Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz

Átírás

1 Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz 1. feladattípus a megadott adatok alapján lineáris keresleti, vagy kínálati függvény meghatározása 1.1. feladat példa keresleti függvény meghatározására Egy termékről a következő információk állnak rendelkezésünkre: Amennyiben a termék ára 120, a vevők 80 egységet vásárolnak belőle. 240 forintos egységár mellett a kereslet csak 40 egység. a.) Írjuk fel a termék keresleti függvényét, feltételezve, hogy az lineáris! Megoldási útmutató: Jelöljük a két pontot A-val és B-vel. A két pont koordinátái. Két ponton átmenő egyenes egyenletének felhasználásával a keresleti függvény meghatározható. Tegyük fel, hogy a két pont koordinátái általánosan felírva,. A két ponton átmenő egyenes egyenlete ( ). A feladatban a két változó a P (ár) és a Q (mennyiség). Behelyettesítve a feladat szövegében megadott értékeket a következő összefüggést kapjuk: Levezetve b.) Ábrázoljuk a függvényt, és jelöljük be a megadott pontokat! Megoldási útmutató: A függvény ábrázolásához meg kell határoznunk a keresleti függvény inverz alakját, azaz P-re át kell rendeznünk a fenti összefüggést.

2 Az ábra: c.) Határozzuk meg a rezervációs árat! Megoldási útmutató: A rezervációs ár az a legmagasabb ár, amelyet a fogyasztók képesek és hajlandóak kifizetni az adott jószágért. A rezervációs ár leolvasható az inverz keresleti függvényből, annak konstans tagja. A rezervációs ár leolvasható az ábráról is, a függőleges tengelymetszet. Esetünkben ez 360. Amennyiben a feladat egy kínálati függvény meghatározása a megadott adatok alapján, az eljárás ugyanaz, mint a fenti feladat esetében.

3 2. feladattípus egyéni keresleti/kínálati függvényekből piaci keresleti/kínálati függvény meghatározása, a piaci állapot elemzése 2.1. feladat példa egyéni keresleti függvényekből piaci keresleti függvény levezetésére Egy termék piacán 3 fogyasztó van jelen, jelöljük őket a következőképpen: A, B, C. Az egyéni keresleti függvényük a jószág iránt a következő összefüggésekkel írható le: a.) Ábrázoljuk az egyéni keresleti görbéket! Megoldási útmutató: Az egyéni keresleti görbék ábrázolásához először meg kell határoznunk a keresleti függvények inverz alakját, hiszen modellünkben olyan koordinátarendszerben dolgozunk, amelynek vízszintes tengelye a mennyiséget (Q), függőleges tengelye az árat (P) reprezentálja. A fogyasztó esetében a függőleges tengelymetszet 240, meredeksége -2, vízszintes tengelymetszet 120. B fogyasztó esetében a függőleges tengelymetszet 60, meredeksége -3, vízszintes tengelymetszet 20. C fogyasztó esetében a függőleges tengelymetszet 50, meredeksége -1, a vízszintes tengelymetszet 50. A vázlatos ábra:

4 b.) Határozzuk meg a piaci keresleti görbét! A megoldás során készítsünk ábrát, jelöljük a főbb pontokat! Megoldási útmutató: A piaci keresleti görbét horizontális összegzéssel tudjuk meghatározni. Azaz ártartományokra fogjuk elvégezni az összegzést. Párhuzamosan haladva a piaci keresleti függvény felírásával és az ábra elkészítésével, első lépésben vetítsük át a függőleges tengelymetszeteket az egyéni keresleti görbéket ábrázoló koordináta-rendszerekből a piaci keresleti görbét ábrázoló koordináta-rendszerbe. Vagy az ábráról, vagy pedig a keresleti görbék egyenletéből leolvashatóak az ártartományok, amelyek ki fogják adni a piaci keresleti függvény szakaszait. Ebben a feladatban a rezervációs árak 240, 60, illetve 50. Amennyiben a piaci ár 240 felett van, egyik fogyasztó sem támaszt keresletet az adott jószág iránt, azaz ekkor a piaci kereslet 0. Amennyiben az ár 60 és 240 között van, A fogyasztó keresleti függvényének e két érték közötti szakasza képezi a piaci keresleti függvényt, hiszen csupán ez a fogyasztó képes és hajlandó ekkora összeget fizetni a jószágért. Így a piaci keresleti függvény ezen szakaszon. 60 és 50 ár között már A és B fogyasztó is keresletet támaszt a vizsgált jószág iránt. Ekkor a piaci keresleti függvény ezen szakasza A és B fogyasztók keresleti függvényeinek összege:. 50 ár alatt mindhárom fogyasztó belép a piacra, ekkor a piaci keresleti függvény ezen szakasza A, B, C fogyasztók keresleti függvényeinek összege lesz, azaz Tehát a piaci keresleti függvény Fontos! A piaci keresleti függvény változója P, azaz az ár. NEM az inverz alakot szükséges meghatározni! A piaci keresleti függvény vázlatos ábrája: { P 190 Q

5 c.) Melyik az az ártartomány, ahol nem lehet eladni a piacon? Megoldási útmutató: Abban az ártartományban nem lehet eladni a piacon, amely magasabb, mint a legmagasabb rezervációs ár, amely az egyéni fogyasztóknál megfigyelhető. Esetünkben ha. d.) Mekkora az az ártartomány, ahol a legmagasabb a keresett mennyiség mértéke a vizsgált jószágból? Megoldási útmutató: A piaci kereslet abban az ártartományban a legmagasabb, ahol mindhárom fogyasztó keresletet támaszt a jószág iránt a piacon. Esetünkben ez e.) Mekkora a kereslet ár mellett? Megoldási útmutató: ár mellett a keresleti függvény szakaszát kell figyelembe vennünk. Ekkor 2.2. feladat egyéni keresleti függvényekből piaci keresleti függvény levezetése Egy jószág piacán 1000 fogyasztó van jelen. A fogyasztók keresleti függvényeire vonatkozó összefüggés megegyezik mindenkinél, azaz egy reprezentatív fogyasztó keresleti függvénye a.) Ábrázoljuk a reprezentatív fogyasztó keresleti görbéjét a megszokott koordinátarendszerben! Megoldási útmutató: Meg kell határoznunk a keresleti függvény inverz alakját, azaz lesz az ábrázolható alak a szokásos koordinátarendszerben, ahol vízszintes tengelyen ábrázoljuk a mennyiséget, azaz Q-t és függőleges tengelyen P-t, azaz az árat.

6 b.) Határozzuk meg a piaci keresleti függvényt, majd ábrázoljuk is azt! Megoldási útmutató: A piaci keresleti függvény meghatározásánál, tekintve, hogy minden fogyasztó keresleti összefüggése megegyezik, viszonylag egyszerű dolgunk van. Csupán kettő ártartomány vizsgálata szükséges, hiszen minden fogyasztó rezervációs ára ugyanannyi, 100. A piaci keresleti függvény a következő: { Ábrázoljuk a piaci keresleti függvényt! Ehhez az inverz alakot szükséges először meghatároznunk.. A piaci keresleti görbe vázlatos képe: Amennyiben a feladat egy piaci kínálati függvény meghatározása a megadott adatok alapján, az eljárás ugyanaz, mint a fenti feladat esetében.

7 2.3. feladat egyéni kínálati függvényekből piaci kínálati függvény levezetése Egy piacon két termelő van jelen, akiknek inverz kínálati függvényei a következőek: Határozzuk meg és ábrázoljuk a piaci kínálati függvényt! Megoldási útmutató: Az egyéni kínálatokra vonatkozó összefüggések olyan alakban vannak megadva, amely ábrázolásra alkalmas a szokásos koordináta-rendszerben (vízszintes tengelyen ábrázoljuk a mennyiséget, függőleges tengelyen az árat). P P I. II. P Piaci kínálati görbe Q Q Q Tekintettel arra, hogy az egyéni kínálati függvények inverz alakban voltak megadva, meg kell határoznunk a kínálati függvényeket ahhoz, hogy el tudjuk végezni az összegzést. I. II. Amikor a piaci ár 20 alatt van, egyik termelő sincs jelen a piacon, ekkor a piaci kínálat 0. A 20 ár alatti tartományban egyik termelőnek sem éri meg piacra vinni termékét. A 20 és 100 ár között csupán a II-es termelő jelenik meg a piacon, így a piaci kínálati függvény ezen szakasza a II-es termelő ezen szakaszra vetített kínálati függvényével egyezik meg. Amennyiben az ár 100 felett van, mindkét termelő belép a piacra. Ekkor a piaci kínálati függvény a két egyéni kínálati függvény összege lesz. Tehát {

8 3. feladattípus Piaci állapot modellezése 3.1. feladat megadott keresleti és kínálati függvényekből piaci egyensúlyi állapot meghatározása, fogyasztói többlet, illetve termelői többlet számítása, mennyiségi adó hatásának vizsgálata, holtteher-veszteség számítás az adó bevezetésének következtében Egy piacon a kínálati viszonyokat reprezentáló összefüggés a következő: keresleti függvény pedig., a a.) Határozzuk meg a piacon kialakuló egyensúlyi árat és egyensúlyi mennyiséget! Megoldási útmutató: Ott alakul ki a piacon az egyensúly, ahol a keresleti és a kínálati függvények metszik egymást, azaz Ezt az árat visszahelyettesítve vagy a keresleti, vagy a kínálati függvénybe, megkapjuk az egyensúlyi mennyiséget a piacon: b.) Mekkora termelői többletet realizálnak a termelők és mekkora fogyasztói többletet a fogyasztók? Megoldási útmutató: Először célszerű ábrát készíteni. Ahhoz, hogy a szokásos koordináta-rendszerben (azaz vízszintes tengelyen a mennyiséget, függőleges tengelyen az árat jelölve) ábrázolni lehessen a fenti függvényeket, szükséges azok inverzét meghatározni, azaz átrendezni azokat a következőképpen: Az ábra vázlatos képe:

9 A fogyasztói többlet a fogyasztói rezervációs ár és a piaci ár különbségeként keletkező többlet (nem várt megtakarítás) a fogyasztónál. Képletesen a rezerváció ár, az egyensúlyi ár és a keresleti és kínálati görbe metszéspontja által körülhatárolt síkidom területe. Az ábrán kékkel jelölt háromszög. A háromszög területszámítási képletét alkalmazva A termelői többlet a termelői minimum ár és a piaci ár különbségeként keletkező többlet (nem várt plusz bevétel a termelőnél). Képletesen a fenti ábrán sárgával jelölt síkidom területe. A háromszög területszámítási képletét alkalmazva c.) Tegyük fel, hogy az állam 20 egységnyi mennyiségi adót vet ki a piacra, amit a termelőknek szükséges fizetniük. Határozzuk meg az adó bevezetésének következtében kialakult árat és mennyiséget a piacon! Megoldási útmutató: A termelők fizetik a mennyiségi adót, így a kínálati összefüggés módosul: a kínálati görbe el fog tolódni az adó mértékével balra/felfelé, azaz Ez annak a következménye, hogy a bruttó ár nem más, mint a nettó ár és a mennyiségi adó összege, azaz. Ekkor a piacon kialakuló ár, valamint az ár. d.) Mennyivel változott a fogyasztói többlet és a termelői többlet mértéke? Mekkora az adóbevétel és mekkora holtteher-veszteség keletkezett? Megoldási útmutató: Az adóbevezetés után megmaradt fogyasztói többlet az ábrán narancssárgával jelölt terület, a termelői többlet pedig bordó színnel van prezentálva. Ábra: S

10 Az adóbevétel az adómennyiség és a piacon gazdát cserélt termékek számának szorzata, azaz a bruttó ár és a nettó ár különbségének és a piaci mennyiség szorzata. Az ábrán ez egy zöld színű téglalappal prezentált terület, amelynek (ebben a feladatban) hosszabb oldala 35 egység hosszú (ennyi termék cserél gazdát a piacon az adó bevezetése után), a rövidebb oldal 65-45=20 hosszú (ez éppen az adó mértéke). Az adóbevétel tehát A holtteher-veszteség az az össz-társadalmi veszteség, amely abból adódik, hogy adóbevezetés formájában az állam beavatkozott a piacra, ennek következtében kevesebb termék cserélt gazdát. Az ábrán citromsárga színnel prezentált háromszög területe a holtteher-veszteség. Ha le szeretnénk ellenőrizni számításainkat, célszerű az eredeti fogyasztói többlet és az eredeti termelői többlet értékét összeadni (ez most 1012,5+1012,5=2025). Ha ez megegyezik az adóbevezetés utáni fogyasztói többlet, termelői többlet, adóbevétel és holtteher-veszteség összegével (esetünkben ez 612,5+612, =2025), akkor feltételezhetően a számításaink helyesek. e.) Hogyan módosul a piaci ár és a piacon eladott mennyiség abban az esetben, ha az adót a fogyasztóknak szükséges fizetni? Megoldási útmutató: Ebben az esetben a nettó áron cserélnek gazdát a termékek a piacon és a fogyasztók fogják a termékek után befizetni az adót. Képletesen ez azt jelenti, hogy most a keresleti görbe tolódik el az ábrán az adó mértékével (ennek algebrai levezetését részletesen megtettük a foglalkozáson). Tehát az inverz keresleti görbe áttranszformálása lesz az áttranszformált inverz keresleti görbe egyenlete. Ekkor a piaci ár és mennyiség Látható, hogy a piacon gazdát cserélt termékmennyiség megegyezik azzal az esettel, amikor a termelők fizették az adót. A piaci ár most az adó nélküli ár, a gazdát cserélt

11 termékek után a fogyasztók utólag fizetik most be az adót. Tekintsük meg ezt az állapotot a következő ábrán! D feladat ármaximálás hatása a piaci egyensúlyra Egy termék piacán a keresleti viszonyok a inverz keresleti, a kínálati viszonyok a inverz kínálati görbékkel jellemezhetőek. a.) Határozzuk meg a piacon kialakuló egyensúlyi árat és mennyiséget! Megoldási útmutató: Ekkor a két görbe metszéspontjában alakul ki az egyensúlyi mennyiség és egyensúlyi ár, azaz b.) Tegyük fel, hogy az állam a fenti adatokkal jellemzett piacon maximum árat szab meg, P=20. Határozzuk meg ebben az esetben kialakuló piaci mennyiséget! Megoldási útmutató: P=20 ár mellett a kínálat a kereslet. Ebben az esetben a piacon gazdát cserélt mennyiség Q=10. c.) Határozzuk meg, hogy az ármaximálás következtében mennyivel módosult a fogyasztói többlet, illetve a termelői többlet értéke, valamint számítsuk ki a holtteherveszteséget is! Megoldási útmutató: Először számítsuk ki az állami intézkedés előtti fogyasztói többletet és termelői többletet! Segítségképpen készítsünk ábrát! FT TT

12 Most tekintsük az ármaximálás utáni állapotot! Az ármaximálás utáni állapot látható az ábrán. A gazdát cserélt termékek száma 10. Hiába 30 a keresett mennyiség a termékből 20-as ár mellett a piacon, a termelők csak 10 mennyiségi egységet hajlandóak piacra vinni. Ekkor a fogyasztói többlet az ábrán narancssárgával jelölt síkidom területe. A feladatban a kérdés a fogyasztói többlet értékének módosulása, így a válasz= 400- ról 500-ra nőtt, azaz 100-zal nőtt a fogyasztói többlet az ármaximálás hatására. A termelői többlet a kékkel jelölt síkidom területe. Az eredeti termelői többlet 400, így =300-zal csökkent a termelői többlet az intézkedés hatására A holtteher-veszteség a zöld háromszög területe.