Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

Átírás

1 Vektorterek Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

2 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

3 Egyenletrendszerek Sormodell x + y = 3 x + 2y = 3 x + 2y = 3 x + 2y = 4 az 2x + 4y = 7 és az 2x + 4y = 6 Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

4 Egyenletrendszerek Sormodell 3D-ben Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

5 Egyenletrendszerek Oszlopmodell x + y = 3 x + 2y = 4 x + 2y = 3 x + 2y = 3 2x + 4y = 7 és 2x + 4y = 6 [ ] 1 x + 1 [ ] 1 y = 2 [ 3 4 ] [ ] 1 2 x + [ ] 2 y = 4 [ 3 7 ] [ ] 1 2 x + [ ] 2 y = 4 [ ] 3. 6 Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

6 Algebrai struktúrák Test Számolunk, mint a valós számokkal! D Egy legalább kételem F halmazt testnek (algebrai testnek) nevezünk, ha 1. értelmezve van F elempárjain egy összeadás és egy szorzás nev bináris m velet, 2. az összeadás kommutatív, asszociatív, létezik nullelem és minden elemnek létezik ellentettje (additív inverze), 3. a szorzás kommutatív, asszociatív, létezik egységelem és a nullelemen kívül minden elemnek létezik multiplikatív inverze (reciproka), 4. az összeadás a szorzásra nézve disztributív. Á a nullelem és az egységelem szükségképpen különböz. Á 0a = a0 = 0. P R, Q, C, Z p (prím modulusú maradékosztályok, más jelölések: F p, GF(p)). Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

7 Algebrai struktúrák Gy r Számolunk, mint az egészekkel. D Ha a testnél deniált szorzás csak asszociatív, gy r r l, D ha kommutatív is, kommutatív gy r r l, D ha az asszociativitás mellett van egységeleme is, egységelemes gy r r l beszélünk. P Minden test gy r. P Z egységelemes kommutatív gy r, N nem gy r. P A páros számok kommutatív gy r t alkotnak, de ez nem egységelemes. P A Z m egységelemes kommutatív gy r, és pontosan akkor test, ha m prím. P A valós együtthatós polinomok egységelemes kommutatív gy r t alkotnak. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

8 Vektortér Vektortér Azt mondjuk, hogy a V halmaz az F test fölötti vektortér, ha értelmezve van rajta két m velet ((vektor)összeadás, skalárral szorzás), melyekre 1. x, y V : x + y = y + x (kommutatív). 2. x, y, z V : (x + y) + z = x + (y + z) (asszociatív) V, hogy x V : 0 + x = x (zéruselem). 4. x V y V : x + y = 0 (additív inverz). 5. c, d F, x V : (cd)x = c(d x) (szorzások kompatibilitása). 6. xv : 1x = x (egységelemmel szorzás). 7. c, d F, x V : (c + d)x = cx + d x (disztributivitás). 8. c F, x, y V : x(x + y) = cx + cy (disztributivitás). Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

9 Vektortér Vektortér alaptulajdonságai Á Minden vektortérnek egyetlen zérusvektora van. Á Minden x V vekornak egyetlen additív inverze van: x = ( 1)x. Á Ha c F és x V, akkor cx = 0 c = 0 vagy x = 0. P Az F n a szokásos összeadással és skaláris szorzással F fölötti vektortér. P Az F-beli végtelen (x 1, x 2,..., x n,... ) sorozatok halmaza vektortér. P Valós vektortér: F = R, komplex vektortér: F = C. P Az F test fölötti (F-beli együtthatós) egyváltozós polinomok F[x] halmaza vektortér. P Az n-nél kisebb fokú polinomok F[x] n halmaza vektortér. P Ha X egy tetsz leges halmaz, és F egy test, akkor az összes X F függvények F X -szel jelölt halmaza F fölötti vektortér. P Ha X egy R-beli nem üres halmaz, akkor az X -en értelmezett folytonos függvények C(X ), illetve az X -en dierenciálható függvények D(X ) halmaza vektortér. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

10 Vektortér Altér D az F test fölötti V vektortérnek W altere, ha W V és W zárt a két m veletre. Jel: W V. K 0 W, P origón átmen egyenes a síkban (térben) P origón átmen sík a térben Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

11 Vektortér Altér P szimmetrikus mátrixok F n n -ben P fels háromszög-mátrixok F n n -ben P diagonális mátrixok F n n -ben P legföljebb másodfokú polinomok a polinomok (vagy pl. a legföljebb negyedfokúak) terében P R-en dierenciálható valós függvények az R-en folytonos valósok terében Á minden vektortérnek altere saját maga és a zérustér (Z = {0}) Á alterek metszete altér Á alterek uniója pontosan akkor altér, ha az egyik altere a másiknak M Az R ugyan részteste C-nek, de R n nem altere a C n vektortérnek. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

12 Vektortér Levéldiagram U W V W 0 Z = {0} Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

13 Vektortér Mátrixhoz tartozó alterek P A F m n mátrixra S(A) F n, O(A) F m (sor-, oszloptér) P homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai (Ax = 0, Ay = 0 A(cx) = 0, A(x + y) = 0) K azon b vektorok, melyekre Ax = b megoldható, alteret alkotnak (ez megegyezik A oszlopterével) K F m n -es mátrix nulltere F n altere (N (A) F n ) T Elemi sorm veletek közben a sortér nem változik, az oszlopvektorok meg rzik az eredeti lineáris kapcsolataikat. K Legyen B az A mátrix egy lépcs s alakja. Ekkor 1. A és B sortere megegyezik, 2. az A oszlopvektorai között lév lineáris kapcsolatok azonosak a B ugyanolyan sorszámú oszlopai közti lineáris kapcsolatokkal, 3. B nemzérus sorvektorai lineárisan függetlenek, 4. a f elemek oszlopvektorai A-ban és B-ben is lineárisan függetlenek. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

14 Vektortér Kifeszített altér D a v i V (i = 1,..., k) vektorok által kifeszített altér: span(v 1, v 2,..., v k ) = { c 1 v 1 + c 2 v c k v k : c 1, c 2..., c k F }. Á span(v 1, v 2,..., v k ) F n (tehát altér) Á span(v 1, v 2,..., v k ) a minimális altér azok között, melyek tartalmazzák a v 1, v 2,..., v k vektorokat. P Minden A F m n mátrix az E ij mátrixok lineáris kombinációja, amelyben az i-edik sor j-edik elem 1, a többi 0. P Minden legföljebb n-edfokú polinom az 1, x, x 2,...,x n lineáris kombinációja. P a T = [t i j ] n 1 i,j=0 Toeplitz mátrix a 2n 1 darab T k = [δ i j,k ] n 1 i,j=0 mátrixok lineáris kombinációja, ahol δ i,j a Kronecker-delta: { 1, ha i = j δ i,j = 0, ha i j Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

15 Vektortér An altér J W V, u V, W + u = {w + u : w W} D a W + u an altér M ez nem altér, ha u / W. Á Az Ax = b egyenletrendszer pontosan akkor oldható meg, ha b el áll az A oszlopainak lineáris kombinációjaként (b benne van A oszlopterében). A lineáris kombináció együtthatói megegyeznek a megoldásvektor koordinátáival. T Az Ax = b összes megoldása = az Ax = b valamelyik megoldása + az Ax = 0 összes megoldása K Az Ax = b összes megoldása egy an alteret alkot, ami nem altér, ha b 0. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

16 Bázis, dimenzió Bázis D A V vektortér bázisán olyan vektorrendszert értünk, mely 1. lineárisan független, 2. generátorrendszer (mely kifeszíti V-t). P Az e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) vektorokból álló halmazt F n standard bázisának nevezzük. Á A zérustérnek nincs bázisa P Az E ij mátrixok bázist alkotnak F m n -ben P A legföljebb n-edfokú polinomok terének {1, x, x 2,..., x n } egy bázisa. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

17 Bázis, dimenzió Bázis meghatározása els megoldás Példa (Altér bázisának meghatározása) Határozzuk meg az (1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2), (1, 2, 3, 0) és (1, 3, 6, 2) vektorok által kifeszített altér egy bázisát! Megoldás Sorvektorokkal: A bázis vektorai (1, 1, 0, 2), (0, 1, 3, 2). Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

18 Bázis, dimenzió Bázis meghatározása második megoldás Megoldás oszlopvektorokkal: Tehát az adott négy vektor közül az els kett, azaz az (1, 1, 0, 2) és (2, 3, 3, 2) vektorok bázist alkotnak. Ha a megadott vektorokat más sorrendben írjuk a mátrixba, másik bázist kaphatunk. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

19 Bázis, dimenzió Felírás bázisvektorok lineáris kombinációjaként Megoldás a redukált lépcs s alakból: Ennek alapján: = Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

20 Bázis, dimenzió Koordinátás alak e bázisban Példa (Vektor koordinátás alakja a B bázisban) Jelölje B = {(1, 1, 0, 2), (2, 3, 3, 2)} a bázist. A redukált lépcs s alak nemzérus soraiból [ ] kapjuk a négy vektor koordinátás alakjait: [ ] [ ] 1 0 v 1 =, v 2 =, v 3 = 0 1 B B [ ] 1, v 4 = 1 B [ ] 3. 2 B Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

21 Bázis, dimenzió Bázis és dimenzió Állítás (Bázis ekvivalens deníciói) Legyen U vektortér, és legyen B = {v 1, v 2,..., v k } U vektorok egy halmaza. A következ állítások ekvivalensek: B lineárisan független vektorokból áll és kifeszíti az U alteret, B minimális méret halmaz, mely kifeszíti U-t; B maximális méret, független vektorokból álló halmaz U-ban. Tétel (Bázis-tétel) Ha a V vektortérnek van n-elem bázisa, akkor minden bázisa n-elem. Deníció (Dimenzió) A V vektortér n-dimenziós, ha van n-elem bázisa. (véges dimenziós vektortér) Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

22 Bázis, dimenzió Mátrix, rang, dimenzió Állítás (Dimenzió = rang) Egy mátrix rangja, sorterének dimenziója és oszlopterének dimenziója megegyezik. (Ebb l következ leg r(a) = r(a T ).) Tétel (Dimenziótétel) Bármely A F m n mátrix esetén a sortér dimenziójának és a nulltér dimenziójának összege n. Képlettel: dim(s(a)) + dim(n (A)) = n. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

23 Valós mátrixok és egyenletrendszerek Valós mátrixok sor- és nulltere Deníció (Mer leges altér és mer leges kiegészít altér) egy vektortér két altere mer leges, ha bárhogy választva egy vektort az egyik altérb l, és egy másikat a másik altérb l, azok mer legesek egymásra. Egy W altérre mer leges vektorok alterét a W mer leges kiegészít alterének nevezzük és W -pel jelöljük (W perp). Tétel (A lineáris algebra alaptétele) Minden valós mátrix sortere és nulltere mer leges kiegészít alterei egymásnak. K S(A) = N (A), N (A) = S(A). K O(A) = N (A T ). K Minden x vektor egyértelm en el áll egy sortérbe és egy nulltérbe es vektor összegeként. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

24 Valós mátrixok és egyenletrendszerek Valós együtthatós egyenletrendszer megoldásai Tétel (Lineáris egyenletrendszer megoldásai) Minden valós együtthatós megoldható (konzisztens) lineáris egyenletrendszerre igazak a következ állítások: egyetlen megoldása esik az együtthatómátrix sorterébe; a sortérbe es megoldás az összes megoldás közül a legkisebb abszolút érték ; az összes megoldás el áll úgy, hogy a sortérbe es megoldáshoz hozzáadjuk a homogén rész összes megoldását. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

25 Valós mátrixok és egyenletrendszerek A sortérbe es megoldás megkeresése Példa (Lineáris egyenletrendszer sortérbe es megoldása) Határozzuk meg az x + y + z + 3u + 2w = 4 x + 2y + z + 5u + 2w = 5 2x + 3y + z + 8u + 3w = 7 2x + 3y + 2z + 8u + 4w = 9 egyenletrendszer minimális abszolút érték megoldását! Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

26 Valós mátrixok és egyenletrendszerek A redukált lépcs s alak: = Így a megoldás: (x, y, z, u, w) = (1, 1, 2, 0, 0) + ( 1, 2, 0, 1, 0)u + ( 1, 0, 1, 0, 1)w. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

27 Valós mátrixok és egyenletrendszerek A redukált lépcs s alak szerinti egyenletrendszerhez ezt kell adni: Így a kiegészített egyenletrendszer: x 2y + u = 0 x z + w = / = / / /17, /17 tehát a keresett megoldás 1 /17( 4, 5, 19, 6, 15). Wettl Ferenc Vektorterek február / 27