I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3

Átírás

1 Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál Lebesgue-integrál, L p terek Paraméteres integrálok A C 0 (Ω) függvénytér Multiindexek A kompakt tartójú sima függvények tere Az egységapproximáció alkalmazása Az egységosztás tétele II. Másodrendű lineáris parciális differenciálegyenletek Parciális differenciálegyenletek alapfogalmai, példák Motiváció Alapfogalmak Parciális differenciálegyenlet fogalma Parciális differenciálegyenletek főbb típusai Mellékfeltételek, korrekt kitűzésű feladatok Néhány elemi úton megoldható egyenlet Integrálható egyenletek Közönséges differenciálegyenletre visszavezethető egyenletek Új változók bevezetésével megoldható egyenletek i

2 Elsőrendű lineáris egyenletek Feladatok A matematikai fizika néhány parciális differenciálegyenlete Motiváció A hővezetés matematikai leírása Hővezetés egy dimenzióban Hővezetés két és magasabb dimenzióban Stacionárius hővezetés A hővezetési egyenlet Einstein-féle levezetése A hullámmozgás matematikai leírása Az egydimenziós hullámegyenlet Hullámegyenlet két és magasabb dimenzióban További példák Lineáris egyenletek Nemlineáris egyenletek Egyenletrendszerek Feladatok Másodrendű lineáris egyenletek kanonikus alakja Az egyenletek osztályozása Az egyenletek kanonikus alakja Feladatok A Laplace- és Poisson-egyenlet Előkészületek Fizikai háttér Green-formulák Speciális megoldások Radiális megoldások Alapmegoldás és Newton-potenciál Klasszikus peremérték-feladatok A klasszikus feladatok kitűzése A megoldás egyértelműsége Dirichlet-elv Klasszikus sajátérték-feladatok A klasszikus sajátérték-feladatok kitűzése Sajátértékek, a változók szétválasztásának módszere Fourier-módszer Harmonikus függvények Maximum- és minimumelvek A Dirichlet-feladat megoldásának egyértelműsége Harmonikus függvények további tulajdonságai ii

3 7.6. Green-függvény Green harmadik formulája A Green-függvény értelmezése és tulajdonságai Poisson-formula gömbön További példák Green-függvényekre Feladatok A hővezetési egyenlet Fizikai motiváció Speciális megoldások Hasonlósági megoldások Alapmegoldás Cauchy-feladatok A klasszikus Cauchy-feladatok kitűzése A homogén egyenlet megoldása Duhamel-elv és az inhomogén egyenlet Egyértelműség Tyihonov példája Vegyes feladatok Maximum- és minimumelvek Egyértelműség Fourier-módszer Feladatok III. Disztribúcióelmélet Disztribúcióelmélet Motiváció A disztribúció fogalma, példák A disztribúció fogalma Példák Algebrai műveletek, disztribúció tartója Algebrai műveletek Disztribúció tartója Disztribúció deriváltja Disztribúciók direkt szorzata A direkt szorzat definíciója Műveleti tulajdonságok Disztribúciók konvolúciója Függvények konvolúciója Disztribúciók konvolúciója: definíció, példák Műveleti tulajdonságok iii

4 9.7. Alapmegoldások Példák alapmegoldásra Feladatok Általánosított Cauchy-feladatok hiperbolikus egyenletekre Az általánosított Cauchy-feladat A klasszikus Cauchy-feladat Feladatok Általánosított Cauchy-feladatok parabolikus egyenletekre Az általánosított Cauchy-feladat A klasszikus Cauchy-feladat Feladatok IV. Szoboljev-terek Szoboljev-terek A H 1 (R N ) tér A H 1 (Ω) terek A H0 1 (Ω) tér A H 2 (Ω) tér A H 1 (Ω) és H 1 (Ω) duális terek Feladatok Elliptikus problémák Dirichlet-feladat I Dirichlet-feladat II Neumann-feladat I Neumann-feladat II A Laplace-operátor spektráltétele Feladatok Evolúciós problémák Hővezetési egyenlet Hullámegyenlet Útmutatások, megoldások Megoldások a 9. fejezet feladataihoz Megoldások a 10. fejezet feladataihoz Megoldások a 11. fejezet feladataihoz Útmutatások a 12. fejezet feladataihoz Útmutatások a 13. fejezet feladataihoz iv

5 Irodalomjegyzék 331 Tárgymutató 345 Névmutató 353 v