SCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET

Átírás

1 SCHRÖDINGER-EGYENLET A Scrödinger-egyenlet a kvantummecanika mozgásegyenlet, Newton II. törvényével analóg. Nem vezetető le korábbi elvekből, de intuitívan bevezetető. Egy atározott energiával és impulzussal mozgó részecskét a kvantummecanikában síkullámmal írunk le: πi ikr t pr Et ( rt, ) e e Egyelőre foglalkozzunk az egydimenziós esettel: πi i kx t px Et ( xt, ) e e SCHRÖDINGER-EGYENLET ( xt, ) e πi px Et Az E = p / (m) feltétel korlátozza a ullámfüggvény alakját. Ennek ellenőrzéséez a ullámfüggvényből leolvassuk az energiát és impulzust. A szuperpozíció elve miatt a leolvasásnak lineárisnak kell lennie! 1. próba: deriválás idő szerint πi px Et ( x, t) πi πi Ee E( x, t) t. próba: deriválás kétszer a elykoordináta szerint ( x, t) πi 4π p p x x πi πi px Et px Et e e 4π p ( x, t)

2 ( xt, ) 4π x SCHRÖDINGER-EGYENLET p ( x, t) Osszuk egymással a két egyenletet, nem feledve ogy me = p. ( x, t ) π i E ( x, t ) t ( xt, ) 4π p ( x, t) x a szabad mozgás ( x, t) πi Scrödinger-egyenlete E ( x, t ) t i x t x t π t 8mπ x (, ) (, ) SCHRÖDINGER-EGYENLET Három dimenzióban: i π t 8mπ x y z Klasszikus ullámegyenlet: v t x y z i t 4mπ x y z

3 SCHRÖDINGER-EGYENLET Erőtérben (potenciál jelenlétében, ld. Hamiltonmecanika a klasszikus fizikában): i V ( x, y, z) π t 8mπ x y z Másodrendű parciális differenciálegyenlet A megoldást alapvetően megszabják: peremfeltételek kezde feltétel ( x, y, z,0) ( x, y, z, t) ( x, y, z ) perem a tér néány kiválasztott pontjára időfüggetlen értékek a tér minden pontjában megadott érték a nulla időpontban A SCHRÖDINGER-EGYENLET TULAJDONSÁGAI i V ( x, y, z) π t 8mπ x y z Mindenképpen komplex függvény és időben változik: Ha a kezde értéke (t = 0) valós, a teljes jobb oldal valós szám marad. A bal oldalon viszont az időbeli derivált meg van szorozva a képzetes egységgel (i), így t > 0 esetében a értékei mindenképpen komplex számok lesznek Ha csak egyetlen egy pont van a térben, aol a jobb oldal nem nulla, akkor nem leet időtől független.

4 A SCHRÖDINGER-EGYENLET TULAJDONSÁGAI i V ( x, y, z) π t 8mπ x y z Linearitás: t t t 1 x x x A SCHRÖDINGER-EGYENLET TULAJDONSÁGAI i V ( x, y, z) π t 8mπ x y z Linearitás: i π t 8mπ x mπ y z V ( x, y, z) 1 1

5 A SCHRÖDINGER-EGYENLET TULAJDONSÁGAI i V ( x, y, z) π t 8mπ x y z Linearitás: i 1 i π t π t 8mπ x 8mπ x 1 1 8mπ y 8mπ y 8mπ z 8mπ z 1 1 V ( x, y, z) V ( x, y, z) 1 1 Ha 1 és a Scrödinger-egyenlet megoldása, akkor az lineáris kombináció is megoldás Ezen állítás megfordítása nem igaz!!! A szuperpozíció elve A SCHRÖDINGER-EGYENLET TULAJDONSÁGAI i V ( x, y, z) π t 8mπ x y z Normálásmegőrzés: teljes t teljes 3 ( r, t) * ( r, t)d r 1 Normálás x, y, z, t * x, y, z, t dxdydz 0 Ha a kezde időpillanatban normált, akkor bármely időpillanatban is normált marad.

6 IDŐTŐL FÜGGETLEN SCHRÖDINGER- EGYENLET az eddigiek szerint semmiképpen nem leet független az időtől. Klasszikus fizikai analógia: az állóullámok esetében sem független az amplitúdó az időtől, anem a klasszikus ullámfüggvény előállítató egy csak időfüggő (és periodikus) és egy csak elyfüggő tag szorzataként: x, y, z, t t x, y, z idő ely (Emlékeztető) Mértékinvariancia: egy ullámfüggvény fizikai tartalmát nem változtatja meg, a szorozzuk egy e i taggal IDŐTŐL FÜGGETLEN SCHRÖDINGER- EGYENLET Mértékinvariancia: egy ullámfüggvény fizikai tartalmát nem változtatja meg, a szorozzuk egy e i taggal Ha a kvantummecanikai ullámfüggvény x, y, z, t e x, y, z alakú, akkor semelyik fizikai sajátság nem függ majd az időtől. Legyen = (= E / ), vagyis éppen a rezgés körfrekvenciája, vagyis: πe x, y, z, t e x, y, z

7 IDŐTŐL FÜGGETLEN SCHRÖDINGER- EGYENLET πe x, y, z, t e x, y, z Írjuk be ezt a Scrödinger-egyenletbe: πe πe e x, y, z e x, y, z i π t 8mπ x πe πe e x, y, z e x, y, z 8mπ y 8mπ z πe V ( x, y, z)e x, y, z IDŐTŐL FÜGGETLEN SCHRÖDINGER- EGYENLET πe πe e x, y, z e x, y, z i π t 8mπ x πe πe e x, y, z e x, y, z 8mπ y 8mπ z πe V ( x, y, z)e x, y, z πe πe πe i πe e e i π 8mπ x πe πe e e 8mπ y 8mπ z V ( x, y, z)e

8 IDŐTŐL FÜGGETLEN SCHRÖDINGER- EGYENLET πe πe i πe e e i π 8mπ x πe πe e e 8mπ y 8mπ z V ( x, y, z)e πe E 8mπ x y z V ( x, y, z) IDŐTŐL FÜGGETLEN SCHRÖDINGER- EGYENLET E 8mπ x y z V ( x, y, z) E V ( x, y, z) 8mπ x y z Időtől független Scrödinger-egyenlet, kvantummecanikai állóullám

9 IDŐTŐL FÜGGETLEN SCHRÖDINGER- EGYENLET E V ( x, y, z) 8mπ x y z A kémia részecskék elektronszerkezetének leírására legasznosabb forma: nem mozgásegyenlet, anem állapotegyenlet már nem feltétlenül komplex függvény, leet valós is normáltságmegőrzés: nem értelmes, normált a peremfeltételek még mindig fontosak, kezde feltételek nincsenek a linearitás még mindig (nagyon) fontos OPERÁTOROK függvényekez másik függvényt rendelő függvények Példa: differenciálányados (független változó: t) f t d f dt lim f t 0 f d dt at b a at b 4at 4 3 sin a cos bt ab bt

10 OPERÁTOROK Más jelölés a differenciálányadosra: d ˆ dt t ˆ f t df t dt Nevezetes operátorok a matemakában: ˆ,, x y z Nabla operátor: többváltozós függvényből vektorértékű függvény más név: gradiens operátor ˆ ˆ x y z Laplace-operátor: többváltozós függvényből skalárértékű függvény OPERÁTOROK Nevezetes operátorok a matemakában, áromváltozós, vektorértékű függvények esetében: f fx, fy, fz f f z y f f x f z y fx rot f,, y z z x x y divf rotáció operátor f f fz x y z x y divergencia operátor

11 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN A kvantummecanikában a ullámfüggvényből fizikai mennyiségekez operátorok segítségével jutatunk el: i i pˆ,, ˆ π x y z π az impulzus operátora ˆ H V ( x, y, z) 8mπ x y z az energia operátora, Hamilton-operátor egyszerű szorzás Analógia a Hamilton-függvénnyel (Hamilton-mecanika): ˆ ˆ p H V ( x, y, z) m OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN ˆx x az x elykoordináta operátora (szorzás) rˆ r x, y, z a elyvektor operátora (szorzás) ˆ L y z, z x, x y iπ z y x z y x az impulzusmomentum operátora A szuperpozíció elve miatt a kvantummecanika operátorai csak lineárisak leetnek H ˆ H ˆ H ˆ pˆ pˆ pˆ

12 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN i V ( x, y, z) π t 8mπ x y z Scrödinger-egyenlet ˆ H V ( x, y, z) 8mπ x y z A Scrödinger-egyenlet rövidített jelölésekkel: i ˆ Hˆ π t Hamilton-operátor OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN E V ( x, y, z) 8mπ x y z az időtől független Scrödinger-egyenlet E Hˆ szorzás az energiával az operátor at a függvényre Nevezetes matemakai jelenség: egy operátor at egy függvényre, s eredményként az erede függvényt kapjuk egy állandóval megszorozva, ekkor: az állandó az operátor egy sajátértéke a függvény az operátor egy sajátfüggvénye

13 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN Az időtől független Scrödinger-egyenlet Ĥ E A Hamilton-operátor (azaz energiaoperátor) sajátérték-egyenlete Más példa sajátérték-egyenletre: ˆ tf df t dt kf kf t A differenciálányados-operátor sajátérték-egyenlete Az exponenciális függvény (e kt ) a differenciálányadosoperátor sajátfüggvénye! OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN Egy térkoordináta (x) sajátérték-egyenlete: x a A sajátfüggvény nem folytonos: Dirac-delta függvény x a x 0 0 a x 0 x dx 1

14 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN Egy térkoordináta (x) sajátérték-egyenlete: x a A sajátfüggvény nem folytonos: Dirac-delta függvény az adott a sajátértékez: a x x a A Dirac-delta függvény a normál eloszlás atárértéke nulla szórásra: OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN Képzeljük el az időtől független Scrödinger-egyenlet két különböző energiáoz tartozó megoldását: E H ˆ E H ˆ Ha E 1 E, akkor 1 és két különböző egyenlet megoldása, ezért lineáris kombinációjuk nem lesz feltétlenül az időtől független Scrödinger-egyenlet megoldása. De legyen: πe πe 1 x, y, z, t e x, y, z e x, y, z 1 1

15 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN E H ˆ E ˆ H πe πe 1 x, y, z, t e x, y, z e x, y, z 1 1 A Scrödinger-egyenletbe beírva: πe1 πe πe1 πe i ˆ ˆ t 1e 1 e H 1e 1 e π i πe i πe ˆ ˆ π π π E1 π π 1 π e E e E E 1e i i H1 e H πe1 πe πe1 ˆ πe ˆ 1e E11 e E 1e H1 e H πe1 πe1 ˆ 1e E11 1e H1 πe πe ˆ e E e H OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN πe1 πe πe1 ˆ πe ˆ 1e E11 e E 1e H1 e H Ha E 1 E, akkor 1 és lineáris kombinációja nem feltétlenül az időtől független Scrödinger-egyenlet megoldása, de az időtől függő Scrödinger-egyenletnek még mindig megoldása! Így 1 és lineáris kombinációja a Hamiltonoperátornak nem sajátfüggvénye, de még mindig tükröze a megfigyelt valóságot. A lineáris kombináció két állapot szuperpozíciója: az energiának nincs atározott értéke, E 1 és E is leet bizonyos valószínűséggel.

16 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN Több operátor egymás után is asználató. Itt általában az alkalmazás sorrendje fontos, vagyis az operátorok nem felcseréletők. Visszatérve az egydimenziós példáoz: ˆ ˆ i ix xpx x π x π x i x i ˆ ˆ px x x π x π x Két operátor kommutátora a két különböző sorrendben alkalmazott változat különbsége: i p ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x x px x xpx π OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN i p ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x x px x xpx π i p ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y y py y ypy π i p ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z z pzz zpz π Azonban: pˆ xˆ xp ˆˆ y y p ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y, x py x xpy i x i x 0 π y π y

17 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN minden megmérető fizikai mennyiségez tartozik egy operátor ennek sajátfüggvényei azok a ullámfüggvények, aol az adott mennyiségnek atározott értéke van általában egy részecskét jellemző ullámfüggvény nem sajátfüggvénye egyetlen fizikai mennyiség operátornak sem a ullámfüggvény mindig előállítató bármely fizikai mennyiség sajátfüggvényeinek lineáris kombinációjaként az alapvető fizikai mennyiségek sajátfüggvényei teljes rendszert alkotnak, vagyis lineáris kombinációjukkal a legkülönlegesebb függvény is előállítató (teljes rendszert alkotnak pl. a Fourier-transzformáció alapfüggvényei), s az előállítás egyértelmű OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN fizikai mennyiség: A, operátora  az A mennyiség várató értéke (kb. átlagértéke) tetszőleges ullámfüggvény esetén: 3 A * ( r, t) A( r, t)d r teljes normált sajátfüggvényei 1 (x,y,z), (x,y,z),... (végtelen sok), az egyes sajátfüggvényekez tartozó sajátértékek a 1, a... ˆ a n n n A ˆ előállítató a sajátfüggvények lineáris kombinációjaként: n n n1

18 OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN n n normált: n1 n n1 * 1 az A mennyiség várató értéke: A n1 n * a n n n annak a valószínűsége, ogy az A mennyiség egy mérése éppen a n -t ad eredményül: p * a n n n OPERÁTOROK A KVANTUMMECHANIKÁBAN A fizikai mennyiségek leetséges értekei: Folytonos: egy intervallumból bármilyen érték leet a da a Diszkrét: csak különálló, egyedi értékek leetnek n n n1 Diszkrét értékek: a két különböző sajátfüggvényez azonos sajátérték tartozik, akkor a sajátértéket elfajultnak (degeneráltnak) mondjuk