Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ortogonalizáció. Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41"

Átírás

1 Ortogonalizáció Wettl Ferenc Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

2 Tartalom 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

3 Ortonormált bázis 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

4 Ortonormált bázis Ortogonális és ortonormált bázis D OR (ortogonális rendszer, lehet köztük zérusvektor), ONR (ortonormált rendszer) T Ha a nullvektortól különböz a 1, a 2,..., a k vektorok páronként ortogonálisak, akkor függetlenek is. B Tekintsük a c 1 a c k a k = 0 egyenletet. Szorozzuk be az egyenl ség mindkét oldalát a i -vel (i = 1, 2,..., k): (c 1 a 1 + c 2 a c k a k ) a i = 0 a i c i a i a i = 0. Mivel a i a i 0, ezért c i = 0, és ez igaz minden i-re. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

5 Ortonormált bázis Ortogonális és ortonormált bázis T Legjobb közelítés ONB esetén Adva van a V vektortérben egy {e 1, e 2,..., e k } ortonormált rendszer által kifeszített A altér, valamint egy v vektor. Ekkor a ˆv = (v e 1 )e 1 + (v e 2 )e (v e k )e k (1) vektor az A altér v-hez legközelebb fekv pontja, azaz ˆv = proj A v. B Megmutatjuk, hogy az (1) szerinti pont van legközelebb v-hez: ( ) 2 k k (v ˆv) 2 = v (v e i )e i = v 2 (v e i ) 2. i=1 v és az altér egy tetsz leges u vektorának távolságnégyzete: ( ) 2 k k k (v u) 2 = v c i e i = v 2 2 c i (v e i ) + c 2 i. i=1 i=1 i=1 i=1 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

6 Ortonormált bázis Ortogonális és ortonormált bázis A különbségük pozitív, tehát valóban ˆv van v-hez legközelebb: (v u) 2 (v ˆv) 2 ( k = v 2 2 c i (v e i ) + = = i=1 i=1 k i=1 k k c 2 i 2 c i (v e i ) + c 2 i i=1 i=1 k (c i v e i ) 2 0. i=1 ) ( v 2 k (v e i ) 2 ) k (v e i ) 2 Ebb l a legjobb közelítés tétele szerint kapjuk, hogy ˆv = proj A v. i=1 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

7 Ortogonális mátrix 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

8 Ortogonális mátrix Ortogonális mátrixok D Egy valós négyzetes mátrix ortogonális, ha oszlopvektorai vagy sorvektorai ONR-t alkotnak. Ha nem kötjük ki, hogy négyzetes legyen, szemiortogonális mátrixról beszélünk. P A forgatás, tükrözés mátrixa, és minden permutációmátrix ortogonális. T Legyen m n és Q R m n. Ekkor Q szemiortogonális Q T Q = I n (m n esetén QQ T = I n ) B sorvektorszor oszlopvektor T Legyen Q R n n. Az alábbi állítások ekvivalensek: Q oszlopvektorai ortonormált rendszert alkotnak. Q T Q = I n. Q 1 = Q T. QQ T = I n. Q sorvektorai ortonormált rendszert alkotnak. Á det(q) = 1, O(n) és SO(n) zárt a szorzásra és invertálásra nézve. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

9 Ortogonális mátrix Ortogonális mátrixok geometriája T Ortogonális mátrixhoz tartozó mátrixleképezés Legyen Q R n n. Az alábbi állítások ekvivalensek: a) Q ortogonális. b) Qx = x minden x R n vektorra. c) Qx Qy = x y minden x, y R n vektorra. B a) b): Ha Q ortogonális, akkor Q T Q = I, így tetsz leges x R n vektorra Qx 2 = Qx Qx = (Qx) T (Qx) = x T Q T Qx = x T x = x 2. b) c): A skalárszorzás abszolút értékkel való kifejezéséb l: Qx Qy = 1 ( Qx + Qy 2 Qx Qy 2) = 1 ( Q(x + y) 2 Q(x y) 4 4 = 1 ( x + y 2 x y 2) = x y 4 c) a): A Q mátrix i-edik oszlopa q i = Qe i { 0, ha i j, q i q j = Qe i Qe j = e i e j = 1, ha i = j. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

10 Ortogonális mátrix A 2- és 3-dimenziós tér ortogonális transzformációi T Minden O(2)-be es ortogonális mátrix vagy egy α szög forgatás, vagy egy α/2 szög egyenesre való tükrözés mátrixa, azaz [ ] [ ] cos α sin α cos α sin α vagy sin α cos α sin α cos α T A harmadrend 1 determinánsú ortogonális transzformációk a forgatások, a 1 determinánsúak, azaz O(3) SO(3) elemei egy pontra való tükrözés és egy forgatás egymás utáni alkalmazásával megkaphatók. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

11 Ortogonális mátrix Givens-forgatás D Givens-forgatás: forgatás egy síkban, minden más helyben marad: cos α... sin α... 0 G = sin α... cos α m Egy tetsz. x vektor olyan vektorba forgatható, melynek j-edik koordinátája 0. Az i-edik és j-edik sorokat és oszlopokat kiemelve [ ] [ ] [ ] cos α sin α a r = r = a sin α cos α b b 2, cos α = a, sin α = b. r r. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

12 Ortogonális mátrix Householder-tükrözés D Householder-tükrözés: Egy adott a 0 vektorra mer leges hipersíkra való tükrözést Householder-tükrözésnek nevezzük. Mátrixa H = I 2 a T a aat T Ha a és b két különböz, de azonos hosszúságú vektor R n -ben, akkor az (a b) hipersíkra való H-tükrözés a-t és b-t fölcseréli. B Megmutatjuk, hogy Ha = b és Hb = a, ahol 2 H = I (a b) T (a b) (a b)(a b)t. (a b) T (a b) = a T a a T b b T a+b T b = 2(a T a b T a) = 2(a b) T a. 2 Ha = a (a b) T (a b) (a b)(a b)t a 1 = a (a b) T a (a b)t a(a b) = a (a b) = b. Mivel H 1 = H, ezért Hb = H 1 b = a. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

13 Ortogonalizáció 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

14 Ortogonalizáció GramSchmidt-ortogonalizáció T GramSchmidt-ortogonalizáció Ha A = {a 1, a 2,..., a k } egy független vektorrendszer, akkor létezik olyan ortogonális V = {v 1, v 2,..., v k } vektorrendszer, hogy minden i = 1, 2,..., k esetén span(a 1, a 2,..., a i ) = span(v 1, v 2,..., v i ). (2) Az ortogonális V rendszerb l a vektorok normálásával kapott { v1 v 1, v 2 v 2,..., v } k v k rendszer ortonormált. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

15 Ortogonalizáció GramSchmidt-ortogonalizáció B v 1 = a 1 span(a 1 ) = span(v 1 ). A span(a 1, a 2 ) = span(v 1, v 2 ) teljesüléséhez: ( ) v 1 v1 v 2 = a 2 a 2 v 1 v 1 = a 2 a 2 v 1 v 1 v 1 v 1 E vektor nem 0-vektor, hisz v 2 = 0 esetén a 2 = a 2 v1 v 1 = a 2 v1 a 1 v1 v1 v1 v1 lenne, azaz a 1 és a 2 nem lenne független. span(a 1, a 2 ) = span(v 1, v 2 )... kiszámoljuk az a i+1 vektornak a span( v 1 v1, v 2 v2,..., v i v i ) altérre mer leges összetev jét, ez lesz v i+1 v i+1 = a i+1 a i+1 v 1 v 1 a i+1 v 2 v 2 a i+1 v i v i v 1 v 1 v 2 v 2 v i v i v i+1 0, különben A nem volna független. v i+1 kifejezhet az a 1, a 2,..., a i+1 vektorok lineáris kombinációjaként, és a i+1 kifejezhet az v 1, v 2,..., v i+1 vektorok lineáris kombinációjaként. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

16 Ortogonalizáció GramSchmidt-ortogonalizáció P Keressünk ortonormált bázist az (1, 1, 1, 1), (3, 1, 3, 1), (6, 2, 2, 2) vektorok által kifeszített altérben. M El ször keressünk egy ortogonális bázist: v 1 = (1, 1, 1, 1) (3, 1, 3, 1) (1, 1, 1, 1) v 2 = (3, 1, 3, 1) (1, 1, 1, 1) = (2, 2, 2, 2) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) (6, 2, 2, 2) (1, 1, 1, 1) v 3 = (6, 2, 2, 2) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) (1, 1, 1, 1) (6, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) = (2, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) (2, 2, 2, 2) Végül az ortonormált bázis: {( 1 2, 1 2, 1 2, 1 ) ( 1, 2 2, 1 2, 1 ) ( 1 2, 1, 2 2, 1 )} 2, 1 2, 1 2 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

17 QR-felbontás 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

18 QR-felbontás A QR-felbontás D Legyen A egy teljes oszloprangú mátrix. Az A = QR felbontást QR-felbontásnak vagy redukált QR-felbontásnak nevezzük, ha Q az A-val azonos méret szemiortogonális mátrix, és R négyzetes fels háromszögmátrix, f átlójában pozitív elemekkel. T Teljes oszloprangú valós mátrix QR-felbontása létezik és egyértelm. A Q mátrixot ortonormált oszlopvektorok hozzávételével kiegészíthetjük egy ortogonális mátrixszá, az R mátrixot pedig zérussorok hozzávételével egy m n-es fels háromszögmátrixszá, akkor e mátrixok szorzata is A, ugyanis A = [ [ ] R Q ˆQ] = QR + ˆQO = QR O Ezt nevezzük teljes QR-felbontásnak. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

19 QR-felbontás B QR létezése a GramSchmidt-ortogonalizációs eljárásból: A = [a 1 a 2... a k ] R n k teljes oszloprangú (k n), a q-vektorokra: span(a 1,..., a i ) = span(q 1,..., q i ) minden i = 1, 2,..., k értékre, ezért léteznek olyan r ij skalárok, hogy a 1 = r 11 q 1 a 2 = r 12 q 1 + r 22 q 2. a k = r 1k q 1 + r 2k q r kk q k. Ezt mátrixszorzat-alakba írva épp a kívánt felbontást kapjuk: r 11 r r 1k 0 r A = [a 1 a 2... a k ] = [q 1 q 2... q k ] r 2k = QR r kk A GramSchmidt-eljárásból az is látható, hogy r ii = v i, tehát r ii > 0. R kiszámítása: Q T A = Q T QR = I k R = R, tehát R = Q T A. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

20 QR-felbontás QR-felbontás primitív ortogonális transzformációkkal P QR-felbontását Givens-forgatásokkal: A = M a = 4, b = 3, tehát r = = 5, cos α = 4 /5, sin α = 3 /5 ] ] Q 1 = [ 4 /5 3/5 0 3 /5 4/ Q 1 A = [ Következ lépésben a Q 1 A mátrix harmadik sorának második elemét elimináljuk: ] ] és innen Q 2 = [ /13 12/ /13 5/13. R = Q 2 Q 1 A =. [ [ 4 /5 3 /13 ] 36/65 Q = (Q 2 Q 1 ) 1 = Q T 1 QT 2 = 3/5 4/13 48 /65, 0 12/13 5/13 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41.

21 QR-felbontás QR-felbontás primitív ortogonális transzformációkkal A = Q 1A = 0 0 Q 2Q1A = Q 3Q2Q1A = Q1 = H1 Q2 = 0 0 H2 Q3 = H3 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

22 QR-felbontás P QR-felbontását Householder-módszerrel: A = M (1, 2, 2) (3, 0, 0) trafóhoz a = (1, 2, 2) (3, 0, 0) = ( 2, 2, 2) Q 1 = I 3 2aaT a T a = = ,Q 1 A = (4, 3) (5, 0) transzformációh a = (4, 3) (5, 0) = ( 1, 3) [ ] [ ] [ H 2 = I Q 2 = a T a aat = /5 3/5 0 3/5 4 /5 0 1 Q = (Q 2 Q 1 ) 1 = Q T 1 QT 2 = , R = Q 2 Q 1 A = 15 = ] Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

23 QR-felbontás Egyenletrendszer optimális megoldása QR-felbontással T Legyen A egy teljes oszloprangú m n-es valós mátrix, A = QR egy QR-felbontása, és b egy R m -beli vektor. Ekkor az Ax = b egyenletrendszer egyetlen optimális megoldása ˆx = R 1 Q T b, ami megkapható az Rˆx = Q T b egyenletrendszerb l egyszer visszahelyettesítéssel is. B Optimális megoldás a normálegyenletb l: A T Aˆx = A T b (QR) T QRˆx = (QR) T b R T Q T QRˆx = R T Q T b R T Rˆx = R T Q T b Rˆx = Q T b. A = QR behelyettesítése után Q T Q = I balról szorzás az (R T ) 1 mátrixszal Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

24 Komplex skaláris szorzás 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

25 Komplex skaláris szorzás Komplex vektorok skaláris szorzata? komplex számok skaláris szorzata lehet ségek: (1, i) (1, i)? = 1 1 = 0 (i, i) (i, i)? = 1 1 = 2 z w = z 1 w 1 + z 2 w z n w n, vagy z w = z 1 w 1 + z 2 w z n w n. D Az A komplex mátrix adjungáltján (vagy Hermite-féle transzponáltján) elemenkénti konjugáltjának transzponáltját értjük. Az A adjungáltját A, vagy Hermite neve után A H jelöli, tehát A H = A T. D z w = z 1 w 1 + z 2 w z n w n = z H w. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

26 Komplex skaláris szorzás Adjungált és a skaláris szorzás tulajdonságai T Legyenek A és B komplex mátrixok, c komplex szám. Ekkor (A H ) H = A, (A + B) H = A H + B H, (ca) H = ca H (AB) H = B H A H. T Legyen u, v, w C n, és legyen c C. Ekkor u v = v u u (v + w) = u v + u w, (cu) v = c(u v) és u (cv) = c(u v), u u > 0, ha u 0, és u u = 0, ha u = 0. D A komplex skaláris szorzás segítségével a valós esethez hasonlóan deniálható a komplex vektorok távolsága és szöge, és így a mer legessége is. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

27 Komplex skaláris szorzás Önadjungált Hermite-féle mátrixok D A önadjungált, ha A H = A. P Melyik önadjungált? 1 i 1 + i i 2 2 3i, 1 i 2 + 3i 3 M az els kett [ ] 1 2, 2 3 [ ] i 1 + i, 1 i 1 [ ] i 1 + i 2 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

28 Komplex skaláris szorzás Unitér mátrixok D Egy komplex négyzetes U mátrix unitér, ha U H U = I. Á Az alábbiak ekvivalensek: UU H = I, U 1 = U H, U oszlopvektorai ortonormált bázist alkotnak a komplex skalárszorzásra nézve, U sorvektorai ortonormált bázist alkotnak a komplex skalárszorzásra nézve, Ux = x minden x C n vektorra, Ux Uy = x y. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

29 Diszkrét Fourier-transzformált 1 Ortonormált bázis 2 Ortogonális mátrix 3 Ortogonalizáció 4 QR-felbontás 5 Komplex skaláris szorzás 6 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Diszkrét Fourier-transzformáció Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

30 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok M A Fourier-sorok komplex alakja, és részletösszegei (diszkrét Fourier-összeg): n= c n e nit g(t) = N 1 n=0 c n e nit = c 0 +c 1 e it +c 1 e 2it + +c N 1 e (N 1)it Á A (c 0, c 1,..., c N 1 ) (g(0), g( 2π 2(N 1)π ),..., )) leképezés lineáris, N N 2πi és mátrixa mn [e N ] (0 m, n < N). Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

31 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok P A ε = e 2πi 3 jelöléssel y 0 = c 0 + c 1 e i0 + c 2 e 2i0 = c 0 + c 1 + c 2 y 1 = c 0 + c 1 e 2πi 3 + c 2 e 4πi 3 = c 0 + c 1 ε + c 2 ε 2 y 2 = c 0 + c 1 e 4πi 3 + c 2 e 8πi 3 = c 0 + c 1 ε 2 + c 2 ε 4 a (c 0, c 1, c 2 ) (y 0, y 1, y 2 ) leképezés lineáris, mátrixszorzatos alakja: y 0 y 1 y = 1 ε ε 2 1 ε 2 ε 4 c 0 c 1 c 2 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

32 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok Általánosan: y 0 = c 0 + c 1 e i0 + c 2 e 2i0 + + c N 1 e (N 1)i0 = c 0 + c c N 1 y 1 = c 0 + c 1 e 2πi N. + c 2 e 4πi N 2(N 1)πi + + c N 1 e N 2πi(N 1) 4πi(N 1) 2πi(N 1) y N 1 = c 0 + c 1 e N + c 2 e N c N 1 e N Az ε = /N e2πi jelöléssel mátrixszorzat-alakban y 0 1 ε ε y 1 2 ε 3 ε N 1. = 1 ε 2 ε 4 ε 6 ε 2(N 1) 1 ε 3 ε 6 ε 9 ε 3(N 1) y N ε N 1 ε 2(N 1) ε 3(N 1) ε (N 1)2. c 0 c 1. c N 1 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

33 Diszkrét Fourier-transzformált Fourier-mátrixok D Fourier-mátrixok: az ε = /N e2πi, ω = ε = 2πi /N e jelölésekkel: ε... ε N 1 Φ N,ε = V N (1, ε, ε 2,..., ε N 1 ) = ε N 1... ε (N 1) ω... ω N 1 Φ N,ω = V N (1, ω,..., ω N 1 ) = ω N 1... ω (N 1)2 T A Fourier-mátrixok tulajdonságai: Bármelyik Fourier-mátrix k-adik és N k-adik sora egymás konjugáltja, páros N esetén pedig az N /2-edik sorvektor (1, 1, 1, 1,... ). Φ N,ω = Φ N,ε = Φ H N,ε és Φ N,ε = Φ N,ω = Φ H N,ω Φ N,ε Φ N,ω = NI N, így Φ N,ε és Φ N,ω invertálható, továbbá 1 N Φ N,ε és Φ 1 N,ε = 1 N Φ N,ω, Φ 1 N,ω = 1 N Φ N,ε, 1 N Φ N,ω unitér. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

34 Diszkrét Fourier-transzformált Diszkrét Fourier-transzformáció M A továbbiakban f (t) = 1 N N 1 n=0 c n e nit függvényb l indulunk ki, a megadott helyek a [0, 2π] intervallumot N részre osztó 2kπ /N (k = 0, 1,..., N 1) pontok. A F N : (c 0, c 1,..., c N 1 ) (y 0, y 1,..., y N 1 ) F N = Φ N,ω, amelyre a továbbiakban az D Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) Az F N : C N C N : x X = F N x Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

35 Diszkrét Fourier-transzformált Diszkrét Fourier-transzformáció P Az F 1, F 2, F 4 és F 8 mátrixok: [ ] F 1 = [1], F 2 =, F 4 = 1 i 1 i , 1 i 1 i i 1 i 1+i 1+i 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1+i 1+i 1 i 1 i F 8 = i 1+i 1 i 1 i 1 i 1 i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1+i 2 1+i 2 1 i 2 1 i 2 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

36 Diszkrét Fourier-transzformált Diszkrét Fourier-transzformáció T A DFT tulajdonságai Konstans vektor képe impulzusvektor (melynek a nulladikat kivéve mindegyik koordinátája 0), és fordítva, konkrétan F N (c, c,..., c) = (Nc, 0,..., 0), ahol c C tetsz leges konstans. Ha x valós vektor, akkor X N k = X k. F N (c, 0,..., 0) = (c, c,..., c). Az F N transzformáció invertálható, inverze (IDFT) többféle felírásban: x = F 1 N X = 1 N Φ N,εX, x k = 1 N N 1 n=0 X n ε kn = 1 N N 1 n=0 X n e 2πi N kn. Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

37 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció M DFT kiszámításához N 2 m velet M két fele akkora méret Fourier-transzformációból megkapható: X k = = = = N 1 n=0 N/2 1 n=0 N/2 1 n=0 N/2 1 n=0 x n e N 1 2πi kn N = x 2n e x 2n e n=0 x n ω kn N N/2 1 2πi 2nk N + n=0 2πi N/2 nk 2πi + e N x 2n ω nk N/2 + ωk N N/2 1 n=0 x 2n+1 e N/2 1 k n=0 2πi (2n+1)k N x 2n+1 e 2πi N/2 nk x 2n+1 ω nk N/2 = E k + ω k N O k. E k és O k N/2 szerint periodikusak E k+n/2 = E k, O k+n/2 = O k Innen k < N/2 esetén X k = E k + ω k N O k, X k+n/2 = E k ω k N O k. A m veletigény 3 N log N. 2 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

38 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció function FFT(x) N dim(x) X legyen N-dimenziós vektor if N = 1 then X 0 x 0 else y x páros index elemei z x páratlan index elemei Y FFT(y) Z FFT(z) for k 0 to N/2 1 do E Y k O e 2πi k N Z k X k E + O X k+n/2 E O return X Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

39 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció M FFT mátrixszorzat-alakja [ ] FN/2 O F N = N Π O F N, N/2 Π N az a permutációs mátrix, mely el re veszi a páros index elemeket, N a fél transzformáltakat összeadó, és a páratlan index eket egy ω-hatvánnyal beszorzó mátrix Π 4 = Π = [ ] 4 = i = I2 D 2 I 2 D i [ ] I4 D 8 = 4 I 4 D 4 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

40 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció A mátrixokban szerepl diagonális mátrixok az egységmátrixok, és az ω hatványait tartalmazó D mátrixok, ahol D k = diag(1, ω, ω 2,..., ω k 1 ). Pl. [ ] F4 O F 8 = 8 Π O F 8 4 F 2 O O O = 8 [ 4 O O 4 ] [ ] O F 2 O O Π4 O O O F 2 O Π O Π 8. 4 O O O F 2 Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

41 Diszkrét Fourier-transzformált Gyors Fourier-transzformáció Wettl Ferenc Ortogonalizáció / 41

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40

Mer legesség. Wettl Ferenc 2015-03-13. Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Mer legesség Wettl Ferenc 2015-03-13 Wettl Ferenc Mer legesség 2015-03-13 1 / 40 Tartalom 1 Pszeudoinverz 2 Ortonormált bázis ortogonális mátrix 3 Komplex és véges test feletti terek 4 Diszkrét Fourier-transzformált

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

1. Az euklideszi terek geometriája

1. Az euklideszi terek geometriája 1. Az euklideszi terek geometriája Bázishoz tartozó skaláris szorzat Emékeztető Az R n vektortérbeli v = λ 2... és w = λ 1 λ n µ 1 µ 2... µ n λ 1 µ 1 +λ 2 µ 2 +...+λ n µ n. Jele v,w. v,w = v T u, azaz

Részletesebben

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 LINEÁRIS ALGEBRA matematika alapszak SZTE Bolyai Intézet, 2016-17. őszi félév Euklideszi terek Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40 Euklideszi tér Emlékeztető: A standard belső szorzás és standard

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns

Részletesebben

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 15 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK 151 Lineáris egyenletrendszer, Gauss elimináció 1 Definíció Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az (1) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a

Részletesebben

Alkalmazott algebra - skalárszorzat

Alkalmazott algebra - skalárszorzat Alkalmazott algebra - skalárszorzat Ivanyos Gábor 2011 sz Skalárszorzat Skalárszorzat Ebben a részben: a standard skalárszorzat: u T v = n µ i ν i i=1 és a kapcsolódó lineáris algebra absztrakt tárgyalással

Részletesebben

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás 1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M

Részletesebben

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Matematika (mesterképzés)

Matematika (mesterképzés) Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,

Részletesebben

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, 0. október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla Az előadáshoz ajánlott jegyzet: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon Kiadó, Szeged,

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Bázistranszformáció és alkalmazásai 2. Lineáris algebra gyakorlat Összeállította: Bogya Norbert Tartalomjegyzék 1 Mátrix rangja 2 Mátrix inverze 3 Mátrixegyenlet Mátrix rangja Tartalom 1 Mátrix rangja

Részletesebben

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer . gyakorlat A polárkoordináta-rendszer Az 1. gyakorlaton megismerkedtünk a descartesi koordináta-rendszerrel. Síkvektorokat gyakran kényelmes ún. polárkoordinátákkal megadni: az r hosszúsággal és a φ irányszöggel

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23

Tartalomjegyzék. Bevezetés 17. I. A lineáris algebra forrásai Vektorok 29. A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 Tartalomjegyzék Bevezetés 17 A könyvben követett elvek 18 A könyv felépítése 21 Szoftverek 23 I. A lineáris algebra forrásai 25 1 Vektorok 29 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 29 Irányított szakasz,

Részletesebben

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0

Meghirdetés féléve 2 Kreditpont Összóraszám (elm+gyak) 2+0 Tantárgy neve Lineáris algebra I Tantárgy kódja MTB1004 Meghirdetés féléve 2 Kreditpont 3k Összóraszám elm+gyak 2+0 Számonkérés módja kollokvium Előfeltétel tantárgyi kód MTB1003 Tantárgyfelelős neve Kurdics

Részletesebben

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak 1. Generátorrendszer Generátorrendszer. Tétel (Freud, 4.3.4. Tétel) Legyen V vektortér a T test fölött és v 1,v 2,...,v m V. Ekkor a λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ m v m alakú vektorok, ahol λ 1,λ 2,...,λ

Részletesebben

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J.

NÉVMUTATÓ. Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J. NÉVMUTATÓ Beke Manó, 17 Bellman, R., 310, 398 Bevilacqua, R., 93 Boros Tibor, 459, 464 Boullion, T. L., 109 Bunyakovszkij, V. J., 155 157 Cauchy, A. L., 155 157 Cayley, A., 272, 327 Codenotti, B., 93 Cramer,

Részletesebben

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony. Determinánsok A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel jól jellemezhető a mátrixok invertálhatósága, a mátrix rangja. Segítségével lineáris egyenletrendszerek megoldhatósága dönthető

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév

Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév Lineáris algebra Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika Aa Vektorfüggvények tantárgyhoz 9. tavaszi félév Tartalomjegyzék. Komplex számok és polinomok.................... 4.. A komplex számok bevezetése,

Részletesebben

Gauss elimináció, LU felbontás

Gauss elimináció, LU felbontás Közelítő és szimbolikus számítások 3. gyakorlat Gauss elimináció, LU felbontás Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor London András Deák Gábor jegyzetei alapján 1 EGYENLETRENDSZEREK 1. Egyenletrendszerek

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Határozzuk meg a p valós paraméter értékétől függően a következő mátrix rangját: p 3 1 2 2

Részletesebben

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.

Skalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. 1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Lineáris algebra Gyakorló feladatok Lineáris algebra Gyakorló feladatok. október.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, c és a b c vektorokat, ha a = (; ; ; ; b = (; ; ; ; c = ( ; ; ; ;.. Feladat: Határozzuk meg a, 4b, a, c és a b; c + b kifejezések

Részletesebben

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához

Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Számítási feladatok a Számítógépi geometria órához Kovács Zoltán Copyright c 2012 Last Revision Date: 2012. október 15. kovacsz@nyf.hu Technikai útmutató a jegyzet használatához A jegyzet képernyőbarát

Részletesebben

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 ) Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor

Részletesebben

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis. 1 Diagonalizálás Diagonalizálható mátrixok Ismétlés Legyen M,N T n n Az M és N hasonló, ha van olyan A lineáris transzformáció, hogy M is és N is az A mátrixa egy-egy alkalmas bázisban Az M és N pontosan

Részletesebben

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió

6. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 6. előadás Bázis, dimenzió 6. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 37. 41. oldal. Gondolkodnivalók Lineáris függetlenség 1. Gondolkodnivaló Legyen V valós számtest feletti vektortér. Igazolja, hogy ha a v 1, v 2,..., v n V

Részletesebben

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu

Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.

Részletesebben

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszerek Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az a 11 x 1 + a 12 x 2 +... +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... +a 2n x n = b 2.. a k1 x 1 + a k2 x 2 +... +a kn x n = b k n ismeretlenes,

Részletesebben

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij.. Biológia alapszak Matematika I A GY 6/7 félév III MÁTRIXOK SAJÁTÉRTÉK-FELADAT III Mátrixok Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n

Részletesebben

Lineáris algebrai alapok

Lineáris algebrai alapok Lineáris algebrai alapok Will 2010 június 16 Vektorterek, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek A lineáris programozási feladat, szimplex algoritmus Vektorterek Jellemzés: Vektorok tulajdonságai Két vektor

Részletesebben

1. Geometria a komplex számsíkon

1. Geometria a komplex számsíkon 1. Geometria a komplex számsíkon A háromszög-egyenlőtlenség A háromszög-egyenlőtlenség (K1.4.3) Minden z,w C-re z +w z + w. Egyenlőség pontosan akkor áll, ha z és w párhuzamosak, és egyenlő állásúak, azaz

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

11. DETERMINÁNSOK. 11.1 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal 11 DETERMINÁNSOK 111 Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal Bevezetés A közgazdaságtanban gyakoriak az olyan rendszerek melyek jellemzéséhez több adat szükséges Például egy k vállalatból álló csoport minden

Részletesebben

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága

7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága 7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása

Részletesebben

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll

Lineáris algebra. négyzetes mátrix: n x n-es mátrix oszlop mátrix, oszlop vektor: egyetlen oszlopból áll Lineáris algebra Def: Def: Mátrix: egy téglalap alakú számtáblázat, minden helyén valós, vagy komplex szám áll A = [a i j n x m n: A sorainak száma, m: A oszlopainak száma négyzetes mátrix: n x n-es mátrix

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös

Részletesebben

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell 9. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 75. 84. oldal. Gondolkodnivalók Mátrix rangja 1. Gondolkodnivaló Tegyük fel, hogy egy elemi bázistranszformáció kezdetekor a sor- és oszlopindexek sorban helyezkednek

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja 1.Mátrixok hasonlósága, karakterisztikus mátrix, karakterisztikus

Részletesebben

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Mátrixaritmetika. Tartalom: Mátrixaritmetika Tartalom: A vektor és mátrix fogalma Speciális mátrixok Relációk és műveletek mátrixokkal A mátrixok szorzása A diadikus szorzat. Hatványozás Gyakorlati alkalmazások Készítette: Dr. Ábrahám

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc 2015. május 14. Wettl Ferenc Kódelméleti és kriptográai alkalmazások 2015. május 14. 1 / 11 1 Hibajavító kódok 2 Általánosított ReedSolomon-kód Wettl

Részletesebben

1. A vektor és a vektortér fogalma

1. A vektor és a vektortér fogalma 1. A vektor és a vektortér fogalma Célunk: a vektor és a vektortér fogalmának minél tágabb értelmezése. Ez azért hasznos, mert így a síkvektorok körében használatos egyes fogalmak és tételek átvihet k

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 11 XI LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREk 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZER A lineáris egyenletrendszer általános alakja: (1) Ugyanez mátrix alakban: (2), ahol x az ismeretleneket tartalmazó

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

Számítógépes geometria

Számítógépes geometria 2011 sz A grakus szállítószalag terv a geometriai (matematikai) modell megalkotása modelltranszformáció (3D 3D) vetítés (3D 2D) képtranszformáció (2D 2D)... raszterizáció A grakus szállítószalag: koncepció

Részletesebben

Gazdasági matematika II.

Gazdasági matematika II. Gazdasági matematika II. Losonczi László, Pap Gyula Debreceni Egyetem Debrecen, 2009/2010 tanév, II. félév Losonczi László, Pap Gyula (DE) Gazdasági matematika II. 2009/2010 tanév, II. félév 1 / 180 Félévközi

Részletesebben

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2.

FFT. Második nekifutás. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok konvolúviója A DFT és a maradékos osztás Gyűrűk támogatás nélkül Második nekifutás Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék 2015. október 2. TARTALOMJEGYZÉK Polinomok

Részletesebben

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz

Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Előadásvázlat a Lineáris algebra II. tárgyhoz Kovács Zoltán 2005. január 4. Tartalomjegyzék 1. Euklideszi vektorterek 3 1.1. Bilineáris és kvadratikus formák, skaláris szorzatok................ 3 1.2.

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 9 IX MÁTRIxOk 1 MÁTRIx FOGALmA, TULAJDONSÁGAI A mátrix egy téglalap alakú táblázat, melyben az adatok, a mátrix elemei, sorokban és oszlopokban vannak elhelyezve Az (1) mátrixnak

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

Diszkrét matematika I.

Diszkrét matematika I. Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.

Részletesebben

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0 Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

L I N EÁR I S ALG E B RA

L I N EÁR I S ALG E B RA WETTL FERENC L I N EÁR I S ALG E B RA azoknak, akik érteni is szeretnék 2011 Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Copyright Kulcsszavak: Lineáris algebra, vektorok, lineáris egyenletrendszerek,

Részletesebben

Egyváltozós függvények 1.

Egyváltozós függvények 1. Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata

Részletesebben

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)

0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2) Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses

Részletesebben

Analitikus térgeometria

Analitikus térgeometria 5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. BEUGRÓ KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 04. január 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el!

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál Lineáris algebra - jegyzet Kupán Pál Tartalomjegyzék fejezet Vektorgeometria 5 Vektorok normája Vektorok skaláris szorzata 4 3 Vektorok vektoriális szorzata 5 fejezet Vektorterek, alterek, bázis Vektorterek

Részletesebben

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség 5. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 29. 36. oldal. Gondolkodnivalók Vektortér 1. Gondolkodnivaló Alteret alkotnak-e az R n n (valós n n-es mátrixok) vektortérben az alábbi részhalmazok? U 1 =

Részletesebben

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra

Shor kvantum-algoritmusa diszkrét logaritmusra Ivanyos Gábor MTA SZTAKI Debrecen, 20 január 2. Tartalom és kvantum-áramkörök 2 A diszkrét log probléma Kvantum bit Állapot: a B = C 2 komplex euklideszi tér egy egységvektora: az a 0 + b szuperpozíció

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Érdekes informatika feladatok

Érdekes informatika feladatok A keres,kkel és adatbázissal ellátott lengyel honlap számos díjat kapott: Spirit of Delphi '98, Delphi Community Award, Poland on the Internet, Golden Bagel Award stb. Az itt megtalálható komponenseket

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14 Komplex számok Wettl Ferenc 2012-09-07 Wettl Ferenc () Komplex számok 2012-09-07 1 / 14 Tartalom 1 Számok A számfogalom b vülése Egy kis történelem 2 Miért számolunk velük? A megoldóképlet egy speciális

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak

PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2013 Ismertet Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezet Lektor Technikai szerkeszt Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT NUMERIKUS MÓDSZEREK 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright Az Olvasó most egy egyetemi jegyzetet tart

Részletesebben

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III. Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:

Részletesebben

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i

azonosságot minden 1 i, l n, 1 j k, indexre teljesítő együtthatókkal, amelyekre érvényes a = c (j) i,l l,i A Cochran Fisher tételről A matematikai statisztika egyik fontos eredménye a Cochran Fisher tétel, amely a variancia analízisben játszik fontos szerepet. Ugyanakkor ez a tétel lényegét tekintve valójában

Részletesebben

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11.

Határérték. prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította: Wettl Ferenc október 11. Határérték Thomas féle Kalkulus 1 című könyv alapján készült a könyvet használó hallgatóknak. A képek az eredeti könyv szabadon letölthető prezentációjából valók ((C)Pearson Education, Inc.) Összeállította:

Részletesebben

Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot

Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot DSP processzorok: 1 2 HP zajgenerátor: 3 Shift regiszter + XOR kapu: 2 n állapot Autókorrelációs függvény: l. pénzdobálás: (sin x/x) 2 burkoló! 4 Fehérzajhoz a konstans érték kell - megoldás a digitális

Részletesebben

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben: 814 A ferde kifejtés tétele Ha egy determináns valamely sorának elemeit egy másik sor elemeihez tartozó adjungáltakkal szorozzuk meg és a szorzatokat összeadjuk 0-t kapunk Képletben: n a ij A kj = 0, ha

Részletesebben

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk

4. Előadás. A legkisebb négyzetek problémája a következő optimalizálási alapfeladat: Minimalizáljuk OPTIMALIZÁLÁSI ELJÁRÁSOK 4. Előadás Matematika MSc hallgatók számára Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Magyari Nikolett 2011. március 2. 1. A legkisebb négyzetek probléma A legkisebb négyzetek problémája

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések

Diszkrét matematika II., 1. el adás. Lineáris leképezések 1 Diszkrét matematika II., 1. el adás Lineáris leképezések Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. február 6 Gyakorlati célok Ezen el adáson,

Részletesebben

Diszkrét matematika I. gyakorlat

Diszkrét matematika I. gyakorlat Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség

Részletesebben

Transzformációk síkon, térben

Transzformációk síkon, térben Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek

Részletesebben

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 014. január 19. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc Dr. Kersner Róbert 007 Tartalomjegyzék Előszó ii. Determináns. Mátrixok 6 3. Az inverz mátrix 9 4. Lineáris egyenletrendszerek 5. Lineáris

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés

II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013 UKRAJNA OKTATÁSI ÉS TUDOMÁNYÜGYI MINISZTÉRIUMA ÁLLAMI FELSŐOKTATÁSI INTÉZMÉNY UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR FIZIKA ÉS MATEMATIKA TANSZÉK Sztojka Miroszláv LINEÁRIS

Részletesebben

Lineáris algebra (10A103)

Lineáris algebra (10A103) Lineáris algebra (10A103 Kátai-Urbán Kamilla Tudnivalók Honlap: http://www.math.u-szeged.hu/~katai Jegyzet: Megyesi László: Lineáris algebra. Vizsga: írásbeli (beugróval, feltétele a Lineáris algebra gyakorlat

Részletesebben

FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ KÉZI CSABA

FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ KÉZI CSABA FELADATGY JTEMÉNY MATEMATIKA I. GYAKORLATHOZ KÉZI CSABA KÉZI CSABA El szó Ez a feladatgy jtemény a Debreceni Egyetem M szaki Karának Matematika I. tantárgyának tematikájához szorosan illeszkedik. Célja

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben