1.1 Számítógéppel irányított rendszerek

Átírás

1 Számítógépes irányításelmélet 4. Számítógéppel irányított rendszerek A fejezetnek az a célja, hogy bevezesse a számítógéppel irányított rendszerek alapfogalmait. Bemutatja a folytonos jel mintavételezését, a mintavételezési jelenséget és annak fő jellemzőit, az időfüggést és a látszólagos frekvencia jelenségét. Tanácsot ad a mintavételezési idő megválasztásához. Bevezeti az időben diszkrét időanalízis eszközét, a Z-transzformációt. A fejezet végén az időben diszkrét jelanalízisre és az időben diszkrét átviteli függvény analízisére mutat be példákat.. Számítógéppel irányított rendszerek Napjainkban egyre több számítógépet használunk a folyamat automatizálásban: a természetüknél fogva analóg, időben folytonos folyamatokat (is) digitális, időben diszkrét működésű egységekkel szabályozzuk. A szabályozó hurok így időben folytonos és diszkrét időpillanatokban jelentkező jeleket egyaránt tartalmaz, amelyek egymással nem egyszerűen mérhetők össze. Ezért bizonyos jelfeldolgozás szükséges. Előbb azonban tekintsük a digitális számítógép működését. A digitális számítógép a számításokat csak bizonyos időpillanatokban hajtja végre ezek a szimulációs lépések. A k-adik szimulációs lépésben a [k-]-edik a [k-2]-edik,...[k-i]-edik időpillanatokban rendelkezésre álló információkat használja fel. (lásd az.a ábrát) h mintavételezés dt k-3 k-2 k- k idő szimulációs lépések.a ábra A digitális számítógépi rendszerek számítási eljárása Mivel a digitális szabályzót is magával a digitális számítógéppel valósítjuk meg, a szabályzó a jelet is csak bizonyos időpillanatokban vagyunk képesek előállítani. Mindemellett a mintavételezési idő (h) a mintavételezési időpillanatok közötti időtartam nem feltétlenül egyezik meg a szimulációs időlépés (dt) értékével. (lásd az.a ábrát) A számítógépek a szimulációt általában belső órajelűk által meghatározott sebességgel végzik, míg a mintavételezési időt (h) alapvetően a szabályozandó folyamat lomhasága határozza meg. A digitális szabályzó mintavételezési ideje (h) értéke a milliszekundumtól a perc értékig terjedhet. A folytonos idejű szabályozó digitális szabályozóval történő helyettesítését az.b ábra mutatja be. Az alapjel y*(t) és a szabályozott jellemző y(t) között mért hibát e(t) először mintavételezzük, majd állandó értéken tartjuk a mintavételezési időpillanatok között (S/H = Sample and Hold => Mintavételezés és tartás ). A tartási funkció azért szükséges,

2 Számítógépes irányításelmélet 5 mert a bemenő jel minden egyes szimulációs lépésben szükséges még akkor is, ha h >dt. A mintavételezett analóg jelet az analóg-digitális átalakító (ADC = Analog Digital Converter) alakítja át digitális jellé. A számítógép értelmezi az átalakított hibát e[k] és egy új ellenőrző jel sorozatot u[k] állít elő a szabályozó algoritmus segítségével. Mind a digitális számítógépbe érkező, mind pedig az onnan távozó jelek egy-egy számsorozatot alkotnak. A kimenő jelsorozatot a digitális-analóg jelátalakító (DAC = Digital Analog Convereter) alakítja vissza analóg jellé. Ez a jel a mintavételezési időpontokban megjelenő impulzusok sorozata. A természetükből eredően az időben folytonos folyamatnak azonban folytonos jelre van szükségük. Ezért egy olyan jelformáló függvényt alkalmazunk (Hold = Tartó függvény), amely a jelet állandó értéken tartja a mintavételezési időpontok között. A mintavételezést és a jel visszaalakítást egy digitális órajel szinkronizálja. Digital Controller Disturbance r(t) e(t) S/H e(k) u(k) and ADC DAC u(t) y(t).b ábra Az analóg szabályozó helyettesítése digitális szabályozóval: S/H mintavételező és tartó; ADC analóg-digitális jelátalakító; DAC digitális-analóg jelátalakító 2. ábra A digitális szabályozó rendszer jelei a szabályozási kör meghatározott pontjain A szabályozási eltérés ( e(t) ) bemenő jelű digitális szabályozót és a szabályozott jellemző mért jelének digitális szűrését rendszerint ugyanazzal a számítógéppel valósítják meg. Egy másik értelmezés pontosabban leírja a szabályozó rendszert. (3. ábra)

3 Számítógépes irányításelmélet 6 A [ DAC szabályozott folyamat ADC ] csoport egy olyan diszkretizált rendszerként értelmezhető, amely a szabályozóból kijövő jelet u[k] alakítja át kimenő jel sorozattá y[k]. A diszkretizált rendszer egy diszkrét időpillanatokban értelmezett átviteli függvénnyel jellemezhető G(z), amely a szabályozott folyamat G(s) folytonos átviteli függvényéből határozható meg. Ez az értelmezés azzal az előnnyel rendelkezik, hogy biztosítja a diszkretizált szabályozott folyamat modelljéhez illeszkedő szabályozó algoritmus tervezését. digital signal analogue signal Clock Computer u(k) DAC+ZOH Plant G(s) ADC y(k) Discretised plant G(z) 3. ábra Digitális szabályozott rendszer A mintavételezési művelet amplitúdó modulált impulzus jelet ad. A jelformáló művelet rekonstruálja az analóg jelet. A cél az, hogy kitöltsük a mintavételezési időpillanatok közötti űrt, és így állítsuk vissza az (időben) folytonos analóg jelet. A jelformáló áramkör extrapolációval adja meg a jelet két egymást követő mintavételi pont között. (2. ábra) A lépcsős hullámalak a legegyszerűbb módja az analóg jel rekonstruálásának: a mintavételezett érték állandó értéken tartása a következő jel megérkezéséig. (4. ábra) A lépcsős alakú hullámformát adó jelformáló áramkör neve nullad-rendű tartó (ZOH). Kifinomultabb, magasabb-rendű jelformáló tagok is léteznek, például első-rendű jelformáló illetve magasabb rendű jelformálók. (5. ábra) Az első-rendű jelformáló átlagolja az előző és a jelenlegi jel értéket, és így határozza meg a mintavétel pontban az aktuális értéket. 4. ábra A nullad-rendű jelformáló (ZOH) kimenete

4 Számítógépes irányításelmélet 7 5. ábra Az első-rendű jelformáló (FOH) kimenete Egy digitálisan szabályozott rendszer legfontosabb elemeinek fizikai megvalósítását a ábrák mutatják: ADC analóg-digitális jelátalakító; DAC digitális-analóg jelátalakító; ZOH nullad-rendű jelformáló. (A 4. illetve ábrák K. Ogata(995): Discrete-time Control Systems című munkája nyomán) 6. ábra Analóg csatorna kiválasztó (multiplexer) 7. ábra Mintavételező és jelformáló 8. ábra Fokozatos közelítés elvén működő A/D jelátalakító 9. ábra Súlyozott ellenállásokat alkalmazó D/A jelátalakító

5 Számítógépes irányításelmélet 8.2 Időben folytonos jelek mintavételezése A Random House Compact Unabridged Dictionary-nek megfelelően, a mintavételezés tesztelés, analízis céljából egy minta kiválasztásának folyamata, ahol a minta egy kis része valaminek. A mintavételezés a szabályozásban vagy a kommunikációban, az időben folytonos jel helyettesítését jelenti egy olyan számsorozattal, amely a jel értékét meghatározott időpillanatokban a mintavételezési időpontban - mutatja. (. ábra ) A mintavételezés egy lineáris művelet. A mintavételezési időpillanatok (amikor a mintavételezés történik), gyakran egyenlő időközönként követik egymást, tk = k * h, ahol h a mintavételezési periódus, a mintavételezési pillanatok közötti időintervallum. Ha h állandó, akkor periodikus mintavételezésről beszélünk. A megfelelő mintavételezési frekvencia fs = / h (Hz) vagy ωs = 2π/h (rad/s). A mintavételezési frekvencia fele, a Nyquist frekvencia, ami a későbbiekben fontos szerepet játszik: f N = /2h (Hz) vagy ω N = π/h (rad/s). Az időben folytonos jelet általában x( t) -vel jelöljük, a mintavételezett jelet pedig x[k] -val. A jelölések a következők: időben folytonos jel x(t) t R mintavételezési periódus (vagy idő) h (T s néhány irodalomban) mintavételezési frekvencia f = /h (Hz) mintavételezési időpillanat t k = k h k =...-2, -,,, 2,... (periodikus mintavételezés) mintavételezett sorozat x[t k ] vagy egyszerűen x[k] Ebben a leírásban feltételezzük, hogy a mintavételezés periodikus, a mintavételezési periódus állandó, és csak egy mintavételezési periódust alkalmazunk a zárt-hurkú rendszerben. h. ábra Az időben folytonos jel mintavételezése (alul-mintavételezés)

6 Számítógépes irányításelmélet 9.2. Mintavételezési tétel A mintavételezés akkor jó, ha az eredeti időben folytonos jel amplitúdó jellemzői megőrződnek a mintavételezett jelben is (A folytonos jel a mintavételezett jelből adott pontossággal visszaállítható.). Ezért a mintavételezési frekvenciát az időben folytonos jel legmagasabb frekvencia összetevőjének figyelembe vételével kell megválasztani. Shannon (Nyquist) mintavételezési tétele: ha a mintavételezési frekvencia nagyobb minta az időben folytonos jel legmagasabb frekvencia összetevő ω s > 2 ω, ω s ω kétszerese = 2π/ h akkor az eredeti jel visszaállítható a mintavételezett jelből. A Nyquist-frekvencia felhasználásával a mintavételezés ki kell, hogy elégítse a következő egyenlőtlenséget: ω 2 s ω < ω < ωn. A. ábra bemutatja az f frekvenciával jellemzett szinuszos jel mintavételezését. Az ábrasorozat felső sora mutatja azt az esetet, amikor a mintavételezési frekvencia fs = 8 f ; az időben folytonos jel jellemzője megmaradt. Csökkentve a mintavételezési frekvenciát fs = 2 f, a periodikus jellemzői és az amplitúdó jellemzői még mindig megmaradnak, ha a mintavételezési időpillanatok tk = 2 π f t. Az ábrasorozat alsó sora azt az esetet mutatja, amikor a mintákat rossz időpontokban kaptuk. A mintavételezés inverz művelete a jelrekonstrukció, a számsorozat visszafordítása időben folytonos jellé. A számítógép szabályozású rendszerekben a számított szabályozási műveletet (számsorozatot) a folyamat által használható, időben folytonos jellé kell vissza alakítani. Különböző rekonstrukciós technikák adottak a mintavételezett függvény, x[k] időben folytonos alakra, x(t)-re való átalakítására, amelyek a következők:

7 Számítógépes irányításelmélet. ábra A szinuszos jel mintavételezése

8 Számítógépes irányításelmélet a) Shannon rekonstrukció: x ( t) = x( k h) sin ( ωs ( t k h) / 2) ( t k h) / 2 k= ωs Az alábbiakban felsoroljuk ennek a rekonstrukciónak néhány hátrányát: Az x értékét a t időpillanatban a megelőző ( x[ k h] : k t/h ) ( x [ k h] : k > t/h ) értékekből határozzuk meg; bonyolult; csak periodikus jelek esetén alkalmazható. Néhány kommunikációs- és jel-feldolgozó folyamatban alkalmazzák. és következő b) Nullad-rendű jelformáló (ZOH): A 4. ábrán bemutatott ZOH egy szakaszos állandót eredményez, és a mintavételezési időpillanatban megegyezik a mintavételezett jellel. (véletlenszerű) ( t) x[ ] x = t k, t k t t k +. c) Első-rendű jelformáló (FOH): Az 5. ábrán bemutatott FOH lineáris (elsőfokú) extrapolációval dolgozik a mintavételezési időpillanatok között: x t t k ( t) x[ t ] + [ x[ t ] x[ t ] = k k k, t k t < t tk t k + k. A magasabb-rendű polinomokkal történő extrapolációval kisebb rekonstruálási hibák és egyenletesebb függvényalak érhető el.

9 Számítógépes irányításelmélet 2. példa: Az időben folytonos jel mintavételezése. Ismételje meg a szimulációt más mintavételezési idővel is! Jel: x ( t) = sin( ω t) T period = sec ω f = = T 2 π T period period rad =.628 s =. Hz Shannon mintavételezési tétele alapján ω s > 2ω : 2π 2π Tperiod > 2 -> h < = 5 sec, h = 2 sec h 2 Simulink modell: T period dim(h) = [sec] h = 2 h = Time Time

10 Számítógépes irányításelmélet 3 h = Time

11 Számítógépes irányításelmélet A periodikus mintavételezés jellemzői A periodikus mintavételezéssel a szabályozott rendszer egy olyan zárt-hurkú rendszert eredményez, amely: lineáris periodikus rendszer. A számítógéppel szabályozott rendszerek periodikus tulajdonságából eredően adó két speciális tulajdonság jelenik meg: az időfüggés és a látszólagos frekvencia jelensége Időfüggés A rendszer egy külső jelre (ingerre) adott válasza (pl. alapjel változása) a külső esemény és a számítógép belső órájának összehangolásától függ. (Lásd az órajelet a 3. ábrán.) A 2. ábra négy esetet mutat be, amikor a külső esemény, a bemenő jel lépésköz változása a mintavételezési időpontban (h = 2), illetve amikor két mintavételezési időpont között történik. Ha a szinkronban vannak, akkor a mintavételezési rendszernek mindig egymintavételezési időnyi késése van Time (second) Time (second) Time (second) Time (second) 2. ábra Idő szinkronizáció

12 Számítógépes irányításelmélet Látszólagos frekvencia jelensége A mintavételezés másik következménye a látszólagos frekvencia jelensége: két különböző jelhez ugyanaz a mintavételezett jel tartozhat. A következő példával mutatjuk be a problémát. Két különböző időben folytonos jel adott f =, Hz illetve f 2 =, Hz frekvenciával. A mintavételezési frekvencia: fs = Hz. Mindkét jelnek azonos a mintavételezési jele f sampled =, Hz frekvenciával. (3. ábra) Vegyük észre, hogy a fs = Hz nem megfelelő a f = 2. Hz frekvenciájú jelnek; i.e. f < 2f. s f =. Hz f =. Hz Time (second) 3. ábra Látszólagos frekvencia jelenség problémája A látszólagos frekvencia jelenség: adott az időben folytonos jel frekvenciája ω és a mintavételezési frekvencia ω s = 2π/ h ( ω < ω s / 2) ; a mintavételezett jel frekvenciája egyenlő a következő időben folytonos jelek mintavételezett jelével ω = ω ± n, ahol ω [ ω s 2 ω / 2] *ω s A mintavételezett jel frekvenciája ω sampled = / s ( ω + ωn ) mod( ωs ) ωn = ω amit ezért látszólagos (alias) frekvenciának nevezünk. Vegyük észre, hogy ( ω + ωn ) mod( ωs ) ωn = ω,, n tetszőleges egész ha a mintavételezési időt a mintavételezési tételnek megfelelően választjuk meg, akkor a mintavételezett jel frekvenciája megegyezik az eredeti időben folytonos jellel.

13 Számítógépes irányításelmélet 6 2. példa Látszólagos frekvencia jelenség bemutatására készítsen egy Simulink modellt! Mintavételezze az alábbi jeleket x(t) = sin( ω t) ω = 2π.=.2 π (t) = sin( ω t) ω = 2π. = 2. 2 π x2 2 x3(t) sin( 3 ( f =.Hz) 2 ( f 2 =.Hz) 3 = 2π 2. = 4. ( f 2 = 2.Hz) = ω t) ω 2 π a következő mintavételezési frekvencia használatával ω = 2π s ( Hz) f s =, ami csak az első jel esetében elégíti ki a Shannon mintavételezési tételt, ω s > 2 ω. A rétegződés azért fordul elő, mert ω2 = 2.2 π =.2 π + 2 π = ω + n ωs = ω + ωs, 3 = 4.2 π =.2 π 4 π = ω + ωs = ω + 2ωs ω n. 3.a példa Látszólagos frekvencia probléma magas frekvencia zavar. Határozza meg a látszólagos (alias) frekvenciát és futtassa a Simulink szimulációt. Jel: négyszög jel ω =.2 rad/sec Magas frekvenciás zavar: szinuszos ω d = rad/sec Mintavételezés: f s = Hz, ω s = rad/sec Vegyük észre: ω d > ω s / 2 látszólagos frekvencia jelenség Mintavételezési frekvencia: f s = Hz ω s = rad / sec Nyquist frekvencia: Zavar jel: f N =.5 Hz ω N = 3.45 rad / sec f d =.9 Hz ω d = rad / sec ω = ω + ω mod ω ω ( ) mod( 6.283) 3.45 =. rad/s Az látszólagos (alias) frekvencia: a ( d N ) ( s ) N ω a = 6283 ω f a a = = Hz Talias = 2π f = sec. a

14 Számítógépes irányításelmélet 7 T alias = sec Úgy tűnik, mintha a mintavételezett jel a négyszög jel és a szinuszos jel összege lenne, Hz-es frekvenciával. A látszólagos frekvencia jelenség gyakorlati következménye: a mintavételezés után lehetetlen megállapítani, hogy az időben folytonos jel frekvenciája ω vagy ω + n ωs. Ez azt jelenti, hogy a magas frekvenciájú jel alacsony frekvenciájú jelként fog megjelenni a látszólagos frekvencia jelenség miatt. Alacsony frekvencia esetén elsődlegesen fontos a magas frekvenciájú komponensek kiszűrése. Az anti-aliasing szűrés hatását a következő Simulink példa mutatja be. 3.b példa A látszólagos frekvencia jelenségére megoldás a mintavételezendő jel szűrése Bessel szűrő: sávszélesség f =.25 Hz.57 rad/sec (sávszélesség = ahol az erősítés 3 db-el csökken)

15 Számítógépes irányításelmélet 8 3 db Bode Diagrams -2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) rad / sec

16 Számítógépes irányításelmélet Time (second) A mintavételezett jel az eredeti négyzet hullámot ábrázolja.

17 Számítógépes irányításelmélet A mintavételezési periódus megválasztása A digitális szabályozott rendszerek mintavételezési frekvenciáját a zárt-hurkú rendszer tranziens (dinamikus) viselkedésének megfelelően választjuk meg, függetlenül a megkívánt teljesítéstől. Az eredeti jel visszaállítása nehézkes túl hosszú mintavételezési időt használva. Túl rövid mintavételezési időt alkalmazva szükségtelenül nagy adathalmaz keletkezik, a számítási idő megnő, és ezzel stabilitási problémákat okozhat. (Lásd későbbi fejezetekben.) A mintavételezési periódus Åström szerint (997): h (..25) Tr Ahol T r az a lépésidő, ami alatt 4 mintavételezés történik. A első rendű rendszer lépésideje egyenlő az időállandóval: + T s ( ) = h (..25 ) T G s. A másod-rendű rendszer mintavételezési ideje a csillapítási tényezőből ξ és a sajátfrekvenciából ω o határozható: ϕ ϕ = ω / tan T r o e, ξ = cos(ϕ). A =. 7 csillapítási tényező esetén T ω o 2. 8 ξ (.7983 rad) (..25) T = (.2 ) ω o h r.55. r =, és így

18 Számítógépes irányításelmélet 2. Számítógéppel irányított rendszerek Számítógéppel irányított rendszerek Időben folytonos jelek mintavételezése Mintavételezési tétel A periodikus mintavételezés jellemzői Időfüggés Látszólagos frekvencia jelensége A mintavételezési periódus megválasztása... 2