Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban

Átírás

1 Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k; h[k =, 0,8 k ε[k +,δ[k = = y[k = i= h[k iu[i = k (, 0,8 k i +,δ[k i ) 0,6 i = i=0 k, 0,8 k i 0,6 i + i=0 =, 0,8 k k i=0 k,δ[k i 0,6 i = i=0 ( ) i 3 +, 0,6 k = 4 =, 0,8 k ( ) 3 k+ 4 ( ) 3 +, 0,6 k = 4 ( ) ( ) k 3 3 = 6 0,8 [ k +, 0,6 k = 4 4 = 6 0,8 k + 4, 0,6 k +, 0,6 k = = [ 6 0,8 k + 7 0,6 k ε[k. feladat Határozzuk meg az alábbi, rendszeregyenletével adott rendszerek válaszát a megadott gerjesztésekre!.. y[k 0,8y[k = u[k u[k (a) u[k = δ[k (impulzusválasz) A karakterisztikus egyenlet: A válasz szabad összetev je: p 0,8 = 0, p = 0,8. y f [k = M0,8 k. k ütemt l kezdve a rendszer gerjesztetlen, ezért a gerjesztett válasz ett l az ütemt l zérus. A gerjesztés k 0 = -t l adott, zérus. A teljes megoldás a k = m n + k 0 = ütemt l érvényes: y[k = M0,8 k. Az alábbi id pillanatokat érdemes megkülönböztetni: k0 pillanatban változik a gerjesztés, k = k 0 +m ütemt l kezdve érvényes a gerjesztett megoldás matematikai alakja, hiszen ekkorra a jobb oldal minden tagja berezeg, és k = k 0 + m n ütemt l kezdve a szabad és a gerjesztett összetev összege megoldása a rendszeregyenletnek is, és kielégíti a kezdeti feltételeket is.

2 A kezdeti feltétel illesztését is k = -re tudjuk elvégezni. Lépésr l lépésre módszerrel y[0 = 0,8y[ + u[0 u[ = = y[ = 0,8y[0 + u[ u[0 = 0,8 + 0 =,. Az állandó ezzel M0,8 =,, M =,, az impulzusválasz pedig y[k h[k = δ[k + ε[k (,)0,8 k A rendszer, mivel rekurzív, végtelen impulzusválaszú. Az egyetlen gyök az egységkörön belül van, a rendszer G-V stabil. A választ további, az el bbivel ekvivalens alakban is megadhatjuk: h[k = δ[k + ε[k (,)0,8 k 0,8 = δ[k + ε[k (,)0,8 k, illetve a k = 0-ban adott értéket korrigálva h[k = ε[k(,)0,8 k +,δ[k. (b) u[k = ε[k (ugrásválasz) A szabad megoldás az el z höz hasonlóan y f [k = M0,8 k. A gerjesztés k k 0 = 0 ütemt l kezdve állandó, a gerjesztett megoldást konstans alakban keressük: y g [k = Y g, k m, amit az inhomogén dierenciaegyenletbe helyettesítve Y g 0,8Y g =, Y g =. A teljes megoldás k = k 0 + m n = 0 ütemt l érvényes, y[k = M0,8 k a kezdeti feltételt is a k = 0 ütemben érvényesíthetjük: y[0 = 0,8y[ + u[0 u[ = =, a válasz: M0,8 0 =, M = 6, y[k g[k = ε[k(6 0,8 k ) (c) u[k = ε[k0,6 k A gerjesztés exponenciális, és nem találja el a rendszer saját rezgését, ezért a gerjesztett összetev t y g [k = Y 0 0,6 k alakban keressük. Az inhomogén dierenciaegyenletbe helyettesítve Y 0 0,6 k 0,8Y 0 0,6 k = 0,6 k 0,6 k, Y 0 (0,6 0,8 0,6 0 ) = 0,6 0,6 0, Y 0 = 7. A teljes megoldás, ami a k = 0 ütemt l kezdve érvényes, y[k = M0,8 k + 7 0,6 k a kezdeti feltételt pedig a k = 0 ütemben érvényesíthetjük: y[0 = 0,6 0 =, A válasz: = M0, ,6 0 k, M = 6. y[k = ε[k ( 6 0,8 k + 7 0,6 k) A kezdeti feltétel illesztését természetesen ennél kés bbi id pillanatokra is végezhetjük. Pl. lépésr l-lépésre számítással az y[ = 0,8y[ + u[ u[ = 0,8 (,) = 0,96, M 0,8 = 0,96, M =,.

3 (d) u[k = ε[k Lineáris, invariáns rendszerr l lévén szó a válasz a (nem belép ) -re adott válasz és a korábban meghatározott ugrásválasz különbségeként számítható. A konstans gerjesztésre adott válasz csak gerjesztett összetev t tartalmaz, amit szintén állandóként keresünk: amivel a válasz ill. a csak k 0-ra érvényes alak Y g 0,8Y g =, Y g = 0, y[k = 0 ε[k(6 0,8 k ) = 0ε[ k + ε[k( 6 0,8 k ), y[k = ε[k( 6 0,8 k ),.. y[k 0,7y[k + 0,94y[k =,8u[k, u[k = δ[k (A RE-et hálózatból olvassuk ki,pdt3-6) A karakterisztikus egyenlet: p 0,7p 0,94 = 0, p, 0,3 ± 0,9j = 0,97e ±j, A rendszer a k k 0 = ütemt l gerjesztetlen, nem kell gerjesztett megoldást keresnünk. A teljes válasz tehát h[k = M p k + M p k = Mp k + M (p ) k = R{Mp k } = R{(M r + jm i )p k } = R{(M r + jm i )0,97 k e ±jk, }, h[k = (0,97) k [M r cos(,k) M i sin(,k) amely k 0 = miatt k = m n + k 0 = + = 0 ütemt l érvényes. A kezdeti feltételeket a konstans valós ill. képzetes részére, y[0 és y[ alapján végezhetjük. A kauzalitást feltételezve lépésr l lépésre kiszámítható az impulzusválasz a keresett ütemekben: amelyek alapján a konstansokra h[0 = 0,7y[ 0,94y[ +,8u[ = 0, h[ = 0,7y[0 0,94y[ +,8u[0 =,8, h[0 = 0 M r, M r = 0 h[ =,8 (0,97) [ M i sin(,), Az impulzusválasz lecseng szinuszos, ϑ =, rad körfrekvenciával 3 : h[k = ε[k(0,97) k sin(,k) M i Az impulzusválaszt a. ábra illusztrálja, amelyen jól látható, hogy a szinuszos tag valóban nem periodikus..3. y[k 0,y[k = 3u[k, u[k = ε[k A rendszeregyenletben n =, m = 0. A karakterisztikus egyenlet: p 0, = 0, p = 0,; p = 0,. A rendszer G-V stabil, mert mindkét gyök az egységkörön belül van. y f [k = M ( 0,) k + M 0, k A gerjesztés k > k 0 = 0 ütemekre konstans, a gerjesztett megoldás is konstans, Y g. Ezt az inhomogén egyenletbe helyettesítve Y g 0,Y g = 3, Y g = 4. A teljes megoldás formulája: y [ k g[k = M ( 0,) k + M 0, k + 4, amely a k = m n = ütemt l érvényes. A kezdeti feltételeket ezen ütemt l kezdve érvényesíthetjük 4. Mivel kauzális a rendszer és belép a gerjesztés, y[k = 0, ha k < 0. ill. ahonnan M = 0, és M =,. A válasz tehát y[ = 0 M ( 0,) + M 0, + 4 = 4M + 4M + 4 y[ = 0 M ( 0,) + M 0, + 4 = M + M + 4, y[k g[k = ε[k [ 0, ( 0,) k, 0, k Figyeljük meg, hogy mivel ϑ nem áll racionális viszonyban a π-vel, ezért a szinuszos összetev nem periodikus! 4 vagy kés bbi ütemekben

4 . 0. h[k k. ábra. A. feladatbeli impulzusválasz.4. y[k 3y[k = u[k + u[k, u[k = δ[k A szabad válasz: y f [k = M 3 k, a rendszer nyilvánvalóan nem G-V stabil. A gerjesztés k k 0 = ütemekre zérus, ezért k k 0 + m = 3 ütemekre a rendszer gerjesztetlen, gerjesztett megoldás zérus. Az impulzusválasz formulája: y[k h[k = M 3 k, amely a k k = k 0 + m n = ütemt l érvényes. Erre az id pillanatra érvényesítve a kezdeti értéket, amelyet lépésr l-lépésre határozhatunk meg, h[0 = 0, vagyis az impulzusválasz h[ =, h[ = 3h[ u[k + u[k = = 4 M 3, h[k = δ[k 4 9 ε[k 3k, M = 4/9, nem abszolút összegezhet. 3. y[k y[k y[k = u[k, u[k = δ[k A karakterisztikus egyenlet: p p = 0, p = 0,68; p = + A rendszer nem G-V stabil, mert az egyik gyök az egységkörön kívülre esik. A rendszer a k k 0 = ütemekre gerjesztetlen, az impulzusválasz h[k = M ( ) k ( + ) k + M, amely formula k k = m n + k 0 = ütemekre érvényes.,68.

5 A kezdeti feltételeket y[ -re és y[0-ra érvényesíthetjük: ahonnan M =, M = +, a válasz pedig y[k = ε[k ( y[ = 0 M + M +, y[0 = M + M, ) k + + ( + ) k, ami y[k = ε[k ( ) k+ ( + + ) k+, alakban Binet-féle formula néven ismert zárt alakú összefüggés a Fibonacci-sor tagjainak kiszámítására. 4. feladat Tekintsük az alábbi állapotegyenletet x [k + = 0,x [k + 0,4x [k + u[k () x [k + = x [k () x 3 [k + = 0,4x [k + 0,x [k + u[k (3) y[k = x 3 [k (4) Meghatározandó az ugrásválasz és az impulzusválasz, továbbá a rendszeregyenlet és annak megoldása δ[k ill. ε[k gerjesztésre! 4.. Ugrásválasz az állapotegyenletb l Az egyenletrendszerb l látszik, hogy csak az x és x állapotváltozó (segítségükkel x 3 már kifejezhet ). A Matlab eig rutinjával >> A = [ ; 0 0; A = >> [M, lam = eig ( A ) M = lam = a sajátértékek λ = 0 λ = 0,43 λ 3 = 0,93 () Vegyük észre, hogy nagy k értékekre az els tag nagyon kicsi. Ha legközelebb versenyre kell Fibonacci-sort számolni nagy k értékekre, akkor a hagyományos megoldások helyett vehetjük csak a. tagot, amit aztán a legközelebbi egészre kerekítünk.

6 és a sajátvektorok A sajátválasz 0 0,34 0,6 m = 0 m = 0,7 m 3 = 0,604 (6) 0,74 0,66 x f = K m 0 k + K m ( 0,43) k + K 3 m 3 0,93 k. (7) A 0 sajátérték is mutatja, hogy másodrend a rendszer. Egyel re csak x -el és x -vel foglalkozunk. x f [k = K 0,34( 0,43) k + K 3 ( 0,6)0,93 k, (8) x f [k = K ( 0,7)( 0,43) k + K 3 ( 0,604)0,93 k. (9) A gerjesztett választ az ε[k gerjesztésnek megfelel en konstans alakban keressük: x g = C, x g = C. Ezek ()-be és ()-be helyettesítve a C = C = 0 értéket adják. A K és K 3 a kezdeti feltételekb l kapható. Ezek, mivel a gerjesztés ε[k, x [0 = x [0 = 0. Mikortól érvényes a válasz formulája? A rendszeregyenlet kapcsán megismert ökölszabály: a k = k 0 +m n ütemt l kezdve. Mivel (egyel re) a rendszeregyenlet nem ismert, csak azt tudjuk, hogy a rendszer három tárolós, de gerjesztés-válasz kapcsolatát tekintve másodrend rendszerként viselkedik. Ez alapján n =, és m 3 lenne a rendszeregyenletében. A (számunkra) legrosszabb esettel kell számolnunk: m = 3, n =, és véletlenül esetleg az így adódó k = k 0 + ütemnél korábban is érvényes lehet a válasz formulája, ha m < 3. Az ugrásválasz számításánál tehát legkorábban a k k = ütemt l érvényes biztosan a formula. A kezdeti feltételeket a teljes megoldásnak kell kielégíteni. A kauzális felírású állapotegyenletben lépésr l lépésre kiszámíthatjuk a keresett x [ és x [ értékeket, u[k = ε[k helyettesítéssel. x [ = 0,x [0 + 0,4x [0 + u[ = illetve Ebb l a konstansokra x [ = x [0 = 0. = K 0,34 ( 0,43) + K 3 ( 0,6) 0, (0) 0 = K ( 0,7) ( 0,43) + K 3 ( 0,604) 0, () adódik. A megoldás K = 0,683 és K 3 = 7,4. A formulába k = 0 értéket behelyettesítve azt látjuk, hogy helyes értéket ad (x [0 = 0, x [0 = 0), ezért kiterjesztjük az érvényességét k 0-ra, és az alábbi megoldásban kiírhatjuk az ε[k-kat. x [k = ε[k( 0,( 0,43) k 9,78 0, 93 k + 0) () x [k = ε[k(0,4( 0,43) k 0, 0,93 k + 0). (3) A válaszhoz szükségünk van x 3 [k kifejezésére, amit a (3) egyenlet egy ütem balra tolásával nyerünk. x 3 [k = 0,4x [k + 0,x [k + u[k = [ (4) = ε[k 0,4 0,( 0,43) k 9,78 0, 93 k () [ +ε[k 0, 0,4( 0,43) k 0, 0,93 k ε[k = (6) [ = ε[k 0,7( 0,43) k 9,7 0,93 k + (7) Végül a keresett ugrásválasz g[k = y[k = x 3 [k (8) 4.. Impulzusválasz az állapotegyenletb l Az egységimpulzus megjelenik, kezdeti értékkel látja el a hálózatot, majd elt nik és a hálózat a k = ütemt l kezdve gerjesztetlen. Így a teljes megldás sajátmegoldásból áll. Ismeretes, hogy a kezdeti értéket az állapotváltozós leírás B vektora adja. x[ = B (9)

7 Tehát a sajátválasz a teljes megoldás. A formula a k 0 = miatt a k = + 3 = ütemt l érvényes biztosan. Az állapotváltozók k = ütembeli értékeit lépésr l lépésre módszerrel számítjuk. u[k = δ[k behelyettesítésével Így a konstansok meghatározására szolgáló egyenlet x [ = 0,x [0 + 0,4x [0 + u[ = x [ = x [0 = 0. x [ = 0,x [ + 0,4x [ + u[ = 0, x [ = x [ =. K 0,34( 0,43) + K 3 ( 0,6)(0,93) = 0, (0) K ( 0,7)( 0,43) + K 3 ( 0,604)(0,93) =. () Innen K =,8, K 3 =,3. Az állapotváltozók x [k = ε[k [ 0,74( 0,43) k + 0,74 0,93 k () x [k = ε[k [,7( 0,43) k + 0,79 0,93 k, (3) ahol ε[k -et írva ismét kihasználtuk, hogy a formula helyes értéket ad már k = -ben is. Ezek után az impulzusválasz számítható. h[k = x 3 [k = 0, 4x [k + 0, x [k + δ[k = (4) = ε[k ( 0,7( 0,43) k + 0,70 0,93 k + δ[k () 4.3. Ugrásválasz a rendszeregyenlet alapján Az ()-(4) állapotegyenlethez tartozó rendszeregyenlet A sajátválasz y[k 0,y[k 0,4y[k = u[k 0,6u[k 0,3u[k 3 (6) y f [k = K ( 0,43) k + K 0,93 k (7) A gerjesztett válasz meghatározásánál gyelembe kell vennünk, hogy a konstans próbafüggvény csak akkor jogos, ha az egyenlet jobbldala (a matematikai értelemben vett gerjesztés) tényleg konstans. Ábrázoljuk (6) jobboldalát u[k = ε[k-ra (. ábra) Látható, hogy k k = 3-tól lehet konstans próbafüggvényt használni. Ezzel az általános megoldás K 0,K 0,4K =, (8) y g [k = K = (9) y[k = K ( 0,43) k + K 0,93 k + k 3. (30) Ez a megoldás a konstansok megfelel megválasztásával kiterjeszthet a két el z ütemre, k = -re és k = -re (k = k 0 + m n = = ). A szükséges y[ és y[ értéket lépésr l lépésre határozhatjuk meg. Felhasználva az így nyert y[ = és y[ =,4 értéket azt kapjuk, hogy K = 0,3933 és K = 9,88. Végül az ugrásválasz g[k = y[k = ε[k ( 0,3933( 0,43) k 9,88 0,93 k + ), (3) ami megegyezik (7)-tel.

8 jbboldal k. ábra. A (6) rendszeregyenlet jobb oldala u[k = ε[k gerjesztésre. jobboldal ábra. A (6) rendszeregyenlet jobb oldala u[k = δ[k gerjesztésre 4.4. Impulzusválasz a rendszeregyenletb l A gerjesztés k 0 = ütemt l zérus. A rendszer csak a k k = k 0 + m = 4-t l gerjesztetlen, tehát csak innen igaz, hogy a teljes megoldás sajátmegoldásból áll. A k = k = 4-t l a megoldás h[k = K ( 0,43) k + K 0,93 k k 4 (3) Mivel k = m n+k 0 = 3 + =, a konstansok megfelel megválasztásával a két megel z ütemre k = 3-ra és k = -re ki lehet terjeszteni a megoldást. h[-t és h[3-at lépésr l-lépésre határozzuk meg. h[ = 0,4 és

9 h[3 = 0,7. A konstansok meghatározására szolgáló egyenletek 0, 4 = K ( 0,43) + K 0,93 (33) 0, 7 = K ( 0,43) 3 + K 0,93 3, (34) ahonnan K =,34 és K = 0,7. A végeredmény a k = -beli érték explicit hozzáadásával 6 : h[k = δ[k + ε[k (,34( 0,43) k + 0,7 0,93 k), (3) ami megegyezik ()-tel. 6 Hiszen a megoldás formulája csak k = -t l érvényes, azonban k = -ben h[ =.