Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval

Átírás

1 Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd

2 . Laplace transzformáció A Matematika II. tantárgy keretében már megbeszélt Laplace transzformációt igen célszerűen lehet az Elektrotechnika, majd az Irányítástechnika tantárgyak keretében alkalmazni. Rövid ismétlésként az alábbiakban tisztázzuk az elméleti alapokat. A Fourier sorbafejtésnél, valamint a Fourier integrálnál f (t) időfüggvényeket transzformálunk át ω körfrekvencia rendszerbe. A LAPLACE transzformáció esetében az időfüggvényeket az un. s LAPLACE operátor segítségével a következő összefüggéssel transzformáljuk át: F(s) = L{ f (t)} = f (t) e st dt () A továbbiakban írjuk fel néhány gyakrabban használt f (t) függvény transzformáltját. Egy áramkör bekapcsolását az un. (t) egységugrás függvénnyel közelitjük. Ennek Laplace transzformáltja tehát: f (t) = (t) (2) [ e F(s) = e st st ] ( dt = = + ) = (3) s s s Az exponenciális függvény transzformáltja pedig: f (t) = e at [ F(s) = e at e st e (a+s)t dt = (a + s) A sinus függvény transzformáltja: f (t) = sinωt = e jωt e jωt F(s) = = = 2 j 2 j sinωt e st dt = e (s jω)t e (s+ jω)t 2 j [ + s jω s + jω ] = e jωt e jωt e st dt 2 j [ dt = 2 j ] ( + ) = a + s a + s e (s jω)t (s jω) e (s+ jω)t (s + jω) = ω s 2 + ω 2 ] (4) (5) (6) (7) Egy f (t) függvény f (t) differenciálhányadosnak transzformáltja: Legyen az f (t) függvény transzformáltja F(s), akkor felhasználva a parciális integrálás képletét: (u v) = u v + v u ebből u v = u v + v u (8)

3 illetve u v = u v v u (9) Válasszuk a következő behelyetesitéseket: u = f (t), v = e st s, akkor u = f (t) és v = e st () Behelyetesitve a parciális integrálás összefüggésbe: [ ] f (t) e st dt = f (t) e st e st ( + f (t)dt + f () ) + s s s s L{ f (t)} () Ebből L{ f (t)} = s[l{ f (t)}] f ( ) = sf(s) f ( ). Az f ( ) kifejezés az f (t) függvény értékét jelenti közvetlenül a zérus hely előtt. Amennyiben ez zérus ami igen gyakori eset a differenciálás a Laplace transzformált tratományban egyszerű s-sel való szorzássá változik. Amennyiben nem első deriváltat transzformálunk, hanem valamely általános n-ediket, az összefüggés a következő képpen irható: L{ f n (t)} =s n F(s) s n f ( ) s n 2 f ( ) s n 3 f ( )... s f n 2 ( ) f n ( ) (2) Amennyiben a függvény és annak valamennyi deriváltja a zérus hely előtt maga is zérus, az n-edik derivált Laplace transzformáltja egyenlő az eredeti függvény Laplace transzformáltjának s n -nel való szorzatával, vagyis L{ f n (t)} =s n L{ f (t)} (3) A függvény integráljának Laplace transzformáltja: Legyen az f (t) függvény transzformáltja F(s). Keresendő a L{ f (t)} értéke. Ismét a parciális integrálás képletéből kiindulva: u v = u v v u (4) Legyen u = t f (t)dt v = e st s (5) ebből v = e st, u = f (t) (6) [ t ] [ t ] f (t)dt e st dt = f (t) e st s dt e st + f (t)dt (7) s 2

4 Az egyenlet bal oldala a keresett függvény transzformáltja, a jobb oldali első tag az alsó határon nulla, mert ekkor az integrál alsó és felső határa megegyezik egymással. Felső határon a kifejezés ugyancsak nulla, ekkor az exponenciális tag tart a -hoz. A jobb oldal második tagja viszont az f (t) függvény Laplace transzformáltja s-sel osztva. Ennek alapján irhatjuk: } L{ f (t)dt = L{ f (t)} (8) s Vagyis az integrálás a Laplace transzformációban s-sel való osztássá egyszerüsödik. Többszörös integrálok esetében: } L{... f (t)dt = L{ f (t)} (9) sn E feladatok elvégzése után foglaljuk táblázatba az itt levezetetteket néhány bővítéssel. Ilyen bővítmény pl. a Dirac delta δ(t) un. impulzus függvény Laplace transzformáltja. Ez a t = pillanatban létrejött végtelenül rövid ideig tartó, végtelen nagy impulzus, amely az (t) függvény deriváltjaként irható le. Mivel L{(t)} = s és a deriválás s-sel való szorzásnak felel meg, így L{δ(t)} = s s =. A továbbiakban a leggyakrabban előforduló f (t) függvények F(s) Laplace transzformáltjait foglaltuk táblázatba. Megjegyezzük viszont, hogy két függvény szorzatának Laplace transzformáltja nem egyenlő a két függvény Laplace transzformáltjának szorzatával. A szorzatokra vonatkozó konvolució tételre ebben a tárgyban nem térünk ki. 2. Inverz Laplace transzformáció A Laplace transzformációs táblázat segítségével meghatározhatjuk néhány f (t) függvény transzformált függvényét, de a táblázat sokkal inkább segítségünkre van akkor, ha valamely F(s) függvény f (t) visszatranszformáltját kell meghatározni. Ezzel kapcsolatban megjegyezzük, hogy a transzformációs táblázatban található F(s) függvényeket kell végignézni és kiválasztani ezek közül azt, amely matematikailag hasonló a visszatranszformálandó függvényünkhöz. Ezután a visszatranszformálandó függvényt olyan alakra hozzuk, mint a táblázatból kiválasztott kifejezés, és a konstansok megtartásával a táblázat megfelelő sorából leovassuk az f (t) függvényt. A visszatranszformálandó függvény igen gyakran felírható valamely racionális törtfüggvény formájában. (A nevező polinom legnagyobb hatványának együtthatóját -re egyszerűsítve) G(s) = b s + b s 2 + a s + a = b(s) a(s) (2) 3

5 A nevező a(s) kifejezését karakterisztikus polinomnak nevezzük. Határozzuk meg először ennek az s 2 + a s + a = egyenletnek a gyökeit. Nevezzük ezeket λ és λ 2 -nek, és irjuk fel a visszatranszformálandó G(s) függvényt összeg alakban: G(s) = r s λ + r 2 s λ 2 (2) A tagok számlálóiban lévő r és r 2 tényezők a függvény residuumai, melyeket a következő módon számíthatunk ki: b s + b r = lim (s λ ) s λ (s λ )(s λ 2 ) b s + b r 2 = lim (s λ 2 ) s λ 2 (s λ )(s λ 2 ) (22) (23) 3. Négypólusok vizsgálata Alkalmazásként elektrotechnikai példa kapcsán fogjuk bemutatni. Az analóg villamos áramkörök két nagy csoportra bonthatók: Azokat az áramköröket, amelyek csak ohmos, induktív és kapacitív elemeket tartalmaznak passzív áramköröknek nevezzük. Az erősítővel is rendelkező áramköröket aktív áramköröknek nevezzük. További csoportosítás végezhető az elemek jelleggörbéjére vonatkozóan is. Azokat az áramköröket, amelyek csak ohmos ellenállásokat és kapacitásokat, vagy ohmos ellenállásokat és induktivitásokat tartalmaznak általában lineáris jelleggörbéjüek. Az ilyen áramkörök matematikai tárgyalása viszonylag egyszerű módszerekkel elvégezhető. A továbbiakban csak ilyenekkel fogunk foglalkozni. 3.. Operátoros impendancia A passzív áramkörökben szereplő tagok általában a következő egyenletekkel jellemezhetők: Elnevezés Jelképi jelölés Egyenlet ohmos ellenállás R u = R i induktivitás L u = L dt di kapacitás C Q = idt = C u Vezessük be ezután a Laplace transzformáció alapján az u(t) feszültség -idő függvény Laplace transzformáltjaként az U(s) operátoros feszültségfüggvényt, valamint az i(t) áramidő függvény helyett az I(s) operátoros áramfüggvényt, és irjuk fel az előbbi függvényeket operátoros alakban: U = R I, U = L s I, I = C U (24) s 4

6 Hozzuk mindhárom függvényt hasonló alakúra: U = R I, U = s L I, U = sc I (25) Fejezzük ki mindhárom egyenletből az U I hányadost: R, s L, ezeket operátoros impedanciának nevezzük. Itt jegyezzük meg, hogy az s operátor és a j ω kifejezés közötti formai hasonlóság van, ezért a G( jω) függvény a G(s) átviteli függvényből egyszerű s = j ω helyettesítéssel átírhatók. Ugyanez az elv az operátoros impedanciák esetében is megvalósítható, és ezzel a következő kifejezéseket kapjuk: sc (26) R, jω L, jωc = j ωc (27) amely kifejezéseket a váltakozó áramú körök tárgyalásakor már megismertünk. Az operátoros impedanciák használatával az áramkörök egyenletei könnyen felírhatók Passzív négypólus A feszültségosztó (potenciométer) elvi kapcsolását az ábrán mutajuk be. U be = u U ki = y. ábra. Feszültségosztó elvi kapcsolása A kimenő oldalon lévő feszültség értéke a nyillal jelölt csúszka elmozdulásával zérustól az U be = u értékig változtatható. Ilyen kapcsolást alkalmaznak többek között a rádiók hangerőszabályozóiban is. Számíthatóság érdekében az ábra átalakítható az 2 ábrán látható alakra. Szekunder üresjárás (i 2 = ) esetre az i bemenő áram: i = u R + R 2 (28) 5

7 i u R R 2 i 2 = y 2. ábra. Feszültségosztó átalakított kapcsolása Ez az áram átfolyik az R 2 ellenálláson és azon Y = i R 2 feszültséget hoz létre. A két képletet egymásba helyettesítve: y = u R 2 R + R 2 (29) Képezzük ezután a négypólus átviteli függvényét, amley definició szerüen: G(s) = U ki(s) U be (s) = Y (s) U(s) (3) A példánkban az átviteli függvény: G = R 2 R + R 2 impedanciákkal: G = Z 2 Z + Z 2 (3) Ez a kifejezés azonban úgy is felírható, mint a kimenő kapcsok között mérhető impedancia, üres bemenő kapcsok mellett, osztva a bemenő kapcsok között mérhető impedanciával üres kimenő kapcsok mellett. Vagyis G(s) = Z ki(s) Z be (s) (32). Megjegyzés. Ez az összefüggés csak abban az esetben használható, ha a kapcsolás az ábra szerinti két komplex számmal kifejezhető impedanciával helyettesíthető! Amennyiben a G(s) átviteli függvénynél az s = jω helyettesítést elvégezzük, az így felírt G( jω) függvényből kiszámítható a t = pillanatban tiszta valós vektorként (fázorként) felvett U( jω) bemenő jelhez képest a Y ( jω) = G( jω) U( jω) komplex kimenő feszültség vektor amplitudója és fázisszöge bármely behelyettesíthető ω körfrekvencia esetében. Ezt a G( jω) függvényt frekvencia függvénynek nevezzük, és ábrázolásával az Irányítástechnika tantárgy keretében foglalkozunk. 6

8 3.3. Aktív négypólus Aktívnak nevezzük azokat a négypólusokat, amelyek erősítőt tartalmaznak. Ezekről az Elektrotechnika tantárgy keretében műveleti erősítők elnevezéssel hallunk. Feltételezésünk szerint a végtelen nagy erősítési tényezőjű műveleti erősítő bemeneti ellenállását végtelennek vehetjük, így bemenő árama zérus. Az erősítő kimenete ezen kívül a bemenőjelet előjelfordítással viszi át, amit az erősítési tényező negatív előjelével veszünk figyelembe. Z v Z be u A y 3. ábra. Aktív négypólus Feltételezésünk alapján tehát a 3 ábra A csomópontjára felírva a Kirchoff törvényt: Ebből az átviteli függvény: u Z be = y Z v (33) G(s) = U(s) Y (s) = Z v Z be (34) Számításoknál a negatív előjelet gyakran elhagyjuk, de tudomásul vesszük, hogy a rendszer előjel fordító. 7

9 Néhány függvény és Laplace transzformáltja (t>) f (t) F(s) = L{ f (t)} δ(t) (t) α t s α s 2 e +αt s α e αt s+α e αt α s(s+α) t e αt (s+α) 2 α t n α n! s n+ ( αt) e αt s (s+α) 2 α 2 [ ( αt) e αt ] sinbt cosct s(s+α) 2 b s 2 +b 2 s s 2 +c 2 8

10 Néhány szabály k f (t) f (t) ± f 2 (t) k F(s) F (s) ± F 2 (s) d f (t) dt s F(s) ha f () = f (t)dt s F(s) f (t t ) e st F(s) Residuum-tétel (t>) f (t) = n i= Res pi {F(s) e st }, n - a pólusok száma Res pi {F(s) e st } = lim s pi (s p i ) F(s) e st F(s) = b(s) a(s) = k m j=(s z j ) n i=(s p i ), p i - pólus, z j - zérus Határérték tételek lim f (t) = lim s F(s) t s lim f (t) = lim s F(s) t s limv(t) = lim G(iω) t ω lim v(t) = lim G(iω) t ω Euler összefüggések cosωt = eiωt +e iωt 2 sinωt = eiωt e iωt 2i 9