Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai

Átírás

1 Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai Luspay Tamás, Bauer Péter BME Közlekedésautomatikai Tanszék 212. január 1.

2 1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik. Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a Laplace transzformáció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [1] A függelék). Vegyük a differenciálegyenlet L-transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y(s) és U(s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt: G(s) = Y(s) U(s) = b(s) a(s) = b ms m +...+b 1 s+b a n s n +...+a 1 s+a (1) Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L-transzformáltjainak hányadosa. Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk: m j=1 G(s) = k (s z j) n i=1 (s p i) (2) ahol z j a rendszer zérusai, vagyis a b(s) = egyenlet gyökei, míg p i jelöli a rendszer pólusait, az a(s) = egyenlet gyökeit. A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok általános időállandós alakja a következő: G(s) = C(s) T n s n +T n 1 s n T 1 s+ }{{} 1 T }{{} 1T (3) Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokú nevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése nt. A számláló C(s) eleme háromféle alakú lehet: 1. A ekkor a tag arányos (P) 2. A d s ekkor a tag differenciáló (D) 3. A I s ekkor a tag integráló (I) A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatát szinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Ehhez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényének (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és az exponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel, míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kapcsolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún. Fourier transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [1]. A G(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvencia szerint ábrázoljuk. Nyquist diagram: A Nyquist diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. A frekvenciafüggvény értéke egy adott ω frekvencián egy komplex szám: 1

3 G(iω ) = ReG(iω )+iimg(iω ) Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω =... tartományon a pontokat ábrázolva adódik a Nyquist diagram. A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω frekvenciára vonatkozóan az amplitúdót A(ω ) és fázisszöget ϕ(ω ): A(ω ) = ReG(iω ) 2 + ImG(iω ) 2 ϕ(ω ) = arctan ImG(iω ) ReG(iω ) Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koordinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Re valós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad. (márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög). A továbbiakban az alap tagok (-tól 2 tárolóig) Nyquist és Bode diagramjainak alakját ismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt az ábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb levezetéseket és az állítások igazolását a függelék tartalmazza. Összetett tagok Nyquist diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjuk az eredő Nyquist diagramot. Összetett tagok Bode diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bode diagramot. Ennek igazolását lásd a függelékben! 2. Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata 2.1. TP tárolós arányos tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: G(s) = A G(iω) = A = 2 ω = G(i) = A ω G(i ) = A Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd 1. ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a db-es tengellyel párhuzamos egyenes 2 lg(a) magasságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd 2. ábra). Itt a(ω) = 2lg A(ω) az amplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel [db] mértékegységben adja eredményül. 2

4 .5 TP tag Nyquist diagramja Im Re A 1. ábra. TP alaptag Nyquist diagramja 7.5 TP tag Bode amplitúdó diagramja *log 1 (A) TP tag Bode fázis diagramja ábra. TP alaptag Bode diagramja 2.2. TD tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s) = A d s G(iω) = A d iω = 2iω 3

5 5 4.5 TD tag Nyquist diagramja ω Im ω = Re 3. ábra. TD alaptag Nyquist diagramja 3 TD tag Bode amplitúdó diagramja A d 1 +2 db/ TD tag Bode fázis diagramja ábra. TD alaptag Bode diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = ω G(i ) = i 4

6 Nyquist diagramja egy egyenes -ból i -be (lásd 3. ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a +2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +9 fok (lásd 4. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. 1 ád a tizes alapú logaritmikus skálán a 1 két egymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 ád a távolság 1 k és 1 k+1 közt, de ugyanígy,25 1 k és,25 1 k+1 közt is TI tárolós integráló tag.5.5 TI tag Nyquist diagramja ω Im ω = Re Átviteli függvénye: 5. ábra. TI alaptag Nyquist diagramja Frekvenciafüggvénye: G(s) = A I s G(iω) = A I iω = A Ii ω = 2i ω A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = i ω G(i ) = Nyquist diagramja egy egyenes i -ből -ba (lásd 5. ábra). Bode amplitúdó diagramja egy 2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az A I frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans 9 fok (lásd 6. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. 5

7 1 TI tag Bode amplitúdó diagramja 5 2 db/ 5 A i TI tag Bode fázis diagramja ábra. TI alaptag Bode diagramja.5.5 ω 1TP tag Nyquist diagramja A ω = 1 Im ω s = 1/T Re TP 1 tárolós arányos tag Átviteli függvénye: 7. ábra. 1TP alaptag Nyquist diagramja 6

8 15 1TP tag Bode amplitúdó diagramja *log 1 (A) T 1 2 db/ *T 1 1TP tag Bode fázis diagramja fok/ 7 8 1*T ábra. 1TP alaptag Bode diagramja Frekvenciafüggvénye: G(s) = A Ts+1 A G(iω) = Tiω +1 = A ATωi 1+T 2 ω = 5 2 2iω +1 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = A ω G(i ) = ω s = 1 ( T G i 1 ) = A Ai T 2 = A 2 Ai 2 A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból -ba (lásd 7. ábra). A félkör alak igazolása a függelékben megtalálható. A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismertetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel a valódi frekvencia válaszokat. 1TP tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy 2lg(A) magasságban haladó T vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától 2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és 9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 8. ábra). Ennek igazolását a függelék tartalmazza. Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 45 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 7

9 2.5. 1TD 1 tárolós differenciáló tag 1TD tag Nyquist diagramja ω s = 1 / T Im ω = ω A d /T Re 9. ábra. 1TD alaptag Nyquist diagramja 1 1TD tag Bode amplitúdó diagramja db/ T *T 1 1TD tag Bode fázis diagramja fok/ 2 1 1*T Átviteli függvénye: 1. ábra. 1TD alaptag Bode diagramja 8

10 Frekvenciafüggvénye: G(s) = A ds Ts+1 G(iω) = A diω Tiω +1 = A dtω 2 +A d ωi = 5iω 1+T 2 ω 2 2iω +1 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = ω G(i ) = A d T ω s = 1 ( T G i 1 ) = A d +A d i T 2T = A d 2T + A di 2T A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = +45. A tag Nyquist diagramja egy félkör a felső síknegyedben -ból A d-be (lásd 9. ábra). A félkör T alak igazolása a függelékben megtalálható. Az 1TD tag Bode diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figyelembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd függelék), az 1TD tag felfogható mint egy TD és 1TP alaptagok sorba kapcsolt eredője. Az alaptagok amplitúdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredő görbéket, melyről a következőket mondhatjuk: az amplitúdó görbe egy +2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, mely az T 1 A d pontban metszi (metszené) a db-es tengelyt, majd 1 < ω frekvenciákra egy T 2lg A d erősítésű vízszintes egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 T T A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 T A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 T A d akkor nem jön létre metsződés, ha 1 = 1 T A d akkor a diagram éppen a db-es tengelyre törik. a fázis 9 és között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és 1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s-nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 1. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen +45 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza TI 1 tárolós integráló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s) = A I s(ts+1) A I G(iω) = iω(tiω +1) = A ITω 2 A I ωi T 2 ω 4 +ω 2 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = A I T i ω G(i ) = ω s = 1 ( T G i 1 ) = A IT A I Ti T 2 9 = A IT AI ω i T 2 ω 2 +1 = A IT 2 = A ITi 2 2 3(iω) 2 +iω

11 1 1TI tag Nyquist diagramja 1 ω 2 3 A I T Im ω = Re 11. ábra. 1TI alaptag Nyquist diagramja 5 1TI tag Bode amplitúdó diagramja db/ T 1 4 db/ TI tag Bode fázis diagramja *T fok/ *T ábra. 1TI alaptag Bode diagramja A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 135. A tag Nyquist diagramja ω = -ban az A I T i pontból indul és a pontba fut be. Aszimptotája az A I T-vel jellemzett egyenes (lásd 11. ábra). 1

12 Az 1TI tagot mint TI és 1TP soros kapcsolásának tekintve a Bode diagramok: az amplitúdó görbe egy 2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, majd T 1 db < ω frekvenciákra egy 4 mereségű egyenes. A db-es tengellyel való T metsződés az 1 és A T I frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > A T I akkor -2 db, egyéb esetben -4 db mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. a fázis 9 és 18 között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s-nél nagyobb frekvenciák esetén 18 (lásd 12. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 135 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza TP 2 tárolós arányos tag TP tag Nyquist diagramja ω ξ,5 ω s = 1/T A ω = Im ω s = 1/T ξ<, Re 13. ábra. 2TP alaptag Nyquist diagramja Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s) = A T 2 s 2 +2Tξs+1 G(iω) = A T 2 (iω) 2 +2Tξiω +1 = A(1 T2 ω 2 2Tξωi) (1 T 2 ω 2 ) 2 +4T 2 ξ 2 ω 2 = 5 ξ =,8 G(iω) = 4(iω) 2 +3,2iω +1 5 ξ =,3 G(iω) = 4(iω) 2 +1,2iω A AT 2 ω 2 2ATξωi T 4 ω 4 +(4T 2 ξ 2 2T 2 )ω 2 +1

13 2 2TP tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja 1 2*log 1 (A) p db/ *p 2TP tag (ξ<1) Bode fázis diagramja fok/ 16 1*p TP tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja 1 2*log 1 (A) p 4 db/ TP tag (ξ=1) Bode fázis diagramja 2.1*p fok/ 16 1*p TP tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja 2*log 1 (A) p 1 2 db/ p db/ *p 1 45 fok/ 2TP tag (ξ>1) Bode fázis diagramja *p 2 9 fok/ *p 1 45 fok/ 1*p ábra. 2TP alaptag Bode diagramjai 12

14 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = A ω G(i ) = ω s = 1 ( T G i 1 ) = A A 2Aξi T 4ξ 2 = 2Aξi 4ξ 2 A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán képzetes ϕ(ω s ) = 9. A tag Nyquist diagramja egy torz "félkör" az alsó két síknegyedben A-ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist diagramja) (lásd 13. ábra). Bizonyítható (lásd függelék), hogy az A pontba húzott függőleges egyenest ξ <, 5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor "lóg át" rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalán helyezkedik el. A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja, három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengőrendszer): ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált póluspárja van, ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernek egy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás), ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van ( p 1 < p 2 ). A kéttárolós tagok Bode diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utáni eredő számítással kaphatjuk meg. A pólusok alapján a 2TP aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2lg(A) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes. A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 18 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 14. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 lg(a) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 2 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 4 db mereségű egyenes. A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes1 p 1 és1 p 2 frekvenciák között, és 18 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén(lásd 14. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 13

15 2.8. 2TD 2 tárolós differenciáló tag 2TD tag Nyquist diagramja Im ω = ω φ = A d / 2ξT Re Átviteli függvénye: 15. ábra. 2TD alaptag Nyquist diagramja Frekvenciafüggvénye: G(s) = A d s T 2 s 2 +2Tξs+1 A d iω G(iω) = T 2 (iω) 2 +2Tξiω +1 = A diω(1 T 2 ω 2 2Tξωi) (1 T 2 ω 2 ) 2 = (1 T2 ω 2 )A d iω +2A d Tξω 2 ) +4T 2 ξ 2 ω 2 T 4 ω 4 +(4T 2 ξ 2 2T 2 )ω iω ξ =,8 G(iω) = 4(iω) 2 +3,2iω +1 A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = ω G(i ) = ω s = 1 ( T G i 1 ) = + 2A dξ T T 4ξ 2 = A d 2ξT +i A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s ) = ). A tag Nyquist diagramja egy teljes kör a felső és alsó két síknegyedben -ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist diagramja) (lásd 15. ábra). A teljes kör alak igazolása a függelékben megtalálható. A pólusok alapján az 1TD aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: 14

16 15 2TD tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja db/ p 2 db/ TD tag (ξ<1) Bode fázis diagramja 8 6.1*p fok/ 6 8 1*p TD tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja 5 5 p db/ 2 db/ TD tag (ξ=1) Bode fázis diagramja 8 6.1*p fok/ 6 8 1*p TD tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja 5 p 1 p db/ 2 db/ TD tag (ξ>1) Bode fázis diagramja 8 6.1*p 1 45 fok/ 4.1*p fok/ 6 8 1*p 1 45 fok/ 1*p ábra. 2TD alaptag Bode diagramjai 15

17 Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 frekvenciáig (mely db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan 2 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 T A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 T A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 T A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 9 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig (mely db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan vízszintes egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 2 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az p 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha p 1 < 1 A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 9 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 16. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza TI 2 tárolós integráló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s) = A I s(t 2 s 2 +2Tξs+1) G(iω) = A I T 2 (iω) 3 +2Tξ(iω) 2 +iω = A I( 2Tξω 2 ωi+t 2 ω 3 i) 4T 2 ξ 2 ω 4 +ω 2 2T 2 ω 4 +T 4 ω = 6 = 2TξA I A I ω i+t2 A I ωi 4T 2 ξ 2 ω T 2 ω 2 +T 4 ω 4 G(iω) ξ=,8 = 5 4(iω) 3 +3,2(iω) 2 +iω G(iω) ξ=,6 = 5 4(iω) 3 +2,4(iω) 2 +iω 16

18 1 2TI tag Nyquist diagramja ω 1 ξ<.77 Im 2 ξ.77 2Tξ A I ω = Re 17. ábra. 2TI alaptag Nyquist diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = 2TA I ξ i ω G(i ) = ω s = 1 ( T G i 1 ) = 2TA Iξ +(TA I TA I )i T 4ξ 2 = TA I 2ξ A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s ) = 18 ). A tag Nyquist diagramja az 1TI tag diagramjának torzítása (két síknegyeden halad át) 2TA I ξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd 17. ábra). Bizonyítható (lásd függelék), hogy a 2TA I ξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/ 2 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor "lóg át" rajta balra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el. A pólusok alapján az 1TI aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p > A I, akkor 2 db db, egyéb esetben 6 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 27 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. +i A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. 17

19 6 2TI tag (ξ<1) Bode amplitúdó diagramja db/ p 4 6 db/ TI tag (ξ<1) Bode fázis diagramja *p fok/ *p TI tag (ξ=1) Bode amplitúdó diagramja db/ p 6 db/ TI tag (ξ=1) Bode fázis diagramja *p fok/ *p TI tag (ξ>1) Bode amplitúdó diagramja db/ p 1 4 db/ p 2 6 db/ TI tag (ξ>1) Bode fázis diagramja *p 1 45 fok/ 14.1*p fok/ *p 1 45 fok/ 1*p ábra. 2TI alaptag Bode diagramjai 18

20 Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p 1 és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > A I, akkor - 2 db db db, egyéb esetben -4 vagy -6 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes1 p 1 és1 p 2 frekvenciák között, és 27 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 18. ábra). Látható, hogy ω s = 1/T frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza PD arányos deriváló tag PD tag Nyquist diagramja ω Im ω = Re Átviteli függvénye: 19. ábra. PD alaptag Nyquist diagramja Frekvenciafüggvénye: G(s) = Ts+1 G(iω) = Tiω +1 19

21 6 PD tag Bode amplitúdó diagramja 4 2 T 1 +2dB/ PD tag Bode fázis diagramja 1 5.1*T fok/ 1*T ábra. PD alaptag Bode diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i) = 1 ω G(i ) = 1+i ω s = 1 ( T G i 1 ) = i+1 T A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist diagramja egy egyenes az 1 pontból az 1+i -be (lásd 19. ábra). A Bode diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismertetjük. A diagramokon piros színnel jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg kékkel a valódi frekvencia válaszokat. PD tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy db magasságban haladó T vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45 mereségű egye- nes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és +9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd 2. ábra). 2

22 3. Függelék 3.1. Igazolás: TD alaptag Bode diagramja Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk: a(ω) = 2lg A d iω = 2lgA d ω = 2lgA d +2lgω Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω) = 2lgA d +2lg1+2lgω 2lgA d 2lgω = 2lg1 = 2 vagyis az amplitúdó görbe meresége +2 db. A vágási körfrekvencia: = 2lgA d +2lgω c lgω c = lga d = lga 1 d A fázisfüggvény: ω c = 1 A d ϕ(ω) = arctan ImG(iω) ReG(iω) = arctan ImA diω ReA d iω = arctan A dω minden ω-ra Igazolás: TI alaptag Bode diagramja = arctan = +9 Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhatjuk: a(ω) = 2lg A I ω = 2lgA I 2lgω Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω) = 2lgA I 2lg1 2lgω 2lgA I +2lgω = 2lg1 = 2 vagyis az amplitúdó görbe meresége 2 db. A vágási körfrekvencia: = 2lgA I 2lgω c lgω c = lga I ω c = A I A fázisfüggvény: ϕ(ω) = arctan ImG(iω) ReG(iω) AIi Im ω = arctan Re A Ii ω = arctan A I ω = arctan = 9 minden frekvencián. 21

23 3.3. Igazolás: 1TP alaptag Nyquist diagramja félkör alakú Thálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadik csúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkalmazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = ) és végpont (ω ) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört (teljes kört) fut be. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω = ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges: ] ATω T N G = [ A N N = 1+T 2 ω 2 A = [ A ] T ] ATω T N GA = A G = [ A A N GA G = A2 N A2 N A2 T 2 ω 2 2 N 2 = A2 +A 2 T 2 ω 2 A2 +A 2 T 2 ω 2 N 2 N 2 q.e.d. = A2 N N 2 A2 +A 2 T 2 ω 2 N 2 = = ω 3.4. Igazolás: 1TP alaptag Bode amplitúdó diagramja Az 1TP tag amplitúdó függvénye: a(ω) = 2lg A Tiω +1 = 2lgA 2lg 1+(Tω) 2 ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható, ω << 1 : T a(ω) ω<< 1 = 2lgA T az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω >> 1 : T a(ω) ω>> 1 T = 2lgA 2lgTω az aszimptota egyenlete, ami egy 2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: amiből ω = 1 T adódik. 2lgA = 2lgA 2lgTω 3.5. Igazolás: 1TD alaptag Nyquist diagramja félkör alakú Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges: 22

24 [ A G = d Tω 2 N N = 1+T 2 ω 2 A = [ A d T ] T GA = A G = ] T A d ω N [ A d A dtω 2 T N ] T A dω N GA G = A2 d ω2 N A2 d T2 ω 4 A2 d ω2 = A2 d ω2 N A2 d ω2 +A 2 d T2 ω 4 = N 2 N 2 N 2 N 2 A 2 d ω2 +A 2 d T2 ω 4 A2 d ω2 +A 2 d T2 ω 4 = ω N 2 N 2 q.e.d Igazolás: 2TP alaptag Nyquist diagramjának viszonya az A ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2TP tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" az [A ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = A lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás: A = A AT 2 ω 2 T 4 ω 4 +(4T 2 ξ 2 2T 2 )ω 2 +1 AT 4 ω 4 + ( 4AT 2 ξ 2 2AT 2) ω 2 +A = A AT 2 ω 2 a ω 2 > AT 4 a 2 + ( 4AT 2 ξ 2 AT 2) a = AT 4 a = AT 2 4AT 2 ξ 2 a = 1 T 2 4 T 2ξ2 Könnyen belátható, hogy (4)-nek akkor létezik a > megoldása, ha ξ <, 5. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" az A pontba húzott függőlegesen Igazolás: 2TI alaptag Nyquist diagramjának viszonya a 2A I Tξ ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2TI tag Nyquist diagramja akkor "lóg át" a [ 2A I Tξ ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = 2A I Tξ lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás (hasonlóan a 2TP taghoz): (4) 2A I Tξ = 2A I Tξ T 4 ω 4 +(4T 2 ξ 2 2T 2 )ω 2 +1 T 4 ω 4 + ( 4T 2 ξ 2 2T 2) ω 2 = a ω 2 > T 4 a 2 = 2T 2 a 4T 2 ξ 2 a a = 2 T 4 2 T 2ξ2 (5) Könnyen belátható, hogy (5)-nak akkor létezik a > megoldása, ha ξ < 1/ 2. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist diagram "átlógni" a 2A I Tξ pontba húzott függőlegesen. 23

25 3.8. Igazolás: 2TD alaptag Nyquist diagramja kör alakú Az igazolás elve azonos az 1TP tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω s = 1/T sarokkörfrekvenciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges: G = [ 2Tξω 2 A d N ] T (1 T 2 ω 2 )A d ω N N = T 4 ω 4 + ( 4T 2 ξ 2 2T 2) ω 2 +1 [ ] T A = Ad 2ξT [ GA = A G = A d 2Tξω2 A d 2ξT N ] T (1 T2 ω 2 )A d ω N GA G = 2ξTA2 d ω2 2ξTN 4T2 ξ 2 ω 4 A 2 d (1 T2 ω 2 ) 2 A 2 d ω2 = N 2 N 2 A 2 d ω2 (T 4 ω 4 +4T 2 ξ 2 ω 2 2T 2 ω 2 +1) A2 d ω2 (T 4 ω 4 +4T 2 ξ 2 ω 2 2T 2 ω 2 +1) = N 2 N 2 q.e.d Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja A PD tag amplitúdó függvénye: a(ω) = 2lg Tiω +1 = 2lg 1+(Tω) 2 ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható, ω << 1 : T a(ω) ω<< 1 = 2lg1 = db T az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω >> 1 : T a(ω) ω>> 1 = 2lgTω T az aszimptota egyenlete, ami egy +2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: amiből ω = 1 T adódik. 2lg1 = 2lgTω 3.1. Igazolás: Összetett tag Bode diagramja szorzat alakból a szorzatban szereplő alaptagok Bode diagramjainak összegeként kapható meg Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét: G(iω ) = G 1 G 2...G n G j C j = 1...n G j = r j e iϕ j G(iω ) = r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2...r n e iϕn = r 1 r 2...r n e iϕ 1 e iϕ 2...e iϕn = re iϕ (6) 24

26 Az eredő amplitúdó így r = r 1 r 2...r n az eredő fázis pedig ϕ = ϕ 1 + ϕ ϕ n. A fázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk az eredő szöget. Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definícióját: a(ω ) = 2lg G(iω ) = 2lg r 1 r 2...r n e iϕ = 2lg(r 1 r 2...r n ) = = 2lgr 1 +2lgr lgr n = a 1 (ω )+a 2 (ω )+...+a n (ω ) (7) Hivatkozások [1] Bokor József, Gáspár Péter: Irányítástechnika járműdinamikai alkalmazásokkal, TypoTeX kiadó, Budapest,