Digitális jelfeldolgozás

Átírás

1 Digitális jelfeldolgozás Mintavételezés és jel-rekonstrukció Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék szeptember 8.

2 Áttekintés Bevezetés 1 Bevezetés 2 Analóg jelek 3 Mintavételezés 4 Szinuszos jelek mintavételezése 5 Különböző DSP frekvenciaegységek 6 DSP rendszerek alapvető komponensei Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 2 / 22

3 Bevezetés Bevezetés Analóg jelek digitális feldolgozásának lépései A/D konverzió: digitalizálás és kvantálás digitális jelek feldolgozása D/A konverzió: a digitális jel visszatranszformálása analóg jelé Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 3 / 22

4 Áttekintés Analóg jelek 1 Bevezetés 2 Analóg jelek 3 Mintavételezés 4 Szinuszos jelek mintavételezése 5 Különböző DSP frekvenciaegységek 6 DSP rendszerek alapvető komponensei Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 4 / 22

5 Analóg jelek Időtartomány Jelek: x(t) időfüggvények Analóg jelek Inverz-Fourier transztformált x(t) = jωt dω X (Ω)e 2π Laplace transzformált (s = jω) Frekvenciatartomány X (Ω) Fourier transzformált X (Ω) = x(t)e jωt dt x(t) = e α 1t e jω 1t u(t) s 1 = α 1 + jω 1 X (s) = 1 s s 1 X (s) = x(t)e st dt Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 5 / 22

6 Lineáris renszerek Analóg jelek Lineáris időinvariáns (LTI, Linear, Time-Invariant) rendszerek h(t) impulzusválasz-függvényének (súlyfüggvényének) ismeretében x(t)-re adott válasz időtartományban konvolúció y(t) = frekvenciatartományban szorzat H(Ω): frekvenciaválasz függvény h(t t )x(t )dt = h(t) x(t) Y (Ω) = H(Ω) X (Ω) H(Ω) = h(t)e jωt dt Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 6 / 22

7 Lineáris renszerek Analóg jelek LTI rendszer állandósult állapotbeli válasza szinuszos bemenetre Frekvenciafüggő erősítés (és fázistolás) x(t) = e jωt y(t) = H(Ω)e jωt = H(Ω) e j(ω+arg(h(ω)))t Szuperpozíció tétele: x(t) = A 1 e jω 1t +A 2 e jω 2t y(t) = A 1 H(Ω 1 )e jω 1t +A 2 H(Ω 2 )e jω 2t Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 7 / 22

8 Mintavételezés Mintavételezés T másodpercenként periodikusan megmérjük a jel értékét az időhalmazt diszkretizáljuk t = nt, n = 0, 1, 2,... Kérdések Milyen hatással van a mintavételezés a jel spektrumára? Hogy válasszuk meg T -t? Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 8 / 22

9 Mintavételezés Mintavételezés Az eredeti jel teljes spektruma periodikusan ismétlődve megjelenik a mintavételezett jelben, az ismétlődés frekvenciája a mintavételi frekvencia: f s = 1 T Csak a mintavételezett jel spektrumának ismeretében nem határozható meg az eredeti jel spektruma (alias). Mintavételi idő: elég kicsi ne túl kicsi Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 9 / 22

10 Mintavételezési tétel Mintavételezés Mintavételezési tétel Tétel (Shannon) Legyen x(t) sávhatárolt jel. Az x(t) jel egyértelműen előállítható az x(nt ) mintáiból, ha az f s mintavételi frekvencia legalább kétszerese a jel maximális frekvenciájának (f max ), azaz f s 2f max vagy T 1 2f max. Megengedhető legkisebb mintavételi frekvencia (Nyquist ráta): f s = 2f max Nyquist frekvencia: fs 2[ ] Nyquist intervallum: fs 2, fs 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 10 / 22

11 Mintavételezési tétel Mintavételezés Mintavételezési tétel f max és f s értéke alkalmazásfüggő alkalmazás f max f s geofizikai 500 Hz 1kHz biomedikai 1kHz 2kHz mechanikai 2kHz 4kHz beszéd 4kHz 8kHz audio 20kHz 40 khz video 4Mhz 8MHz Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 11 / 22

12 Antialias előszűrők Mintavételezés Antialias előszűrők A gyakorlatban előforduló jelek nem sávhatároltak Mintavételezés előtt analóg aluláteresztő szűrés (antialias előszűrés) Vágási frekvencia (f max ) legfeljebb a Nyquist frekvencia lehet f max f s 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 12 / 22

13 Antialias előszűrők Mintavételezés Hardver korlátok Mi történik, ha nem a Shannon tételnek megfelelően mintavételezünk? Shannon tétel alsó korlátot ad f s -re Az alkalmazott hardver felső korlátot szab f s -nek Minta feldolgozási ideje: T proc Korlát: T T proc, azaz f s f proc (f proc = 1/T proc ) (Összegezve) 2f max f s f proc Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 13 / 22

14 Áttekintés Szinuszos jelek mintavételezése 1 Bevezetés 2 Analóg jelek 3 Mintavételezés 4 Szinuszos jelek mintavételezése Analóg rekonstrukció és alias Forgómozgás 5 Különböző DSP frekvenciaegységek 6 DSP rendszerek alapvető komponensei Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 14 / 22

15 Szinuszos jelek mintavételezése Szinuszos jelek mintavételezése x(t) = cos(2πft) Ciklusonkénti mintavételek legkisebb elfogadható száma 2 f s 2 minta ( fs f s 2f = minta/s f ciklus f ciklus/s = minta ) ciklus Tetszőleges általános x(t) jel felírható szinuszos jelek lineáris kombinációjaként (inverz Fourier transzformáció) x(t) = A 1 cos(2πf 1 t) + A 2 cos(2πf 2 t) + + A max cos(2πf max t) 2f 1 2f 2 2f max f s Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 15 / 22

16 Szinuszos jelek mintavételezése Analóg rekonstrukció és alias Analóg rekonstrukció és alias Alias hatása a rekonstruált jelre Komplex exponenciálisok x(t) = e jωt = e 2πjft Mintavételezés (t = nt ): x(nt ) = e jωnt = e 2πjfTn Komplex exponenciálisok családja (m = 0, ±1, ±2,... ) x m (t) = e 2πj(f +mfs)t 2πj(f +mfs)tn, ill. x m (t) = e x m (nt ) = e 2πj(f +mfs)tn = e 2πjfTn e 2πjmfsTn = e 2πjfTn = x(nt ) Tehát az f, f ± f s, f ± 2f s,..., f ± mf s frekvenciák ekvivalensek Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 16 / 22

17 Szinuszos jelek mintavételezése Analóg rekonstrukció és alias Analóg rekonstrukció és alias Egy ideális analóg helyreállító a [ f s /2, f s /2] Nyquist intervallumbeli spektrumot állítja helyre (aluláteresztő szűrő) A helyreállított jel x a (t) = e 2πjfat, ahol f a = f mod (f s ) Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 17 / 22

18 Forgómozgás Szinuszos jelek mintavételezése Forgómozgás e 2πjft komplex exponenciális leírása forgómozgásként forgómozgás frekvenciája f fordulat/s (Ω = 2πf radián/s) villogás frekvenciája f s villanás/s két villanás közti szögelfordulás ω ω = ΩT = 2πfT = 2πf f s digitális frekvencia [radián/minta] Digitális frekvencia x(nt ) = e 2πjfTn = e jωn Nyquist frekvencia f = f s /2 ω = π Nyquist intervallum [ π, π] Alias frekvencia ω a = ω mod (2π) Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 18 / 22

19 Különböző DSP frekvenciaegységek Áttekintés 1 Bevezetés 2 Analóg jelek 3 Mintavételezés 4 Szinuszos jelek mintavételezése 5 Különböző DSP frekvenciaegységek 6 DSP rendszerek alapvető komponensei Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 19 / 22

20 Különböző DSP frekvenciaegységek Különböző DSP frekvencia egységek Ugyanannak a mintavételezett komplex exponenciálisnak a különböző formái e 2πjfTn = e 2πj f fs n = e jωtn = e jωn Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 20 / 22

21 DSP rendszerek alapvető komponensei Áttekintés 1 Bevezetés 2 Analóg jelek 3 Mintavételezés 4 Szinuszos jelek mintavételezése 5 Különböző DSP frekvenciaegységek 6 DSP rendszerek alapvető komponensei Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 21 / 22

22 DSP rendszerek alapvető komponensei DSP rendszerek alapvető komponensei 1 Analóg antialias (aluláteresztő) előszűrő 2 A/D konverter (mintavevő és kvantáló) 3 Digitális jelfeldolgozó processzor 4 D/A konverter (nulladrendű tartó) 5 Analóg utószűrő Y a (f ) = H POST (f )H DAC (f )H DSP (f ) 1 T (H PRE (f )X a (f ) + másolatok) = H DSP (f )X a (f ) Magyar A. (Pannon Egyetem) DSP 2011 szeptember 22 / 22