Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Átírás

1 Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

2 Irányítástechnika jellemzőinek Rendszerek stabilitása és minőségi jellemzői. Soros kompenzátor. Irányítástechnika Budapest, 29 2

3 Az előadás felépítése jellemzőinek jellemzőinek 3. Érzékenységi függvény. Aszimptotikus jelkövetés. Zavarkompenzálás. 4. Soros kompenzátor 5. Irányítástechnika Budapest, 29 3

4 Rendszer stabilitása Konvolúciós integrál Stabilitás feltétele Illusztrációs példa Inverz inga jellemzőinek Irányítástechnika Budapest, 29 4

5 Rendszer stabilitása Rendszer stabilitása Konvolúciós integrál Stabilitás feltétele Illusztrációs példa Inverz inga jellemzőinek Tekintsünk először egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszert, amelynek bemenőjele u(t), t <, kimenőjele pedig y(t), t <. u(t) w(t) y(t) Adott a rendszer w(t) súlyfüggvénye, illetve ennek L-transzformáltja: G(s) = L{w(t)}. Irányítástechnika Budapest, 29 5

6 Konvolúciós integrál Rendszer stabilitása Konvolúciós integrál Stabilitás feltétele Illusztrációs példa Inverz inga jellemzőinek A bemenet/kimenet kapcsolatot zérus kezdeti feltétele mellett az alábbi konvolúciós integrál adja meg: y(t) = t w(t τ)u(τ)dτ Feltettük, hogy a rendszer a kezdeti időpontban nyugalmi állapotban van. Ezután feltehetjük a kérdést, hogy mi a feltétele annak, hogy ha u(t) > gerjesztés éri a rendszert, és az u(t) valamilyen tulajdonsággal rendelkezik, milyen feltételek esetén rendelkezik a kimenőjel is ugyanilyen tulajdonsággal. Irányítástechnika Budapest, 29 6

7 Stabilitás feltétele Rendszer stabilitása Konvolúciós integrál Stabilitás feltétele Illusztrációs példa Inverz inga jellemzőinek Egy lineáris időinvariáns dinamikus rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha 1. A rendszer súlyfüggvénye abszolút integrálható, w(t) dt < 2. A rendszer G(s) = L{w(t)} átviteli függvényének pólusai a baloldali komplex félsíkon helyezkednek el, azaz Re p i <, i, ahol p i a G(s) pólusa. 3. A súlyfüggvény határértéke zérus, azaz lim t w(t) =. Irányítástechnika Budapest, 29 7

8 Illusztrációs példa Rendszer stabilitása Konvolúciós integrál Stabilitás feltétele Illusztrációs példa Inverz inga Az inverz inga egy M tömegű kocsira rögzített csapágyon szabadon elforgó rúd, amelynek m tömege a rúd felső végére van redukálva. m z m jellemzőinek M θ l mg z u Irányítástechnika Budapest, 29 8

9 Inverz inga Rendszer stabilitása Konvolúciós integrál Stabilitás feltétele Illusztrációs példa Inverz inga jellemzőinek A rúd Θ(s) szögelfordulása a következőképpen függ az U(s) gerjesztő erőtől: Θ(s) Az átviteli függvény pólusai: 1 s 2 g/l U(s). p 1 = g/l, p 2 = g/l. A p 1 pólus a jobboldali komplex félsíkra esik, tehát az inverz inga labilis. Irányítástechnika Budapest, 29 9

10 Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek Irányítástechnika Budapest, 29 1

11 Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek A szabályozó tervezésénél mindig biztosítani kell, hogy akár stabilis, akár labilis a szabályozott folyamat, a zárt rendszer stabilis legyen. A zárt rendszer átviteli függvénye: G(s) = G E(s) 1 + G H (s), ahol G E (s) az előrevezető ág átviteli függvénye és G H (s) a hurokátviteli függvény. Irányítástechnika Budapest, 29 11

12 Zárt rendszer átviteli függvénye Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek A zárt rendszer stabilis akkor és csak akkor, ha pólusai a baloldali komplex számsíkon helyezkednek el, tehát az 1 + G H (s) = egyenlet p 1,..., p n gyökereire teljesül a Re p i <, i = 1,..., n feltétel, ahol n a G H (s) pólusainak száma. Irányítástechnika Budapest, 29 12

13 Hurokátviteli függvény pólusai Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek A G H (s) a hurokátviteli függvény pólusai alapján vizsgálhatjuk a zárt rendszer stabilitását. Pólusok és a stabilitás kapcsolata: Ha p i <, akkor a zárt rendszer stabilis Ha p i =, határeset Ha p i >, akkor a zárt rendszer labilis ahol p i a zárt rendszer pólusa. Irányítástechnika Budapest, 29 13

14 Nyquist stabilitási kritérium Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek A Nyquist szabályozási kritérium a G H (iω) hurokátviteli frekvencia függvény alapján képes a zárt rendszer stabilitásáról képet adni. Rajzoljuk meg a frekvencia függvényt a < ω < tartományra. (A negatív frekvenciákra a függvény a pozitív frekvenciákra ismert függvénynek a valós tengelyre vett tükörképe lesz.) Ha a felnyitott hurok G H (iω), < ω < frekvencia függvénye a növekvő frekvenciák irányába haladva Ha nem veszi körül a 1 pontot, akkor a rendszer stabilis Ha átmegy a 1 ponton, akkor a rendszer a stabilitás határán van. Ha körülveszi a 1 pontot, akkor a rendszer labilis. Irányítástechnika Budapest, 29 14

15 Nyquist stabilitási kritérium Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek Stabil rendszer Ha a G H (iω) frekvencia függvény a növekvő frekvenciák irányába haladva nem veszi körül a 1 pontot, akkor a zárt rendszer rendszer stabilis. Stabilitás határán álló rendszer Ha a G H (iω) frekvencia függvény épp átmegy a komplex számsík 1 pontján, akkor a G H frekvencia függvénynek ω körfrekvencián a zárt rendszerben csillapítatlan lengések keletkeznek. Ekkor a zárt rendszer a stabilitás határán van. Irányítástechnika Budapest, 29 15

16 Bode stabilitási kritérium Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek A stabilitás analízist a Bode diagram alapján is elvégezhetjük, ezek az ún. Bode-stabilitási kritériumok. Ha -2 db/dek-dal metszi a log ω tengelyt, akkor a zárt rendszer stabilis. Ha -4 db/dek-dal metszi a log ω tengelyt és ϕ(ω c ) > 18, akkor a zárt rendszer stabilis. Ha -4 db/dek-dal metszi a log ω tengelyt és ϕ(ω c ) < 18, akkor a zárt rendszer labilis. Ha -6 db/dek-dal metszi a log ω tengelyt, akkor a zárt rendszer labilis. Irányítástechnika Budapest, 29 16

17 Fázistartalék Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a ϕ t fázistartalék fogalmát: ϕ t = π ϕ(ω c ), Ha ϕ t >, akkor a zárt rendszer stabilis Ha ϕ t =, határeset Ha ϕ t <, akkor a zárt rendszer labilis 5 Bode diagram (fok) (db) ω c φ t ω k κ t (rad/sec) Irányítástechnika Budapest, 29 17

18 Erősítési tartalék Zárt rendszer átviteli függvénye Hurokátviteli függvény pólusai Nyquist stabilitási kritérium Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium Fázistartalék Erősítési tartalék jellemzőinek A zárt szabályozási körök stabilitásával kapcsolatban bevezetjük a κ t erősítési tartalék fogalmát. Ha κ t < 1, akkor a zárt rendszer stabilis Ha κ t = 1, határeset Ha κ t > 1, akkor a zárt rendszer labilis 5 Bode diagram (fok) (db) ω c φ t ω k κ t (rad/sec) Irányítástechnika Budapest, 29 18

19 jellemzőinek Minőségi jellemzők Időtartományi jellemzők Szabályozási eltérés Túllendülés Frekvencia tartományi jellemzők Sávszélesség jellemzőinek Irányítástechnika Budapest, 29 19

20 Minőségi jellemzők A minôségi kritériumok mindig a szabályozott rendszer (zárt kör) vizsgálatával történik: jellemzőinek Minőségi jellemzők Időtartományi jellemzők Szabályozási eltérés Túllendülés Frekvencia tartományi jellemzők Sávszélesség A zárt rendszer átviteli függvénye: r C u G y + G C = G E 1 + G H ahol G H a hurokátviteli függvény és G E az előrevezető ág eredő átviteli függvénye. Irányítástechnika Budapest, 29 2

21 Időtartományi jellemzők jellemzőinek Minőségi jellemzők Időtartományi jellemzők Szabályozási eltérés Túllendülés Frekvencia tartományi jellemzők Sávszélesség A rendszer állandósult állapotban felvett értékét beállási értéknek nevezzük, amit y ss -sel jelölünk. A szabályozási idő (t s ) annak időtartama, amely eltelte után a rendszer kimenete a beállási értéktől 5%-nál nagyobb mértékben nem tér el Átmeneti függvény t 1 2 t m s (sec) Irányítástechnika Budapest, 29 21

22 Szabályozási eltérés A szabályozási eltérés a megkívánt érték és az állandósult állapotbeli érték különbsége: y ss y d, jellemzőinek Minőségi jellemzők Időtartományi jellemzők Szabályozási eltérés Túllendülés Frekvencia tartományi jellemzők Sávszélesség Átmeneti függvény.2 t 1 2 t m s (sec) Irányítástechnika Budapest, 29 22

23 Túllendülés jellemzőinek Minőségi jellemzők Időtartományi jellemzők Szabályozási eltérés Túllendülés Frekvencia tartományi jellemzők Sávszélesség túllendülési idő (t m ): a kimeneti jel maximális értékének időpontja, túllendülés mértéke (p): százalékban kifejezett viszonyszám, ami a maximális és beállási érték közötti különbség beállási értékhez való viszonyát fejezi ki: p = y max y ss y ss 1% Átmeneti függvény t 1 2 t m s 3 (sec) 4 5 Irányítástechnika Budapest, 29 23

24 Frekvencia tartományi jellemzők jellemzőinek Minőségi jellemzők Időtartományi jellemzők Szabályozási eltérés Túllendülés Frekvencia tartományi jellemzők Sávszélesség rezonancia csúcs M p : az amplitúdó görbe maximális értéke, rezonancia frekvencia ω p : a rezonancia csúcshoz tartozó frekvencia érték, 2 1 Amplitúdó függvény M p (db) B ω ω (rad/sec) p Irányítástechnika Budapest, 29 24

25 Sávszélesség jellemzőinek Minőségi jellemzők Időtartományi jellemzők Szabályozási eltérés Túllendülés Frekvencia tartományi jellemzők Sávszélesség A sávszélesség fogalmát a kiegészítő érzékenységi függvény segítségével a következőképp adhatjuk meg. A rendszer sávszélessége az a ω ω B frekvencia tartomány, amelyben a T (iω) kiegészítő érzékenységi függvény Bode diagramja 3 db-re csökken. 2 1 Amplitúdó függvény M p (db) -1-2 B ω ω (rad/sec) p Irányítástechnika Budapest, 29 25

26 jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény aszimptotikus jelkövetés és Irányítástechnika Budapest, 29 26

27 Zárt rendszer kimenete jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Vizsgáljuk a zárt rendszer kimenetét különböző bemenetek esetén: Y (s) = D Y (s) = R ahol G H (s) = G(s)C(s). r(t) G H(s) R(s) = T (s)r(s) 1 + G H (s) 1 D(s) = S(s)D(s) 1 + G H (s) e(t) C(s) u(t) G N (s) d(t) y(t) Irányítástechnika Budapest, 29 27

28 S és T függvények Bevezetjük a szabályozási körben értelmezett S érzékenységi függvényt és a T kiegészítő érzékenységi függvényt: jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény T (s) = S(s) = r(t) G H(s) 1 + G H (s) G H (s) e(t) C(s) u(t) G N (s) d(t) y(t) Irányítástechnika Budapest, 29 28

29 Érzékenységi függvény jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Az érzékenységi függvény azt mutatja meg, hogy a zavaró jellemző hogyan befolyásolja a zárt rendszer kimenetét. S(s) = G H (s) Az S(iω) érzékenységi függvény közelítő ábrázolását BODE-diagramon a felnyitott hurok G H (iω) frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el. Az érzékenységi függvény definíció szerint: S(iω) = G H (iω) ω. Irányítástechnika Budapest, 29 29

30 Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk: S(iω) 1 G H (iω) ha G H (iω) 1 azaz ha ω ω c 1 ha G H (iω) 1 azaz ha ω ω c db Hurokátviteli & érzékenységi függvény Érzékenységi függvény Hurokátviteli függvény Frekvencia rad /sec Irányítástechnika Budapest, 29 3

31 Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény A kiegészítő érzékenységi függvény a referencia (alap) és kimenő jel közötti átviteli függvény. T (s) = G H(s) 1 + G H (s) A T (iω) kiegészítő érzékenységi függvény közelítő ábrázolását BODE-diagramon a felnyitott hurok G H (iω) frekvenciafüggvénye alapján a következőképp végezhetjük el. A kiegészítő érzékenység függvény definíció szerint: T (iω) = G H (iω) 1 + G H (iω) ω, Irányítástechnika Budapest, 29 31

32 Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Kis és nagy körfrekvenciákra a következő közelítést használhatjuk: T (iω) db { ha G H (iω) 1 G H (iω) ha G H (iω) 1 Hurokátviteli & kiegészít érzékenységi függvény Hurokátviteli függvény Kiegészít érzékenységi függvény Frekvencia rad /sec Irányítástechnika Budapest, 29 32

33 Összefüggés S és T között Az érzékenységi és kiegészítő érzékenységi függvények közötti összefüggés az alábbi: jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény db -2-4 S(s) + T (s) = 1. Hurokátviteli & kiegészít érzékenységi függvény Hurokátviteli & érzékenységi függvény 6 4 Hurokátviteli függvény 2 Érzékenységi függvény db Kiegészít érzékenységi függvény -2 Hurokátviteli függvény Frekvencia rad /sec Frekvencia rad /sec Irányítástechnika Budapest, 29 33

34 Szabályozási eltérés jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Követő szabályozásoknál a kimenőjelnek a referencia jeltől való eltérését követési hibának nevezzük: e(t) = y(t) r(t). Vizsgáljuk meg, hogy adott r(t) referencia jelre aszimptotikusan mekkora lesz az eltérés, azaz a követési hiba. A követési hiba jel és a referencia jel Laplace-transzformáltjai közötti kapcsolatot az S(s) érzékenységi függvény írja le. Alkalmazva a határérték tételeket: lim e(t) = lim se(s) = lim ss(s)r(s). t s s Irányítástechnika Budapest, 29 34

35 Arányos rendszer jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Vizsgálhatjuk a tipikus referencia jelek, mint egységugrás vagy egység sebesség ugrás jelek aszimptikus követését. Legyen r(t) = 1(t), R(s) = 1/s. Ekkor lim e(t) = lim s 1 t s 1 + G H (s) 1 s = lim s G H (s). Ha G H (s) arányos jellegű, azaz ha G H (s) = G H (s), akkor lim s ahol K a hurokerősítési tényező G H (s) = K, Irányítástechnika Budapest, 29 35

36 Integráló rendszer jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Ha G H (s) integráló jellegű, azaz ha G H (s) = G H (s)/s, G H (s) s= < alakú, akkor lim s G H (s)/s = lim s s s + G H (s) =, tehát a követési hiba aszimptotikusan zérus. Irányítástechnika Budapest, 29 36

37 Aszimptotikus jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Az aszimptotikus t az aszimptotikus alap- vagy referencia jelkövetéshez hasonlóan vizsgálhatjuk. Tipikus zavaró jelek, mint egységugrás, egység sebességugrás jelek, a zavaró jel hatását a kimenő jelben zérus referencia jel feltételezése mellett vizsgáljuk. Ehhez felírjuk a kimenő jel és a zavaró jel Laplace - transzformáltjai közötti összefüggéseket és alkalmazzuk a határérték tételeket. Irányítástechnika Budapest, 29 37

38 Érzékenység függvény jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény A kimenő és a zavaró jel közötti átviteli függvény az S(s) érzkenységi függvény. Ennek alapján a kimenőjel Laplace - transzformáltja Y (s) = S(s)D(s) = R Alkalmazva a határérték tételt: lim y(t) r = lim t s s G H (s) D(s) G H (s) D(s). Irányítástechnika Budapest, 29 38

39 Arányos átviteli függvény jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Legyen például d(t) = 1(t), D(s) = 1/s és tegyük fel, hogy a hurokátviteli függvény olyan alakú, hogy G H (s) = G H (s). Ekkor lim s 1 s 1 + G H (s) 1 s = K ahol K a hurokerősítés tényező. Tehát a zavaró jel hatása megjelenik a kimeneten. Irányítástechnika Budapest, 29 39

40 Integráló átviteli függvény jellemzőinek Zárt rendszer kimenete S és T függvények Érzékenységi függvény Érzékenységi függvény közelítő ábrázolása Kiegészítő érzékenységi függvény Kiegészítő érzékenységi függvény jellemzése Összefüggés S és T között Szabályozási eltérés Arányos rendszer Integráló rendszer Aszimptotikus Érzékenység függvény Arányos átviteli függvény Integráló átviteli függvény Legyen például d(t) = 1(t), D(s) = 1/s és tegyük fel, hogy a hurokátviteli függvény olyan alakú, hogy G H (s) = G H (s)/s. Ekkor lim s s s s + G H (s) 1 s = tehát a zavaró jel hatását a rendszer aszimptotikusan teljesen elnyomja, kompenzálja. Irányítástechnika Budapest, 29 4

41 jellemzőinek Tervezési elv Arányos tag Bode diagramja Soros kompenzátor megválasztása Tervezési lépések Dinamikus kompenzátor esete Tervezés dinamikus kompenzátor esetén Irányítástechnika Budapest, 29 41

42 Tervezési elv jellemzőinek Tervezési elv Arányos tag Bode diagramja Soros kompenzátor megválasztása Tervezési lépések Dinamikus kompenzátor esete Tervezés dinamikus kompenzátor esetén Soros kompenzátor előírt fázistartalék elérése érdekében történik. A tervezési elv ismertetése érdekében első lépésben arányos soros kompenzátor tervezését mutatjuk be. A zárt rendszer átviteli függvénye: r C u G y + G C = G E 1 + G H ahol G H a hurokátviteli függvény és G E ay előrevezető ág eredő átviteli függvénye. Irányítástechnika Budapest, 29 42

43 Arányos tag Bode diagramja jellemzőinek Tervezési elv Arányos tag Bode diagramja Soros kompenzátor megválasztása Tervezési lépések Dinamikus kompenzátor esete Tervezés dinamikus kompenzátor esetén Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója 2log 1 A, míg fázisa a teljes frekvencia tartományban. Következtetés: Egy arányos tag az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan eltolja, mégpedig A > 1 esetén felfelé, míg A < 1 esetén lefelé, ugyanakkor a fázisfüggvényt nem módosítja. Irányítástechnika Budapest, 29 43

44 Soros kompenzátor megválasztása jellemzőinek Tervezési elv Arányos tag Bode diagramja Soros kompenzátor megválasztása Tervezési lépések Dinamikus kompenzátor esete Tervezés dinamikus kompenzátor esetén A soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy ω c vágási körfrekvenciához tartozó fázisszög éppen az előírt legyen. Olvassuk le a fázisszöghöz tartozó amplitúdó értékét és jelöljük ezt előjelhelyesen x-szel Az arányos soros kompenzátort úgy kell megválasztani, hogy az amplitúdó függvényt önmagával párhuzamosan x-szel eltolja (miközben a fázisfüggvényt vátozatlanul hagyja). Tehát C = A-t a következőképpen kell megválasztani: 2log 1 A = x ahol x az ábráról leolvasott érték, s ebből A kiszámítható: A = 1 x 2 Irányítástechnika Budapest, 29 44

45 Tervezési lépések jellemzőinek Tervezési elv Arányos tag Bode diagramja Soros kompenzátor megválasztása Tervezési lépések Dinamikus kompenzátor esete Tervezés dinamikus kompenzátor esetén Összefoglalva a soros kompenzátor tervezés lépései a következők: 1. C = 1 választással felrajzoljuk a felnyitott hurok Bode diagramját. 2. Leolvassuk a ϕ t -hez tartozó x előjeles értékét és kiszámítjuk C = A soros kompenzátor értéket. Megjegyzés: Ha az amplitudó függvényt lefelé kell eltolni, akkor A < 1, míg ha felfelé, akkor A > 1 erősítést várunk. 3. Megvizsgáljuk a zárt (szabályozott) rendszer minőségi tulajdonságait. Irányítástechnika Budapest, 29 45

46 Dinamikus kompenzátor esete jellemzőinek Tervezési elv Arányos tag Bode diagramja Soros kompenzátor megválasztása Tervezési lépések Dinamikus kompenzátor esete Tervezés dinamikus kompenzátor esetén Ha a cél egy dinamikus kompenzátor, akkor a tervezést megpróbáljuk visszavezetni arányos soros kompenzátor tervezésére: C(s) = AC (s) ahol C (s) a kompenzátor átviteli függvényének ismert komponense. Például: C(s) = 1 T i s = 1 1 T i s azaz A = 1 T i és C (s) = 1 s. Irányítástechnika Budapest, 29 46

47 Tervezés dinamikus kompenzátor esetén jellemzőinek Tervezési elv Arányos tag Bode diagramja Soros kompenzátor megválasztása Tervezési lépések Dinamikus kompenzátor esete Tervezés dinamikus kompenzátor esetén A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő: G H (s) = AGC (s) = AG m (s) ahol G m (s) = G(s)C (s). Ha a rendszer átviteli függvényét a C komponenssel módosítjuk, akkor G m (s) átviteli függvényhez jutunk. A tervezés során a G m (s) átviteli függvénnyel adott rendszert tekintjük szabályozandó rendszernek, amihez egy A arányos kompenzátort kell terveznünk. Természetesen a tervezett soros kompenzátort C(s) = AC (s) alakú. Irányítástechnika Budapest, 29 47

48 jellemzőinek Arányos soros kompenzátor Felnyitott hurok Soros kompenzátor megválasztása Jelkövető soros kompenzátor Felnyitott hurok átviteli függvénye Irányítástechnika Budapest, 29 48

49 Arányos soros kompenzátor jellemzőinek Arányos soros kompenzátor Felnyitott hurok Soros kompenzátor megválasztása Jelkövető soros kompenzátor Felnyitott hurok átviteli függvénye Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: G = 5 s 3 + 3s 2 + 2s Tervezzünk 3 -os fázistartalékot biztosító arányos soros kompenzátort. A megoldás elve és menete: Válasszunk kiindulásként C = 1 arányos soros kompenzátort: G H = GC = 5 s 3 + 3s 2 + 2s Szerkesszük meg a felnyitott hurok Bode diagramját: Irányítástechnika Budapest, 29 49

50 Felnyitott hurok A felnyitott hurok Bode diagramja: jellemzőinek db 5-5 Amplitúdó függvény Arányos soros kompenzátor Felnyitott hurok Soros kompenzátor megválasztása Jelkövető soros kompenzátor Felnyitott hurok átviteli függvénye fok rad/sec Fázis függvény rad/sec Irányítástechnika Budapest, 29 5

51 Soros kompenzátor megválasztása jellemzőinek Arányos soros kompenzátor Felnyitott hurok Soros kompenzátor megválasztása Jelkövető soros kompenzátor Felnyitott hurok átviteli függvénye Változtassuk meg C-t úgy, hogy a fázistartalék 3 -os legyen, azaz ϕ t = 3 és a fázisszög ω c -nél: ϕ = 15. Kihasználjuk azt, hogy egy C=A arányos tag amplitúdója 2log 1 A, míg fázisa a teljes frekvencia tartományban. Jelen esetben A =.43 arányos soros kompenzátor oldja meg a feladatot (3 -os fázistartalékot biztosít). db Amplitúdó függvény rad/sec Fázis függvény fok rad/sec Irányítástechnika Budapest, 29 51

52 Jelkövető soros kompenzátor jellemzőinek Arányos soros kompenzátor Felnyitott hurok Soros kompenzátor megválasztása Jelkövető soros kompenzátor Felnyitott hurok átviteli függvénye Legyen az irányítandó rendszer átviteli függvénye: G = 5 s 2 + 3s + 2 Tervezzünk jelkövetést biztosító soros kompenzátort, amelyik 3 -os fázistartalékot is garantál. A jelkövetés akkor biztosítható, ha a soros kompenzátor integráló tulajdonságú. Emiatt a soros kompenzátort a következő alakban választjuk meg: C = A i s Irányítástechnika Budapest, 29 52

53 Felnyitott hurok átviteli függvénye jellemzőinek Arányos soros kompenzátor Felnyitott hurok Soros kompenzátor megválasztása Jelkövető soros kompenzátor Felnyitott hurok átviteli függvénye A felnyitott hurok átviteli függvénye a következő: G H = CG = A i s G = A G i s Ha a rendszer átviteli függvényét G -nek tekintjük, akkor a s továbbiakban egy arányos soros kompenzátort kell terveznünk az 1. példában leírtakhoz hasonló módon. Irányítástechnika Budapest, 29 53

54 jellemzőinek Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) Irányítástechnika Budapest, 29 54

55 Tervezési feladat jellemzőinek Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) Egy villamos targonca megfelelő pályán való automatikus vezetését 8 fotó tranzisztorral biztosítják. A motor és kocsi dinamikát a következő átviteli függvény írja le. G (s) = 3 ( 1 + s 2) (s2 + s + 4) Tervezzünk 3 -os fázistartalékot biztosító soros kompenzátort, amelyik jelkövetést, minimális beállási időt biztosít túllendülés nélkül. Irányítástechnika Budapest, 29 55

56 Az irányítás hatásvázlata jellemzőinek r + e Szablyoz C Targonca dinamika u 3 (.5s+1)(s 2 +s+4) y Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) Tervezzünk 3 -os fázistartalékot biztosító soros kompenzátort, amelyik jelkövetést, minimális beállási időt biztosít túllendülés nélkül. Irányítástechnika Budapest, 29 56

57 Arányos soros kompenzátor választása Arányos (P ) típusú kompenzátor (C = 1) 5 Amplitúdó jellemzőinek Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) db fok rad/sec rad/sec 1 2 Az ábrán felrajzolt Bode diagram alapján a soros kompenzátor átviteli függvényének állandóját.15-re kell választani ahhoz, hogy a zárt rendszer fázistartaléka 3 -os legyen. A jelkövetés követelménye viszont nem teljesül. Fázis Irányítástechnika Budapest, 29 57

58 Integráló típusú kompenzátor jellemzőinek Az integráló típusú (I) kompenzátorok jelkövetést biztosítanak. Válasszuk előbb a C (s) =.1 integráló kompenzátort (fázistartalék s 71 ). Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) Súlyfüggvény sec 4 Átmeneti függvény sec 4 db fok φ t Amplitúdó Fázis rad/sec rad/sec Az átmeneti függvény állandósult állapotbeli értéke 1., a beállási ideje 2.4 sec, a túllendülés mértéke pedig 33%-os. Jelentős túllendülés és lassú beállás jellemzi. Irányítástechnika Budapest, 29 58

59 Arányos-integráló típusú kompenzátor Válasszuk az Arányos-integráló (PI) típusú kompenzátort C (s) = s alakban. A felnyitott hurok fázistartaléka 34. jellemzőinek 2 1 Súlyfüggvény db 5 Amplitúdó Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) sec 25 Átmeneti függvény sec rad/sec 1 2 Fázis -9 φ t fok rad/sec 1 2 Az átmeneti függvény tranziens jellemzői kielégítik a villamos targonca követelményeit. Nincs túllendülés és 1.5 sec idő múlva eléri állandósult állapotbeli értéket. A tranziens időtartama alatt jelentős lengések vannak. Irányítástechnika Budapest, 29 59

60 PI kompenzátor (1.változat) Válasszunk másik PI kompenzátort: C (s) = s fázistartalék 19.. A jellemzőinek 1.5 Súlyfüggvény db 5 Amplitúdó Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) Átmeneti függvény sec sec rad/sec 1 2 Fázis fok φ t rad/sec A beállási idő az előző esethez képest közel kétszeresére nőtt 18.7 sec-ra, viszont a lengések száma és nagysága sokkal kisebb. Irányítástechnika Budapest, 29 6

61 PI kompenzátor (2.változat) jellemzőinek soros kompenzátort. Az s átmeneti függvényben nincs túllendülés, viszont két gond van. Egyrészt a beállási idő rendkívüli mértékben megnőtt (15 sec), másrészt az átmeneti függvény elején több jelentős kedvezőtlen lengés látható. Végül vizsgáljuk a C (s) = Tervezési feladat Az irányítás hatásvázlata Arányos soros kompenzátor választása Integráló típusú kompenzátor Arányos-integráló típusú kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) Súlyfüggvény sec Átmeneti függvény sec Irányítástechnika Budapest, 29 61

62 jellemzőinek Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) jelkövetés PID szabályozással Irányítástechnika Budapest, 29 62

63 Legyezési szög jellemzőinek Az oldalkormány kitérítési szöge és a legyezési szög kapcsolata: Δ ψ +.76Δ ψ Δψ = 4.6δr Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) Irányítástechnika Budapest, 29 63

64 Legyezési szög jellemzőinek Az oldalkormány kitérítési szöge és a legyezési szög közötti kapcsolat Laplace operátoros tartományban: Δψ = 4.6 s s δr Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) ψ r δr ψ + e ψ Tervezzünk gyors lefutású, 3 -os fázistartalékot biztosító jelkövető soros kompenzátort. Irányítástechnika Budapest, 29 64

65 C=1 kompenzátor Válasszuk az C = 1 soros kompenzátort és rajzoljuk fel a felnyitott hurok Bode diagramját, valamint a zárt kör átmeneti függvényét. jellemzőinek 5 Amplitúdó függvény.9.8 Átmeneti függvény Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) db deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Irányítástechnika Budapest, 29 65

66 PI kompenzátor (1.változat) A C = s soros kompenzátor. jellemzőinek 1 Amplitúdó függvény 1.4 Átmeneti függvény db Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 9, beállási idő: 4sec, túllendülés 2%, jelentős lengések. Irányítástechnika Budapest, 29 66

67 PI kompenzátor (2.változat) A C = s soros kompenzátor. jellemzőinek Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) db deg Amplitúdó függvény rad/sec Fázis függvény rad/sec Átmeneti függvény sec Fázistartalék: 27, beállási idő: 1sec, a tranziens elején jelentős lengések, de túllendülés nincs, lassúbb lefutás. Irányítástechnika Budapest, 29 67

68 PID kompenzátor (1.változat) A C = s + s soros kompenzátor. jellemzőinek db Amplitúdó függvény Átmeneti függvény Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 9, beállási idő: 2sec. Kis túllendülés. A D tag gyorsító hatását fogjuk kihasználni. Irányítástechnika Budapest, 29 68

69 PID kompenzátor (2.változat) A C = s + 1s soros kompenzátor. jellemzőinek Legyezési szög Legyezési szög C=1 kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) db deg 1 5 Amplitúdó függvény rad/sec Fázis függvény rad/sec Átmeneti függvény sec Fázistartalék: 9, beállási idő: 2sec. Gyakorlatilag nincs túllendülés és rendkívül gyors beállás jellemzi. Irányítástechnika Budapest, 29 69

70 jellemzőinek Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) P,PI,PID szabályozók Irányítástechnika Budapest, 29 7

71 Bólintási szög jellemzőinek Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) A magassági kormány kitérítési szöge és a bólintási szög közötti kapcsolat: Δθ = 2(s +.3) s(s s ) δe c A magassági kormányszöget egy bevatkozó állítja elő, melynek dinamikája a következő: δe c = 1 τs + 1 δe Irányítástechnika Budapest, 29 71

72 Repülés dinamika jellemzőinek A repülés dinamikája a beavatkozó figyelembe vételével: Δθ = 2(s +.3) s(τs + 1)(s s ) δe Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) θ r δe θ + e θ Tervezzünk gyors lefutású, 3 -os fázistartalékot biztosító soros kompenzátort. Irányítástechnika Budapest, 29 72

73 Arányos kompenzátor Válasszuk az C = 1 soros kompenzátort és rajzoljuk fel a felnyitott hurok Bode diagramját, valamint a zárt kör átmeneti függvényét. jellemzőinek db Amplitúdó függvény rad/sec Fázis függvény Átmeneti függvény Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) deg rad/sec sec Irányítástechnika Budapest, 29 73

74 Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor A C = 7.5 soros kompenzátor. jellemzőinek db Amplitúdó függvény Átmeneti függvény Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 3, beállási idő: 5sec, lengések a tranziens ideje alatt. Kérdés: Más típusú kompenzátor alkalmazásával javítható-e a szabályozás? Irányítástechnika Budapest, 29 74

75 PI kompenzátor (1.változat) A C = s soros kompenzátor. jellemzőinek 1 Amplitúdó függvény 1.4 Átmeneti függvény 1.2 Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) db deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 25, beállási idő: 5sec, túllendülés: 2%, jelentős lengések. Irányítástechnika Budapest, 29 75

76 PI kompenzátor (2.változat) A C = s soros kompenzátor. jellemzőinek 1 Amplitúdó függvény 1.2 Átmeneti függvény 1 db -1.8 Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 3, beállási idő: 1sec, túllendülés: 5%, kisebb lengések. Irányítástechnika Budapest, 29 76

77 PI kompenzátor (3.változat) A C = s soros kompenzátor. jellemzőinek 1 Amplitúdó függvény 1.5 Átmeneti függvény db -1 1 Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 3, beállási idő: 1sec, túllendülés: 5%, jelentős túllendülés. Irányítástechnika Budapest, 29 77

78 PID kompenzátor (1.változat) A C = s + s soros kompenzátor. jellemzőinek 1 Amplitúdó függvény 1.2 Átmeneti függvény Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) db deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 41, beállási idő: 1sec. Kis túllendülés. Irányítástechnika Budapest, 29 78

79 PID kompenzátor (2.változat) A C = s + 1s soros kompenzátor. jellemzőinek 1 Amplitúdó függvény 1.2 Átmeneti függvény db Bólintási szög Repülés dinamika Arányos kompenzátor Fázistartalékot teljesítő arányos kompenzátor PI kompenzátor (1.változat) PI kompenzátor (2.változat) PI kompenzátor (3.változat) PID kompenzátor (1.változat) PID kompenzátor (2.változat) deg rad/sec Fázis függvény rad/sec sec Fázistartalék: 3, beállási idő: 1sec. Gyakorlatilag nincsenek lengések. Irányítástechnika Budapest, 29 79