15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
|
|
- Adél Lakatosné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = egyenletrendszert, ahol a ij, b i (i = 1,, k; j = 1,, n) adott valós (vagy komplex) számok, x i (i = 1,, k) ismeretlen valós (vagy komplex) számok Az a ij számokat az (1) rendszer együtthatóinak nevezzük (pontosabban a ij a rendszer i-edik egyenletében az x j ismeretlen együtthatója, a b i az i-edik egyenlet szabad tagja Az (1) egyenletrendszert homogénnek nevezzük, ha b 1 = = b k = 0, ellenkező esetben inhomogénnek mondjuk Azt mondjuk, hogy a c 1,, c n számok (1) egy megoldását adják, ha az ismeretlenek helyére helyettesítve őket a rendszer minden egyes egyenletében egyenlőség áll Az (1) egyenletrendszert szabályosnak nevezzük, ha k = n, azaz ha az egyenletek és ismeretlenek száma egyenlő Bevezetve az együtthatómátrixot, és az A = x = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a k1 a k2 a kn x 1 x 2 x n b 1, b = b 2 oszlopmátrixokat (oszlopvektorokat) az (1) rendszer tömören az (2) A x = b alakba írható Egyenletek ill egyenletrendszerek esetén két alapvető kérdést vizsgálunk: Van-e az egyenletrendszernek megoldása, és ha igen akkor egyértelmű-e? Hogyan határozhatjuk meg a megoldást ill az összes megoldást? Egy (lineáris) egyenletrendszert megoldhatónak nevezünk, ha van megoldása, ellenkező esetben ellentmondásosnak mondjuk Ha pontosan egy megoldás létezik, akkor a rendszert határozottnak nevezzük, ha több megoldás van akkor határozatlannak mondjuk Két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza egyenlő Lineáris egyenletrendszerek esetén (nyilvánvaló módon) az alábbi átalakítások eredményeznek ekvivalens rendszereket (ezeket ekvivalens átalakításoknak mondjuk): 1 b k b k
2 2 az egyenletek sorrendjének megváltoztatása, az egyenletekben szereplő tagok sorrendjének megváltoztatása, a rendszer bármelyik egyenletének szorzása (minden tag szorzása) egy nemzérus számmal, a rendszer bármelyik egyenletének hozzáadása egy másik egyenletéhez A Gauss elimináció az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölése Ennek során az egyenletrendszert un trapéz alakra hozzuk Az (1) rendszert akkor nevezzük trapéz alakúnak, ha van olyan 1 r n szám, hogy a 11 0, a 22 0,, a rr 0 de a ij = 0, ha i = 1, 2,, r, j < i, továbbá a ij = 0, ha i > r, j = 1, 2,, n Ha r = n, akkor a rendszert háromszögalakúnak nevezzük A Gauss elimináció lépései: Tegyük fel, hogy a 11 0 Az első egyenlet a i1 -szeresét az i-edik egyenlethez hozzáadva i = a 11 2, 3,, k esetén, az x 1 ismeretlen eltűnik a második, harmadik, k-adik egyenletből Ha a 11 = 0, akkor az első egyenletben keresünk egy ismeretlent melynek együtthatója 0 és ez veszi át x 1 szerepét Ezután a második egyenlet alkalmas konstanszorosainak a harmadik k-adik egyenlethez való hozzádásával kiküszöböljük a harmadik ismeretlent a negyedik, k-adik egyenletből Az eljárást hasonlóan folytatjuk, míg van mit kiküszöbölni Íly módon egy trapéz alakú egyenletrendszerhez jutunk A trapéz alakú egyenletrendszer akkor és csakis akkor megoldható, ha a trapéz alakban az r + 1-edik egyenlettől kezdve a szabad tagok mind nullák A megoldható esetben rendszerünk akkor és csakis akkor lesz határozott, ha r = n, azaz ha rendszerünk hároszögalakú Ugyanis, ekkor az utolsó egyenletből azonnal kiszámítható x n egyetlen lehetséges értéke, ezt az előző egyenletbe helyettesítve számolhatjuk ki x n 1 egyetlen értékét, és hasonlóan folytatva kapjuk a rendszer egyetlen megoldását adó, x 3, x 2, x 1 értékeket Ha r < n akkor a rendszer határozatlan, ugyanis az x r+1, x r+2,, x n "szabad ismeretleneknek" tetszőleges értéket adva, ezek segítségével a fennt leírt módon az x r, x r 1,, x 2, x 1 ismeretlenek (egyértelűen) kiszámíthatók Így ebben az esetben a rendszer határozatlan, és végtelen sok megoldása van (a megoldások egy n r paraméteres sereget alkotnak 152 Lineáris egyenletrendszer megoldása 1 Tétel (lin egyenletrendszer megoldhatósága) Az a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kn x n = lineáris egyenletrendszer akkor is csakis akkor oldható meg, ha a rga = rg(a b) rangfeltétel teljesül, ahol A a rendszer mátrixa, (A b) a bővített mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy az A mátrixhoz n + 1-edik oszlopként hozzáírjuk a szabad tagok b oszlopvektorát b k
3 Bizonyítás Legyenek o j = a 1j a 2j a kj az A mátrix oszlopvektorai, akkor rendszerünk (j = 1, 2,, n) (3) x 1 o 1 + x 2 o x n o n = b alakba is írható (a baloldali összeg első tagja az o 1 vektor x 1 skalárral való szorzata sit) Innen látható, hogy ha rendszerünk megoldható, akkor (3) alapján b L(o 1,, o n ) így L(o 1,, o n ) = L(o 1,, o n, b), így az utóbbi két altér rangja egyenlő, azaz (3) teljesül Fordítva, ha (3) teljesül, akkor L(o 1,, o n, b) L(o 1,, o n ) és (3) miatt L(o 1,, o n, b) = L(o 1,, o n ) így b L(o 1,, o n ) Ezért a b oszlopvektor az o 1,, o n oszlopvektorok lineáris kombinációja, azaz vannak olyan x 1, x 2,, x n számok, melyekre teljesül, azaz x 1, x 2,, x n a rendszer megoldása b = x 1 o 1 + x 2 o x n o n Foglalkozzunk most a homogén rendszerrel, (amikor b 1 = = b k = 0) Ekkor az előző tételben szereplő rangfeltétel biztosan teljesül, így mindig van megoldás Ez a rangfeltételre való hívatkozás nélkül is azonnal látható, hiszen x 1 = x 2 = = x n = 0 megoldása a homogén rendszernek Ezt a megoldást triviális megoldásnak nevezzük Mikor van a homogén rendszernek triviálistól különböző megoldása? Erre ad választ a 2 Tétel Az Ax = 0 (A M k n, x = (x 1,, x n ) T M n 1 ) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor is csakis akkor van triviálistól különböző megoldása, ha rg A < n (azaz a rendszer A mátrixának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma) homogén rendszer összes megoldásai K n -nek egy dimenziós alterét alkotják n rg A 3 Ha ez teljesül, akkor a Bizonyítás Az, hogy a homogén rendszer megoldásai alteret alkotnak szinte nyilvánvaló, ha ugyanis, az x, y (oszlop)vektorok megoldások akkor Ax = 0, Ay = 0 így A(x + y) = Ax + Ay = 0 és A(cx) = cax = 0 azaz x + y és cx is megoldás (c K)
4 4 Legyen rg A = r és írjuk a rendszert (4) x 1 o 1 + x 2 o x n o n = 0 alakba Ha van nemtriviális x = (x 1,, x n ) T megoldás, akkor (4) teljesül, amiből látható, hogy o 1, o 2,, o n lineárisan függő, így az L(o 1, o 2,, o n ) altér dimenziója (ami éppen rg A) kisebb mint n Fordítva, ha r < n akkor vegyük az L(o 1, o 2,, o n ) altér egy bázisát, az egyszerűség kedvéert legyen ez a rendszer sorrendben első r db vektora, azaz o 1, o 2,, o r Ekkor az o r+1,, o n vektorok a bázisvektorok lineáris kombinációi, azaz (5) o i = α i1 o 1 + α i2 o α ir o r (i = r + 1,, n) alkalmas, nem csupa zérusból álló α i1, α i2,, α ir számok esetén Ezt átírhatjuk alakba is, ami viszont azt jelenti, hogy az α i1 o 1 α i2 o 2 α ir + 1 o i = 0 u i = ( α i1, α i2,, α ir, 0,, 1,, 0) T (i = r + 1,, n) (oszlop)vektorok a homogén rendszer nemtriviális megoldásai (az 1 a i edik helyen áll) Ezek a vektorok lineárisan függetlenek, mert (az u r+1,, u n oszlopvektorokat egymás után egy) mátrixként írva, a kapott mátrix tartalmazza az n r dimenziós egységmátrixot Így a megoldások altere legalább n r dimenziós Később megmutatjuk, hogy a megoldások alterének dimenziója pontosan n r 3 Tétel Az () Ax = b (A M k n, x M n 1, b M k 1 ) inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldása x = x + x h alakba írható, ahol x az inhomogén egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, x h pedig a ()-nak megfelelő (7) Ax = 0 homogén egyenlet egy tetszőleges megoldása Így a megoldások halmaza a (7) megoldásalterének az x vektorral való eltoltja Bizonyítás Ugyanis, ha x () egy tetszőleges megoldása, x () egy megoldása, akkor amiből x h = x x -vel következik állításunk A szabályos egyenletrendszerekre vonatkozik a Ax = b, Ax = b amiből A(x x ) = 0 4 Tétel (Cramer szabály) Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix A (8) Ax = b (A M n n, x, b M n 1 ) (szabályos) lineáris egyenletrendszer akkor és csakis akkor határozott (egyértelműen megoldható), ha 0
5 Ha ez teljesül akkor a rendszer egyetlen megoldása x i = A i (i = 1, 2,, n) ahol A i az a mátrix melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy annak i-edik oszlopát a szabad tagok b (oszlop)vektorára cseréljük ki Bizonyítás Ha rendszerünk határozott akkor az A mátrix o 1,, o n oszlopvektorai lineárisan függetlenek (ti csak ekkor lehet b-t az oszlopvektorok lineáris kombinációjaként egyértelműen felírni) Ekkor viszont 0 Fordítva, ha 0 akkor A invertálható, megszorozva az Ax = b egyenletet balról az A 1 inverz mátrixszal ( ) A 1 Ax = Ex = x amiből az inverz mátrix A 1 Aji = alakját, felhasználva x i = n j=1 A ji b i = 1 n j=1 A ji b i = A i mivel jobboldalon az utolsó összeg éppen az A i determinánsnak az i-edik oszlop szerinti kifejtése A szabályos homogén egyenletrendszerekre vonatkozik a 5 Tétel Legyen A egy n-edrendű kvadratikus mátrix A Ax = 0 (A M n n, x M n 1 ) (szabályos) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha = 0 Bizonyítás Ugyanis, ha = 0 akkor az előző tétel miatt az egyetlen megoldás (b i = 0 (i = 1,, n) miatt) az x i = 0 (i = 1,, n) triviális megoldás Ha viszont = 0, akkor a homogén rendszer megoldásainak altere (a 2 Tétel miatt) legalább egy dimenziós, így van benne nemzérus vektor A Cramer szabály segítségével tetszőleges lineáris egyenletrendszert is megoldhatunk az alábbi módon Tekintsük a Ax = b (A M k n, x M n 1, b M k 1 ) k egyenletből álló n ismeretlent tartalmazó rendszert, mely megoldható, azaz a jelölje az itt szereplő rangok közös értékét r, akkor rga = rg(a b), r min{k, n} Keressük meg A rangmeghatározó aldeterminánsát, azaz válasszuk ki a mátrix r sorát és r oszlopát, úgy, hogy az ezekből alkotott determináns nem zérus Vegyük azokat az egyenleteket melyek a kiválasztott soroknak felelnek meg, ezek baloldalán csak azokat az ismeretleneket hagyjuk meg, melyeknek megfelelő oszlopokat kiválasztottuk (a többi ismeretlent az egyenlet jobboldalára vigyük át) A rangfeltétel miatt az elhagyott egyenletek a kiválasztott r darab egyenletből (lineárisan) kombinálhatók így azok elhagyhatók A kapott szabályos egyenletrendszerre (r egyenlet, r ismeretlen) a Cramer szabály alkalmazható, a rendszerünkben szereplő ismeretleneket 5
6 a jobboldalon szereplő, tetszőlegesnek vehető ismeretlenek, és a megfelelő szabad tagok lineáris kombinációjaként kapjuk meg a Cramer szabály által Ebből az eljárásból az is következik, hogy ha a rendszerünk homogén és r < n akkor a megoldások n r dimenziós alteret alkotnak, ugyanis minden x M n 1 megoldás n r darab (lineárisan független) u 1, u n r oszlopvektor lineáris kombinációja, ahol mindegyik u j vektor olyan, hogy a kiválasztott r darab sorban (a Cramer szabály által kiszámolt) meghatározott konstansok állnak, a ki nem választott n r darab sorban pedig a 0 vagy 1 számok, úgy, hogy mindegyik vektorban egyetlen 1 van a többi érték 0 Példák 1 Itt a rendszer determinánsa x 1 +x 2 +2x 3 = b 1 2x 1 x 2 +2x 3 = b 2 4x 1 +x 2 +4x 3 = b = 0, így egyértelműen megoldható, és a megoldások x 1 = 1 b b b = b 1 2b 2 + 4b 3 x 2 = 1 x 3 = 1 1 b b b b b b 3 = 4b 2 + 2b 3 = b 1 + 3b 2 3b 3 2 Egyenletrendszerünk most A rendszer mátrixa, és a bővített mátrix A = a rangok x 1 +x 2 +2x 3 +x 4 = 1 2x 1 x 2 +2x 3 +2x 4 = 4 4x 1 +x 2 +4x 3 +2x 4 = 2 7x 1 +x 2 +8x 3 +5x 4 = 7 8x 1 +2x 2 +10x 3 +x 4 = 8 (A b) = rg A = 3, rg (A b) = 3,
7 így rendszerünk megoldható Rangmeghatározó determinánsnak a bal felső 3 3 sarokdeterminánst vehetjük Az utolsó két egyenlet elhagyható (könnyű látni, hogy a negyedik egyenlet az előző három egyenlet összege, az ötödik egyenlet az első egyenlet kétszerese plusz a második és harmadik egyenlet) A rangmeghatározó determinánsban nem szereplő x 4 ismeretlent a jobboldalra rendezve kapjuk, hogy x 1 +x 2 +2x 3 = 1 x 4 2x 1 x 2 +2x 3 = 4 2x 4 4x 1 +x 2 +4x 3 = 2 2x 4 Ezt a Cramer szabállyal megoldva (felhasználva az előző példa eredményét b 1 = 1 x 4, b 2 = 4 2x 4, b 3 = 2 2x 4 -szel) kapjuk, hogy rendszerünk minden megoldása x 1 = ( 1 x 4 ) 1 3 ( 4 2x 4) ( 2 2x 4) = x 4, 7 x 2 = 2 3 ( 4 2x 4) ( 2 2x 4) = x 4, alakú, ahol x 4 tetszőleges x 3 = ( 1 x 4 ) ( 4 2x 4) 1 2 ( 2 2x 4) = 2 x 4
11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal
11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,
RészletesebbenVektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
Részletesebbenösszeadjuk 0-t kapunk. Képletben:
814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha
Részletesebben1. Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere
X HOMOGÉN LINEÁRIS EGYENLET- RENDSZEREK 1 Homogén lineáris egyenletrendszer megoldástere Homogén lineáris egyenletrendszer definíciója már szerepelt Olyan lineáris egyenletrendszert nevezünk homogénnek,
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenLINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak
LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 004. október. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László:
RészletesebbenDiszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.
1 Diszkrét matematika I, 12 előadás Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach 2005 november 30 Vektorok Definíció Egy tetszőleges n pozitív egész számra n-komponensű
Részletesebben9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35
9. Előadás (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték 2019. április 24. 1 / 35 Portfólió-analízis Tegyük fel, hogy egy bank 4 különböző eszközbe fektet be (réz, búza, arany és kakaó). Az ügyfeleinek ezen
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2
RészletesebbenDeterminánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.
Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető
Részletesebben9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell
9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 5. előadás. Lineáris egyenletrendszerek
1 Diszkrét matematika II, 5 előadás Lineáris egyenletrendszerek Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@infnymehu http://infnymehu/ takach/ 2007 március 8 Egyenletrendszerek Középiskolás módszerek:
RészletesebbenXI A MÁTRIX INVERZE 1 Az inverzmátrix definíciója Determinánsok szorzástétele Az egységmátrix definíciója: 1 0 0 0 0 1 0 0 E n = 0 0 1 0 0 0 0 1 n-edrenű (azaz n n típusú) mátrix E n -nel bármely mátrixot
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer
8. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 51. 56., 70. 74. oldal. Gondolkodnivalók Elemi bázistranszformáció 1. Gondolkodnivaló Most ne vegyük figyelembe, hogy az elemi bázistranszformáció során ez
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenGauss elimináció, LU felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek
RészletesebbenLineáris algebra. (közgazdászoknak)
Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (3.) 2018/2019. tavaszi félév Lineáris egyenletrendszerek 3.1. Feladat. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszereket Gauss-eliminációval
RészletesebbenA lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok
A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. A lineáris algebra forrásai: egyenletrendszerek, vektorok 2016. február 23. 1 / 75 Tartalom 1 Vektor A 2- és 3-dimenziós tér
RészletesebbenLineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, szeptember 29.) Maróti Miklós
Lineáris algebra és a rang fogalma (el adásvázlat, 2010. szeptember 29.) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: (1) A mátrixalgebrával kapcsolatban: számtest
RészletesebbenLineáris algebra. =0 iє{1,,n}
Matek A2 (Lineáris algebra) Felhasználtam a Szilágyi Brigittás órai jegyzeteket, néhol a Thomas féle Kalkulus III könyvet. A hibákért felelosséget nem vállalok. Hiányosságok vannak(1. órai lin algebrai
RészletesebbenNorma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei
Indukált mátrixnorma Definíció A. M : R n n R mátrixnormát a. V : R n R vektornorma által indukált mátrixnormának nevezzük, ha A M = max { Ax V : x V = 1}. Az indukált mátrixnorma geometriai jelentése:
Részletesebben10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak
10. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 98. 108. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix inverze 1. Gondolkodnivaló Igazoljuk, hogy invertálható trianguláris mátrixok inverze is trianguláris. Bizonyítás:
Részletesebben3. el adás: Determinánsok
3. el adás: Determinánsok Wettl Ferenc 2015. február 27. Wettl Ferenc 3. el adás: Determinánsok 2015. február 27. 1 / 19 Tartalom 1 Motiváció 2 A determináns mint sorvektorainak függvénye 3 A determináns
RészletesebbenVektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott
Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,
Részletesebben9. AZ R k VEKTORTÉR. 9.1 Az R k vektortér fogalma
9 AZ R k VEKTORTÉR 91 Az R k vektortér fogalma Definíció A k-dimenziós vektortér nek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x 2,, x k ) sorozatok halmazát, azaz 1 R k
Részletesebben3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek
3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1
Részletesebben2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?
= komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve
Részletesebben5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39
5. Előadás (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 1 / 39 AX = B (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze 2019. március 6. 2 / 39 AX = B Probléma. Legyen A (m n)-es és B (m l)-es
Részletesebben1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:
1 Determinánsok 1 Bevezet definíció Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert: a 11 x 1 +a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 +a 22 x 2 = b 2 Szorozzuk meg az első egyenletet
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenMatematika III. harmadik előadás
Matematika III. harmadik előadás Kézi Csaba Debreceni Egyetem, Műszaki Kar Debrecen, 2013/14 tanév, I. félév Kézi Csaba (DE) Matematika III. harmadik előadás 2013/14 tanév, I. félév 1 / 13 tétel Az y (x)
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2007/8 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2007/8 tanév, II. félév 1 / 186 Félévközi
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Egyenletrendszerek H406 2016-10-03 Wettl Ferenc
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar 2014. február 16. Losonczi László, Pap Gyula (DE, KTK) Gazdasági matematika II. 2014. február
RészletesebbenLineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Lineáris leképezések (előadásvázlat, 2012. szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: homogén lineáris egyenletrendszer és
RészletesebbenRang, sajátérték. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach/ február 15
Diszkrét matematika II, 2 el adás Rang, sajátérték Dr Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takachinfnymehu http://infnymehu/ takach/ 25 február 5 Gyakorlati célok Ezen el adáson, és a hozzá kapcsolódó
Részletesebben12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?
Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!
Részletesebben6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió
6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenLineáris algebra Gyakorló feladatok
Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó
RészletesebbenBevezetés az algebrába 1
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 1 BMETE92AX23 Determinánsok H406 2017-11-27 Wettl Ferenc ALGEBRA
RészletesebbenVektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.
Vektorterek Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az összeadás és a (valós) számmal való szorzás értelmezett, pl. a szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a mátrixok esetében.
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/10 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/10 tanév, II. félév 1 / 187 Félévközi
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 7. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 2012. március 26. Ismétlés Tartalom 1 Ismétlés 2 Koordinátasor 3 Bázistranszformáció és alkalmazásai Vektorrendszer rangja Mátrix
RészletesebbenElső zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió
Első zárthelyi dolgozat megoldásai biomatematikából * A verzió Elméleti kérdések: E. Mikor nevezünk egy gráfot gyengén és mikor erősen összefüggőnek? Adjon példát gyengén összefüggő de erősen nem összefüggő
RészletesebbenTestek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.
Vektorok. Melyek egyenlőek az alábbi vektorok közül? (a) (, 2, 0), (b) az (, 0, ) pontból a (2, 2, ) pontba mutató vektor, (c) ( 2,, ) ( 2,, 2), (d) [ 2 0 ], (e) 2. 0 2. Írjuk fel az x + y + 2z = 0 és
Részletesebben1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!
. Mátrixok. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: [ ] [ ] π a A = ; B = 8 7, 5 x. 7, 5 ln y. Legyen 4 A = 4 ; B = 5 5 Számítsuk ki az A + B, A B, A, B mátrixokat!. Oldjuk
RészletesebbenGauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
Részletesebben12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor
12. előadás Egyenletrendszerek, mátrixok Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor 2015 2016 1 Tartalom Matematikai alapok Vektorok és mátrixok megadása Tömbkonstansok Lineáris műveletek Mátrixok szorzása
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
RészletesebbenDiszkrét matematika II., 8. előadás. Vektorterek
1 Diszkrét matematika II., 8. előadás Vektorterek Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2007.??? Vektorterek Legyen T egy test (pl. R, Q, F p ). Definíció.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
RészletesebbenGauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás
Közelítő és szimbolikus számítások 4. gyakorlat Mátrix invertálás Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei
RészletesebbenA KroneckerCapelli-tételb l következik, hogy egy Bx = 0 homogén lineáris egyenletrendszernek
10. gyakorlat Mátrixok sajátértékei és sajátvektorai Azt mondjuk, hogy az A M n mátrixnak a λ IR szám a sajátértéke, ha létezik olyan x IR n, x 0 vektor, amelyre Ax = λx. Ekkor az x vektort az A mátrix
RészletesebbenLineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése
Lineáris algebra (tömör bevezetés) Wettl Ferenc, BME 2007-03-24, 02 változat Tartalomjegyzék Geometriai szemléltetés 1 Az egyenletek szemléltetése 1 Az egyenletrendszer vektoregyenlet alakja 2 Egyenletrendszerek
RészletesebbenMATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY
Pék Johanna MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY Nem matematika alapszakos hallgatók számára Tartalomjegyzék Előszó iii. Lineáris algebra.. Mátrixok...................................... Lineáris egyenletrendszerek..........................
Részletesebben1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
RészletesebbenGazdasági matematika II.
Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi
RészletesebbenKvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla
Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 3. előadás: Mátrixok LU-felbontása Lócsi Levente ELTE IK 2013. szeptember 23. Tartalomjegyzék 1 Alsó háromszögmátrixok és Gauss-elimináció 2 Háromszögmátrixokról 3 LU-felbontás Gauss-eliminációval
RészletesebbenSaj at ert ek-probl em ak febru ar 26.
Sajátérték-problémák 2018. február 26. Az alapfeladat Adott a következő egyenlet: Av = λv, (1) ahol A egy ismert mátrix v ismeretlen, nem zérus vektor λ ismeretlen szám Azok a v, λ kombinációk, amikre
Részletesebbenkarakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja
Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus
RészletesebbenMátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
RészletesebbenBázistranszformáció és alkalmazásai 2.
Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja
RészletesebbenFeladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz. 1. Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel.
Feladatok a Diffrenciálegyenletek IV témakörhöz 1 Határozzuk meg következő differenciálegyenletek általános megoldását a próba függvény módszerrel (a) y 3y 4y = 3e t (b) y 3y 4y = sin t (c) y 3y 4y = 8t
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
RészletesebbenLineáris algebra gyakorlat
Lineáris algebra gyakorlat 0. gyakorlat Gyakorlatvezet : Bogya Norbert 202. április 23. Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér Tartalom Sajátérték, sajátvektor, sajátaltér 2 Gyakorló feladatok a zh-ra (rutinfeladatok)
RészletesebbenMA1143v A. csoport Név: december 4. Gyak.vez:. Gyak. kódja: Neptun kód:.
MAv A. csoport Név:... Tekintsük az alábbi mátriot! A 7 a Invertálható-e az A mátri? Ha igen akkor bázistranszformációval határozza meg az inverzét! Ellenőrizze számításait! b Milyen egyéb mátritulajdonságokra
RészletesebbenMeghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0
Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R n vektortér Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. R n vektortér/1 Vektorok Rendezett szám n-esek: a = (a 1, a 2,, a n ) sorvektor a1 a = a2 oszlopvektor... a n a 1, a 2,,
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
RészletesebbenAlkalmazott algebra. Vektorterek, egyenletrendszerek :15-14:00 EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Vektorterek,
RészletesebbenMűveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz
2018/2019 ősz Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak. A mátrix
Részletesebbeny + a y + b y = r(x),
Definíció 1 A másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek általános alakja y + a y + b y = r(x), ( ) ahol a és b valós számok, r(x) pedig adott függvény. Ha az r(x) függvény az azonosan
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel
Differenciálegyenletek megoldása próbafüggvény-módszerrel Ez még nem a végleges változat, utoljára módosítva: 2012. április 9.19:38. Elsőrendű egyenletek Legyen adott egy elsőrendű lineáris állandó együtthatós
Részletesebben9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz
9. gyakorlat Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei folyt. Néhány kiegészítés a Gauss- és a Gauss Jordan-eliminációhoz. Mindkét eliminációs módszer műveletigénye sokkal kisebb, mint a Cramer-szabályé:
RészletesebbenBodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak
ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak IV. modul: Lineáris algebra 9. lecke: n-dimenziós vektorok Tanulási cél: n -dimenziós vektorok fogalmának megismerése, majd műveletek
Részletesebben1. Geometria a komplex számsíkon
1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenNormák, kondíciószám
Normák, kondíciószám A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris egyenletrendszerek Nagyon sok probléma közvetlenül lineáris egyenletrendszer megoldásával kezelhetı Sok numerikus
Részletesebben11. Előadás. 11. előadás Bevezetés a lineáris programozásba
11. Előadás Gondolkodnivalók Sajátérték, Kvadratikus alak 1. Gondolkodnivaló Adjuk meg, hogy az alábbi A mátrixnak mely α értékekre lesz sajátértéke a 5. Ezen α-ák esetén határozzuk meg a 5 sajátértékhez
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben7. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 7. előadás Elemi bázistranszformáció
7. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 57. 61. oldal. Gondolkodnivalók Bázis, dimenzió 1. Gondolkodnivaló Legyenek a v vektor koordinátái a v 1,..., v n bázisban: (1, α 2,..., α n ). Igazoljuk, hogy
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40
LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard
RészletesebbenMat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév
Mat. A2 3. gyakorlat 2016/17, második félév 1. Hány megoldása lehet az alábbi lineáris egyenletrendszereknek a valós számok körében, ha a -ok tetszőleges (nem feltétlenül egyenlő) számokat jelölnek? 0
RészletesebbenDifferenciálegyenletek
Differenciálegyenletek Losonczi László Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar Debrecen, 2011/12 tanév, I. félév Losonczi László (DE) Differenciálegyenletek 2011/12 tanév, I. félév 1 /
Részletesebben1. A kétszer kettes determináns
1. A kétszer kettes determináns 2 2-es mátrix inverze Tétel [ ] [ ] a c 1 d c Ha ad bc 0, akkor M= inverze. b d ad bc b a Ha ad bc = 0, akkor M-nek nincs inverze. A főátló két elemét megcseréljük, a mellékátló
RészletesebbenLINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév
LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak 2010-2011 évi tanév I félév Vektoriális szorzat és tulajdonságai bizonyítás nélkül: Vegyes szorzat és tulajdonságai
RészletesebbenMer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40
Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
Részletesebben