája Gyakorló feladatok Feladatok, merev test dinamikája 4.5.1. Feladat Határozza meg egy súlytalannak tekinthető súlypontját. 2 m hosszú rúd két végén lévő 2 kg és 3 kg tömegek Feltéve, hogy a súlypont a 2

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Hangtechnika. Médiatechnológus asszisztens

Hangtechnika. Médiatechnológus asszisztens Vázlat 3. Előadás - alapjai Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet Műszaki Informatika Tanszék Ismétlés Vázlat I.rész: Ismétlés II.rész: A digitális Jelfeldolgozás

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

DIFFERENCIAEGYENLETEK

DIFFERENCIAEGYENLETEK DIFFERENCIAEGYENLETEK A gazdaság változómennyiségeit (jövedelem, fogyasztás, beruházás,...) általában bizonyos időszakonként (naponta, hetente, havonta, évente) figyeljük meg. Ha ezeket a megfigyeléseket

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

EEG készülékek alacsonyfrekvenciás átvitelének vizsgálatára alkalmas mérőkészülék előállítása. Szepes Gábor műszaki informatikai szak 2012

EEG készülékek alacsonyfrekvenciás átvitelének vizsgálatára alkalmas mérőkészülék előállítása. Szepes Gábor műszaki informatikai szak 2012 Pázmány Péter Katolikus Egyetem Információs Technológiai Kar EEG készülékek alacsonyfrekvenciás átvitelének vizsgálatára alkalmas mérőkészülék előállítása Szepes Gábor műszaki informatikai szak 2012 Témavezetők:

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky

Részletesebben

Mechatronika alapjai órai jegyzet

Mechatronika alapjai órai jegyzet - 1969-ben alakult ki a szó - Rendszerek és folyamatok, rendszertechnika - Automatika, szabályozás - számítástechnika Cd olvasó: Dia Mechatronika alapjai órai jegyzet Minden mechatronikai rendszer alapstruktúrája

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu

Irányítástechnika. II. rész. Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Irányítástechnika II. rész Dr. Turóczi Antal turoczi.antal@nik.uni-obuda.hu Lineáris tagok jelátvivő tulajdonságai Lineáris dinamikus rendszerek, folyamatok Lineáris tagok modellje Differenciálegyenlettel

Részletesebben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben

17.2. Az egyenes egyenletei síkbeli koordinátarendszerben Tartalom Előszó 13 1. Halmazok; a matematikai logika elemei 15 1.1. A halmaz fogalma; jelölések 15 1.2. Részhalmazok; komplementer halmaz 16 1.3. Halmazműveletek 17 1.4. A halmazok ekvivalenciája 20 1.5.

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága

Függvények határértéke és folytonossága Függvények határértéke és folytonossága 7. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények határértéke p. / Függvény határértéke az x 0 helyen Definíció. Legyen D R, f

Részletesebben

LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai

LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Diszkrét és hibrid diagnosztikai és irányítórendszerek LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Hangos Katalin Közlekedésautomatika Tanszék Rendszer- és Irányításelméleti Kutató Laboratórium

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 A = {1; 3; 5; 7; 9} A B = {3; 5; 7} A/B = {1; 9} Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7 Azonos alapú hatványokat

Részletesebben

Í ÍÍÍ Í Í Í Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ö Ú É Í Ö Á Á É Ö É Ö É É Á Á Ö Ú Ö Ö Í Á É É Í Á É Í Ö Ö Á Á É Í Ö Ö Ö Ö Ö Ö Á É Ö É É Ö É Ö Í Á É É Ö Ö É Ö Í Í Í Í Ö Ö Ö Í Ö É Ö É É Ö Ö Í É Ö Í É É Ö Í É Á É É Ű Ö Í É É Ö

Részletesebben

Néhány fontosabb folytonosidejű jel

Néhány fontosabb folytonosidejű jel Jelek és rendszerek MEMO_2 Néhány fontosabb folytonosidejű jel Ugrásfüggvény Bármely választással: Egységugrás vagy Heaviside-féle függvény Ideális kapcsoló. Signum függvény, előjel függvény. MEMO_2 1

Részletesebben

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,

Részletesebben

Logaritmikus erősítő tanulmányozása

Logaritmikus erősítő tanulmányozása 13. fejezet A műveleti erősítők Logaritmikus erősítő tanulmányozása A műveleti erősítő olyan elektronikus áramkör, amely a két bemenete közötti potenciálkülönbséget igen nagy mértékben fölerősíti. A műveleti

Részletesebben

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.

Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az

Részletesebben

A versenyzõi gazdaság stabilitása késleltetett áralkalmazkodás mellett

A versenyzõi gazdaság stabilitása késleltetett áralkalmazkodás mellett Közgazdasági Szemle, L. évf., 003. február (11 135. o.) KÕHEGYI GERGELY STÉPÁN GÁBOR A versenyzõi gazdaság stabilitása késleltetett áralkalmazkodás mellett A versenyzõi egyensúly létezése, egyértelmûsége

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó

Nagyordó, Omega, Theta, Kisordó A növekedés nagyságrendje, számosság Logika és számításelmélet, 6. gyakorlat 2009/10 II. félév Számításelmélet (6. gyakorlat) A növekedés nagyságrendje, számosság 2009/10 II. félév 1 / 1 Nagyordó, Omega,

Részletesebben

A forgórész az állórész eredő mezejének irányába áll be. Ezt a mágneses erők egyensúlya alapján is követhetjük.

A forgórész az állórész eredő mezejének irányába áll be. Ezt a mágneses erők egyensúlya alapján is követhetjük. 55 Léptetőmotorok A léptetőmotorok kívülről adott, digitális vezérlőimpulzusokat diszkrét szögelfordulásokká alakítanak át. Az elfordulás szöge arányos az impulzusok számával, a forgási sesség pedig az

Részletesebben

Állandó együtthatós lineáris rekurziók

Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1. fejezet Állandó együtthatós lineáris rekurziók 1.1. A megoldás menete. Mese. Idézzük fel a Fibonacci-számokat! Az F n sorozatot a következő módon definiáltuk: legyen F 0 = 0, F 1 = 1, és F n+2 = F n+1

Részletesebben

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető

2. Laboratóriumi gyakorlat A TERMISZTOR. 1. A gyakorlat célja. 2. Elméleti bevezető . Laboratóriumi gyakorlat A EMISZO. A gyakorlat célja A termisztorok működésének bemutatása, valamint főbb paramétereik meghatározása. Az ellenállás-hőmérséklet = f és feszültség-áram U = f ( I ) jelleggörbék

Részletesebben