Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
|
|
|
- Irén Szőke
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Szemináriuma Budapest, március 5.
2 A törtrendű diffúzió egyenlete A vizsgált feladat { t u(t, x) = ( D ) α u(t, x) x Ω, t (0, T ) u(0, x) = u 0 x Ω, (1) ahol
3 A törtrendű diffúzió egyenlete A vizsgált feladat { t u(t, x) = ( D ) α u(t, x) x Ω, t (0, T ) u(0, x) = u 0 x Ω, (1) ahol Ω R d, u 0 L 2 (Ω), α > 0 adottak,
4 A törtrendű diffúzió egyenlete A vizsgált feladat { t u(t, x) = ( D ) α u(t, x) x Ω, t (0, T ) u(0, x) = u 0 x Ω, (1) ahol Ω R d, u 0 L 2 (Ω), α > 0 adottak, D az Ω-n értelmezett Dirichlet-Laplace operátor.
5 A törtrendű diffúzió egyenlete A vizsgált feladat { t u(t, x) = ( D ) α u(t, x) x Ω, t (0, T ) u(0, x) = u 0 x Ω, (1) ahol Ω R d, u 0 L 2 (Ω), α > 0 adottak, D az Ω-n értelmezett Dirichlet-Laplace operátor. ( D ) α értelmes.
6 A törtrendű diffúzió egyenlete A vizsgált feladat { t u(t, x) = ( D ) α u(t, x) x Ω, t (0, T ) u(0, x) = u 0 x Ω, (1) ahol Ω R d, u 0 L 2 (Ω), α > 0 adottak, D az Ω-n értelmezett Dirichlet-Laplace operátor. ( D ) α értelmes. Ez egy lehetséges "jó" modell (SZB, IF; AML 17).
7 Numerikus megoldás: egy ötlet Mártixtranszformációs módszer (MTM):
8 Numerikus megoldás: egy ötlet Mártixtranszformációs módszer (MTM): Ha D A, akkor ( D ) α A α.
9 Numerikus megoldás: egy ötlet Mártixtranszformációs módszer (MTM): Ha D A, akkor ( D ) α A α. Ez jónak látszik (VD és VE disztkretizációra is). [Ilić,.. 05, 06]
10 Numerikus megoldás: egy ötlet Mártixtranszformációs módszer (MTM): Ha D A, akkor ( D ) α A α. Ez jónak látszik (VD és VE disztkretizációra is). [Ilić,.. 05, 06] VD eset: Ez valóban h szerint másodrendű konzisztenciát biztosít, időben implicit Euler módszerrel pedig O(δ) + O(h 2 ) konvergenciát L 2 -normában minden α R + és max-normában minden α 1 esetén (Sz.B., I.F., CAMWA 16).
11 Numerikus megoldás: egy ötlet Mártixtranszformációs módszer (MTM): Ha D A, akkor ( D ) α A α. Ez jónak látszik (VD és VE disztkretizációra is). [Ilić,.. 05, 06] VD eset: Ez valóban h szerint másodrendű konzisztenciát biztosít, időben implicit Euler módszerrel pedig O(δ) + O(h 2 ) konvergenciát L 2 -normában minden α R + és max-normában minden α 1 esetén (Sz.B., I.F., CAMWA 16). VE eset: Az f = ( D ) α elliptikus peremérték feladatra L 2 -normában optimális rendben (szuper) konvergál (Sz.B., I.F., JCAM 16).
12 Numerikus megoldás formulákkal - példa Az eredeti (1) feladatra térben MTM, időben explicit Euler:
13 Numerikus megoldás formulákkal - példa Az eredeti (1) feladatra térben MTM, időben explicit Euler: un+1 u n δ A α u n u n+1 = u n δa α u n, ahol
14 Numerikus megoldás formulákkal - példa Az eredeti (1) feladatra térben MTM, időben explicit Euler: un+1 u n δ A α u n u n+1 = u n δa α u n, ahol δ - időlépés, u n - numerikus közelítés nδ-ban.
15 Numerikus megoldás formulákkal - példa Az eredeti (1) feladatra térben MTM, időben explicit Euler: un+1 u n δ A α u n u n+1 = u n δa α u n, ahol δ - időlépés, u n - numerikus közelítés nδ-ban. Bírálat: nagyon lassú A α nehezen kiszámítható.
16 Numerikus megoldás formulákkal - példa Az eredeti (1) feladatra térben MTM, időben explicit Euler: un+1 u n δ A α u n u n+1 = u n δa α u n, ahol δ - időlépés, u n - numerikus közelítés nδ-ban. Bírálat: nagyon lassú A α nehezen kiszámítható. Igen: A ritka, A α telt mátrix.
17 Numerikus megoldás formulákkal - példa Az eredeti (1) feladatra térben MTM, időben explicit Euler: un+1 u n δ A α u n u n+1 = u n δa α u n, ahol δ - időlépés, u n - numerikus közelítés nδ-ban. Bírálat: nagyon lassú A α nehezen kiszámítható. Igen: A ritka, A α telt mátrix. Ötlet: de a fentihez A α nem is kell, számoljunk A α w szorzatokat közvetlenül.
18 Első próbálkozások Írjuk fel A α értékét Taylor sorral:
19 Első próbálkozások Írjuk fel A α értékét Taylor sorral: ( ) σ(a) α ( ) 2A α ( ) σ(a) α ( ) ( ) α 2A j A α = = 2 σ(a) 2 j σ(a) I. j=0
20 Első próbálkozások Írjuk fel A α értékét Taylor sorral: ( ) σ(a) α ( ) 2A α ( ) σ(a) α ( ) ( ) α 2A j A α = = 2 σ(a) 2 j σ(a) I. j=0 Közelítsünk, írjuk be tagonként w-t: ( ) σ(a) α K ( ) ( ) α 2A j A α w 2 j σ(a) I w. j=0
21 Első próbálkozások Írjuk fel A α értékét Taylor sorral: ( ) σ(a) α ( ) 2A α ( ) σ(a) α ( ) ( ) α 2A j A α = = 2 σ(a) 2 j σ(a) I. j=0 Közelítsünk, írjuk be tagonként w-t: ( ) σ(a) α K ( ) ( ) α 2A j A α w 2 j σ(a) I w. j=0
22 Első próbálkozások Írjuk fel A α értékét Taylor sorral: ( ) σ(a) α ( ) 2A α ( ) σ(a) α ( ) ( ) α 2A j A α = = 2 σ(a) 2 j σ(a) I. j=0 Közelítsünk, írjuk be tagonként w-t: ( ) σ(a) α K ( ) ( ) α 2A j A α w 2 j σ(a) I w. j=0 Az egyes tagok gyorsan számíthatók: ( ) ( ) α 2A j+1 j + 1 σ(a) I w = α j j + 1 ( 2A σ(a) I )( ) ( ) α 2A j j σ(a) I
23 Első próbálkozások Írjuk fel A α értékét Taylor sorral: ( ) σ(a) α ( ) 2A α ( ) σ(a) α ( ) ( ) α 2A j A α = = 2 σ(a) 2 j σ(a) I. j=0 Közelítsünk, írjuk be tagonként w-t: ( ) σ(a) α K ( ) ( ) α 2A j A α w 2 j σ(a) I w. j=0 Az egyes tagok gyorsan számíthatók: ( ) ( ) α 2A j+1 j + 1 σ(a) I w = α j j + 1 ( 2A σ(a) I azaz új tag az összegben: egy ritka mátrix-vektor szorzás. )( ) ( ) α 2A j j σ(a) I
24 Első próbálkozások Írjuk fel A α értékét Taylor sorral: ( ) σ(a) α ( ) 2A α ( ) σ(a) α ( ) ( ) α 2A j A α = = 2 σ(a) 2 j σ(a) I. j=0 Közelítsünk, írjuk be tagonként w-t: ( ) σ(a) α K ( ) ( ) α 2A j A α w 2 j σ(a) I w. j=0 Az egyes tagok gyorsan számíthatók: ( ) ( ) α 2A j+1 j + 1 σ(a) I w = α j j + 1 ( 2A σ(a) I azaz új tag az összegben: egy ritka mátrix-vektor szorzás. )( ) ( ) α 2A j j σ(a) I Izsák Ferenc ELTE De sok TTK, tag kell. Alkalmazott Analízis Mátrixhatvány-vektor és Számításmatematikai szorzatok hatékony számítása Tanszék &
25 A hiba, javítandó részletek A hiba mérése minden esetben err = Aw A 0.7 A 0.3 w max.
26 A hiba, javítandó részletek A hiba mérése minden esetben err = Aw A 0.7 A 0.3 w max. A: másodrendű közelítése
27 A hiba, javítandó részletek A hiba mérése minden esetben err = Aw A 0.7 A 0.3 w max. A: másodrendű közelítése (0, π) as felosztásán
28 A hiba, javítandó részletek A hiba mérése minden esetben err = Aw A 0.7 A 0.3 w max. A: másodrendű közelítése (0, π) as felosztásán homogén Dirichlet- (D) és Neumann-peremfeltétellel (N )
29 A hiba, javítandó részletek A hiba mérése minden esetben err = Aw A 0.7 A 0.3 w max. A: másodrendű közelítése (0, π) as felosztásán homogén Dirichlet- (D) és Neumann-peremfeltétellel (N ) K err, N , 28 0, 51 0, 0515 err, D , 57 0, idő[s] 0, 005 0, , , 99 9, 87
30 A hiba, javítandó részletek A hiba mérése minden esetben err = Aw A 0.7 A 0.3 w max. A: másodrendű közelítése (0, π) as felosztásán homogén Dirichlet- (D) és Neumann-peremfeltétellel (N ) K err, N , 28 0, 51 0, 0515 err, D , 57 0, idő[s] 0, 005 0, , , 99 9, 87 Nagy és kicsi sajátértékek okozzák: sp A [ 1, 1]
31 A hiba, javítandó részletek A hiba mérése minden esetben err = Aw A 0.7 A 0.3 w max. A: másodrendű közelítése (0, π) as felosztásán homogén Dirichlet- (D) és Neumann-peremfeltétellel (N ) K err, N , 28 0, 51 0, 0515 err, D , 57 0, idő[s] 0, 005 0, , , 99 9, 87 Nagy és kicsi sajátértékek okozzák: sp A [ 1, 1] Neumann-peremfeltétel:
32 Ötlet javításra Válasszuk le a nagy és kicsi sajátértékeket, -vektorokat:
33 Ötlet javításra Válasszuk le a nagy és kicsi sajátértékeket, -vektorokat: Az általuk kifeszített altérben közvetlen hatványozás.
34 Ötlet javításra Válasszuk le a nagy és kicsi sajátértékeket, -vektorokat: Az általuk kifeszített altérben közvetlen hatványozás. A kiegészítő altérben a Taylor-közelítés hatékonyabb lesz.
35 Ötlet javításra Válasszuk le a nagy és kicsi sajátértékeket, -vektorokat: Az általuk kifeszített altérben közvetlen hatványozás. A kiegészítő altérben a Taylor-közelítés hatékonyabb lesz. Formálisan a Q k : R N span { } v 1,..., v j, v N k j+1,..., v N vetítéssel: ( ) σ(a) α (( ) 2A α ( ) 2A α A α w = Q k w + (w Q k w)). 2 σ(a) σ(a)
36 Az algoritmus A-hoz a legkisebb j db és legnagyobb k j db sajátérték, sajátvektor kiszámítása.
37 Az algoritmus A-hoz a legkisebb j db és legnagyobb k j db sajátérték, sajátvektor kiszámítása. Q k meghatározása (egy mátrix-összeállítás).
38 Az algoritmus A-hoz a legkisebb j db és legnagyobb k j db sajátérték, sajátvektor kiszámítása. Q k meghatározása (egy mátrix-összeállítás). A α Q k w meghatározása: Q k w = a 1 v a N v N A α Q k w = a 1 λ α 1 v a N λ α N v N.
39 Az algoritmus A-hoz a legkisebb j db és legnagyobb k j db sajátérték, sajátvektor kiszámítása. Q k meghatározása (egy mátrix-összeállítás). A α Q k w meghatározása: Q k w = a 1 v a N v N A α Q k w = a 1 λ α 1 v a N λ α N v N. A α (w Q k w) közelítése: ( ) σ(a) α K ( ) ( ) α 2A j A α (w Q k w) 2 j σ(a) I (w Q k w). j=0
40 Az algoritmus A-hoz a legkisebb j db és legnagyobb k j db sajátérték, sajátvektor kiszámítása. Q k meghatározása (egy mátrix-összeállítás). A α Q k w meghatározása: Q k w = a 1 v a N v N A α Q k w = a 1 λ α 1 v a N λ α N v N. A α (w Q k w) közelítése: ( ) σ(a) α K ( ) ( ) α 2A j A α (w Q k w) 2 j σ(a) I (w Q k w). j=0 A α w = A α Q k w + A α (w Q k w)
41 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz?
42 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz? Milyen pontosság kell? Milyen A struktúrája?
43 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz? Milyen pontosság kell? Milyen A struktúrája? Az analitikus becslés nagyon pesszimista.
44 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz? Milyen pontosság kell? Milyen A struktúrája? Az analitikus becslés nagyon pesszimista. j = k/2 javasolható.
45 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz? Milyen pontosság kell? Milyen A struktúrája? Az analitikus becslés nagyon pesszimista. j = k/2 javasolható. Sajátrendszer legyen pontos!
46 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz? Milyen pontosság kell? Milyen A struktúrája? Az analitikus becslés nagyon pesszimista. j = k/2 javasolható. Sajátrendszer legyen pontos! eigs.m - beépített MATLAB-szubrutin: gyenge.
47 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz? Milyen pontosság kell? Milyen A struktúrája? Az analitikus becslés nagyon pesszimista. j = k/2 javasolható. Sajátrendszer legyen pontos! eigs.m - beépített MATLAB-szubrutin: gyenge. jdcg.m - ez egész jó
48 Numerikus kísérletek I. Mi legyen K, k, j értéke adott pontossághoz? Milyen pontosság kell? Milyen A struktúrája? Az analitikus becslés nagyon pesszimista. j = k/2 javasolható. Sajátrendszer legyen pontos! eigs.m - beépített MATLAB-szubrutin: gyenge. jdcg.m - ez egész jó chdav.m - ez a nyerő (jó paraméterrel)
49 Numerikus kísérletek II. táblázat: Kísérleti eredmények: d = 2, N, N = 60 α = 0.3. k K számítási idő [s] err r
50 Numerikus kísérletek III. - a lényeg táblázat: A α w kiszámítása a régi és az új módszerrel: d = 3, N, j = 8, α = 0.3; mértékegységek: idő[s], mem[mb]. mpower(a, α)w új módszer N idő:a α idő: w mem err idő:a α w mem err >36h?? > 10 4??
51 Megfigyelések - MATLAB Ritka mátrix számmal való szorzása lassú.
52 Megfigyelések - MATLAB Ritka mátrix számmal való szorzása lassú. Volna mit finomítani a sajátrendszerek közelítésén.
53 Megfigyelések - MATLAB Ritka mátrix számmal való szorzása lassú. Volna mit finomítani a sajátrendszerek közelítésén. Nem érdemes 8-10-nél több sajátértéket meghatározni.
54 Megfigyelések - MATLAB Ritka mátrix számmal való szorzása lassú. Volna mit finomítani a sajátrendszerek közelítésén. Nem érdemes 8-10-nél több sajátértéket meghatározni. 3 dimenzióban pontosabb a közelítés, mint 2-ben.
55 Köszönöm a figyelmet!
I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó, 2010
Tartalomjegyzék 15. Elliptikus egyenletek 7 15.1. Bevezetés: Elliptikus egyenletek alkalmazott feladatokban... 7 15.2. Elméleti háttér.......................... 9 15.3. Véges dierencia eljárások II...................
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. Gyakorlat 1 / 18 Fokozatos
Alap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 6. előadás: Vektor- és mátrixnormák Lócsi Levente ELTE IK 2013. október 14. Tartalomjegyzék 1 Vektornormák 2 Mátrixnormák 3 Természetes mátrixnormák, avagy indukált normák 4 Mátrixnormák
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához
Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához Izsák Ferenc 2007. szeptember 17. Explicit hibabecslés Maxwell-egyenletek numerikus megoldásához 1 Vázlat Bevezetés: a vizsgált egyenlet,
A KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja
VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag 2019. március 21. Mátrix rangja 1. Számítsuk ki az alábbi mátrixok rangját! (d) 1 1 2 2 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 2 3 1 3
NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó
FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart
Mátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Numerikus matematika vizsga
1. Az a = 2, t = 4, k = 3, k + = 2 számábrázolási jellemzők mellett hány pozitív, normalizált lebegőpontos szám ábrázolható? Adja meg a legnagyobb ábrázolható számot! Mi lesz a 0.8-hoz rendelt lebegőpontos
Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
Differenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Differenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
CSATOLT REZGÉSEK Kedves barátom, Skrapits Lajos tanár úr emlékére
CSATOLT REZGÉSEK Kedves barátom, Skrapits Lajos tanár úr emlékére Schipp Ferenc ELTE IK umerikus Analízis Tanszék A szabadon esô rugó fizikája Húsz évvel ezelôtt az ELTE Általános Fizika Tanszék hagyományos
Strukturált Generátorrendszerek Online Tanulása és Alk-ai
Strukturált Generátorrendszerek Online Tanulása és Alkalmazásai Problémamegoldó Szeminárium 2010. nov. 5 Tartalomjegyzék Motiváció, példák Regressziós feladatok (generátorrendszer fix) Legkisebb négyzetes
Problémás regressziók
Universitas Eotvos Nominata 74 203-4 - II Problémás regressziók A közönséges (OLS) és a súlyozott (WLS) legkisebb négyzetes lineáris regresszió egy p- változós lineáris egyenletrendszer megoldása. Az egyenletrendszer
Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
7. gyakorlat megoldásai
7. gyakorlat megoldásai Komple számok, sajátértékek, sajátvektorok F1. Legyen z 1 = + i és z = 1 i. Számoljuk ki az alábbiakat: z 1 z 1 + z, z 1 z, z 1 z,, z 1, z 1. z M1. A szorzásnál használjuk, hogy
Peremérték-feladatok numerikus megoldása Galjorkin-módszerekkel
Peremérték-feladatok numerikus megoldása Galjorkin-módszerekkel Habilitációs dolgozat Izsák Ferenc adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi
Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája
Számítási módszerek a fizikában 1. (BMETE90AF35) tárgy részletes tematikája Tasnádi Tamás 2014. szeptember 11. Kivonat A tárgy a BME Fizika BSc szak kötelező, alapozó tárgya a képzés 1. félévében. A tárgy
Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása
Példa: Háromszög síkidom másodrendű nyomatékainak számítása Készítette: Dr. Kossa Attila kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék. február 6. Határozzuk meg az alábbi ábrán látható derékszögű háromszög
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Simított részecskedinamika Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)
Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Áramlások numerikus modellezése II. Tóth Balázs BME-ÉMK Vízépítési és Vízgazdálkodási Tanszék Numerikus módszerek Osztályozás A numerikus sémák két csoportosítási
9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Lineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc
Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc numerikus módszerei számítógépes írta Karátson, János, Horváth, Róbert, és Izsák, Ferenc Publication date 2013 Szerzői jog 2013 Karátson János, Horváth Róbert,
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására
Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. február 22. Tekintsük az alábbi keresztmetszetet. 1. ábra. A vizsgált
Numerikus módszerek. 9. előadás
Numerikus módszerek 9. előadás Differenciálegyenletek integrálási módszerei x k dx k dt = f x,t; k k ' k, k '=1,2,... M FELADAT: meghatározni x k t n x k, n egyenletes időlépés??? t n =t 0 n JELÖLÉS: f
Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi
Gyakorló feladatok Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi 25 Tartalomjegyzék. Klasszikus hibaszámítás 3 2. Lineáris egyenletrendszerek 3 3. Interpoláció 4 4. Sajátérték, sajátvektor 6 5. Lineáris és nemlineáris
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel p. 1/29. Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE
Nem teljesen kitöltött páros összehasonlítás mátrixok sajátérték optimalizálása Newton-módszerrel Ábele-Nagy Kristóf BCE, ELTE Bozóki Sándor BCE, MTA SZTAKI 2010. november 4. Nem teljesen kitöltött páros
1. feladatsor Komplex számok
. feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4
1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában
1. Reprezentáció elmélet 1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában A vektorok és az operátorok mátrixok formájában is felírhatók. A végtelen dimenziós ket vektoroknak végtelen sok sort tartalmazó oszlopmátrix
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma
Bevezetés az algebrába 2 Vektor- és mátrixnorma Wettl Ferenc Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M 2016.
Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra
Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció
A TANTÁRGY ADATLAPJA
A TANTÁRGY ADATLAPJA 1. A képzési program adatai 1.1 Felsőoktatási intézmény Babeș-Bolyai Tudományegyetem 1.2 Kar Matematika és Informatika 1.3 Intézet Magyar Matematika és Informatika 1.4 Szakterület
Fourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások
Numerikus módszerek I. zárthelyi dolgozat (2017/18. I., A. csoport) Megoldások 1. Feladat. (6p) Jelöljön. egy tetszőleges vektornormát, ill. a hozzá tartozó indukált mátrixnormát! Igazoljuk, hogy ha A
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
A Richardson-extrapoláció és alkalmazása a Dániai Euleri Modellben
A Richardson-extrapoláció és alkalmazása a Dániai Euleri Modellben Faragó István 1, Havasi Ágnes 1, Zahari Zlatev 2 1 ELTE Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék és MTA-ELTE Numerikus Analízis
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
Robotok inverz geometriája
Robotok inverz geometriája. A gyakorlat célja Inverz geometriai feladatot megvalósító függvények implementálása. A megvalósított függvénycsomag tesztelése egy kétszabadságfokú kar előírt végberendezés
Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
LNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
Végeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
10. Előadás. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai
Optimalizálási eljárások MSc hallgatók számára 10. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: T. Szabó Tamás 2011. április 20. 1. Feltétel nélküli optimalizálás: Az eljárás alapjai A feltétel nélküli optimalizálásnál
Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Numerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével
Példa: Tartó lehajlásfüggvényének meghatározása végeselemes módszer segítségével Készítette: Dr. Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 213. október 8. Javítva: 213.1.13. Határozzuk
Lineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
Bevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Mátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II.
YBL - SGYMMAT2012XA Matematika II. Tantárgyfelelős: Dr. Joós Antal Tárgyelőadó: Dr. Joós Antal Tantárgyi leírás Oktatási cél: Azoknak a matematikai alapoknak a megszerzése, melyek a szaktárgyak elsajátításához
Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei február 5.
Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Horváth Róbert, Izsák Ferenc, Karátson János 013. február 5. Tartalomjegyzék Bevezetés 6 I. Elliptikus parciális differenciálegyenletek
Saj at ert ek-probl em ak febru ar 22.
Sajátérték-problémák 2016. február 22. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre az egyenlet
Konjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
Gauss-Seidel iteráció
Közelítő és szimbolikus számítások 5. gyakorlat Iterációs módszerek: Jacobi és Gauss-Seidel iteráció Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 ITERÁCIÓS
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel
Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel Segédlet az A végeselem módszer alapjai tárgy 4. laborgyakorlatához http://www.mm.bme.hu/~kossa/vemalap4.pdf Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu)
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
Az impulzusnyomatékok általános elmélete
Az impulzusnyomatékok általános elmélete November 27, 2006 Az elemi kvantummechanika keretében tárgyaltuk már az impulzusnyomatékot. A továbbiakban általánosítjuk az impulzusnyomaték fogalmát a kvantummechanikában
1 Lebegőpontos számábrázolás
Tartalom 1 Lebegőpontos számábrázolás... 2 2 Vektornormák... 4 3 Indukált mátrixnormák és tulajdonságaik... 5 4 A lineáris rendszer jobboldala hibás... 6 5 A kondíciószám és tulajdonságai... 7 6 Perturbációs
Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet
Egyesített funkcionális renormálási csoport egyenlet Nándori István MTA-DE Részecskefizikai Kutatócsoport, MTA-Atomki, Debrecen Magyar Fizikus Vándorgyűles, Debrecen, 2013 Kvantumtérelmélet Részecskefizika
LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
x 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
A Poisson-egyenletre alkalmazott multigrid mo dszer
A Poisson-egyenletre alkalmazott multigrid mo dszer Szakdolgozat I rta: Klimaj Bettina Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakira ny Te mavezeto : Dr. Ga spa r Csaba egyetemi tana r Numerikus Analı
Normák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
Mátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Végeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 13. Előadás Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Hajnal Péter 2009. december 7. Gráfok sajátértékei Definíció. Egy G egyszerű gráf sajátértékei az A G
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék
III 1. Aritmetika 1 1.1. Elemi számolási szabályok............................... 1 1.1.1. Számok..................................... 1 1.1.1.1. Természetes, egész és racionális számok.............. 1
ACM Snake. Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele
ACM Snake Orvosi képdiagnosztika 11. előadás első fele ACM Snake (ismétlés) A szegmentáló kontúr egy paraméteres görbe: x Zs s X s, Y s,, s A szegmentáció energia funkcionál minimalizálása: E x Eint x
Szinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
1. Transzformációk mátrixa
1 Transzformáiók mátrixa Lineáris transzformáiók Definíió T test Az A : T n T n függvény lineáris transzformáió, ha tetszőleges v,w T n vektorra és λ skalárra teljesül, hogy A(v + w) A(v) + A(w) és A(λv)
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition
Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
GROVER-algoritmus. Sinkovicz Péter. ELTE, MSc II dec.15.
ELTE, MSc II. 2011.dec.15. Áttekintés Feladat Algoritmus Kvantum keresési algoritmus áttekintése Input: N = 2 n elemű tömb, Ψ 1 = 0 1 kezdőállapot, f x0 (x) orákulum függvény. Output: x 0 keresett elem
1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
Numerikus módszerek 2.
Numerikus módszerek 2. 12. elődás: Numerikus integrálás I. Krebsz Ann ELTE IK 2015. május 5. Trtlomjegyzék 1 Numerikus integrálás 2 Newton Cotes típusú kvdrtúr formulák 3 Hibformulák 4 Összetett formulák
Geometria II gyakorlatok
Geometria II gyakorlatok Kovács Zoltán Copyright c 2011 Last Revision Date: 2012. május 8. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát technikával készült, a megjelenés
Diplomamunkám felépítése
Üregek távolhatása gránitos kőzetkörnyezetben Tóth Szilvia Konzulensek: Dr. Török Ákos, BME Építőanyagok és Mérnökgeológia Tanszék Poromb Péter, Mott MacDonald Magyarország Kft. Diplomamunkám felépítése
A DIFFÚZIÓ MATEMATIKAI MODELLJEI
A DIFFÚZIÓ MATEMATIKAI MODELLJEI BSc szakdolgozat Írta: Tóth Beáta Matematika BSc - alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Izsák Ferenc, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék