Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk

Átírás

1 Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok 3. Irányíthatósági és diagonális alakok előállítása hasonlósági transzformációval 4. Demonstrációs példa

2 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Egyszerűsített felfüggesztési modell Dinamikus diff. egyenlet mÿ = u cy kẏ ÿ = k mẏ c m y + 1 m u m = 1kg a kocsi tömege, k = 4 Ns m a csillapítási tényező, c = 3 N m a rugóállandó. Behelyettesítve: ÿ = 4ẏ 3y + u

3 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér választás: 1. módszer (fázisváltós alak) x 1 = y x 2 = ẏ Állapotegyenletek: ẋ 1 = ẏ = x 2 ẋ 2 = ÿ = 4ẏ 3y + u = 4x 2 3x 1 + u y = x 1 Állapottér reprezentáció: ẋ1 = 0 1 x u ẋ x 2 1 [ ] y = 1 0 x 1 x

4 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: 1. módszer

5 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér választás: 2. módszer x 1 = 3y x 2 = 4ẏ Állapotegyenletek: Állapottér reprezentáció: ẋ1 = x u ẋ x 2 4 [ ] y = x 1 x 2 ẋ 1 = 3ẏ = 3 4 x 2 ẋ 2 = 4ÿ = 16ẏ 12y + 4u = 4x 2 4x 1 + 4u y = 1 3 x

6 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: 2. módszer

7 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapotegyenletek: 3. módszer ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 3x 1 4x 2 + u ẋ 3 = x x 2 + 5x 3 + u y = x 1 Állapottér reprezentáció: ẋ 1 ẋ 2 ẋ = y = [ ] x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x u

8 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: 3. módszer

9 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Következtetések: A bemenőjelek és kimenőjel közötti kapcsolat többféle alakban felírható. Az állapottér reprezentáció függ az állapotváltozók megválasztásától (számától). Az állapottér reprezentációk nem egyértelműek

10 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Negyedjármű modell Dinamikus diff.egyenlet: m 1 ÿ + k (ẏ ż) + c 1 (y z) = 0 m 2 z + k (ẏ ż) + c 1 (y z) = c 2 (u z) Adatok: m 1 = 200kg, m 2 = 40kg, k = 500 Ns m, c 1 = 9000 N m, c 2 = N m

11 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Dinamikus egyenletek: ÿ = k m 1 ẏ c 1 m 1 y + k m 1 ż + c 1 m 1 z z = k m 2 ż + c 1 m 2 z c 2 m 2 z k m 2 ẏ c 1 m 2 y + c 2 m 2 u Behelyettesítve: ÿ = 2.5ẏ 45y + 2.5ż + 45z z = 12.5ż 275z 12.5ẏ 225y + 500u

12 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér választás: x 1 = y x 2 = ẏ x 3 = z x 4 = ż

13 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapotegyenletek: ẋ 1 = ẏ ẋ 2 = ÿ = 2.5ẏ 45y + 2.5ż + 45z ẋ 3 = ż ẋ 4 = z = 12.5ż 275z 12.5ẏ 225y + 500u

14 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = 2.5x 2 45x x x 3 ẋ 3 = x 4 ẋ 4 = 12.5x 4 275x x 2 225x u y = x

15 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 ẋ = y = [ ] x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x u

16 Példa az állapottér reprezentációk megválasztására Állapottér reprezentáció:

17 Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok 3. Irányíthatósági és diagonális alakok előállítása hasonlósági transzformációval 4. Demonstrációs példa

18 Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok Állapottér reprezentáció ẋ = Ax + bu y = c T x Alkalmazzuk a Laplace transzformációt az állapotegyenletre: sx = AX + bu X = (si A) 1 bu

19 Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok és a kimeneti egyenletre: Y = c T X = c T (si A) 1 bu Átviteli függvény: G = Y U = ct (si A) 1 b

20 Példa Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok ẋ = y = 2 4 x + 1 u [ ] 0 2 x Átviteli függvény: [ 2] G = 0 s 0 0 s

21 Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok Átviteli függvény: G = = [ ] 0 2 s s 1 1 = 0 [ ] 0 2 s 1 s 2 + 2s + 4 = 2 s 2 + 2s + 4 [ ] 0 2 s 4 1 s + 2 s 2 + 2s

22 Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok 3. Irányíthatósági és diagonális alakok előállítása hasonlósági transzformációval 4. Demonstrációs példa

23 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Hasonlósági transzformáció Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egy adott x állapotvektorból egy új x állapotvektort képezünk: x = T x ahol T R n n egy n n méretű nemszinguláris transzformációs mátrix, és x,x R n

24 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Az x állapotvektor által leírt (A,b,c T ) állapottér reprezentáció: ẋ = Ax + bu y = c T x, Határozzuk meg az x állapotvektorhoz tartozó x = Ā x + bu y = c T x egyenletekben szereplő (Ā, b, c T ) mátrixokat!

25 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Az állapottér reprezentációk közötti kapcsolat (levezetés az 5. EA-ban): Ā = T AT 1, b = T b, c T = c T T 1. Az A és Ā mátrixok közötti fenti kapcsolatot hasonlósági transzformációnak nevezzük

26 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Tekintsük az alábbi átviteli függvényt: G = b 2s 2 + b 1 s + b 0 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a

27 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Írjuk fel az állapottér reprezentációt irányíthatósági alakban: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 = a 2 a 1 a ] y = [b 2 b 1 b 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x u

28 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix alakja: T c = (CT ) 1 ahol [ ] C = b Ab A 2 b 1 a 2 a 1 T = 0 1 a és det(si A) = s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a

29 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix elemei n dimenziós esetben: [ ] C = b Ab A 2 b... A n 1 b 1 a n 1... a 2 a a n 1 a 2 T = a n

30 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Az irányíthatósági alak illusztrációja:

31 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval Írjuk fel az állapottér reprezentációt diagonális alakban: ẋ 1 ẋ 2 ẋ 3 = λ x 1 0 λ 2 0 x λ 3 x 3 ] y = [c 2 c 1 c 0 x 1 x 2 x 3 r 1 r 2 r 3 u

32 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix alakja: ahol C = [ ] b Ab A 2 b, T = T d = (CT P ) 1 1 a 2 a a 2, P = λ 2 1 λ2 2 λ2 3 λ 1 λ 2 λ

33 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A transzformációs mátrix elemei n dimenziós esetben: [ ] C = b Ab A 2 b... A n 1 b 1 a n 1... a 2 a a n 1 a 2 T = a n

34 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval P = 2... λ n 1 n.. λ 2 1 λ λ 2 n λ 1 λ 2... λ n λ n 1 1 λ n

35 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval A diagonális alak illusztrációja a következő oldalon. Mindig igaz, hogy: r 1 = b 1 c 1, r 2 = b 2 c 2,... r n = b n c n r i = b i c i i = 1...n

36 Kanonikus alakok előállítása hasonlósági transzformációval

37 Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok 3. Irányíthatósági és diagonális alakok előállítása hasonlósági transzformációval 4. Demonstrációs példa

38 Demonstrációs példa Mechanikai példa Dinamikus diff.egyenlet mÿ = k ( u ẏ) + c(u y) ÿ = k mẏ c m y + k m u + c m u m = 1kg a kocsi tömege, k = 8 Ns m a csillapítási tényező, c = 7 N m a rugóállandó. Behelyettesítve: ÿ = 8ẏ 7y + 8 u + 7u

39 Demonstrációs példa Átviteli függvény: Y (s) = 8s + 7 s 2 + 8s + 7 U(s) Irányíthatósági alak felírása segédváltozós módszerrel. Vezessük be ξ(s) változót a következőképpen: ξ(s) = 1 s 2 +8s+7 U(s) Y (s) = (8s + 7)ξ(s)

40 Demonstrációs példa Inverz Laplace transzformációval: ξ(t) = 8 ξ(t) 7ξ(t) + u(t) y(t) = 8 ξ(t) + 7ξ(t) Vezessük be az állapotváltozókat a következőképpen: x 1 = ξ(t) x 2 = ξ(t)

41 Demonstrációs példa Az állapotegyenleteket felírva: ẋ 1 = ξ = 8 ξ 7ξ + u = 8x 1 7x 2 + u ẋ 2 = ξ = x 1 y = 8 ξ + 7ξ = 8x 1 + 7x

42 Demonstrációs példa Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: 8 7 ẋ1 = x u ẋ x 2 0 [ ] y = 8 7 x 1 x

43 Demonstrációs példa Átviteli függvény: Y = 8s + 7 s 2 + 8s + 7 U Diagonális alak felírása résztörtekre bontással: Pólusok: 1 és 7. Az átviteli függvény: ( A Y = s B ) (A + B)s + 7A + B U = s + 7 (s + 1)(s + 7) azaz A + B = 8, 7A + B =

44 aminek megoldása: Demonstrációs példa A = 1 6, B = 49 6 Az átviteli függvény: ( ) Y = s U s + 7 A résztörtek átviteli függvényei Y 1 = 1 6 s + 1 U, Y 2 = 49 6 s + 7 U

45 Demonstrációs példa Az állapotváltozók: x 1 = y 1 x 2 = y 2 Az állapotegyenletek: ẋ 1 = ẏ 1 = y u = x u ẋ 2 = ẏ 2 = 7y u = 7x u

46 Demonstrációs példa Az állapottér reprezentáció diagonális alakban: ẋ1 = 1 0 x u 49 ẋ x 2 6 [ ] y = 1 1 x 1 x

47 Demonstrációs példa A lineáris algebrai összefüggéseket használva alakítsuk a diagonális állapottér reprezentációt irányíthatósági alakúvá! ẋ1 = ẋ 2 y = 1 0 x x 2 [ ] 1 1 x 1 x u

48 Demonstrációs példa A transzformációs mátrix összefüggése: ahol és C = T = T c = (CT ) 1 [ ] b Ab = a 1 = si A = s 2 + 8s

49 Demonstrációs példa T c = (CT ) 1 = ( ) = Az irányíthatósági alak: 8 7 A c = b c = c T c =

50 Demonstrációs példa A lineáris algebrai összefüggéseket használva alakítsuk az irányíthatósági állapottér reprezentációt diagonális alakúvá: ẋ1 = ẋ 2 y = 8 7 x u 1 0 x 2 0 [ ] 8 7 x 1 x

51 Demonstrációs példa A transzformációs mátrix összefüggése: ahol T d = (CT P ) 1 C = T = P = λ 1 λ =

52 T d = (CT P ) 1 = Demonstrációs példa ( = ) 1 A diagonális alak: A d = 1 0 b d = c T d =