Reichardt András okt. 13 nov. 8.

Átírás

1 Példák és feladatok a Hálózatok és rendszerek analízise 2. tárgyhoz Reichardt András okt. 3 nov. 8.

2 . fejezet Komplex frekvenciatartománybeli analízis Az alábbiakban a komplex frekvenciatartományban törtenő hálózat analízishoz vannak példák és gyakorló feladatok... Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció definíciója :... Példa feladatok. Határozzuk meg az alábbi jel Laplace-transzformáltját! f(t) e st dt (..) L {ε(t)} =? A definíciós integrál közvetlen alkalmazásával kapjuk L {ε(t)} = ε(t)e st dt = 0 [ e e st st dt = s 2. Határozzuk meg az alábbi jel Laplace-transzformáltját! L { e αt ε(t) } =? Alkalmazzuk az (..) definíciós integrált : [ e αt st e (s+α)t dt = (s+α) ] ] 0 = 0 () s = s+α = s+α = s (..2) 2

3 .. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 3 3. Határozzuk meg az alábbi jel Laplace-transzformáltját! L { f(t)e αt} =? Az előző feladat gondolatmenete alapján haladva a definíciós integrál kifejezésére kapjuk f(t)e αt e st dt = f(t)e ξt dt = F(ξ) = F(s+α) 4. Határozzuk meg az alábbi jel Laplace-transzformáltját! L {f(t T)ε(t T)} =? Az argumentumban lévő t T alapján az integrációs változóban t ξ = (t T) transzformációt hajtjuk végre, akkor a ε(t T)f(t T)e st dt = T f(t T)e s(t T+T) dt = e st ahol L {f(t)} jelenti az f(t) jel Laplace-transzformáltját. 5. Határozzuk meg az alábbi jel Laplace-transzformáltját! { } L e α(t T) ε(t T) =? f(ξ)e sξ dξ = e st F(s) Felhasználva az előző példa eredményét (időben eltolt jel Laplace-transzformáltjának kifejezése L { } e α(t T) ε(t T) = e st L { e α} = e st s+α 6. Határozzuk meg az alábbi jel Laplace-transzformáltját! L { e αt ε(t T) } =? Az időben eltolt jel Laplace-transzformáltjára vonatkozó tétel alkalmazásához a megfelelő alakra kell hozni a transzfolmálandó jelet. Ezért e αt = e α(t T+T) műveletet végezzük el. Így kapjuk a transzformált értékére L { e αt ε(t T) } = L { e α(t T+T)} = e αt L {e α(t T)} = e αt e st s+α 7. Határozzuk meg az alábbi jel Laplace-transzformáltját! L {f(t)} =?

4 4 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS ha a jel 0 t < 0 f(t) = t/t 0 < t T T < t Az (..) definíciós integrált szakaszonkénti számítással kapjuk meg. L {f(t)} = A második integrál számítása egyszerűbb : T T 0 [ e e st st dt = s te st dt+ ] T T e st dt = e st s Az első integrált parciális integrálással számítjuk ki, alkalmazva (2) összefüggést. Ha f = t és g = e st akkor f = és g = e st /( s) T 0 [ te te st st dt = s ] T 0 T 0 e st s dt = Te st s [ e st s 2 ] T 0 = e st +ste st s 2 A részintegrálokat összeadva kapjuk a teljes integrál értékét : L {f(t)} = se st + e st ste st s 2 Megjegyzés : Mi történik, ha T értékét minden határon túl növeljük? Ebben az esetben lim T ( s+st)e st = 0 és = e st ( s+st) s 2 lim T s 2 ami az előzetes várakozásnak megfelel, mert lim T f(t) = tε(t). 8. Határozzuk meg az jel Laplace-transzformáltját, ha f(t) = { t/t 0 < t < T 2 t/t T < t < 2T 9. Határozzuk meg az f(t) = e jωt jel Laplace transzformáltját! Az f(t) jel egy exponenciális jel, amelynek argumentuma a komplex értékű jω. Ezért az e αt -ra vonatkozó trnaszformációs összefüggést alkalmazhatjuk α = jω helyettesítéssel. L { e jωt} = s+jω

5 .. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 5 0. Határozzuk meg az f(t) = e jωt jel Laplace transzformáltját! Hasonlóan az előző feladathoz, csak α = jω helyettesítés szükséges L { e jωt} = s jω. Határozzuk meg az f(t) = cos(ωt) és az f(t) = sin(ωt) jelek Laplace transzformáltját! Az Euler-összefüggés cos(ωt) = ejωt +e jωt 2 és sin(ωt) = ejωt e jωt 2j felhasználásával kapjuk cos(ωt)ε(t) Laplace-transzformáltjára L {cos(ωt)} = ( 2 s jω + ) = s+jω illetve sin(ωt)ε(t) Laplace-transzformáltja L {sin(ωt)} = ( 2j s jω ) = s+jω s+jω +s jω 2(s+jω)(s jω) = s+jω (s jω) 2j(s+jω)(s jω) = 2. Határozzuk meg az f(t) = tε(t) jel Laplace-transzformáltját! A definíciós integrál alkalmazásával L {tε(t)} = te st dt Az integrál kiszámítása a parciális integrálás módszerével a legkönnyebb : (f g) = f g+fg b a s s 2 +ω 2 ω s 2 +ω 2 b (fg ) = [f g] b a (f g) (..3) Válasszuk f és g változót az alábbi módon : f = t és g = e st. Ekkor f = és g = e st /( s) a két másik változó. /Belátható, hogy az ellenkező választás esetén az kiszámítandó integrál nem egyszerűsödik./ A Laplace-transzformált : [ t e te st st dt = s ] e st s dt = 0 s..2. Gyakorló feladatok - kitűzött problémák Esetleg nehezebb vagy több számolást igénylő feladatok kerültek ide.. Számítsa ki az alábbi jel Laplace-transzformáltját! f(t) = ε(t) t e αt a [ e st s ] = 0 s 2 = s 2

6 6 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS 2. Számítsa ki az alábbi jel Laplace-transzformáltját! f(t) = ε(t) t 2 3. Adjon általános képletet az alábbi jel Laplace-transzformáljára! f(t) = ε(t) t n 4. Adja meg az alábbi 2T hosszuságú jel Laplace-transzformáltját! f(t) = ε(t)(u 0 +U 0 e αt ) U 0 ε(t T)(2+e αt +e α(t T) )+U 0 ε(t 2T)(+e α(t T) ) Transzformáljunk tagonként, majd adjuk össze a kapott tagokat : L { ε(t)(u 0 +U 0 e αt ) } ( = U 0 s + ) 2s+α = U 0 s+α s(s+α) { } ( 2 L U 0 ε(t T)(2+e αt +e α(t T) ) = U 0 e st s + e αt s+α + ) s+α { } ( ) L U 0 ε(t 2T)(+e α(t T) ) = U 0 e s2t s + e αt s+α Összeadva a tagokat : = U 0 e st s(3+e αt )+α s(s+α) = U 0 e s2t s(+e αt )+α s(s+α) U 0 ( 2s s(3+e αt )e st +s(+e αt )e s2t +α( e st +e s2t ) ) s(s+α) Megjegyzés : Az α paraméter értelmezése alapján egy τ időmértékegységű jellemző rendelhető hozzá α = /τ módon. Az e αt ε(t) exponenciális függvény megfelelő mértékben 0-hoz közeli 3 τ idő után (ekkor 5%-os az eltérése 0-tól. Vizsgáljuk meg mi történik, ha T > 5 τ feltétel teljesül? A Laplace-transzformáltat átírva τ megközelítés alapján (ξ = T/τ azaz T = ξ τ) alkalmazva ezt α T = τ ξτ = ξ U ( ) 0 2s s(3+e ξ )e st +s(+e ξ )e s2t +α( e st +e s2t ) s(s+α)

7 .2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 7.2. Inverz Laplace-transzformáció.2.. Elméleti alap Az inverz Laplace-transzformációra létezik egy általános inverz képlet. Ennek használata, azonban nem egyszerű. Az egyszerű, gyakorlatban előforduló esetekben azonban a részlettörtekre bontás módszerét és általánosítását lehet egyszerűen és hatékonyan alkalmazni. Mindenek előtt tisztázni kell, hogy az inverz Laplace-transzformáció is lineáris művelet, azaz a szuperpozíció elve érvényes rá. L {af(s)+bg(s)} = al {F(s)}+bL {G(s)} = a f(t)+b g(t) ahol f(t) = L {F(s)} és g(t) = L {G(s)} a megfelelő inverz transzformáltak. Általánosságban racionális törtfüggvények visszatranszformálásával akad dolgunk. Ezek esetében először valódi racionális törtfügvényé kell alakítani a törtfüggvényt polinomosztás segítségével. Így elmondhatjuk (hogy a gyakorlatban előforduló esetekben) a kapott alak a következő lesz : ahol A konstans, M(s) és N(s) polinomok s-ben. A+ M(s) N(s) (.2.) M(s) = a n s n +a n s n +...+a s+a 0 és N(s) = s n +b n s n +...+b s+b 0 (.2.2) alapján a valódi racionális törtfüggvény esetén m < n. Az (.2.) egyenletből a konstans visszatranszformálva A δ(t). A valódi racionális törtfüggvény visszatranszformálásának lépései :. Nevező gyökeinek meghatározása 2. Részlettörtekre bontás 3. Részlettörtek visszatranszformálása egyenként A nevező gyökeinek (a függvény pólusainak) ismeretében lehet megmondani a részléttörtekre bontáshoz szükséges gyöktényezős felbontást. A pólusok az alábbiak lehetnek (figyelembe véve, hogy valós együtthatójú n-ed fokú egyenlet megoldásával kapjuk) :. p i Valós, egyszeres gyök 2. p i Valós, k-szoros gyök 3. p i,p i+ Komplex, konjugált gyökpár A s p i k j= A j s p i As+B (s p i )(s p i+ )

8 8 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS.2.2. Példa feladatok. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } L = ε(t) e a t (.2.3) s+a 2. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } L =? (s+a)(s+b) Tegyük fel, hogy a b, akkor { } L a+b s+a + b+a s+b Ha a = b akkor a következő feladatot kapjuk. = b a ε(t) ( e at e bt) 3. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } L s 2 + 2as + a 2 =? A nevező gyökei (pólusok ) : p,2 = a. A két pólus egyenlő és valós értékű. { } { } L s 2 +2as+a 2 = L (s+a) 2 = ε(t)t e at (.2.4) 4. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } { } L = L (s+α jω 0 )(s+α+jω 0 ) s 2 +2αs+(α 2 +ω0 2) = A visszatrnaszformálandó jel részlettörtekre bontott alakja : A s+α jω 0 + A 2 s+α+jω 0 Az együtthatók kiszámíthatóak a takargatásos módszer alkalmazásával. A = s+α+jω 0 = = = j s= α+jω0 α+jω 0 +α+jω 0 2jω 0 2ω 0 A 2 = s+α jω 0 = = = j s= α jω0 α jω 0 +α jω 0 2jω 0 2ω 0 ( f(t) = ε(t) e αt e jω0t + ) ( e αt e jω 0t = ε(t) e αt e jω 0 ) t e jω 0t = ε(t) e αt sin(ω 0 t) 2jω 0 2jω 0 ω 0 2j 2j ω 0

9 .2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 9 5. Adja meg az általános alakú függvény inverz Laplace-transzformáltját! F(s) általános alakja : Az együtthatók : és B s + C s 2 + 2αs + (α 2 + ω 2 0 ) ahol ω 0 > 0 A s+α jω 0 + A = ( α+jω 0)B +C α+jω 0 +α+jω 0 = C αb +jbω 0 2jω 0 A 2 = ( α jω 0)B +C α jω 0 +α jω 0 = C +αb +jbω 0 2jω 0 A 2 s+α+jω 0 = Bω 0 j(c αb) 2ω 0 = Bω 0 +j(c αb) 2ω 0 = B 2 = B 2 jc αb 2ω 0 +jc αb 2ω 0 A számítás folyamán nem alkalmaztunk semmilyen megszorítást, ezért a kapott eredményből levonhatjuk az általános következtetést, hogy az ilyen esetben adódó együtthatók egymás komplex konjugáltjai. Mindezt figyelembe véve az inverz transzformáltra kapjuk (γ = B/2 és ξ = (C αb)/(2ω 0 ) helyettesítésel) innen (γ jξ)e αt+jω 0t +(γ +jξ)e αt jω 0t = e αt (γe jω 0t +γe jω 0t )+ e αt ξ j γ ( e jω0t +e jω 0t ) = B ( e jω 0 t +e jω 0t ) = B cos(ω 0 t) 2 ξ ( e jω0t e jω 0t ) = C αb e jω0t e jω0t = C αb sin(ω 0 t) j ω 0 2j ω 0 ( e jω 0 t e jω 0t ) Összegezve az eredményeket { } ( L B s+c s 2 +2αs+(α 2 +ω0 2) = ε(t) e αt B cos(ω 0 t)+ C αb ) sin(ω 0 t) ω 0 (.2.5) 6. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } L s+3 s 2 =? + 3s + 2 A pólusok : p,2 = 3± = 3± 2. A pólusok p = és p 2 = 2. Így a részlettörtekre bontás és a tagonkénti inverz transzformáció könnyen elvégezhető : { } { } { s+3 L s 2 = L +2 +3s+2 s = L s+2 s+ + } = ε(t) ( 2e t e 2t) s+2 (.2.6)

10 0 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS 7. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } L s+2 s 2 =? + 5s + 6 A pólusok p,2 = 5± = 5±, azaz p = 2 és p 2 = 3. Látható, hogy a nevező 2 2 egyik gyöke és a nevező egyik gyöke azonosak 2, ezért kiejtik egymást. Így egy egyszerűbb kifejezést kell transzformálni : { } L s+2 (s+2)(s+3) 8. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } = L = ε(t) e 3 t. (.2.7) s+3 { s L 2 } + 2s + 3 s 2 =? + 3s + 2 Első lépésként valódi racionális törtfüggvényé kell alakítani a kifejezését, amelyet polinomosztással lehet elérni. Ennek eredményeként : s 2 +2s+3 s+ s 2 = + +3s+2 s 2 +3s+2 = s (s+2)(s+) = ( ) 2 2+ = s s+ ( 3 = s ) s+ (.2.8) Innen az inverz transzformált : L { s 2 +2s+3 s 2 +3s+2 } = L { 9. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! Elvégezve a polinomosztást : ( 3 s+2 2 )} = δ(t) ε(t) 3e 2t +ε(t) 2e t (.2.9) s+ { } s+2 L =? s+ s+2 s+ = + s+ Ebből az inverz tramszformált : { } { s+2 L = L + } = δ(t)+ ε(t) e t (.2.0) s+ s+

11 .2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ 0. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { s L 2 } + 2s + 2 s 2 =? + 2s + A polinomosztás eredménye : s 2 +2s+2 s 2 +2s+ = + s 2 +2s+ = + (s+)(s+2) = + +2 s s+2 = + s+ + s+2 (.2.) Innen tagonként könnyen elvégezhetően az inverz transzformált : { s L 2 } { +2s+2 s 2 = L + +2s+ s+ + } = δ(t)+ε(t) e t ε(t) e 2t (.2.2) s+2. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { e L st } =? s+ Aze st tag időeltolást jelent, ezért ezen tagok szerint kell szétszedni és tagonként transzformálni a tagokat, vigyázva az időeltolást tartalmazó tagoknál az argumentumra. { } { } e L st = L s+ s+ e st = ε(t)e t ε(t T) e (t T) (.2.3) s+ 2. Adja meg az alábbi függvény inverz Laplace-transzformáltját! s e st s + s s+ e st s+ = s+ e st s+ innen tagonként elvégezve a transzformációt utána összegezve az eredményt f(t) = δ(t) ε(t)e t ε(t T)e (t T) 3. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } L s 2 =? + A pólusok p,2 = ± = ±j, a nevező gyöktényezős felbontása : s 2 + = (s+j)(s j). Figyelembe véve ezt a részlettörtekre bontott alak a következő : j j s+j + j+j s j = 2j s+j + 2j s j

12 2 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS Az inverz transzformált kifejezése { } L s 2 + = 2j ( e j t e j t) = cos(t)ε(t) Megjegyzés : Ellenőrízhetjük számításunkat, ha észrevesszük, hogy L {cos(ω 0 t)} = ω 0 s 2 +ω 2 0 amiből ω 0 = alapján éppen a transzformálandó komplex függvényt kapjuk. Megjegyzés : Alkalmazható lett volna az (.2.5) összefüggés is, α = 0, ω 0 =, B = 0, C = paraméterekkel. Ekkor kapjuk { } ( L s 2 = ε(t)e t 0 cos( t)+ ) sin( t) + 4. Végezze el az alábbi inverz Laplace-transzformációt! { } L =? s (s+) Részlettörtekre bontással kapjuk s(s+) = 0+ s + s+ = s + s+ = ε(t) sin(t) innen az időtartománmybeli jel f(t) = ε(t) ε(t)e t

13 .2. INVERZ LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ Ajánlott feladatok az inverz Laplace-transzformáció témaköréből Határozza meg az alábbi függvények inverz Laplace-transzformáltját! i. ii. Ha a = b akkor Ha a b akkor 0 0+a s s(s + a) a s + a s+a = a f(t) = ε(t) a ( s + +a s+a ( +(+a)e at ) s + b s(s + a) f(t) = ε(t) s b b a a s + a s+a = a ( b s + a b ) s+a f(t) = ε(t) b+(a b)e at a ) iii. iv. s+ s(s 2 + s + ) s + c (s+a)(s+b) Ha c = a b akkor Ha c = b a akkor { } f(t) = L = ε(t)e bt s+b { } f(t) = L = ε(t)e at s+a Ha c b és c a akkor ha a = b then s+c (s+a) 2 = A s+a + A 2 (s+a) 2 = A (s+a)+a 2 (s+a) 2

14 4 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS v. vi. vii. innen A = } A = A a+a 2 = c A 2 = c a { f(t) = L s+a + c a } (s+a) 2 = ε(t)e at +ε(t)(c a)te at ha a b akkor a+c b+c a+b s+a + b+a s+b = ( a c a b s+a + c b ) s+b f(t) = ε(t) ((a c)e at +(b c)e bt) a b (s+a)(s+b) + e st e st (s+a)(s+b) (s+a)(s+b) = /(b a) + /(b a) e st /(b a) s+a s+b s+a f(t) = ε(t) ( e at e bt) ε(t) (e a(t T) e b(t T)) b a b a s2 e st s s 2 + 3s + 2 s 2 F (s) F 2 (s) = s 2 +3s+2 e st s s 2 +3s+2 F (s) = 3s+2 s 2 +3s+2 = 3s+2 = (s+)(s+2) s+ 4 s+2 F 2 (s) = e st ( s+ + s+2 f(t) = δ(t)+ε(t)e t 4ε(t)e 2t +ε(t T)e (t T) ε(t T)e 2(t T) ) ω 0( e st/2 ) ( e st )(ω s2 ) + e st /(b a) s+b Vegyük észre, hogy a nevezőben lévő ( e st ) tag azt jelenti, hogy a függvény maradék része egy periodikus jel egyetlen periódusát írja le. Ezért az egész függvény egy T periódusú jel. { } L ω 0 ( e st/2 ) s 2 +ω0 2 = f T (t) { { } f T (t) = L ω0 } L e st/2 ω 0 s 2 +ω0 2 s 2 +ω0 2 = ε(t)cos(ω 0 t) ε(t T/2)cos(ω 0 (t T/2)) Azaz F(s) inverz transzformáltja egy féloldalasan egyenirányított koszinusz jel.

15 .3. HÁLÓZÁTSZÁMÍTÁS LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓVAL 5.3. Hálózátszámítás Laplace-transzformációval.3.. Laplace-transzformáció és differenciál egyenletrendszer Laplace-transzformációval történő hálózatszámítás során kihasználjuk, hogy a differenciál-egyenletekből illetve differenciálegyenlet rendszerekből a transzformáció segítségével algebrai egyenletet illetve egyenletrendszert kapunk. Ennek az egyenlet(rendszer)nek a megoldása természetesen sokkal egyszerűbb elvégezhető, mint a differenciálegyenlet(ek)é. Tekintsük az alábbi egyenletrendszert! Ez egy (tetszőleges) rendszer állapotváltozós leírásakent is tekinthető. Az állapotváltozók x (t) és x 2 (t), amelyek a t időtől függenek explicite. A keresett válasz y(t), a (külső) gerjesztés (forrás) s(t). x = 2x +4x 2 +s x 2 = 3x 3x 2 s y = x +5x 2 +3s (.3.) Laplace-transzformáljuk az (.3.) egyenletet. A transzformált változók X (s), X 2 (s), Y(s) és a gerjesztés S(s). sx (s) x () = 2X (s)+4x 2 (s) +S(s) sx 2 (s) x 2 () = 3X (s) 3X 2 (s) Y(s) = X (s)+5x 2 (s) S(s) +3S(s) (.3.2) Tegyük fel ebben az esetben, hogy a rendszer energiamentes t < 0 intervallumban, ezért a változók értéke t = pillanatban zérus lesz (x () = 0 illetve x 2 () = 0), így (.3.2) egyszerűsödik. /Ha az energiamentesség nem áll fenn, akkor sincsen probléma, csak a kifejezések lesznek kicsivel bonyolultabbak./ sx (s) = 2X (s)+4x 2 (s) +S(s) sx 2 (s) = 3X (s) 3X 2 (s) S(s) Y(s) = X (s)+5x 2 (s) +3S(s) (.3.3) Az esetek többségében az állapotváltozók számunkra érdektelenek, csak a gerjesztés és a válasz közötti gerjesztést keressük. Ezért az egyenletrendszer első két egyenletéből fejezzük ki X (s)-et és X 2 (s)-t. X (s+2) = 4X 2 +S = X = X 2 +S s+2 X 2 (s+3) = 3X S = 3 X 2 +S s+2 S X 2(s+3)(s+2) 3 = S(3 s 2) = S( s) X 2 = S( s) s 2 +5s+3 ; s X s = S 2 +5s+3 + = S s+s2 +5s+3 s+2 (s+2)(s 2 +5s+3) = S s 2 +4s+4 s 3 +7s 2 +3s+6 Ezután a választ kifejezhetjük az állapotváltozók helyér beírva azok gerjesztéssel kapott alakját.

16 6 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS s Y = S s 2 +5s+3 +5S s 2 +4s+4 (s+2)(s 2 +5s+3) +3S = S ( s)(s+2)+5(s2 +4s+4)+3(s+2)(s 2 +5s+3) (s+2)(s 2 +5s+3) = S 3s3 +25s 2 +58s+40 s 3 +7s 2 +3s+6 (.3.4)

17 .3. HÁLÓZÁTSZÁMÍTÁS LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓVAL Példák és feladatok H. Az alábbi ábrán látható hálózatban a kapcsolót a t = 0 pillanatban zárjuk. a. Határozzuk meg a bejelölt i áram időbeli változását a t = 0 pillanatokra, ha a kapcsoló zárása előtt a hálózat állandósult állapotban volt. b. Határozzuk meg az i áram ugrását a t = 0 pillanatban! i 2R t=0 L us R 3R.. ábra. H2. Oldjuk meg az előző feladatot arra az esetre, ha az eredetileg zárt kapcsolót a t = 0 pillanatban kinyitjuk. H3. Határozzuk az alábbi ábrán bejelölt áram i(t) időfüggvényét, valamint a kondenzátor u C (t) feszültségének időfüggvényét Laplace-transzformáció segítségével. R t=0 i u s u C C 2R.2. ábra. H4. Az alábbi ábrán látható, kezdetben energiamentes hálózatra a t = 0 pillanatban U 0 = 25 V egyenfeszültséget kapcsolunk. Határozzuk megés ábrázoljukakondenzátor feszültségének u C (t) időfüggvényét az alábbi adatok esetén : a) R = 250 Ω, L = 667mH, C = 2mF b) R = 00 Ω, L = 40 nh, C = µf c) R = 00 Ω, L = 40 nh, C = 5µF

18 8 FEJEZET. KOMPLEX FREKVENCIATARTOMÁNYBELI ANALÍZIS t=0 i R u s = U L 0 C i 2 i 3.3. ábra. H5. Az alábbi ábrán látható, vezérelt forrást tartalmazó hálózatban ( u s (t) = U 0 2t ) (ε(t) ε(t T)) T a) Határozzuk meg a bejelölt áram i (t) időfüggvényét. b) Az α paraméter mely értéktartományában stabilis a hálózat? R α i L 5R u s i 2R R.4. ábra. H6. Adott egy hálózat feszültségátvitelre vonatkozó átmeneti függvénye : v(t) = ε(t) [ e 2t +2e 3t e 4t] ; [t] = s a) Határozzuk meg a hálózat átviteli függvényét. b) Határozzuk meg a hálózat súlyfüggvényét. c) Írjuk fel a kimenőjel kifejezését adott u (t) bemenőjel esetén. d) Határozzuk meg a kimenőjel időfüggvényét, ha a bemenőjel u (t) = 0[ε(t) ε(t 4)]; [u] = V. H7. Egy hálózat bemeneti jele u, kimeneti jele az u 2 feszültség. A hálózat súlyfüggvénye w(t) = δ(t) ε(t) [ 4e 4t +e t] ; [t] = ms, [w] = ms a) Határozzuk meg a hálózat átmeneti függvényét! b) Írjuk fel a hálózat feszültségátviteli függvényét, vázoljuk a pólus-zérus elrendezést.

19 Tartalomjegyzék. Komplex frekvenciatartománybeli analízis 2.. Laplace-transzformáció Példa feladatok Gyakorló feladatok - kitűzött problémák Inverz Laplace-transzformáció Elméleti alap Példa feladatok Ajánlott feladatok az inverz Laplace-transzformáció témaköréből Hálózátszámítás Laplace-transzformációval Laplace-transzformáció és differenciál egyenletrendszer Példák és feladatok