Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai"

Átírás

1 C Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai C.1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik módja az átviteli függvények segítségével történik. Az átviteli függvényeket a rendszer differenciálegyenletéből kiindulva a L -transzformáció alkalmazásával vezethetjük be (lásd [3] A függelék). Vegyük a differenciálegyenlet L -transzformáltját zérus kezdeti értékekkel, majd rendezzük a benne szereplő Y(s) és U(s) tagok szerint, ahonnan kapjuk a G(s) racionális törtfüggvényt: G(s)= Y(s) U(s) = b(s) a(s) = b ms m +...+b 1 s+b a n s n a 1 s+a. (C.1) Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L -transzformáltjainak hányadosa. Az átviteli függvényt ún. pólus-zérus alakban is felírhatjuk: G(s)=k m j=1 (s z j) n i=1 (s p i), (C.2) ahol z j jelöli a rendszer zérusait, vagyis a b(s)= egyenlet gyökeit, míg p i jelöli a rendszer pólusait, vagyis az a(s) = egyenlet gyökeit. A G(s) leírásának egy további lehetséges módja az időállandós alak. Alaptagok általános időállandós alakja a következő: G(s)= C(s) n s n + n 1 s n 1. (C.3) s+ }{{} 1 }{{} 1

2 46 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Itt a nevező polinom fokszáma adja meg, hogy hány tárolós a tag. Így egy n-edfokú nevező polinom n tárolós tagot jelent, rövid jelölése n. A számláló C(s) eleme háromféle alakú lehet: 1. A ekkor a tag arányos (P), 2. A d s ekkor a tag differenciáló (D), 3. A I s ekkor a tag integráló (I). A lineáris dinamikus időinvariáns rendszerek frekvenciatartományban való vizsgálatát szinuszos lefutású bemenőjelekre adott válaszfüggvényeik segítségével végezhetjük el. Ehhez bevezetjük a frekvenciafüggvény fogalmát. Egy rendszer frekvencia-válaszfüggvényének (vagy egyszerűbben frekvenciafüggvényének) a rendszer egység amplitúdójú szinuszos bemenőjelre állandósult állapotban adott válaszfüggvényét nevezzük. A frekvenciafüggvényt a differenciálegyenletből a jelek exponenciális alakjának és az exponenciális függvény differenciálási szabályának felhasználásával egyszerű átrendezéssel, míg az átviteli függvényből formálisan az s = iω helyettesítéssel kapjuk. Ez utóbbi kapcsolat mutatja azt is, hogy a frekvenciafüggvényeket a differenciálegyenletekből az ún. Fourier-transzformációval, zérus kezdeti feltételekkel közvetlenül is megkaphatjuk [3]. A G(iω) függvényeket a rendszer frekvenciafüggvényének nevezzük, és az ω körfrekvencia szerint ábrázoljuk. Nyquist-diagram: A Nyquist-diagramon való ábrázolás kétféle módon is felfogható. A frekvenciafüggvény értéke egy adott ω frekvencián egy komplex szám: G(iω )=ReG(iω )+iimg(iω ). (C.4) Ez a szám komplex számsíkon ábrázolható és így ω =... tartományon a pontokat ábrázolva adódik a Nyquist-diagram. A másik szemlélethez definiálni kell egy adott ω frekvenciára vonatkozóan az amplitúdót A(ω ) és fázisszöget ϕ(ω ): A(ω )= ReG(iω ) 2 + ImG(iω ) 2, ϕ(ω )=arctg ImG(iω ) ReG(iω ). (C.5) (C.6)

3 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 47 Így az amplitúdó, mint a fázisszöggel irányított szakasz ábrázolható derékszögű koordinátarendszerben. Ez a koordinátarendszer lehet a komplex számsík is, ahol ha a Re valós tengellyel bezárt szög a fázisszög akkor a kétféle szemlélet azonos ábrázolást ad (márpedig definíció szerint a fázisszög a Re tengellyel bezárt szög). A továbbiakban az alaptagok (-tól 2 tárolóig) Nyquist- és Bode-diagramjainak alakját ismertetjük a jellegzetes pontok meghatározását is leírva (és a frekvenciafüggvényt az ábrázoláshoz használt paraméterekkel is megadva). Az ezekhez kapcsolódó hosszabb levezetéseket és az állítások igazolását a C.3 fejezet tartalmazza. Összetett tagok Nyquist-diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok összegére. Az így kiadódott alaptagok Nyquist-diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó vektorokat összegezve) kapjuk az eredő Nyquist-diagramot. Összetett tagok Bode-diagramját a következő módon ábrázoljuk: A frekvenciafüggvényt felbontjuk alaptagok szorzatára. Az így kiadódott alaptagok Bode-diagramjait pontonként összeadva (az azonos ω frekvenciához tartozó pontokat összegezve) kapjuk az eredő Bode-diagramot. Ennek igazolását lásd a C.3 pontban. C.2. Alaptagok frekvenciatartományi vizsgálata P tárolós arányos tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)=A. G(iω)=A=2. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=A, ω G(i )=A. Nyquist diagramja egyetlen pont (lásd C.1 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a db-es tengellyel párhuzamos egyenes 2 lg(a) magasságban. Bode fázis diagramja konstans nulla (lásd C.2 ábra). Itt a(ω) = 2 lg A(ω) az amplitúdó felhasznált definíciója, mely az amplitúdót decibel (db) mértékegységben adja eredményül.

4 48 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5 P tag Nyquist-diagramja Im.1 A Re C.1. ábra. P alaptag Nyquist-diagramja D tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: G(s)=A d s. Frekvenciafüggvénye: G(iω)=A d iω = 2iω. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )=i.

5 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 49 8 P tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) lga P tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( ) rad s C.2. ábra. P alaptag Bode-diagramja Nyquist-diagramja egy egyenes -ból i -be (lásd C.3 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy a +2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans +9 (lásd C.4 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza. 1 ád a tizes alapú logaritmikus skálán a 1 két egymást követő hatványa közti távolságot jellemzi. Például 1 ád a távolság 1 k és 1 k+1 közt, de ugyanígy.25 1 k és.25 1 k+1 között is. I tárolós integráló tag Átviteli függvénye: G(s)= A I s.

6 41 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag Nyquist-diagramja ω Im ω = Re C.3. ábra. D alaptag Nyquist-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω)= A I iω = A Ii ω = 2i ω. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= i, ω G(i )=. Nyquist-diagramja egy egyenes i -ből -ba (lásd C.5 ábra). Bode amplitúdó diagramja egy 2 db mereségű egyenes, mely a db-es tengelyt az A I frekvencián metszi. Bode fázis diagramja konstans 9 (lásd C.6 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza.

7 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 1 A d +2 db D tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( 1 1 ) rad s C.4. ábra. D alaptag Bode-diagramja 1P 1 tárolós arányos tag Átviteli függvénye: G(s)= A s+1. Frekvenciafüggvénye: G(iω) = A iω+ 1 = A Aiω 1+ 2 ω 2 = 5 2iω+ 1.

8 412 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5.5 I tag Nyquist-diagramja ω Im ω = Re C.5. ábra. I alaptag Nyquist-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=Aq,, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A Ai = A 2 2 Ai 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist-diagramja egy félkör az alsó síknegyedben A-ból -ba (lásd C.7 ábra). A félkör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható.

9 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai I tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 2 db A I I tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( 1 1 ) rad s C.6. ábra. I alaptag Bode-diagramja A Bode-diagram esetében a továbbiakban az aszimptotikus szerkesztés módszerét ismertetjük. A diagramokon szaggatott vonallal jelöljük az aszimptotikus közelítést, míg folytonossal a valódi frekvencia válaszokat. 1P tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy 2 lg A magasságban haladó vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától 2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és 9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.8 ábra). Ennek igazolását a C.3 alfejezet tartalmazza. Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal meg

10 414 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai.5 1P tag Nyquist-diagramja ω ω = A.5 1 Im ω s = Re C.7. ábra. 1P alaptag Nyquist-diagramja egyezően éppen 45 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 1D 1 tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: G(s)= A ds s+1. Frekvenciafüggvénye: G(iω)= A diω iω+ 1 = A d ω 2 + A d iω 1+ 2 ω 2 = 5iω 2iω+ 1.

11 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai P tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) lg A 2 db P tag Bode fázis diagramja Frekvencia ( ) rad s 1 45 C.8. ábra. 1P alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )= A d, ω s = 1 ( G i 1 ) = A d+ A d i = A d A di 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = +45. A tag Nyquist-diagramja egy félkör a felső síknegyedben -ból A d -be (lásd C.9 ábra). A félkör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható.

12 416 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 1D tag Nyquist-diagramja 1.5 ω s = 1 1 Im.5 ω = A d ω Re C.9. ábra. 1D alaptag Nyquist-diagramja Az 1D tag Bode-diagramját legkönnyebben szerkesztéssel határozhatjuk meg. Figyelembe véve az összetett tagok ábrázolására vonatkozó tételt (lásd C.3 alfejezet), az 1D tag felfogható egy D és egy 1P alaptag sorba kapcsolt eredőjeként. Az alaptagok amplitúdó és fázis görbéit megrajzolva, majd minden frekvencián összegezve kapjuk az eredő görbéket, melyről a következőket mondhatjuk: az amplitúdó görbe egy +2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, mely az 1 A d pontban metszi (metszené) a db-es tengelyt, majd 1 < ω frekvenciákra egy 2 lg A d erősítésű vízszintes egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 A d akkor

13 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 +2 db 1 2 lg A d D tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( ) rad s C.1. ábra. 1D alaptag Bode-diagramja nem jön létre metsződés, ha 1 = 1 A d akkor a diagram éppen a db-es tengelyre törik. a fázis 9 és között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és 1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.1 ábra). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen+45 értéket vesz fel, melyet az aszimp- totikus ábrázolás is pontosan ad vissza.

14 418 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 1 1I tag Nyquist-diagramja 1 ω 2 3 A I 4 Im ω = Re C.11. ábra. 1I alaptag Nyquist-diagramja 1I 1 tárolós integráló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(iω) = G(s)= A I s( s+1). A I iω( iω+ 1) = A I ω 2 A i ωi 2 ω 4 + ω 2 = A I A I ω i 2 ω = 2 3(iω) 2 + iω.

15 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai I tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) 5 2 db db I tag Bode fázis diagramja Frekvencia ( ) rad s C.12. ábra. 1I alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= A I i, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A I A I i = A I 2 2 A Ii 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 135. A tag Nyquist-diagramja ω = -ban az A I i pontból indul és a pontba fut be. Aszimptotája az A I -vel jellemzett egyenes (lásd C.11 ábra). Az 1I tagot mint I és 1P tagok soros kapcsolásának tekintve a Bodediagramok:

16 42 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai az amplitúdó görbe egy 2 db mereségű egyenes ω < 1 frekvenciákon, majd 1 db < ω frekvenciákra egy 4 mereségű egye- nes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > A I akkor 2 db db, egyéb esetben 4 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. a fázis 9 és 18 között változik,.1ω s -nél kisebb frekvenciák esetén 9,.1ω s és 1ω s frekvenciatartományon 45 mereségű egyenes, 1ω s -nél nagyobb frekvenciák esetén 18 (lásd C.12 ábra). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 135 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2P 2 tárolós arányos tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)= A 2 s ξ s+1. G(iω) = = A 2 (iω) ξ iω+ 1 = A(1 2 ω 2 2 ξ iω) (1 2 ω 2 ) ξ 2 ω 2 A A 2 ω 2 2Aξ iω 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, ξ =.8 G(iω)= ξ =.3 G(iω)= 5 4(iω) 2 + 3,2iω+ 1, 5 4(iω) 2 + 1,2iω+ 1.

17 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 421 2P tag Nyquist-diagramja ω A ω = 2 ξ.5 ω s = 1 Im 4 6 ξ <.5 8 ω s = Re C.13. ábra. 2P alaptag Nyquist-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=A, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = A A 2Aξ i 4ξ 2 = 2Aξ i 4ξ 2. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán képzetes ϕ(ω s )= 9. A tag Nyquist-diagramja egy torz félkör az alsó két síknegyedben A-ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist-diagramja) (lásd C.13 ábra). Bizonyítható (lásd C.3 alfejezet), hogy az A pontba húzott függőleges egyenest ξ <.5 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor lóg át

18 422 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) lg A.1 p 2P tag (ξ < 1) Bode amplitudó diagramja p 4 db P tag (ξ < 1) tag Bode fázis diagramja Fázis( ) p Frekvencia ( ) rad s C.14. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja rajta jobbra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak bal oldalán helyezkedik el. A kéttárolós tagok esetében a rendszer viselkedését a ξ csillapítási tényező befolyásolja, három esetet különböztetünk meg (tipikus kéttárolós tag az egytömegű csillapított lengőrendszer): ξ < 1 a rendszer gyengén csillapított, ekkor a rendszernek komplex konjugált póluspárja van, ξ = 1 esetén a rendszer aperiodikus-periodikus határhelyzetben van, a rendszernek egy darab kétszeres multiplicitású valós pólusa van (kritikus csillapítás), ξ > 1 esetén a rendszer túlcsillapított, két eltérő valós pólusa van ( p 1 < p 2 ).

19 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 423 Amplitudó (db) Fázis( ) lg A 2P tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja.1 p p 2P tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja 9 4 db p Frekvencia ( ) rad s C.15. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja A kéttárolós tagok Bode-diagramjait szorzatra bontással és az alaptagok ábrázolása utáni eredő számítással kaphatjuk meg. A pólusok alapján a 2P aszimptotikus Bode-diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy kétszeres multiplicitású valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 lg(a) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes. A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 18 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.14, C.15, C.16 ábrák). Látható, hogy

20 424 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) Fázis( ) lg A.1 p P tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 1 2P tag(ξ > 1) Bode fázis diagramja.1 p 2 9 p 2 1 p 1 4 db p Frekvencia ( ) rad s C.16. ábra. 2P alaptag Bode-diagramja ω s = 1/ frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok-) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 lg(a) erősítésű vízszintes egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 2 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 4 db mereségű egyenes.

21 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 425 A fázisfüggvény és 18 között forgat: a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 18 1 p 2 - nél nagyobb frekvenciák esetén(lásd C.14, C.15, C.16 ábrák). Látható, hogy ω s = 1/ frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen 9 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2D 2 tárolós differenciáló tag Átviteli függvénye: Frekvenciafüggvénye: G(s)= A d s 2 s ξ s+1. A d iω G(iω) = 2 (iω) ξ iω+ 1 = A diω(1 2 ω 2 2 ξ iω (1 2 ω 2 ) ξ 2 ω ( ω 2) A d iω+ 2A d ξ ω 2 ) = 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, ξ =.8 G(iω) = 5iω 4(iω) 2 + 3,2iω+ 1. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=, ω G(i )=, ω s = 1 G ( i 1 ) = + 2A dξ 4ξ 2 = A d 2ξ + i.

22 426 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 2D tag Nyquist-diagramja Im.2.2 ω = ω φ = A d 2ξ Re C.17. ábra. 2D alaptag Nyquist-diagramja A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s )=). A tag Nyquist-diagramja egy teljes kör a felső és alsó két síknegyedben -ból -ba (ahány tárolós a tag, annyi síknegyeden halad át a Nyquist-diagramja) (lásd C.17 ábra). A teljes kör alak igazolása a C.3 alfejezetben megtalálható. A pólusok alapján a 2D aszimptotikus Bode-diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 frekvenciáig (mely db-es tengelyt

23 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai D tag(ξ < 1) Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) Fázis( ) 2 +2 db p 2 db D tag(ξ < 1) Bode fázis diagramja.1 p 9 1 p Frekvencia ( ) rad s C.18. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan 2 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés az 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha 1 < 1 A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 9 1 p -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.18, C.19, C.2 ábrák). Látható, hogy

24 428 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 2 2D tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 2 +2 db p 2 db D tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) 5.1 p p Frekvencia ( ) rad s C.19. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Határeset a ξ = csillapítatlan rendszer ahol az ω s = p sajátlengési (vagy sarok) frekvencián végtelen nagy amplitúdó és ezért végtelen nagy kiemelés alakul ki. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram +2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig (mely db-es tengelyt az 1 A d frekvencián metszi), majd onnan vízszintes egyenes a p 2 frek

25 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 429 Amplitudó (db) Fázis( ) db.1 p 1 2D tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 45 p 1 2D tag(ξ > 1) tag Bode fázis diagramja.1 p 2 p p db p Frekvencia ( ) rad s C.2. ábra. 2D alaptag Bode-diagramja venciáig. p 2 frekvenciától pedig 2 db mereségű egye- nes. A db-es tengellyel való metsződés az p 1 és 1 A d frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > 1 A d akkor létrejön a metsződés, ha p 1 < 1 A d akkor nem jön létre metsződés. A fázisfüggvény 9 és 9 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egyenes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egye-

26 43 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai nes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 9 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.18, C.19, C.2 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquistdiagrammal megegyezően éppen értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. 2I 2 tárolós integráló tag 1 2I tag Nyquist-diagramja ω 1 ξ <.77 Im 2 ξ.77 2ξ A I ω = Re C.21. ábra. 2I alaptag Nyquist-diagramja

27 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 431 Amplitudó (db) I tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 6 db I tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) p 9 1 p Frekvencia ( ) rad s C.22. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja Átviteli függvénye: G(s)= A I s( 2 s ξ s+1)

28 432 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amplitudó (db) I tag(ξ = 1) Bode amplitudó diagramja 2 db p 6 db I tag(ξ = 1) Bode fázis diagramja Fázis( ) p 9 1 p Frekvencia ( ) rad s C.23. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω) = = G(iω) ξ=.8 = G(iω) ξ=.6 = A I 2 (iω) ξ(iω) 2 + iω = A I( 2 ξ ω 2 iω+ 2 iω 3 ) 4 2 ξ 2 ω 4 + ω ω ω 6 2 ξ A I A I ω i+ 2 A i ωi 4 2 ξ 2 ω ω ω 4, 5 4(iω) (iω) 2 + iω, 5 4(iω) (iω) 2 + iω.

29 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 433 Amplitudó (db) Fázis( ) db.1 p 1 2I tag(ξ > 1) Bode amplitudó diagramja 45 2I tag(ξ > 1) Bode fázis diagramja.1 p 2 4 db p 1 9 p 2 6 db p 2 1 p Frekvencia ( ) rad s C.24. ábra. 2I alaptag Bode-diagramja A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)= 2A I ξ i, ω G(i )=, ω s = 1 ( G i 1 ) = 2A Iξ + i(a I A I ) 4ξ 2 = A I + i 2ξ A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt a frekvenciafüggvény értéke tisztán valós (ϕ(ω s )= 18 ). A tag Nyquist-diagramja az 1I tag diagramjának torzítása (két síknegyeden halad át) 2A I ξ értékkel jellemzett aszimptotával (lásd C.21 ábra). Bizonyítható (lásd C.3 alfejezet), hogy a 2A I ξ pontba húzott függőleges egyenest ξ < 1/ 2 csillapítás esetén fogja a diagram kétszer metszeni (ekkor lóg át rajta balra) egyébként minden pontja az egyenesen, vagy annak jobb oldalán helyezkedik el.

30 434 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai A pólusok alapján az 1I aszimptotikus Bode diagramokról a következőket mondhatjuk: Komplex konjugált póluspár vagy egy darab kétszeres multiplicitású pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 = p 2 = p frekvenciáig, majd onnan 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p >A I, akkor 2 db, egyéb esetben 6 db mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 9 mereségű egyenes.1 p és 1 p frekvenciák között és 27 1 p -nél na- gyobb frekvenciák esetén (lásd C.22, C.23, C.24 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázisdiagram a Nyquist diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. A valós Bode amplitúdó diagramon a p frekvencián kiemelés található gyengén csillapított esetben. Két valós pólus esetén az amplitúdó diagram 2 db mereségű egyenes az p 1 frekvenciáig, majd onnan 4 db mereségű egyenes a p 2 frekvenciáig. p 2 frekvenciától pedig 6 db mereségű egyenes. A db-es tengellyel való metsződés a p 1 és A I frekvenciák viszonyától függ. Ha p 1 > A I, akkor 2 db db db, egyéb esetben 4 vagy 6 mereséggel metszi a görbe a db-es tengelyt. A fázisfüggvény 9 és 27 között forgat: 9 a.1 p 1 frekvenciánál kisebb frekvenciákra, 45 mereségű egye-

31 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 435 nes.1 p 1 és.1 p 2 frekvenciák között, 9 mereségű egyenes.1 p 2 és 1 p 1 frekvenciák között, 45 mereségű egyenes 1 p 1 és 1 p 2 frekvenciák között, és 27 1 p 2 -nél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.22, C.23, C.24 ábrák). Látható, hogy ω s = 1 frekvencián a Bode fázis diagram a Nyquist-diagrammal megegyezően éppen 18 értéket vesz fel, melyet az aszimptotikus ábrázolás is pontosan ad vissza. PD arányos deriváló tag 5 PD tag Nyquist diagramja ω 4 3 Im 2 1 ω = Re C.25. ábra. PD alaptag Nyqusit-diagramja Átviteli függvénye: G(s)= s+1.

32 436 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 6 PD tag Bode amplitudó diagramja Amplitudó (db) 4 +2 db PD tag Bode fázis diagramja Fázis( ) Frekvencia ( ) rad s C.26. ábra. PD alaptag Bode-diagramja Frekvenciafüggvénye: G(iω)= iω+ 1. A frekvenciafüggvény jellegzetes pontjai: ω = G(i)=1, ω G(i )=1+i, ω s = 1 ( G i 1 ) = i+1. A fenti kifejezésben ω s az úgynevezett sarokkörfrekvencia, itt ϕ(ω s ) = 45. A tag Nyquist-diagramja egy egyenes az 1 pontból az 1+i -be (lásd C.25 ábra).

33 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 437 A PD tag Bode amplitúdó diagramja ω s = 1 frekvenciáig egy db magasságban haladó vízszintes egyenes, majd a sarokkörfrekvenciától +2 db mereségű egyenes. Fázisdiagramja a sarokkörfrekvencia tizedénél kisebb frekvenciákra, +45 mereségű egyenes.1ω s és 1ω s frekvenciák között és+9 a sarokkörfrekvencia tízszeresénél nagyobb frekvenciák esetén (lásd C.26 ábra). Az alak igazolása a C.3 alfejezetben található. C.3. Bizonyítások Igazolás: Összetett tag Bode-diagramja szorzat alakból a szorzatban szereplő alaptagok Bode-diagramjainak összegeként kapható meg Vegyük egy összetett tag alaptagok szorzataként felírt frekvenciafüggvényét: G(iω )=G 1 G 2...G n, G j C j = 1...n, (C.7) (C.8) G j = r j e iϕ j, (C.9) G(iω )=r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2...r n e iϕ n = r 1 r 2...r n e iϕ 1 e iϕ 2...e iϕ n = re iϕ. (C.1) Az eredő amplitúdó így r= r 1 r 2...r n az eredő fázis pedig ϕ = ϕ 1 + ϕ ϕ n. A fázisszögről így azonnal látható, hogy az alaptagok fázisszögeit összegezve megkapjuk az eredő szöget. Vizsgáljuk most a Bode amplitúdó diagram értékét felhasználva az amplitúdó definícióját: a(ω )=2 lg G(iω ) =2 lg r 1 r 2...r n e iϕ = (C.11) = 2 lg(r 1 r 2...r n )=2 lgr lgr lgr n = (C.12) = a 1 (ω )+a 2 (ω )+...+ a n (ω ). (C.13) ehát az alaptagok amplitúdóinak összegét kaptuk. Igazolás: D alaptag Bode diagramja Az ideális differenciáló tag erősítését a következő módon írhatjuk: a(ω)= 2 lg A d iω =2 lg(a d ω)=2 lg A d + 2 lgω.

34 438 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω)=2 lga d + 2 lg1+2 lgω 2 lga d 2 lgω = = 2 lg1=2. vagyis az amplitúdó görbe meresége +2 db. A vágási körfrekvencia: =2 lga d + 2 lgω c, lgω c = lga d = lga 1 d, ω c = 1 A d. A fázisfüggvény: ϕ(ω)=arctg ImG(iω) ReG(iω) = arctg ImA diω ReA d iω = arctg A dω = arctg =+9. minden ω-ra. Igazolás: I alaptag Bode diagramja Az ideális integráló tag erősítését (hasonlóan a differenciálóhoz) a következő módon írhatjuk: A I a(ω)= 2 lg ω = 2 lg A I ω = 2 lga I 2 lgω. Amennyiben a körfrekvencia egy ádnyit változik akkor az erősítés változása: a(1 ω) a(ω)=2 lga I 2 lg1 2 lgω 2 lga I + 2 lgω = 2 lg1= 2. vagyis az amplitúdó görbe meresége 2 db. A vágási körfrekvencia: =2 lga I 2 lgω c, lgω c = lga I, ω c = A I

35 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 439 A fázisfüggvény: A I i ϕ(ω)=arctg ImG(iω) Im ReG(iω) = arctg ω Re A Ii ω A I = arctg ω = arctg = 9 minden frekvencián. Igazolás: 1P alaptag Nyquist diagramja félkör alakú hálesz tétele értelmében egy kör átmérője fölé rajzolt háromszögek, melyek harmadik csúcsa a körön helyezkedik el mindig derékszögűek. Mi ezt a tételt fordítva fogjuk alkalmazni és belátjuk, hogy adott Nyquist diagram esetén a futó pont (ω) és a kezdő- (ω = ) és végpont (ω ) által alkotott háromszögek derékszögűek, így a futó pont félkört (teljes kört) fut be. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω = ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges. Ez akkor áll fenn, ha skalár szorzatuk nulla. [ ] A Aω G=, N N N = 1+ 2 ω 2, A= [ A ], [ GA=A G= A A N ] Aω, N GA G= A2 N A2 A2 2 ω 2 N 2 N 2 = A2 N N 2 A2 + A 2 2 ω 2 N 2 = = A2 + A 2 2 ω 2 N 2 A2 + A 2 2 ω 2 N 2 = ω, q.e.d.

36 44 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Igazolás: 1P alaptag Bode amplitúdó diagramja Az 1P tag amplitúdó függvénye: A a(ω)= 2 lg iω+ 1 = 2 lga 2 lg 1+( ω) 2, ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható: ω 1, 1+( ω)2 1: a(ω) ω 1 = 2 lg A, az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω 1, 1+( ω)2 ( ω) 2 : a(ω) ω 1 = 2 lg A 2 lg( ω), az aszimptota egyenlete, ami egy 2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: 2 lg A=2 lga 2 lg( ω), amiből ω s = 1 adódik. Igazolás: 1D alaptag Nyquist diagramja félkör alakú Az igazolás elve azonos az 1P tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω ponthoz tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges:

37 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai 441 [ Ad ω G= 2 N, A ] dω, N N = 1+ 2 ω 2, ] Ad A=[,, Ad GA=A G=[ A ] d ω 2 N, A dω, N N A2 d 2 ω 4 N 2 A2 d ω2 N 2 = A2 d ω2 N N 2 A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 = = A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 A2 d ω2 + A 2 d 2 ω 4 N 2 = ω, q.e.d. GA G= A2 d ω2 Igazolás: 2P alaptag Nyquist diagramjának viszonya az A ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2P tag Nyquist diagramja akkor lóg át az [A ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = A lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás: A= A A 2 ω 2 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, A 4 ω 4 + ( 4A 2 ξ 2 2A 2) ω 2 + A=A A 2 ω 2 A 4 a 2 + ( 4A 2 ξ 2 A 2) a=, A 4 a=a 2 4A 2 ξ 2, a= ξ 2. (C.14) a ω 2 >, (C.15) (C.16) (C.17) (C.18) Könnyen belátható, hogy (C.14)-nek akkor létezik a > megoldása, ha ξ <,5. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist-diagram átlógni az A pontba húzott függőlegesen.

38 442 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai Igazolás: 2I alaptag Nyquist diagramjának viszonya a 2A I ξ ponttal jellemzett függőleges egyeneshez ξ függvényében A 2I tag Nyquist diagramja akkor lóg át a [ 2A I ξ ] pontba állított függőleges egyenesen, ha ReG(iω) = 2A I ξ lehetséges ω esetén is. Az erre vonatkozó számítás (hasonlóan a 2P taghoz): 2A I ξ = 2A I ξ 4 ω 4 +(4 2 ξ )ω 2 + 1, (C.19) 4 ω 4 + ( 4 2 ξ 2 2 2) ω 2 = a ω 2 >, (C.2) 4 a 2 = 2 2 a 4 2 ξ 2 a, a= ξ 2. (C.21) (C.22) Könnyen belátható, hogy (C.19)-nak akkor létezik a > megoldása, ha ξ < 1/ 2. Ezzel igazoltuk, hogy ekkor fog a Nyquist-diagram átlógni a 2A I ξ pontba húzott függőlegesen. Igazolás: 2D alaptag Nyquist diagramja kör alakú Az igazolás elve azonos az 1P tagra vonatkozóéval. Jelölje a futó pont valós és képzetes részből képzett vektorát a komplex számsíkon G. A pedig az ω s = 1/ sarokkörfrekvenciához tartozó vektort. Azt szükséges belátni, hogy a G vektor a GA különbségi vektorra mindig merőleges:

39 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai ξ ω G=[ 2 ( A d 1 2 ω 2) ] A d ω,, N N N = 4 ω 4 + ( 4 2 ξ 2 2 2) ω 2 + 1, [ ] Ad A= 2ξ,, GA=A G= GA G= 2ξ A2 d ω2 2ξ N [ Ad 2ξ 2 ξ ω2 A d, N 4 2 ξ 2 ω 4 A 2 d N 2 = A2 d ω2( 4 ω ξ 2 ω ω ) ( 1 2 ω 2) ] A d ω, N ( 1 2 ω 2) 2 A 2 d ω 2 N 2 = N 2 A2 d ω2( 4 ω ξ 2 ω ω ) q.e.d. N 2 =, Igazolás: PD alaptag Bode amplitúdó diagramja A PD tag amplitúdó függvénye: a(ω)= 2 lg iω+ 1 =2 lg 1+(ω) 2, ami alacsony frekvenciák esetén, azaz amikor a gyök alatti kifejezésben a frekvencia függés elhanyagolható, ω 1, 1+(ω)2 1 : a(ω) ω 1 = 2 lg1=db, az aszimptota egyenlete. Magas frekvenciák esetén, mikor is a gyök alatti kifejezésben az 1 elhanyagolható, ω 1, 1+( ω)2 ( ω) 2 : a(ω) ω 1 = 2 lg( ω), az aszimptota egyenlete, ami egy+2 db mereségű egyenes. A két aszimptota metszéspontját meghatározó egyenlet: 2 lg 1=2 lg( ω),

40 444 C. Alaptagok Nyquist- és Bode-diagramjai amiből ω = 1 adódik.

Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai

Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai Alaptagok Nyquist és Bode diagramjai Luspay Tamás, Bauer Péter BME Közlekedésautomatikai Tanszék 212. január 1. 1. Bevezetés - Átviteli függvény, frekvenciafüggvény Dinamikus rendszerek leírásának egyik

Részletesebben

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Rendszer és irányításelmélet Rendszerek idő és frekvencia tartományi vizsgálata Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az előadás felépítése

Részletesebben

Irányítástechnika II. előadásvázlat

Irányítástechnika II. előadásvázlat Irányítástechnika II. előadásvázlat Dr. Bokor József egyetemi tanár, az MTA rendes tagja BME Közlekedés- és Járműirányítási Tanszék 2018 1 Tartalom Irányítástechnika II. féléves tárgytematika Az irányításelmélet

Részletesebben

L-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}.

L-transzformáltja: G(s) = L{g(t)}. Tartalom 1. Stabilitáselmélet stabilitás feltételei inverz inga egyszerűsített modellje 2. Zárt, visszacsatolt rendszerek stabilitása Nyquist stabilitási kritérium Bode stabilitási kritérium 2018 1 Stabilitáselmélet

Részletesebben

Tartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák

Tartalom. Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák Tartalom Soros kompenzátor tervezése 1. Tervezési célok 2. Tervezés felnyitott hurokban 3. Elemzés zárt hurokban 4. Demonstrációs példák 215 1 Tervezési célok Szabályozó tervezés célja Stabilitás biztosítása

Részletesebben

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox

Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Számítógépes gyakorlat MATLAB, Control System Toolbox Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges

Részletesebben

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján

Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER. Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika GÁSPÁR PÉTER Prof. BOKOR JÓZSEF útmutatásai alapján Irányítástechnika jellemzőinek Rendszerek stabilitása és minőségi jellemzői. Soros kompenzátor. Irányítástechnika Budapest, 29 2 Az

Részletesebben

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN

Dr. Gyurcsek István. Példafeladatok. Helygörbék Bode-diagramok HELYGÖRBÉK, BODE-DIAGRAMOK DR. GYURCSEK ISTVÁN Dr. Gyurcsek István Példafeladatok Helygörbék Bode-diagramok 1 2016.11.11.. Helygörbe szerkesztése VIZSGÁLAT: Mi a következménye annak, ha az áramkör valamelyik jellemző paramétere változik? Helygörbe

Részletesebben

RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT

RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT RENDSZERTECHNIKA 8. GYAKORLAT ÜTEMTERV VÁLTOZÁS Gyakorlat Hét Dátum Témakör Házi feladat Egyéb 1 1. hét 02.09 Ismétlés, bevezetés Differenciálegyenletek mérnöki 2 2. hét 02.16 szemmel 1. Hf kiadás 3 3.

Részletesebben

Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)

Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 5. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/

Részletesebben

Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból

Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból Segédlet a gyakorlati tananyaghoz GEVAU141B, GEVAU188B c. tantárgyakból 1 Átviteli tényező számítása: Lineáris rendszer: Pl1.: Egy villanymotor 100V-os bemenő jelre 1000 fordulat/perc kimenő jelet ad.

Részletesebben

Történeti Áttekintés

Történeti Áttekintés Történeti Áttekintés Történeti Áttekintés Értesülés, Információ Érzékelő Ítéletalkotó Értesülés, Információ Anyag, Energia BE Jelformáló Módosító Termelőeszköz Folyamat Rendelkezés Beavatkozás Anyag,

Részletesebben

Tartalom. Robusztus stabilitás Additív hibastruktúra Multiplikatív hibastruktúra

Tartalom. Robusztus stabilitás Additív hibastruktúra Multiplikatív hibastruktúra Tartalom Robusztus stabilitás Additív hibastruktúra Multiplikatív hibastruktúra 2015 1 Robusztus stabilitás Szabályozási rendszer tervezésének gyakorlati problémája az, hogy az aktuális rendszer G(s) átviteli

Részletesebben

Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás

Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Kar Irányítástechnika II. Nem hivatalos vizsga beugró kérdéssor kidolgozás Jelen gyűjtő munkát készítette Fölföldi Konrád,

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonosság

Függvények határértéke és folytonosság Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,

Részletesebben

17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram.

17/1. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. 7/. Négypólusok átviteli függvényének ábrázolása. Nyquist diagram. A szinuszos áramú hálózatok vizsgálatánál gyakran alkalmazunk különbözı komplex átviteli függvényeket. Végezzük ezt a hálózat valamilyen

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1. Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y

Részletesebben

Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi

Bevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,

Részletesebben

Számítógépes gyakorlat Irányítási rendszerek szintézise

Számítógépes gyakorlat Irányítási rendszerek szintézise Számítógépes gyakorlat Irányítási rendszerek szintézise Bevezetés A gyakorlatok célja az irányítási rendszerek korszerű számítógépes vizsgálati és tervezési módszereinek bemutatása, az alkalmazáshoz szükséges

Részletesebben

Rendszervizsgálat frekvencia tartományban

Rendszervizsgálat frekvencia tartományban DR. GYURCSEK ISTVÁN Rendszervizsgálat frekvencia tartományban Bode-diagramok Forrás és irodalom: http://lpsa.swarthmore.edu/bode/bode.html 1 2016.11.11.. Miről lesz szó? Bode-diagram alapfüggvények Elsőfokú

Részletesebben

milyen mennyiségeket jelölnek a Bode diagram tengelyei? csoportosítsa a determinisztikus jeleket!

milyen mennyiségeket jelölnek a Bode diagram tengelyei? csoportosítsa a determinisztikus jeleket! A 2011-es ZH kérdései emlékezetből, majd közösen kidolgozva. Lehet benne rossz, de elég sokan szerkesztettük egyszerre, szóval feltehetően a nagyja helyes. milyen mennyiségeket jelölnek a Bode diagram

Részletesebben

SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2.

SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2. Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SZABÁLYOZÁSI KÖRÖK 2. 2010/11/1. félév Dr. Aradi Petra Zárt szabályozási körrel szemben támasztott követelmények tulajdonság időtartományban frekvenciatartományban pontosság

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval

Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Négypólusok tárgyalása Laplace transzformációval Segédlet az Elektrotechnika II. c. tantárgyhoz Összeállította: Dr. Kurutz Károly egyetemi tanár Szászi István egyetemi tanársegéd . Laplace transzformáció

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Függvények Megoldások

Függvények Megoldások Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény

Részletesebben

Szabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1

Szabályozás Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1 Szabályozás 2008.03.29. Irányítástechnika PE MIK MI BSc 1 Nyílt hatásláncú rendszerek Az irányító rendszer nem ellenőrzi a beavatkozás eredményét vezérlő rendszerek ahol w(s) bemenő változó / előírt érték

Részletesebben

Az egységugrás függvény a 0 időpillanatot követően 10 nagyságú jelet ad, valamint K=2. Vizsgáljuk meg a kimenetet:

Az egységugrás függvény a 0 időpillanatot követően 10 nagyságú jelet ad, valamint K=2. Vizsgáljuk meg a kimenetet: II Gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjük az egyszerű szabályozási kör stabilitásának vizsgálati módszerét, valamint a PID szabályzó beállításának egy lehetséges módját. Tekintsük az alábbi háromtárolós

Részletesebben

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Lineáris rendszerek stabilitása

Lineáris rendszerek stabilitása Lineáris rendszerek stabilitása A gyakrlat célja A dlgzatban a lineáris rendszerek stabilitásának fgalmát vezetjük be majd megvizsgáljuk a stabilitás vizsgálati módszereket. Elméleti bevezető Egy LTI rendszer

Részletesebben

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás

Tartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Irányítástechnika 2. előadás

Irányítástechnika 2. előadás Irányítástechnika 2. előadás Dr. Kovács Levente 2013. 03. 19. 2013.03.19. Tartalom Tipikus vizsgálójelek és azok információtartalma Laplace transzformáció, állapotegyenlet, átviteli függvény Alaptagok

Részletesebben

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések

2. REZGÉSEK Harmonikus rezgések: 2.2. Csillapított rezgések . REZGÉSEK.1. Harmonikus rezgések: Harmonikus erő: F = D x D m ẍ= D x (ezt a mechanikai rendszert lineáris harmonikus oszcillátornak nevezik) (Oszcillátor körfrekvenciája) ẍ x= Másodrendű konstansegyütthatós

Részletesebben

Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SOROS KOMPENZÁCIÓ. 2010/11/1. félév. Dr. Aradi Petra

Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SOROS KOMPENZÁCIÓ. 2010/11/1. félév. Dr. Aradi Petra Irányítástechnika (BMEGERIA35I) SOROS KOMPENZÁCIÓ 010/11/1. félév Dr. Aradi Petra Soros kompenzáció Hogyan válasszunk szabályozót? xz xa xr YR Y R YZ YSZSZ xs T H s Y R =? 010.11.1. ASZ 1 1 s 1 s e Y SZ

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Digitális jelfeldolgozás

Digitális jelfeldolgozás Digitális jelfeldolgozás Átviteli függvények Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatikai Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék magyar.attila@virt.uni-pannon.hu 2011. október 13. Digitális

Részletesebben

10. Koordinátageometria

10. Koordinátageometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember

Részletesebben

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN. 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 DINAMIKAI VIZSGÁLAT OPERÁTOROS TARTOMÁNYBAN 2003.10.30. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1 Differenciálegyenlet megoldása u(t) diff. egyenlet v(t) a n d n v m dt a dv n

Részletesebben

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

A derivált alkalmazásai

A derivált alkalmazásai A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Hurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak:

Hurokegyenlet alakja, ha az áram irányával megegyező feszültségeséseket tekintjük pozitívnak: Első gyakorlat A gyakorlat célja, hogy megismerkedjünk Matlab-SIMULINK szoftverrel és annak segítségével sajátítsuk el az Automatika c. tantárgy gyakorlati tananyagát. Ezen a gyakorlaton ismertetésre kerül

Részletesebben

3.3. A feszültség-munkadiagram

3.3. A feszültség-munkadiagram 3.3. A feszültség-munkadiagram Eddig csak olyan eseteket vizsgáltunk, amelyeknél az áramkörre ideális feszültségforrást kapcsoltunk (kapocsfeszültsége a terhelés hatására nem változik), és a kör eredő

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások ) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Jelek és rendszerek - 4.előadás

Jelek és rendszerek - 4.előadás Jelek és rendszerek - 4.előadás Rendszervizsgálat a komplex frekvenciatartományban Mérnök informatika BSc (lev.) Pécsi Tudományegyetem, Pollack Mihály Műszaki Kar Műszaki Informatika és Villamos Intézet

Részletesebben

Frekvenciatartomány Irányítástechnika PE MI BSc 1

Frekvenciatartomány Irányítástechnika PE MI BSc 1 Frekvenciatartomány ny 008.03.4. Irányítátechnika PE MI BSc Frekvenciatartomány bevezetéének indoka: általában időtartománybeli válaz kell alkalmazott teztelek i ezt indokolák információ rendzerek eetében

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A 23-as szám című misztikus filmben

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK

Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész

Részletesebben

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK. Váltakozóáramú hálózatok

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK. Váltakozóáramú hálózatok ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK Váltakozóáramú hálózatok Háromfázisú hálózatok Miért használunk többfázisú hálózatot? Mutassa meg a háromfázisú rendszer fontosabb jellemzőit és előnyeit az egyfázisú rendszerrel szemben!

Részletesebben

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2 1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon

Részletesebben

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak Halmazok Halmazok egyenlősége Részhalmaz, valódi részhalmaz Üres halmaz Véges és végtelen halmaz Halmazműveletek (unió, metszet,

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

10. Differenciálszámítás

10. Differenciálszámítás 0. Differenciálszámítás 0. Vázolja a következő függvények, és határozza meg az értelmezési tartomány azon pontjait, ahol nem differenciálhatóak: a, f() = - b, f()= sin c, f() = sin d, f () = + e, f() =

Részletesebben

Fourier transzformáció

Fourier transzformáció a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Fourier transzformáció Fourier transzformáció, heurisztika Tekintsük egy 2L szerint periodikus függvény Fourier sorát: f (x) = a 0 2 + ( ( nπ ) ( nπ )) a n cos

Részletesebben

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180

Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Tétel: A háromszög belső szögeinek összege: 180 Bizonyítás: legyenek az ABC háromszög belső szögei α, β, γ. Húzzunk a C csúcson át párhuzamost AB-vel. A C csúcsnál keletkezett egyenesszöget a háromszög

Részletesebben

Ferde kúp ellipszis metszete

Ferde kúp ellipszis metszete Ferde kúp ellipszis metszete A ferde kúp az első képsíkon lévő vezérkörével és az M csúcsponttal van megadva. Ha a kúpból ellipszist szeretnénk metszeni, akkor a metsző síknak minden alkotót végesben kell

Részletesebben

Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához

Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához Ideiglenes példatár az Intelligens rendszerek I. kurzus 1. zárthelyi dolgozatához Gerzson Miklós 2015. december 8. 2 Tartalomjegyzék Bevezetés 5 1. Kötelező kérdések 7 1.1. Kötelező kérdések a Kalman-féle

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1)

Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) Gépészeti rendszertechnika (NGB_KV002_1) 6. Óra Kőrös Péter Közúti és Vasúti Járművek Tanszék Tanszéki mérnök (IS201 vagy a tanszéken) E-mail: korosp@ga.sze.hu Web: http://www.sze.hu/~korosp http://www.sze.hu/~korosp/gepeszeti_rendszertechnika/

Részletesebben

Villamos gépek tantárgy tételei

Villamos gépek tantárgy tételei 10. tétel Milyen mérési feladatokat kell elvégeznie a kördiagram megszerkesztéséhez? Rajzolja meg a kördiagram felhasználásával a teljes nyomatéki függvényt! Az aszinkron gép egyszerűsített kördiagramja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!

Részletesebben

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú

Részletesebben

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek

1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek 1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza

Részletesebben

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1

Méréstechnika. Rezgésmérés. Készítette: Ángyán Béla. Iszak Gábor. Seidl Áron. Veszprém. [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 Méréstechnika Rezgésmérés Készítette: Ángyán Béla Iszak Gábor Seidl Áron Veszprém 2014 [Ide írhatja a szöveget] oldal 1 A rezgésekkel kapcsolatos alapfogalmak A rezgés a Magyar Értelmező Szótár megfogalmazása

Részletesebben

Kalkulus. Komplex számok

Kalkulus. Komplex számok Komplex számok Komplex számsík A komplex számok a valós számok természetes kiterjesztése, annak érdekében, hogy a gyökvonás művelete elvégezhető legyen a negatív számok körében is. Vegyük tehát hozzá az

Részletesebben

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF -

Márkus Zsolt Tulajdonságok, jelleggörbék, stb BMF - Márkus Zsolt markus.zsolt@qos.hu Tulajdonságok, jelleggörbék, stb. 1 A hatáslánc részegységekből épül fel, melyek megvalósítják a jelátvitelt. A jelátviteli sajátosságok jellemzésére (leírására) létrehozott

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög. 1 Összeadás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor az összegük a + b (7 + (-2); 3 + 4) = (5; 7) Kivonás: Legyen a (7; 3) és b (- 2; 4), akkor a különbségük a b (7 - (-2); 3-4)=(9; - 1) Valós számmal való

Részletesebben

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS

ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS ÉRZÉKELŐK ÉS BEAVATKOZÓK II. 5. DC MOTOROK SZABÁLYOZÁS FORDULATSZÁM- SZABÁLYOZÁS Dr. Soumelidis Alexandros 2019.03.13. BME KÖZLEKEDÉSMÉRNÖKI ÉS JÁRMŰMÉRNÖKI KAR 32708-2/2017/INTFIN SZÁMÚ EMMI ÁLTAL TÁMOGATOTT

Részletesebben

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek

Exponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek Eponenciális és logaritmusos kifejezések, egyenletek. Hatványozási azonosságok. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! a) 8 b) 4 c) d) 7 e) f) 9 0, g) 0, 9 h) 6 0, 7,, i) 8 j) 6 k) 4 l) 49,.

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2) 2. előadás Komplex számok (2) 1. A a + bi (a, b) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés lehetővé teszi, hogy a komplex számokat a sík pontjaival, illetve helyvektoraival ábrázoljuk. A derékszögű koordináta

Részletesebben

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata (Mérési jegyzőkönyv) Hagymási Imre 2007. május 7. (hétfő délelőtti csoport) 1. Bevezetés Ebben a mérésben a szilárdtestek rugalmas tulajdonságait vizsgáljuk

Részletesebben

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja

Folytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)

Részletesebben

Diagnosztika Rezgéstani alapok. A szinusz függvény. 3π 2

Diagnosztika Rezgéstani alapok. A szinusz függvény. 3π 2 Rezgéstani alapok Diagnosztika 03 --- 1 A szinusz függvény π 3,14 3π 4,71 π 1,57 π 6,8 periódus : π 6,8 A szinusz függvény periódusának változása Diagnosztika 03 --- π sin t sin t π π sin 3t sin t π 3

Részletesebben

Inverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4.

Inverz Laplace-transzformáció. Vajda István március 4. Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Definíció: Ha az f (t) függvény laplace-transzformáltja F (s), akkor f (t)-t az F (s) függvény inverz Laplace-transzformáltjának nevezzük. Definíció: Ha

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Határozatlan integrál (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Határozatlan integrál () First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Az összetett függvények integrálására szolgáló egyik módszer a helyettesítéssel való integrálás. Az idevonatkozó tétel pontos

Részletesebben

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága

Részletesebben