A Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003)

HTML
DOWNLOAD

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "A Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003)"

Gyula Illés
6 évvel ezelőtt
Látták:

1 A Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003) Várdainé Kollár Judit szeminárium Budapest november 6.

2 1. Bevezetés: Belouszov Zsabotyinszkij-reakció: Ce(III) és a Ce(IV) keletkezése ciklikus - kálium-bromát és malonsav jelenlétében. Az alábbi egyenletek megmutatják az egyszerűsített folyamatot: Ce(III) Ce(IV ) Ce(IV ) + CHBr(COOH) 2 Ce(III) + Br + otherproducts

3 Mi szükséges ahhoz, hogy egy reakció oszcilláljon? A reakció legyen távol az egyensúlytól. A reakcióban legyenek autokatalikus lépések. A rendszernek legyen legalább két állandósult állapota. (bistabilitás)

4 Oszcilláló reakciók: gyártási folyamatokban a szívben az ingerközpont - a szinuszcsomó működését vezérli glükolitikus ciklusban előforduló köztes anyagcsere termékek koncentrációja

5 Az előző előadásokból ismeretes, hogy a kémiai kinetikai egyenletek a következő módon írhatók: A + B C + D [ A] = [Ḃ] = [Ċ] = [Ḋ] = r a = k[a][b] Kicsit összetettebb rendszer esetén, vegyük hozzá: 2A 3E [Ḃ] = [Ċ] = [Ḋ] = k[a][b] [ A] = k 3 [A][B] 2k 6 [A] 2 [Ė] = 3k 6[A] 2

6 2. A Brüsszelátor: (Ilya Prigogine) A X 2X + Y 3X B + X Y + C X D A Brüsszelátor dinamikája leírható egy kétdimenziós közönséges differenciálegyenlet-rendszerrel: Ẋ = a + X 2 Y bx X ahol X(t), Y (t) R, a, b > 0. Ẏ = bx X 2 Y, (1)

7 3. Dimenziómentes alak Transzformáció: t = τt, x(t) = ξx(t), y(t) = ηy (t) a τ, ξ és η ügyes választásával. (Dimenziómentes, ha: ξ = X(t) X, η = Y (t) Y ) Transzformálva: ẋ = ξa τ + 1 τξη x2 y b + 1 x τ ẏ = 1 τξ 2x2 y + b η τξ x Legyen: τ := 1 ξ := 1 a η := 1 ekkor : ẋ = 1 + ax 2 y (b + 1)x ẏ = a(bx ax 2 y)

8 Fázisportré:

9 4. Egyensúly: A rendszer stacionárius pontjára kapjuk: 1 (b + 1) x + a x 2 ȳ = 0 b x a x 2 ȳ = 0, ahonnan: x = 1 ȳ = b/a.

10 5. Lineáris stabilitási analízis A rendszer Jacobi-mátrixa: Df(x, y) = ( x, ȳ) = (1, b/a)-t behelyettesítve: ( ) b 1 + 2axy ax 2 a(b 2axy) a 2 x 2, Df(1, b/a) = ( ) b 1 a ab a 2. Vizsgálva a stabilitást, kapjuk a nyomra és a determinánsra: τ = Trace(Df(1, b/a)) = b a 2 1 = Det(Df(1, b/a)) = a 2

11 stabilitas.nb 5 b instabil a

13 a > 0 = > 0 ( x, ȳ) nem nyeregpont > 0 és b < a 2 + 1, akkor τ < 0; attraktor > 0 és b = a = Hopf-bifurkáció > 0 és b > a 2 + 1, akkor τ > 0; repellor

14 6. A Hopf-bifurkáció megjelenése A Jacobi mátrix sajátértékei a λ 2 λ(b 1 a 2 ) + a 2 = 0 egyenletből kapjuk. b c = a esetén a sajátértékek tiszta képzetesek: 1. λ 1,2 (b) = ±ia 2. τ = b a 2 1 (b c = a = τ = 0) = a 2 = τ 2 4 < 0. Re(λ(b)) = 1 2 τ tehát Re(λ 1,2 (b)) b = 1 b=bc 2 b [b a2 1] = 1 2 0

15 7. b c = a közeli periódus Ha b = b c, akkor τ eltűnik, így λ = 1 2 (τ ± τ 2 4 ) = a 2 -ből: λ c = ±i és a közelítés periódusa: 2π/a. I(λ c ) = a

16 8. Nullavonalak: ẋ = 0 kijelölésével az ẋ nullavonalára kapjuk: 1 (b + 1)x + ax 2 y = 0 y = ẏ = 0 kijelölésével az ẏ nullavonalra kapjuk: (b + 1)x 1 ax 2 bx ax 2 y = 0 x(b axy) = 0 = x = 0 vagy: y = b ax (A második esetben a nullavonalon x = 0 nem lehetséges.)

17 Untitled-1 1 In[21]:= a := 1 b := 2.5 Hb + 1L x 1 y := a x 2 z := b a x Plot@8y, z<, 8x, 0.1, 4<D Out[25]= Graphics

18 9. Bendixson-zsák Hol metszi az x tengelyt az ẋ nullavonal? Az y = b ax 1 (b + 1)x + 0 = 0 = x = 1 b + 1 nullavonal és az x = 1 b+1 Megkonstruáljuk az "l" egyenest: y = metszéspontja adja: b(b + 1) a (c 1, c 2 ) (ẋ, ẏ) < 0 c 1 = c 2 = 1-t választva, elvégezzük a skalárszorzást, kapjuk: Ábrázolás után: 1 (b + 1)x + ax 2 y + abx a 2 x 2 y < 0 x > 1

20 Köszönöm a figyelmet! Várdai Judit vardai.judit@ymmfk.szie.hu

Hasonló dokumentumok

3. előadás Stabilitás

3. előadás Stabilitás Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása