Wavelet transzformáció

Átírás

1 1 Wavelet transzformáció Más felbontás: Walsh, Haar, wavelet alapok! Eddig: amplitúdó vagy frekvencia leírás: Pl. egy rövid, Dirac-delta jellegű impulzus Fourier-transzformált: nagyon sok, kb. ugyanolyan amplitúdójú sin és cos hullám: a fázisok pontosan olyanok, hogy az impulzus előtt és után a hullámok kioltják egymást, de a megfelelő időpontban az impulzus megjelenik!

2 2 Másik példa: konstans frekvenciájú jel időben végtelen sin vagy cos hullám Csíkok a frekvencia-idő síkon f t méretű cellák. Itt a a szokásos idő- és frekvenciatartománybeli ábrázolás speciális felbontás, ahol az adott cella egyik irányban végtelen kiterjedésű Ido t f F r e k v e n c i a (t,f) Fazister Jel

3 3 Keskeny ablakok Szeles ablakok

4 4 Wavelet bazis Végtelen lehetséges felbontás a t és f csíkokon kívül! Waveletek: frekvenciájuk viszonylag jól meghatározott ÉS időbeli (térbeli) helyzetük is korlátozott Határozatlansági reláció!

5 Jelek kifejtése ortogonális bázisfüggvények szerint. Dirac-delta amplitúdó idő leírás. sin és cos függvények Fourier leírás 5

6 Wavelet transzformáció: 6

7 7 - rekurzív szűrés - páros-páratlan tagokra decimálás (FFT CT algoritmus!) Diszkrét wavelet transzformáció (DWT) : gyors FFT-vel összemérhető sebesség FFT / a DWT forgatás az amplitúdó idő tér és a frekvencia idő tér között: mátrixművelet!

8 8 Daubechies wavelet DAUB4 wavelet D 4 = c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0 c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c c 0 c 1 c 2 c 3 c 3 c 2 c 1 c 0 c 2 c 3 c 0 c 1 c 1 c 0 c 3 c x (bemenő) adatokból y = D 4 x kimenő transzformált. Hasonló a DFT-hez: 0 1 V 0 V 1 B V 2 A = V N ω ω 2... ω (N 1) 1 ω 2 ω 4... ω 2(N 1). 1 ω (N 1) ω 2(N 1)... ω (N 1)2 1 0 C B v 0 v 1 v 2. v N 1 1 C A

9 9 D 4 két FIR szűrő: - páratlan sorok: c 0,..., c 3 simítást/integrálás - páros sorok: c 3, c 2, c 1, c 0 deriválás (kvadratúra tükör szűrők) Legyen a páros sorok kimenete 0 konstans és lineáris jelekre + Legyen a mátrix inverze annak transzponáltja: c 0 = (1 + 3)/4 2 c 1 = (3 + 3)/4 2 c 2 = (3 3)/4 2 c 3 = (1 3)/4 2 DAUB család többi tagja elfolytatható: c 0 = (1 + q )/16 2 c 1 = (5 + p c 2 = (10 2 q )/16 2 c 3 = (10 2 p c 4 = (5 + q )/16 2 c 5 = ( p5 + 2

10 10 Diszkrét Wavelet Transzformáció Diszkrét Wavelet Transzformáció (DWT): wavelet mátrix hierarchikus alkalmazása: 1. lépés: teljes N = 2 n adatsorra: 2. lépés: előző lépés simított adatain s.í.t.

11 y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 10 y 11 y 12 y 13 6 y y 15 5 y 16 mátrix 2 3 s 1 d 1 s 2 d 2 s 3 d 3 s 4 d 4 s 5 d 5 s 6 d 6 s 7 6 d s 8 5 d 8 sorbarakás 2 3 s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 s 8 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 6 d d 7 5 d 8 mátrix 2 3 S 1 D 1 S 2 D 2 S 3 D 3 S 4 D 4 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 6 d d 7 5 d 8 sorbarakás 2 3 S 1 S 2 S 3 S 4 D 1 D 2 D 3 D 4 d 1 d 2 d 3 d 4 d 5 d d 7 5 d 8 s Végül: két S + a D + D, d wavelet együtthatók DWT: ortogonális transzformációk sorozata DWT inverze az eljárás megfordításából áll Ez hasonĺıt az FFT CT-re:

12 12 DWT mátrixszorzások lepkeművelet simított adatok kiválogatása FFT rendezés /bit-reverzálás Más, mint az FFT CT: FFT: minden lépésben 2 n pont DWT: adatok száma lépésenként feleződik DWT fázistér: hierarchikusan felépítés minden lépésben duplázva a frekvencia és felezve a pontok száma (lehet más is). Alacsony frekvenciák értéke pontos DE mikor? Magas frekvenciák értéke (mekkora?) DE tudjuk, hogy mikor!

13 13 Wavelet bazis Alak: inverz DWT

14 i=1 i=10 i=50 i= i = 150: (128, 255) intervallum, x = ( )/( ) 512 = 88 i = 50: (32, 63) intervallum, x = (50 32)/(64 32) 512 = 288 N dimenziós DWT.

15 15 Wavelet közeĺıtések exponenciális lefutású impulzusok: fázistérben csak a 512/32 legnagyobb Veszteséges tömörítés: amplitúdó és a hely is tárolandó! A wavelet az összes ortonormált bázis közül a (Shannon entrópia szerint ) legrövidebb leírása az adatoknak és a bázisfüggvényeknek!

16 16 Rossz zajtömörítés: javul a jel/zaj viszony! Képek: élek megőrzése fontos: wavelet tömörítés, válogatott komponensek, kevesebb paraméter.

17 A visszaálĺıtott és az eredeti különbsége : 17

18 18

19 19