Analízis III Parciális differenciálegyenletek
|
|
- Sarolta Csonka
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Analízis III Parciális differenciálegyenletek Lineáris, másodrendű PDE-k január Bevezető A parciális differemciálegyenlet egy olyan összefüggés, ahol az ismeretlen egy többváltozós valós függvény. Az egyenletben szerepelhet maga a függvény (u), parciális deriváltjai: a függvény gradiense, Hesse-mátrixa... Az ismeretlen függény koordinátái közott néha van egy kiválasztott t, ami az idő fizikai mennyiségnek felel meg, a többi pedig x k a hely koordinátáit adják meg. Definíció Legyen α egy multiindex: α = (α 1, α 2, α 3,..., α n ), α i N {0}. Ekkor a D α differenciál operátor hatása az u(x) n változós függvényre: ahol α = n i=1 α i. D α u := α α 1 x1 α 2 x2... α n xn u Definíció A PDE rendje max α, ahol a PDE külonböző D α u-k között egy összefüggés. Definíció A Laplace operátor egy speciális differenciál operátor, mely a (helykoordináták szerinti) második deriváltak összege: n u = k=1 u x k x k (Jelölésben a parciális deriváltat alsó indexbe írjuk, tehát például: u x k x k = 2 u x 2 k Köszönet Lőrincz Máté-nak, aki az előadásokat 2011 tavaszán legépelte ) 1
2 Alapkérdések Megoldható-e a PDE? Ha igen, létezik-e egyértelmű megoldás? Jelenleg nem áll rendelkezésünkre olyan általános elmélet, melynek segítségével az összes PDE-t meg tudnánk oldani, sőt, úgy sejtjük, hogy ilyen elmélet nem is létezik. Stabil-e a megoldás? Stabil megoldásról akkor beszélünk, ha az folytonosan függ a PDE paramétereitől és a kezdeti feltételektől. 2. Alap PDE-k A PDE-ket két nagy csoportra oszthatjuk: lineárisra és nemlineárisra. Lineáris PDE-k Transzport egyenlet, u = u(x, t) =? u t + b u x = 0 Laplace-egyenlet u = 0 Helmholz-egyenlet u = λu Itt a λ-t is keressük, egyben sajátérték probléma is. Hővezetés egyenlete Itt u függ az időtől is: u t = u Schrödinger egyenlet i u t = u Hullámegyenlet u tt = u Stb... Nemlineáris PDE-k grad u = 1 2
3 Minimális felület ( ) grad u div = grad u 2 Stb... A nemlineáris egyenletek lehetnek jól- és rosszul kondícionáltak. (well- and ill-posed) Jól-kondícionált PDE-ről akkor beszélünk, ha létezik egyértelmű, elegendően folytonos megoldás. A rosszul kondícionált ennek az ellentéte, például a káosz. Ezek az egyenletek írják le többek között a természtben előforduló ugrásszerű válztozásokat is. 3. Laplace egyenlet Ez az egyik leggyakrabban előfordulú PDE. u = u(x 1, x 2,..., x n ) egy n-változós függvény, melyet valamely Ω R n nyílt, sima határú tartományon keresünk. A tartomány belsejében: n u = u x k x k = 0. (1) k=1 A fenti (1) egyenlettel együtt adott egy peremfeltétel is. értjük, amikor u(x)-ről valami ismert, ha x Ω. Peremfeltétel alatt azt Három fajta peremfeltételt különböztetünk meg: 1. Dirichlet feltétel u(x) = f(x), x Ω. Példa: Ha egy rugalmas membránt kifeszítünk egy keretre és tudni akarjuk, hogy a membránnak mi lesz a felülete, akkor f(x) a keretet leíró függvény. 2. Neumann feltétel Megadjuk, hogy u-nak mennyi a határra merőleges deriváltja. u n =< grad u, n >= f(x), x Ω, n Ω. Az előző példa szerint itt nem a keretet leíró függvényt ismerjük, hanem azt, hogy a membránt milyen erővel húzzuk. 3. Harmadik típusú vagy kevert (mixed) peremfeltétel αu(x) + βu n(x) = f(x), x Ω, α, β R. 3
4 A fentiek mind jól kondícionált feladatok, ha a peremfeltételben szereplő függvények elegendően simák. Nem létezik általános megoldás. Bizonyos típusú Ω-k esetén tudunk megoldásról beszélni Téglalap alakú tartomány A megoldást a változók szétválasztásával határozzuk meg. A módszert egy egyszerű példán mutatjuk be, n = 2 esetén. Ω = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1}. Legyenek adottak a következő peremfeltételek: Keressük a megoldást u(x, y) = X(x) Y (y) alakban! Ekkor a PDE-t így írhatjuk fel: Innen átosztva azt kapjuk, hogy u(x, 0) = 0 (2) u(0, y) = 0 (3) u(1, y) = 0 (4) u(x, 1) = f(x) (5) X Y + Y X = 0. Y (y) Y (y) = X (x) X(x). A két oldalon szereplő függvények változói egészen mások. Ezért az egyenlőség csak akkor teljesülhet, ha mindkét oldal konstans. Ez azt jelenti, hogy λ R: Y (y) Y (y) = X (x) X(x) = λ. λ segítségével a kiinduló PDE helyett két közönséges DE-t írhatunk: A kezdeti feltételekből azt kajuk, hogy (Y (1)-ről egyelőre nem tudunk semmit.) Y = λy X = λx X(0) = X(1) = 0, Y (0) = 0 4
5 λ-t pozitív konstansként, λ = k 2 alakban keressük. (HF: Vajon miért nem lehet λ negatív???) Ekkor: A fenti egyenletek általános megoldásai: X (x) = k 2 X(x) Y (y) = k 2 Y (y) X(x) = C 1 cos(kx) + C 2 sin(kx) Y (y) = C 3 e ky +C 4 e ky Írjuk vissza X-et és Y -t u-ba: u(x, y) = X(x) Y (y) = (C 1 cos(kx) + C 2 sin(kx)) (C 3 e ky +C 4 e ky ) A kezdeti feltételekből határozzuk meg a konstansokat. Először foglalkozzunk a nulla kezdeti feltételekkel. A (3) feltétel szerint u(0, y) = 0, így (C 1 cos(k0) + C 2 sin(k0)) (C 3 e ky +C 4 e ky ) = 0, azaz C 1 (C 3 e ky +C 4 e ky ) = 0. Ez esetben C 1 -nek nullának kell lenni, hiszen C 3 e ky +C 4 e ky mindenhol nem lehet nulla. C 1 = 0 A (3) feltétel szerint u(x, 0) = 0, ez azt jelenti, hogy amiből az következik, hogy C 2 sin(kx) (C 3 e k0 +C 4 e k0 ) = 0, C 3 = C 4 Ha C 2 -t nullának választottuk volna, akkor a u(x, 1) = f(x) kezdeti feltételt nem teljesíthettük volna. Így csak a szorzat másik tagja egyenlő nullával. Már csak két konstans maradt az egyenletben (C 2 és C 3 ), de ezeket könnyen egyesíthetjük: ahol B = C 2 C 3. u(x, y) = C 2 sin(kx) (C 3 e ky C 3 e ky ) u(x, y) = B sin(kx) (e ky e ky ) Az u(1, y) = 0 feltétel miatt sin(k) = 0, ezért k = nπ lehet csak, n N. Az egyszerűsítés kedvéért használjuk ki, hogy 1 2 ( e nπy e nπy) = sh(nπy). 5
6 Összegezzük, eddig mire jutottunk. Megkaptuk u(x, y)-ra az alábbi általános alakot: u(x, y) = B sin(nπx) sh(nπy) Mivel homogén lineáris differenciálegyenlet megoldását keressük, ezért a megoldások lineáris kombinációja is megoldás, így megoldás lesz - ha a sor konvergens - az alábbi általános alakú függvény: u(x, y) = B n sin(nπx) sh(nπy) A megoldás utolsó lépése lesz a konkrét B n együtthatók meghatározása. Ehhez az eddig használatlan u(x, 1) = f(x) kezdeti feltételt fogjuk figyelembe venni: u(x, 1) = B n sin(nπx) sh(nπ1) = f(x) Az egyelőre ismeretlen együtthatók f azon Fourier sorfejtése alapján határozhaók meg, melyben csak a sinus-os tagok szerepelnek. Lényegében az történik, hogy megszorozzuk a fenti egyenletet sin(mπx)-szel, ahol m egy természetes szám: sin(mπx) B n sin(nπx) sh(nπ) = sin(mπx) f(x), majd átszorozva: B n sin(mπx) sin(nπx) sh(nπ) = sin(mπx) f(x). Integráljuk mindkét oldalt 0 és 1 között x szerint. A konvergencia kérdésére most nem térünk ki, ez a Fourier sorfejtés elméletében szerepelt. A baloldalon egyetlen tag fog megmaradni, a többi 0 lesz. B m sh(mπ) 1 2 = B m = sin(mπx) f(x) dx sin(mπx) f(x) dx sh(mπ) 3.2. Kör alakú tartomány Legyen n = 2 és Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 < 1}. Ebben a részben a feladat az, hogy a Laplace-egyenletet az egységkörön oldjuk meg úgy, hogy az u függvény értéke ismert a kör határán: u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1 6
7 u(x, y) = g(x, y), x 2 + y 2 = 1. Ezt a legegyszerűbben polár-koordinátákkal tehetjük meg. A Laplace-egyenlet polárkoordinátákban Ehhez először át kell írnunk a Laplace-egyenletet polár-koordinátákba. Maga a művelet nem nehéz, csak hosszú. Nem fogom ismertetni a teljes számítást, csak az elindulást mutatom be, és a végeredményt. Először át kell térni polár-koordinátákba az alábbi képletekkel: x = r cos(θ) y = r sin(θ) Legyen W a Laplace egyenlet megoldása polárkoordinátákban: W (r, θ) = u(r cos(θ), r sin(θ)). Ezután meg kell határozni a Laplace-egyenletben lévő parciális deriváltakat. Így: W = u u cos(θ) + r x y sin(θ) 2 W = 2 u r 2 x 2 cos2 (θ) + 2 u y sin(θ) u cos(θ) sin(θ) 2 x y W = u u r( sin(θ)) + θ x y r cos(θ) 2 W = 2 u θ 2 x 2 r2 sin 2 (θ) + x u r( cos(θ)) + 2 u y 2 r2 cos(θ) + u r( sin(θ)) y A végeredmény: Feladat megoldása 2 W r 2 A PDE polárkoordinátákban: + 1 r W r + 1 r 2 2 W 2 θ = 0. W rr + 1 r W r + 1 r 2 W θθ = 0 ahol W értéke az egységkörön (peremfeltétel): W (1, θ) = h(θ), W (1, θ) = g(cos(θ), sin(θ)) =: h(θ). Kikötés: u a vizsgált tartományban (itt az egységkör) korlátos. Ez később fontos lesz. 7
8 Itt is érdemes szorzat alakban keresni a megoldást: W (r, θ) = R(r)T (θ) A szorzatot az egyenletbe behelyettesítve: R (r)t (θ) + 1 r R (r)t (θ) + 1 r 2 R(r)T (θ) = 0 R (r) + 1 r R (r) + 1 r 2 R(r)T (θ) T (θ) = 0 Innen átrendezve azt kapjuk, hogy Ez is csak úgy lehet, ha λ R: T (θ) T (θ) = r2 R (r) + rr(r). R(r) λ = T (θ) T (θ) = r2 R (r) + rr(r). R(r) Meggondolandó, hogy csak λ = k 2 > 0 eset lehetséges. A fentiekből következik, hogy a PDE helyettesíthető két közönséges DE-tel: r 2 R (r) + rr (r) k 2 R(r) = 0 T (θ) + k 2 T (θ) = 0 Ezeket a differenciálegyenleteket pedig az alábbi függvények fogják megoldani: R(r) = C 1 r k + C 2 r k T (θ) = C 3 cos(kθ) + C 4 sin(kθ) Egyből megállapíthatjuk, hogy C 2 = 0, mert és kikötés volt, hogy u korlátos. lim r 0 r k = Ezért a partikuláris megoldást ilyen alakú: W (r, θ) = r n (A n cos(nθ) + B n sin(nθ)), A konkrét megoldás meghatározásához a kezdeti feltételt kell figyelembe venni. Ha a peremen adott függvény Fourier sorfejtése h(θ) = (A n cos(nθ) + B n sin(nθ)) akkor W (r, θ) = r n (A n cos(nθ) + B n sin(nθ)), és ebből az eredeti u(x, y) alak visszaállítható. 8
9 4. Hővezetés egyenlete A hővezetés egyenlete n dimenzióban: u t = u, t 0, x Ω R n ahol Ω nyílt tartomány. időpontban. u(x, t) jelenti az adott pontban mért hőmérséklet a t Mielőtt rátérünk a konkrét példára, nézzük meg, mit tudunk kiolvasni a fenti egyenletből! Először is, szerepel benne az idő szerinti derivált, tehát valami időtől függő, úgynevezett dinamikus rendszert ír le. Ez igaz a hővezetésre, hiszen a hőterjedésnek valóban van sebessége. Másodszor, az idő szerinti derivált egyenlő a helykoordináták szerinti második deriváltak összegével. Mit is jelent esetünkben a második derivált? Ez esetben mi a hőmérsékletet deriváljuk hely szerint. Az első derivált két, egymáshoz nagyon közeli pont hőmérsékletkülönbségét adja meg. A második derivált a hőmérsékletkülönbség változását adja meg, ami a hőátadás sebességével arányos. Összefoglalva: A fenti összefüggés azt jelenti, hogy idő szerint annyira változik egy adott pont hőmérséklete, amilyen gyorsan a hőátadás zajlik az adott pont és környezete között. Ha végiggondoljuk, ez tényleg így van Hővezetés végtelen hosszú rúdban Legyen n = 1, Ω = IR. Ekkor az egyenlet: u t = ku xx, x IR, t > 0. (6) k > 0 a rúd fizikai konstansa. Legyen a kezdeti érték feltétel u(x, 0) = f(x), a rúd hőmérséklete a kiindulási időpillanatban. A peremfeltételt azzal helyettesítjük, hogy lim u(x, t) = 0, t 0. x ± Vegyük (6) egyenlet Fourier transzformáltját az x változó szerint: F(u t(x, t), s) = kf(u xx(x, t), s), ami a Fourier transzformáció alaptulajdonságai szerint így írható: t F(u(x, t), s) = ks2 F(u(x, t), s). A t szerint deriválásnál a frekvenciatartomány s változója konstans. A fenti egyenlet egy ODE-t ad, melynek megoldása: F(u(x, t), s) = C(s)e ks2t, 9
10 ahol C(s) független t-től. A kezdeti feltételből: F(f(x), s) = F(u(x, 0), s) = C(s), ezért f ismeretéből C(s) is meghatározható. Analízis 2-ből tanultuk, hogy F(e x2 /2, s) = e s2 /2, így könnyen felíhatjuk azt a függvényt, aminek Fourier traszformáltja e ks2t : 1 F( e x2 4kt, s) = e ks 2 t 2kt Összegezve azt kaptuk, hogy a keresett függvény Fourier transzformáltjára teljesül, hogy 1 F(u(x, t), s) = F(f(x), s) F( e x2 /4kt ) = 1 F(f(x) e x2 4kt, s) 2kt 2π A konvolúció Fourier transzformáltjáról azt tanultuk, hogy F(f g, s) = 2π F(f, s) F(g, s) Tehát a hövezetési feladat megoldása a végtelen hosszú rúdban: u(x, t) = f(x) e x2 4kt = f(y)e (x y)2 4kt dy Hővezetés véges rúdban Legyen n = 1, Ω = (0, 1), Ω = {0, 1}. Az egyszerűség kedvéert k = 1-t terkintünk. Ekkor az egyenlet: u t = u xx, x (0, 1), t > 0. (7) A kezdeti érték feltétel és a peremfeltétel u(x, 0) = f(x), x (0, 1), (8) u(0, t) = u(1, t) = 0, t 0. (9) Ezt is a változók szétválasztásával oldhatjuk meg. A megoldást u(x, t) = X(x)T (t) szorzat alakban keressük. A (7) egyenlet ilyen alakú lesz: T (t)x(x) = X (x)t (t), 10
11 ahonnan átrendezássel azt kapjuk, hogy T (t) T (t) = X (x) X(x). Mivel a két oldalon a függvények változói különbozőek, egyenlőség csak akkor fordulhat elő, ha mindkét oldal konstans. Ezért λ IR: ami két közönséges DE-t ad. λ = T (t) T (t) = X (x) X(x), (10) általános megoldása T (t) = ce λt, c IR. A peremfeltételeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy Ezért T (t) = λt (t) (10) X (x) = λx(x). (11) u(0, t) = X(0)T (t) = 0, u(1, t) = X(1)T (t) = 0, t > 0. X(1) = X(0) = 0. (12) Ha λ pozitív, azaz λ = α 2, akkor (11) általános megoldása Így X(x) = Ae αx + Be αx. X(0) = A + B = 0, X(1) = Ae α + Be α = 0. Ebből A = B = 0 adódik, ezért ebben az esetben nincs nem-triviális megoldás. Tehát λ negatív, λ = α 2. Ekkor A (11) általános megoldása Így X(x) = A cos(αx) + B sin(αx). X(0) = A = 0, X(1) = B sin(α) = 0. Ez csak akkor lehet nem-triviális, ha α = nπ, n IN. Azt kaptuk, hogy λ = n 2 π 2 alakú. A (11) DE hozzá tartozó alapmegoldása pedig X(x) = sin(nπx). Az eredeti (7) számú PDE λ = n 2 π 2 -hez tartozó alapmegoldása: u(x, t) = Ae n2 π 2t sin(nπx). Az általános megoldás a különböző lehetséges λ-k hoz tartozó alapmegoldások lineáris kombinációjaként áll elő. u(x, t) = A n e n2 π 2t sin(nπx) A n -et f Fourier-sorából tudjuk meghatározni. Mivel a [0, 1] intervallumban mozgunk, ez lehet tisztán szinuszos, vagy tisztán koszinuszos is. A [0, 1] intervallumon {sin(nx), n IN} és {cos(nx), n IN} önállóan is bázist alkot. Nekünk most a tiszta szinuszos előállítás a célravezető. 11
12 4.3. Hővezetés visszafelé Oldjuk meg az előző feladatot úgy is, hogy az időben nem előre, hanem visszafelé haladunk úgy, hogy a 0. időpillanatban a rúd hőmérsékletét az f(x) 0 függvény írja le. Először is, mit várunk? A rúd végtelen ideig hűlt, hiszen a két végéről hűtjük (a peremfeltételek nullák) és mégis nullától különböző a hőmérséklete. Ez azt jelenti, hogy kezdetben végtelenül forrónak kellett lennie, vagyis a megoldásnak a -ben fel kell robbannia. Nézzük meg, mit mond a matematikai megoldás! Legyen U(x, t) = u(x, t). Az inverz hővezetést leíró egyenlet így néz ki: U t = U xx. Látható, hogy bejött egy negatív előjel. Ennek megoldását levezetve az előzőek szerint, ugyanúgy megkapjuk a végtelen szummát, de a hatványkitevőben egy pozitív szám lesz: U(x, t) = A n e +n2 π 2t sin(nπx) Ebből látszik, hogy ez a megoldás valóban felrobban minden x-re t esetén. 12
3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenI. Fejezetek a klasszikus analízisből 3
Tartalomjegyzék Előszó 1 I. Fejezetek a klasszikus analízisből 3 1. Topológia R n -ben 5 2. Lebesgue-integrál, L p - terek, paraméteres integrál 9 2.1. Lebesgue-integrál, L p terek................... 9
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Részletesebben4. Laplace transzformáció és alkalmazása
4. Laplace transzformáció és alkalmazása 4.1. Laplace transzformált és tulajdonságai Differenciálegyenletek egy csoportja algebrai egyenletté alakítható. Ennek egyik eszköze a Laplace transzformáció. Definíció:
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
DE 1 Ebben a részben I legyen mindig pozitív hosszúságú intervallum DE Definíció: differenciálegyenlet Ha D n+1 nyílt halmaz, f:d folytonos függvény, akkor az y (n) (x) f ( x, y(x), y'(x),..., y (n-1)
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 10 X PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Elsőrendű kvázilineáris parciális DIFFERENCIÁLEGYENLETEk Elméleti alapok Elsőrendű kvázilineáris parciális differenciálegyenlet általános
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenHatványsorok, Fourier sorok
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Hatványsorok, Fourier sorok Hatványsorok, Taylor sorok Közismert, hogy ha 1 < x < 1 akkor 1 + x + x 2 + x 3 + = n=0 x n = 1 1 x. Az egyenlet baloldalán álló kifejezés
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenTizenegyedik gyakorlat: Parciális dierenciálegyenletek Dierenciálegyenletek, Földtudomány és Környezettan BSc
Tizenegyedi gyaorlat: Parciális dierenciálegyenlete Dierenciálegyenlete, Földtudomány és Környezettan BSc A parciális dierenciálegyenlete elmélete még a özönséges egyenleteénél is jóval tágabb, így a félévben
RészletesebbenDifferenciálegyenletek december 13.
Differenciálegyenletek 2018. december 13. Elsőrendű DE Definíció. Az elsőrendű differenciálegyenlet általános alakja y = f (x, y), ahol f (x, y) adott kétváltozós függvény. Minden y = y(x) függvény, amire
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
RészletesebbenFeladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,,3.(a),(b),(), 6.(a) feladatokra 1. Oldjuk meg a következő kezdeti érték feladatot: y 1 =, y(0) = 3, 1 x y (0) = 1. Ha egy
RészletesebbenFelügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
016.03.1. BSC MATEMATIKA II. ELSŐ ÉS MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC AZ ELSŐRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET FOGALMA Az elsőrendű közönséges differenciálegyenletet
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
RészletesebbenAnalízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.
Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai.). Feladat. Határozzuk meg az alábbi integrálokat: a) x x + dx d) xe x dx b) c)
RészletesebbenMátrix-exponens, Laplace transzformáció
2016. április 4. 2016. április 11. LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLET RENDSZEREK ÉS A MÁTRIX-EXPONENS KAPCSOLATA Feladat - ismétlés Tegyük fel, hogy A(t) = (a ik (t)), i, k = 1,..., n és b(t) folytonos mátrix-függvények
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenFourier sorok február 19.
Fourier sorok. 1. rész. 2018. február 19. Függvénysor, ismétlés Taylor sor: Speciális függvénysor, melynek tagjai: cf n (x) = cx n, n = 0, 1, 2,... Állítás. Bizonyos feltételekkel minden f előállítható
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
Részletesebben15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenDifferenciaegyenletek
Differenciaegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2009/10 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciaegyenletek 2009/10 tanév, I. félév 1 / 11
Részletesebben6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz 6. feladatsor: Inhomogén lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1. Írjunk fel egy olyan legalacsonyabbrendű valós,
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenNemlineáris programozás 2.
Optimumszámítás Nemlineáris programozás 2. Többváltozós optimalizálás feltételek mellett. Lagrange-feladatok. Nemlineáris programozás. A Kuhn-Tucker feltételek. Konvex programozás. Sydsaeter-Hammond: 18.1-5,
RészletesebbenMatematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 2. félév. 1. konferencia Komplex számok
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthet és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik HÁZI FELADATOK. félév. konferencia Komple számok Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenKettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 9 IX Magasabbrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk n-ed rendű differenciálegyenletek Az alakú ahol n-edrendű differenciálegyenlet általános megoldása tetszőleges
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
RészletesebbenLNM folytonos Az interpoláció Lagrange interpoláció. Lineáris algebra numerikus módszerei
Legkisebb négyzetek módszere, folytonos eset Folytonos eset Legyen f C[a, b]és h(x) = a 1 φ 1 (x) + a 2 φ 2 (x) +... + a n φ n (x). Ekkor tehát az n 2 F (a 1,..., a n ) = f a i φ i = = b a i=1 f (x) 2
Részletesebben2. Fourier-elmélet Komplex trigonometrikus Fourier-sorok. 18 VEMIMAM244A előadásjegyzet, 2010/2011
8 VEMIMAM44A előadásjegyzet, /. Fourier-elmélet.. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [, ], C Hilbert-teret, ahol a skaláris szorzat definíciója f, g ftgt dt. Tekintsük a [, ] intervallumon
RészletesebbenJanuary 16, ψ( r, t) ψ( r, t) = 1 (1) ( ψ ( r,
Közelítő módszerek January 16, 27 1 A variációs módszer A variációs módszer szintén egy analitikus közelítő módszer. Olyan esetekben alkalmazzuk mikor ismert az analitikus alak amelyben keressük a sajátfüggvényt,
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
RészletesebbenLineáris algebra numerikus módszerei
Hermite interpoláció Tegyük fel, hogy az x 0, x 1,..., x k [a, b] különböző alappontok (k n), továbbá m 0, m 1,..., m k N multiplicitások úgy, hogy Legyenek adottak k m i = n + 1. i=0 f (j) (x i ) = y
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenRENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT
RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.
Részletesebbenx 2 e x dx c) (3x 2 2x)e 2x dx x sin x dx f) x cosxdx (1 x 2 )(sin 2x 2 cos 3x) dx e 2x cos x dx k) e x sin x cosxdx x ln x dx n) (2x + 1) ln 2 x dx
Integrálszámítás II. Parciális integrálás. g) i) l) o) e ( + )(e e ) cos h) e sin j) (sin 3 cos) m) arctg p) arcsin e (3 )e sin f) cos ( )(sin cos 3) e cos k) e sin cos ln n) ( + ) ln. e 3 e cos 3 3 cos
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Mátrixfüggvények H607 2018-05-02 Wettl Ferenc
RészletesebbenSCHRÖDINGER-EGYENLET SCHRÖDINGER-EGYENLET
SCHRÖDINGER-EGYENLET A Scrödinger-egyenlet a kvantummecanika mozgásegyenlet, Newton II. törvényével analóg. Nem vezetető le korábbi elvekből, de intuitívan bevezetető. Egy atározott energiával és impulzussal
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
RészletesebbenNumerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4
Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 204/5. I. félév, A. csoport. Feladat. (6p) Alkalmas módon választva egy Givens-forgatást, határozzuk meg az A mátrix QR-felbontását! Oldjuk meg ennek
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
Részletesebben1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
Részletesebben86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009
86 MAM11M előadásjegyzet, 8/9 5. Fourier-elmélet 5.1. Komplex trigonometrikus Fourier-sorok Tekintsük az [,], C Hilbert-teret, azaz azoknak a komplex értékű f : [,] C függvényeknek a halmazát, amelyek
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
Részletesebben2. (b) Hővezetési problémák. Utolsó módosítás: február25. Dr. Márkus Ferenc BME Fizika Tanszék
2. (b) Hővezetési problémák Utolsó módosítás: 2013. február25. A változók szétválasztásának módszere (5) 1 Az Y(t)-re vonakozó megoldás: Így: A probléma megoldása n-re összegzés után: A peremfeltételeknek
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek Példák differenciálegyenletekre Newton második törvénye Egy tömegpont gyorsulása egyenesen arányos a rá ható erővel és fordítottan arányos
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
RészletesebbenFourier transzformáció
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
Részletesebben6. Differenciálegyenletek
312 6. Differenciálegyenletek 6.1. A differenciálegyenlet fogalma Meghatározni az f függvény F primitív függvényét annyit jelent, mint találni egy olyan F függvényt, amely differenciálható az adott intervallumon
RészletesebbenDifferenciál egyenletek (rövid áttekintés)
Differeniál egyenletek (rövid áttekintés) Differeniálegyenlet: olyan matematikai egyenlet, amely egy vagy több változós ismeretlen függvény és deriváltjai közötti kasolatot írja le. Fontosabb tíusok: közönséges
Részletesebbendifferenciálegyenletek
Állandó együtthatójú lineáris homogén differenciálegyenletek L[y] = y (n) + a 1y (n 1) + + a ny = 0 a i R (1) a valós, állandó együtthatójú lineáris homogén n-ed rendű differenciálegyenlet Megoldását y
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenSzélsőérték-számítás
Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenSegédanyag az A3 tárgy gyakorlatához
Segédanyag az A3 tárgy gyakorlatához Sáfár Orsolya Szeparábilis dierenciálegyenletek A megoldásról általában: A szeparábilis dierenciálegyenlet álatlános alakja: y (x) = f(x)g(y). Ebben az esetben g(y)-al
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
RészletesebbenGPK M1 (BME) Interpoláció / 16
Interpoláció Matematika M1 gépészmérnököknek 2017. március 13. GPK M1 (BME) Interpoláció 2017 1 / 16 Az interpoláció alapfeladata - Példa Tegyük fel, hogy egy ipari termék - pl. autó - előzetes konstrukciójának
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Részletesebben