Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Átírás

1 Komplex számok Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

2 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális esetre Alkalmazások Fraktálok 3 Komplex számok M veletek komplex számokkal Egységgyökök M veleti tulajdonságok Az algebra alaptétele Binomiális tétel 4 Összefoglalás Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

3 Számok A számfogalom b vülése pozitív egészek összeadás, szorzás a + x = b megoldhatósága negatív számok és 0 ax = b megoldhatósága racionális számok x 2 = 2 megoldása vannak nem racionális számok is sorozatok határértékének fogalma irracionális számok racionális + irracionális számok valós számok és mi van az x 2 = 1 egyenlet megoldhatóságával? Szükség van további b vítésre? Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

4 Számok Egy kis történelem Girolamo Cardano ( ) orvos, lozófus, matematikus 1538 körül értesül arról, hogy Scipione del Ferro és Niccolò Tartaglia egymástól függetlenül felfedezték az x 3 + px = q alakú harmadfokú egyenlet megoldását 1545-ben megírja Ars magna sive de regulis algebraicis cím m vét, benne a megoldóképlettel 1552-t l kezd d en Európa egyik leghíresebb orvosa a 60-as évek elején elveszti két át (gyilkosságért halál, rablásért szám zetés) 1570-ben Bolognában bebörtönzik, szabadulása után Rómába költözik Scipione del Ferro ( ) felfedezi a harmadfokú egyenlet megoldásának módját titokban tartja (kivétel Nave, Fiore) Niccolò Fontana (1500?1557) gúnynevén Tartaglia (dadogó) (1511 Brescia, francia dúlás) 1535: Fiore kihívja Tartagliát egy 15 napos versenyre (30 feladat, a vesztes a gy ztest és 29 barátját megvendégeli) felkészüléskor Tartaglia rájön a nehezebb típusú harmadfokú egyenletek megoldásának módjára Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

5 Számok Egy kis történelem Cardano (kilátásba helyezve Tartaglia tüzérségi találmányainak pártfogót keres, titoktartás igérete mellett megszerzi a titkot) amikor Navétól megtudja, hogy del Ferro is ismerte e képleteket, felmentve érzi magát, és publikálja (a negyedfokú esetre is továbbfejlesztve az eredményt) Tartaglia leírta megcsalatásának történetét Milánóban Ferrari (Cardano tanítványa) vitára hívja Tartagliát, aki a vitát elveszti, ennek következtében lehet ségeit (nyilvános el adások) elveszíti Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

6 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális esetre Oldjuk meg az x 3 = bx + c egyenletet! A Tartaglia által talált képlet: ( ) 2 ( ) 3 ( ) x = 3 c 2 + c b + 3 c 2 ( c b 2 3 ) 3 Oldjuk meg a x 3 = 7x + 6 egyenletet! (6 ) 2 ( ) 3 (6 ) 2 ( = = 1 ( 9/2 + 1/2 ) ( 9/2 1/2 ) x = 3 = 3 ) 3 Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

7 Miért számolunk velük? Alkalmazások hidrodinamika, áramlások vizsgálata, Zsukov-féle szárnyprol elektromosságtan, jelfeldolgozás, villamosmérnöki tudományok lineáris rendszerek, lineáris dierenciálegyenletek megoldása relativitáselmélet, kvantummechanika fraktálok (Mandelbrot- és Julia-halmazok) Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

8 Miért számolunk velük? Fraktálok Mandelbrot halmaz Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

9 Komplex számok Jelölés i = 1 imaginárius egység (imaginárius = nem valódi) Deníció (komplex szám algebrai alakja) Az a + bi, a, b R alakú kifejezéseket komplex számoknak nevezzük, ahol i az a szám, melyre i 2 = 1. A komplex számok halmazát C jelöli. Egy komplex szám több alakba is felírható, ezt az alakot algebrai alaknak nevezzük. Az a szám a z valós része, a b az imaginárius, jelölése: a = Re z, b = Im z (más szokásos jelölés: a = R(z), b = I(z)). Deníció (konjugált) z = a ib, ahol z = a + ib Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

10 Komplex számok Im z 3i z = 2 + 3i 2i 1i Re z 1i 2i 3i z = 2 + 3i Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

11 Komplex számok Deníció Az (a, b) vektor x-tengellyel bezárt szöge legyen ϕ, hossza r. Ekkor a z = a + ib komplex szám felírható r(cos ϕ + i sin ϕ) alakban is, hisz a = r cos ϕ, és b = r sin ϕ. Ezt az alakot trigonometriai alaknak, az r nemnegatív valóst a komplex szám abszolút értékének, ϕ-t argumentumának nevezzük: r = z, ϕ = arg z. Tétel z z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 = z 2, azaz z = a 2 + b 2 = z z Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

12 Komplex számok 3π/4 2π/3 π/ i π/3 π/4 5π/6 π/6 π i 2 2i 7π/6 11π/6 5π/4 7π/4 4π/3 5π/3 3π/2 Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

13 M veletek komplex számokkal Példa (2 + 3i) (3 i) = 1 + 4i (2 + 3i)(3 i) = i( i) + (3i) ( i) = 9 + 7i 1 = i i 2 + 3i = 3 + i (2 + 3i)(3 i) (3 + i)(3 i) = 9 + 7i 10 = i Példa [2(cos π 3 + i sin π 3 )][cos 7π 6 + i sin 7π 6 ] = 2cos π 3 cos 7π 6 2 sin π 3 sin 7π 6 + 2[cos π 3 sin 7π 6 + sin π 3 cos 7π 6 ]i = 2 cos( π 3 + 7π 6 ) + 2 sin( π 3 + 7π 6 )i = 2 cos 3π sin 3π 2 = 2i. Ellen rzés: (1 + 3i)( 3 i ) = i 2 i 3 3 = 2 2 2i. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

14 M veletek komplex számokkal 0 1 Példa Számítsuk ki ( ) i Megoldás értékét! i trigonometriai alakja: cos π + 3 i sin π 3. [cos π + 3 i sin π 3 ]100 = cos 100π + i sin 100π = cos 4π i sin 4π = i. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

15 M veletek komplex számokkal Példa Számítsuk ki ( 3 + i ) 9 értékét! Megoldás i hossza + 12 = 2, trigonometriai alakja: 2(cos π + 6 i sin π 6 ). [2(cos π 6 +i sin π 6 )]9 = 2 9 (cos 9π 6 +i sin 9π 6 ) = 512(cos 3π 2 +i sin 3π 2 ) = 512i Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

16 Egységgyökök Deníció Az 1 n-edik gyökeit n-edik egységgyököknek nevezzük. Az 1 négyzetgyökei a komplexek körében: 1 és 1. Az 1 harmadik gyökei: 1, i, i. Az 1 negyedik gyökei: 1, i, 1, i. Az 1 hatodik gyökei: 1, i, i, 1, i, i Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

17 Egységgyökök Példa Számítsuk ki a hatodik egységgyököket! Megoldás Az 1 trigonometriai alakja 1 = 1(cos 0 + i sin 0). Olyan számokat keresünk, melyek 6-odik hatványa 1, azaz olyanokat, melyekre r 6 (cos 6ϕ + i sin 6ϕ) = 1(cos 0 + i sin 0). Innen r = 1, és 6ϕ = 0, de mivel 0 ugyanaz a szög, mint 2π, 4π..., ezért 6ϕ = 2π, 6ϕ = 4π, 6ϕ = 6π, 6ϕ = 8π, 6ϕ = 10π is lehet! Innen ϕ = 0, π /3, 2π /3, π, 4π /3, 5π /3. A gyökök tehát: 1(cos 0 + i sin 0) = 1, 1(cos π /3 + i sin π /3) = i, 1(cos 2π /3 + i sin 2π /3) = i, 1(cos π + i sin π) = 1, 1(cos 4π /3 + i sin 4π /3) = i, 1(cos 5π /3 + i sin 5π /3) = i. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

18 Egységgyökök z 1 = a 1 + b 1 i = r 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ), z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) algebrai alakban: összeadás, kivonás, szorzás algebrai kifejezésként az i 2 = 1 helyettesítést használva; osztás a nevez konjugáltjával való b vítéssel. z 1 ± z 2 = (a 1 ± a 2 ) + (b 1 ± b 2 )i, z 1 z 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i, z 1 = a 1 + b 1 i z 2 a 2 + b 2 i = (a 1 + b 1 i)(a 2 b 2 i) (a 2 + b 2 i)(a 2 b 2 i) = (a 1 a 2 + b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 a 1 b 2 )i, a b2 2 trigonometriai alakban: z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) z1 = r 1 (cos(ϕ z2 r2 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 )) z n = r n (cos nϕ + i sin nϕ) ( n r(cos ϕ + i sin ϕ) = n r k = 0, 1,... n 1. cos ϕ + 2kπ n + i sin ϕ + 2kπ ), ahol Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23 n

19 M veleti tulajdonságok Tétel (Konjugált tulajdonságai) 1 z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 3 z 1 /z 2 = z 1 / z 2 4 z = z Tétel (Abszolút érték tulajdonságai) 1 z = z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 3 z 1 /z 2 = z 1 / z 2 4 z 1 + z 2 z 1 + z 2 (háromszög-egyenl tlenség) Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

20 Az algebra alaptétele Tétel (Algebra alaptétele) Minden komplex-együtthatós n-edfokú (n 1) polinomnak van komplex gyöke. Tétel (Algebra alaptétele változat) Minden komplex-együtthatós n-edfokú (n 1) polinomnak pontosan n gyöke van, ha a gyököket multiplicitással számoljuk. Másként fogalmazva minden komplex-együtthatós polinom lineáris tényez k szorzatára bontható. Nevezetesen az a n x n + + a 1 x + a 0, a n 0, a 0, a 1,..., a n C egyenlethez léteznek olyan c 1, c 2,..., c n C számok, hogy a n x n + + a 1 x + a 0 = a n (x c 1 )(x c 2 )... (x c n ), és ez a felbontás a tényez k sorrendjét l eltekintve egyértelm. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

21 Binomiális tétel Deníció (Binomiális együttható) ( ) n n(n 1)... (n k + 1) n! = = k k k!(n k)! Tétel (Binomiális tétel) Tetsz leges valós vagy komplex a és b számokra (a + b) n = a n + na n 1 n(n 1) b + a n 2 b b n = 2 Példa (1 + i) 3 = 1 + 3i + 3i 2 + i 3 = 1 + 3i 3 i = 2 + 2i n k=0 ( n k ) a n k b k. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

22 Binomiális tétel Pascal-háromszög ( 4 0 ( 0 ( 0) 1 ) ( 1 ( 0 1) 2 ) ( 2 ) ( 2 ( 0 1 2) 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) 0 ( 1 2 3) 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( ) ( n k ) + ( ) ( ) n n = = 1 0 n ( ) ( ) n n = k n k ) ( ) n + 1 = k + 1 k + 1 ( n Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

23 Összefoglalás Amit hibátlanul tudni kell! 1 algebrai vagy trigonometriai alakban megadott komplex számok ábrázolása a komplex síkon 2 π 3, π 4 többszörös szögek esetén konverzió a két alak közt 3 algebrai alakban megadott komplex számok összeadása, kivonása, szorzása, osztása 4 trigonometriai alakban megadott komplex számok szorzása, osztása, hatványozása 5 második, harmadik, negyedik, hatodik egységgyökök fölírása 6 komplex szám abszolút értékének, konjugáltjának fölírása, az abszolút érték és a konjugált tulajdonságai 7 Pascal-háromszög els néhány sorának fölírása, a binomiális együtthatók kiszámolása, binomiális-tétel fölírása általános és konkrét (n = 2, 3, 4, 5, 6) esetén 8 az algebra alaptétele a komplex gyökök számáról Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23