Alkalmazott algebra. Vektorterek, egyenletrendszerek :15-14:00 EIC. Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK

Átírás

1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Alkalmazott algebra BMETE90MX57 (FELSŐBB MATEMATIKA INFORMATIKUSOKNAK ) Vektorterek, egyenletrendszerek :15-14:00 EIC Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1

2 Ismeretek, képességek, célok Vektor ekvivalenciareláció Lineáris kombináció (üres halmazé is), függetlenség, függőség Test ( és prímhatvány elemű), gyűrű, F n Lépcsős alak/gauss, redukált lépcsős alak/gauss Jordan Vektortér, (kifeszített) altér, generátorrendszer, bázis, dim. Egyenletrendszer megoldáshalmaza affin altér Kitüntetett alterek: N (A), O(A), S(A) = O(A T ), N (A T ) A lineáris algebra alaptétele A sortérbe eső egyetlen megoldás meghatározása 2

3 Vektorok

4 Vektorok A 2- és 3-dimenziós tér vektorai

5 Szabad vektor - Ha az irányított szakasz a hal, a vektor a halraj. D Á D R ekvivalencia reláció ( a, b, c reflexív: a R a, szimmetrikus: a R b b R a, tranzitív: a R b, b R c a R c) Minden ekvivalenciareláció megadja az elemek egy diszjunkt részhalmazok uniójára való bontását, azaz osztályozását. R: két irányított szakasz ekvivalens, ha egyik a másikba tolható. Ekkor a vektorok az ekvivalenciaosztályok. 3

6 Origó - A közös kezdőpont P OP O - A pontok és a vektorok közt kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés: egy P pontnak az OP vektor felel meg, az origónak a nullvektor. 4

7 Vektorok lineáris függetlensége, lineáris összefüggősége D {v 1,..., v k } lineáris kombinációja k i=1 c i v i (c i R). Az üres vektorhalmaz bármely lin.komb-ja 0. v D T {v 1,..., v k } lineárisan független, ha egyik sem áll elő a többi lin.komb-jaként. (egy vektorra is jó: {v} független, ha v 0) Lineárisan függő, ha nem független (van olyan, amelyik előáll) {v 1,..., v k } lin.független k i=1 c i v i = 0 csak c 1 = c 2 =... = c k = 0 esetén áll fenn. 5

8 Vektorok Vektorok koordinátás alakban

9 Vektorok és pontok koordinátái e 1, e 2 maximális számú lineárisan független e 2 ( 2, 0) (2, 1) (2, 2) ( 2, 0) ( 1, 1) O e 2 (2, 1) e 1 e 1 ( 1, 1) (2, 2) 6

10 Hogy lehet elképzelni: a négydimenziós kocka R n a rendezett valós szám-n-esek tere Hogy lehet elképzelni? Az analógiák segíthetnek! R 4 -ben egy kocka: 1D: 2D: 3D: 4D: 7

11 Algebrai struktúrák

12 Algebrai struktúrák Test és gyűrű

13 Test számolunk, mint a valós számokkal D Egy legalább kételemű F halmazt testnek nevezünk, ha 1. értelmezve van F elempárjain egy összeadás és egy szorzás nevű bináris művelet, 2. az összeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje (additív inverze), 3. a szorzás kommutatív, asszociatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik multiplikatív inverze (reciproka), 4. a szorzás az összeadásra nézve disztributív. Á a nullelem és az egységelem szükségképpen különböző. Á 0a = a0 = 0. P R, Q, C. P Véges testek: Z p (prím modulusú maradékosztályok teste, más jelölések: F p, GF(p)), GF(q), ahol q prímhatvány. 8

14 Gyűrű számolunk, mint az egészekkel D D D P P P P P Ha a testnél definiált szorzás csak asszociatív, gyűrűről, ha kommutatív is, kommutatív gyűrűről, ha az asszociativitás mellett van egységeleme is, egységelemes gyűrűről beszélünk. Minden test gyűrű. Z egységelemes kommutatív gyűrű, N nem gyűrű. A páros számok kommutatív gyűrűt alkotnak, de ez nem egységelemes. A modulo m maradékosztályok Z m struktúrája egységelemes kommutatív gyűrű, és pontosan akkor test, ha m prím. A valós együtthatós polinomok egységelemes kommutatív gyűrűt alkotnak. 9

15 Maradékosztály-test Z 2 = F 2 = GF(2): Z 3 = F 3 = GF(3): Z 5 = F 5 = GF(5):

16 Maradékosztály-gyűrű Z 6 gyűrű: Véges testeket és gyűrűket széles körben alkalmaz a kódelmélet és a kriptográfia. 11

17 Prímhatványrendű testek m GF(4): választunk egy F 2 fölötti másodfokú irreducibilis (felbonthatatlan) polinomot, pl. x 2 + x + 1. Ha egy másod vagy harmadfokú polinom felbontható, akkor van elsőfokú tényezője, így van gyöke, de ennek nincs, mert 0-ban és 1-ben sem 0 az értéke. - A GF(4) elemei 0, 1, x, x + 1 (a legföljebb elsőfokú polinomok), és a számolás köztük modulo x 2 + x + 1 történik: x x x x x + 1 x x x x x + 1 x + 1 x x x x x + 1 x 0 x x x x x m GF(2 n ) konstrukciója hasonlóan megy egy GF(2) fölötti n-edfokú, irreducibilis polinommal. 12

18 Lineáris egyenletrendszerek

19 Lineáris egyenletrendszerek Sor- és oszlopmodell

20 Sormodell x + y = 3 x + 2y = 4 az x + 2y = 3 2x + 4y = 7 és az x + 2y = 3 2x + 4y = 6 13

21 Sormodell 3D-ben 14

22 Oszlopmodell x + y = 3 x + 2y = 4 x + 2y = 3 2x + 4y = 7 és x + 2y = 3 2x + 4y = 6 [ ] 1 x + 1 [ ] 1 y = 2 [ 3 4 ] [ ] 1 x + 2 [ ] 2 y = 4 [ 3 7 ] [ ] 1 x + 2 [ ] 2 y = 4 [ ]

23 Lineáris egyenletrendszerek Alakzatok egyenletei: egyenes, sík, hipersík

24 Explicit vektoregyenlet Implicit egyenlet(rendszer) Síkban egyenes r = r 0 + tv Ax + By = C pont r = r 0 A 1 x + B 1 y = C 1 A 2 x + B 2 y = C 2 sík r = r 0 + su + tv Ax + By + Cz = D Térben egyenes r = r 0 + tv A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 pont r = r 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z = D 1 A 2 x + B 2 y + C 2 z = D 2 A 3 x + B 3 y + C 3 z = D 3 hipersík??? a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b R n -ben sík r = r 0 + su + tv??? egyenes r = r 0 + tv??? pont r = r 0??? 16

25 Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszer és megoldásai

26 Lineáris egyenletrendszer D Lineáris egyenletrendszer általános alakja a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1.. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, ahol x 1, x 2, x n az ismeretlenek, a ij együttható, b i konstans tag. Ha mindegyik egyenlet konstans tagja 0, a lineáris egyenletrendszer homogén, ha csak egy is különbözik 0-tól, inhomogén. - Lineáris az x és y változókban: ax + y = 2a x 1 a y = 0 3x y = 0 x + 2y = 0 0 = 0. x + y = 1 0 = 2. x + y = 1 (*) 17

27 Megoldás D Lineáris egyenletrendszer megoldása a rendezett (u 1, u 2,..., u n ) szám-n-es D D megoldásvektor megoldáshalmaz (az összes megoldás halmaza) konzisztensnek (megoldható), inkonzisztens (nem megoldható). m Ha egy egyenletrendszer több egyenletből áll, mint ahány ismeretlene van, túlhatározottnak nevezzük, míg ha kevesebb egyenletből áll, alulhatározottnak. 18

28 Ekvivalens lineáris egyenletrendszerek D T Azonos ismeretlenekkel felírt két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldásaik halmaza azonos. Egyenletrendszert ekvivalens egyenletrendszerbe visznek át: 1. két egyenlet felcserélése; 2. egy egyenlet nem nulla számmal való szorzása; 3. egy egyenlet konstansszorosának egy másikhoz adása. 4. egy 0 = 0 alakú egyenlet elhagyása (csökkenti az egyenletek számát!) 19

29 Lineáris egyenletrendszerek Megoldás kiküszöböléssel

30 Elemi sorműveletek - Egy mátrix sorain végzett alábbi műveleteket elemi sorműveleteknek nevezzük: Sorcsere: két sor cseréje (S i S j : az i-edik és a j-edik sorok cseréje.) Beszorzás: egy sor beszorzása egy nemnulla számmal (cs i : az i-edik sor beszorzása c-vel) Hozzáadás: egy sorhoz egy másik sor konstansszorosának hozzáadása (S i + cs j : a j-edik sor c-szeresének az i-edik sorhoz adása). - Hasonlóan definiálhatók az elemi oszlopműveletek (O i O j, co i, O i + co j ). 20

31 Lépcsős alak D Egy mátrix lépcsős alakú, ha 1. a 0-sorok (ha vannak) a mátrix utolsó sorai; 2. bármely két egymás után következő nem-0 sorban az alsó sor elején (legalább eggyel) több 0 van, mint a fölötte lévő sor elején. A nemnulla sorok első zérustól különböző elemét főelemnek, vezérelemnek vagy pivotelemnek hívjuk. Egy főelem oszlopának főoszlop vagy bázisoszlop a neve. - A következő mátrixok lépcsős alakúak: [ ] 3 2, 0 4 [ ] 1 0, ,

32 Gauss-módszer m A Gauss-módszer, -kiküszöbölés vagy -elimináció: lineáris egyenletrendszer megoldása lépcsős alakra hozással (oszloponként haladva), majd a főoszlopok változói lesznek a kötött változók, a többi a szabad. Megoldás visszahelyettesítéssel (backward substitution). T B Bármely test feletti mátrix elemi sorműveletekkel lépcsős alakra hozható. 1. nulloszlop letakarása 2. sorcsere után a S i a i1 a 11 S 1 után a 11 alatt minden elem takarjuk le az első oszlopot és az első sort, és ha nincs több sor, VÉGE, ha van, menjünk a 1 pontra. 22

33 Redukált lépcsős alak (rref = reduced row echelon form) D Egy mátrix redukált lépcsős, ha 1. lépcsős alakú; 2. minden főelem egyenlő 1-gyel; 3. a főelemek oszlopaiban a főelemeken kívül minden elem 0; - Vezéregyes - A következő mátrixok redukált lépcsős alakúak: [ ] 1 0, 0 0 [ ] 0 1, , Algoritmus: oszloponként haladva először a vezérelemek alatt, majd csak utána az utolsó oszloptól kezdve fölöttük eliminálunk! 23

34 Redukált lépcsős alakra hozás P Hozzuk redukált lépcsős alakra az mátrixot! S 2 S S M1 3 2S S 3 +4S S2 S 1 3S S 2 S M S 2 1 S 2 S 3 2S 1 S S S T A redukált lépcsős alak egyértelmű Egy test elemeiből képzett bármely mátrix redukált lépcsős alakra hozható. Ez az alak egyértelmű. - A MATLAB-típusú nyelvekben rref() ez a függvény. 24

35 Gauss Jordan-módszer (megoldás rref-ra hozással) /2S S 3 1 S S 3 S 1 2S x = S 1 S y = z = 2 - Tehát az egyenletrendszer egyetlen megoldása (x, y, z) = (1, 3, 2). 25

36 Gauss Jordan-módszer több megoldás - bázisoszlopokhoz tartozó változók: kötött változók, a többi szabad változó /2S 2 S 1 S /2 1 3/ /2 0 1/ x 1 + 2x x 4 + x 5 = 3 2 x x 4 = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = ( 3 2 2s 3 2 t u, s, t, t, u), - x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 3 2 2s 3 2 t u s t t u = s t u

37 Vektortér

38 Vektortér Absztrakt vektortér

39 Vektortér absztrakt fogalma D Vektortér A V halmazt F fölötti vektortérnek nevezzük (jel.: V F ), ha tartalmaz egy 0-val jelölt elemet, és értelmezve van rajta egy összeadás és egy skalárral szorzás művelet, melyek a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: ha u, v, w V és c, d F, akkor (A1) u + v = v + u az összeadás kommutatív (A2) (u + v) + w = u + (v + w) az összeadás asszociatív (A3) u + 0 = u az összeadás nulleleme (M1) (cd)u = c(du) a két szorzás kompatibilis (M2) 1u = u szorzás a test egységelemével (M3) 0u = 0 szorzás a test nullelemével (D1) c(u + v) = cu + cv disztributív (D2) (c + d)u = cu + du disztributív. 27

40 Példák vektorterekre Á P P P P P P V = {0} bármely test fölött vektortér. Ezt nevezzük zérustérnek. F n vektortér F fölött a szokásos elemenkénti összeadás és skalárral szorzás műveleteivel. Speciálisan F 1, azaz maga F is tekinthető F fölötti vektortérnek. F m n, mátrixok vektortere F[x], polinomok vektortere F[x] n = {f F[x] deg f n}, legföljebb n-edfokú pol. F[[x]] = { n=0 a n x n }, a formális hatványsorok C k (R), az R-en k-szor folytonosan diffható függvények 28

41 Lineáris kombináció D Lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázis Lineáris kombináción n i=1 a i v i alakú véges összeget értünk, ahol a i F, v i V F. L! V F vektortér. AMH a B = {v 1, v 2,..., v n,... } véges vagy végtelen vektorhalmaz lineárisan független, ha minden véges részhalmaza lineárisan független. AMH B generátorrendszer V-ben (kifeszíti V-t), ha bármely v V vektor előáll véges sok B-beli lineáris kombinációjaként. AMH B a V egy bázisa, ha (1) lineárisan független, (2) generátorrendszer. T Minden vektortérnek van bázisa. A zérustéré az üreshalmaz. 29

42 Példák bázisra P Az e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),, e n = (0, 0,..., 0, 1) vektorokból álló halmazt F n standard bázisának nevezzük. P P P P P Az E ij mátrixok bázist alkotnak F m n -ben A legföljebb n-edfokú polinomok terének {1, x, x 2,..., x n } egy bázisa. F[x]-nek nincs véges bázisa, de {1, x, x 2,... } egy bázisa. F[[x]]-nek nem generátorrendszere {1, x, x 2,... }, mert n=0 a n x n nem áll elő véges lineáris kombinációként. A végtelen sorozatoknak a {0,..., 0, 1, 0, 0, 0... } típusú sorozatok nem alkotják bázisát. 30

43 Vektortér Alterek

44 Alterek tulajdonságai és szemléltetésük D W V a V altere, ha maga is vektortér, azaz ha (1) nem üres, (2) zárt a két vektorműveletre. Jelölése: W V. V Z = {0} Minden altérnek eleme a nullvektor (ui. 0u = 0 V). - Minden altérbeli x vektorral együtt annak ellentettje ( 1-szerese), a x vektor is eleme az altérnek. - Minden vektortér maga is altér (saját maga altere). - Z = {0} a zérustér altér. (NEM nulltér!). - Altér altere altér, azaz ha U V, és W U, akkor W V. - Alterek metszete altér: U V = W. - Két altér egyesítése csak akkor altér, ha egyik altere a másiknak. 31

45 Alterek tulajdonságai és szemléltetésük P M Alteret alkotnak-e az alábbi vektorhalmazok R 3 -ben? { (x, y, z) x = y, z = xy }, { (s + 2t, s 1, 2s + t) s, t R }, { (x, y, z) 2x y + z = 0 }, { (x, y, z) x = 2t, y = t, z = t, t R }. Nem. (Pl. (1, 1, 1) benne van, (2, 2, 2) nem.) Nem. Nincs benne a nullvektor. Igen. Az n = (2, 1, 1) normálvektorú sík. Igen. A v = (2, 1, 1) vektor skalárszorosai. 32

46 Kifeszített altér D a v i V (i = 1,..., k) vektorok által kifeszített altér: span(v 1, v 2,..., v k ) = { c 1 v 1 + c 2 v c k v k : c 1, c 2..., c k F }. Á Á P span(v 1, v 2,..., v k ) F n, azaz altér. span(v 1, v 2,..., v k ) a minimális altér azok között, melyek tartalmazzák a v 1, v 2,..., v k vektorokat. a T = [t i j ] n 1 i,j=0 Toeplitz mátrix a 2n 1 darab T k = [δ i j,k ] n 1 i,j=0 mátrixok lineáris kombinációja, ahol δ i,j a Kronecker-delta: 1, ha i = j δ i,j = 0, ha i j 33

47 Vektortér Egyenletrendszer megoldásai

48 Nulltér T D P M Egy n-ismeretlenes F testbeli együtthatós homogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza alteret alkot F n -ben. Az A együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak alterét az A mátrix nullterének nevezzük és N (A)-val jelöljük Határozzuk meg a mátrix nullterét: s 3 2 t u 2 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = s 1 2 t t u = s t u

49 Affin altér J W V, u V, W + u = {w + u : w W} D a W + u affin altér m ez nem altér, ha u / W. Á Az Ax = b egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha b előáll az A oszlopainak lineáris kombinációjaként (b benne van A oszlopterében). A lineáris kombináció együtthatói megegyeznek a megoldásvektor koordinátáival. Á Az inhomogén egyenletrendszer összes megoldása a homogén összes megoldásának azaz N (A)-nak az inhomogén valamelyik megoldásával való eltoltja. Mindegy melyik megoldást választjuk! K Az Ax = b összes megoldása egy affin alteret alkot, ami nem altér, ha b 0. 35

50 Az inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldásai T Homogén és inhomogén egyenletrendszer megoldásai Az inhomogén lineáris [A b] mátrixú egyenletrendszerre: inhomogén összes megoldása = inhomogén egy tetszőleges megoldása + homogén összes megoldása R n x 0 + N (A) x 0 N (A) x 0 x

51 Sortér, oszloptér D Á J T Egy mátrix oszlopvektorai által kifeszített alteret oszloptérnek, a sorvektorai által kifeszített alteret sortérnek nevezzük. Az A F m n mátrix sortere F n altere, oszloptere F m altere. A sortere: S(A) vagy Row(A), oszloptere: O(A) vagy Col(A) Sortér és oszloptér változása Elemi sorműveletek közben sortér és az oszlopvektorok közti lineáris kapcsolatok nem változnak. K Legyen B az A mátrix egy lépcsős alakja. Ekkor 1. A és B sortere megegyezik, 2. az A oszlopvektorai közt lévő lineáris kapcsolatok azonosak a B ugyanolyan sorszámú oszlopai közti lin. kapcsolatokkal, 3. B nemzérus sorvektorai lineárisan függetlenek, a főoszlopok A-ban és B-ben is lineárisan függetlenek.

52 Az altérbe tartozás vizsgálata P Határozzuk meg, hogy a v 1 = (1, 0, 1, 2), v 2 = ( 1, 2, 2, 1) és v 3 = (1, 1, 1, 1) vektorok által kifeszített altérnek eleme-e az u = ( 1, 2, 3, 6) vektor! Adjunk meg egy ezt bizonyító lineáris kombinációt! Mutassuk meg, hogy a w = ( 1, 2, 3, 4) vektor nem eleme az altérnek! M x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = u ( = w) megoldását keressük. A szimultán egyenletrendszer mátrixa [v 1 v 2 v 3 u w] amiből (x 1, x 2, x 3 ) = (3, 2, 2), és w valóban nem áll elő lineáris kombinációként, mert a w-t tartalmazó egyenletrendszer ellentmondásos. 38

53 Lineáris függetlenség eldöntése K Tekintsük az A = [a 1 a 2... ] a k mátrixot! Az alábbi állítások ekvivalensek: az a 1, a 2,, a k vektorok lineárisan függetlenek; az A együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszernek a triviálison kívül nincs más megoldása; az A lépcsős alakjának minden oszlopában van főelem, azaz r(a) = k. P Mutassuk meg, hogy a 4-dimenziós (1, 2, 3, 4), (0, 1, 0, 1) és (1, 1, 1, 0) vektorok lineárisan függetlenek. M A vektorokból képzett mátrix és lépcsős alakja

54 Vektortér Bázis, dimenzió, rang

55 Bázis meghatározása első megoldás P Határozzuk meg az (1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2), (1, 2, 3, 0) és (1, 3, 6, 2) vektorok által kifeszített altér egy bázisát! 1M Sorvektorokkal: A bázis vektorai (1, 1, 0, 2), (0, 1, 3, 2). 40

56 Bázis meghatározása második megoldás 2M oszlopvektorokkal a lépcsős alakból: Tehát az adott négy vektor közül az első kettő, azaz az (1, 1, 0, 2) és (2, 3, 3, 2) vektorok bázist alkotnak. Ha a megadott vektorokat más sorrendben írjuk a mátrixba, másik bázist kaphatunk. 41

57 Felírás bázisvektorok lineáris kombinációjaként M a redukált lépcsős alakból több is látszik: Ennek alapján: = , =

58 Koordinátás alak e bázisban P Jelölje B = {(1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2)} a bázist. A redukált lépcsős alak nemzérus soraiból [ ] kapjuk a négy vektor koordinátás alakjait: v 1 = [ ] 1, v 2 = 0 B [ ] 0, v 3 = 1 B [ ] 1, v 4 = 1 B [ ] 3. 2 B 43

59 Bázis és dimenzió T Á Minden vektortérnek van bázisa. (a zérustéré az üreshalmaz) L! U vektortér, és B = {v 1, v 2,..., v k } U. A következők ekvivalensek: - B lineárisan független generátorrendszere U-nak (azaz bázis), - B minimális generátorrendszer, - B maximális független vektorokrendszer. T D Bázis-tétel Ha a V vektortérnek van n-elemű bázisa, akkor minden bázisa n-elemű. A V vektortér n-dimenziós, ha van n-elemű bázisa. (véges dimenziós vektortér) 44

60 Mátrix, rang, dimenzió Á T Dimenzió = rang Egy mátrix rangja, sorterének dimenziója és oszlopterének dimenziója megegyezik. (Ebből következőleg r(a) = r(a T ).) Dimenziótétel rang nullitási tétel Bármely A F m n mátrix esetén a sortér dimenziójának (=rangjának) és a nulltér dimenziójának (=nullitásának) összege n. Képlettel: dim(s(a)) + dim(n (A)) = n. B kötött változók száma + szabad változók száma = n 45

61 Vektortér A lineáris algebra alaptétele (valós eset)

62 Valós mátrixok sor- és nulltere D D D T Egy valós vektortér két altere merőleges, ha bárhogy választva egy vektort az egyik, egy másikat a másik altérből, azok merőlegesek. Két altér kiegészítő altér, ha V bármely vektora egyértelműen előáll az egyik és a másik altérbe eső vektorok összegeként. A W V altér merőlegesén a rá merőleges vektorok alterét értjük, jele W ( W perp ). A lineáris algebra alaptétele Minden valós mátrix sortere és nulltere merőleges kiegészítő alterei egymásnak. K S(A) = N (A), N (A) = S(A). K O(A) = N (A T ). K Minden x vektor egyértelműen előáll egy sortérbe és egy nulltérbe eső vektor összegeként. 46

63 Kitüntetett alterek D Kitüntetett alterek Az A R m n mátrix négy kitüntetett altere: S(A) = O(A T ), N (A), O(A) = S(A T ), N (A T ). L! A R 3 3 egy 2-rangú mátrix. Ekkor x N (A) N (A T ) b ˆx 0 A A 0 ˆb S(A) = O(A T ) O(A) = S(A T ) 47

64 Vektortér Sortérbe eső egyetlen megoldás

65 Valós együtthatós egyenletrendszer megoldásai T Lineáris egyenletrendszer megoldásai Minden valós együtthatós megoldható (konzisztens) lineáris egyenletrendszerre igazak a következő állítások: egyetlen megoldása esik az együtthatómátrix sorterébe; a sortérbe eső megoldás az összes megoldás közül a legkisebb abszolút értékű; az összes megoldás előáll úgy, hogy a sortérbe eső megoldáshoz hozzáadjuk a homogén rész összes megoldását. 48

66 Megoldások és a kitüntetett alterek R n S(A) N (A) 0 R m O(A) 0 R n x y 0 R m 0 b 49

67 A sortérbe eső megoldás megkeresése P Határozzuk meg az x + y + z + 3u + 2w = 4 x + 2y + z + 5u + 2w = 5 2x + 3y + z + 8u + 3w = 7 2x + 3y + 2z + 8u + 4w = 9 egyenletrendszer minimális abszolút értékű megoldását! 50

68 - A redukált lépcsős alak: - Így a megoldás: = (x, y, z, u, w) = (1, 1, 2, 0, 0) + ( 1, 2, 0, 1, 0)s + ( 1, 0, 1, 0, 1)t. - A sortérbe eső megoldás merőleges a homogén egyenletrendszer megoldásait kifeszítő két vektorra, azaz a ( 1, 2, 0, 1, 0), ( 1, 0, 1, 0, 1) vektorokra. 51

69 - Ezért a redukált lépcsős alak szerinti egyenletrendszerhez ezt kell adni: x 2y + u = 0 x z + w = 0 - Így a kiegészített egyenletrendszer az eredetiből (vagy a lépcsős alakjából) és az előző egyenletekből áll: / / = /17, / /17 - tehát a keresett megoldás 1 /17( 4, 5, 19, 6, 15). 52