A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA
|
|
- István Kiss
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 A MATEMATIKA NÉHÁNY KIHÍVÁSA NAPJAINKBAN Simon L. Péter ELTE, Matematikai Intézet Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tsz. 1 / 20
2 MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. 2 / 20
3 MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámot hatékonyan terjeszteni, vagy egy fertőző betegség (H1N1) terjedését megállítani. 2 / 20
4 MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámot hatékonyan terjeszteni, vagy egy fertőző betegség (H1N1) terjedését megállítani. Lineáris egyenlőtlenségek megoldása, hogyan tervezzük meg optimálisan egy ügyfélszolgálat működését. 2 / 20
5 MATEMATIKA AZ ÉLET KÜLÖNBÖZŐ TERÜLETEIN Kaotikus sorozatok és differenciálegyenletek, avagy miért nehéz előrejelezni az időjárást. Nagy gráfok felépítése, hogyan lehet az interneten egy reklámot hatékonyan terjeszteni, vagy egy fertőző betegség (H1N1) terjedését megállítani. Lineáris egyenlőtlenségek megoldása, hogyan tervezzük meg optimálisan egy ügyfélszolgálat működését. Nagy számok prímfelbontása, avagy hogyan biztosítható az internetes vásárlás biztonsága az RSA algoritmus segítségével. 2 / 20
6 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d 3 / 20
7 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Például: a n+1 = a n + 2, a 0 = 0 a n a páros számokból álló sorozat. 3 / 20
8 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n 3 / 20
9 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n Például: a n+1 = 2a n, a 0 = 1 a n a 2 hatványaiból álló sorozat. 3 / 20
10 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an a n 3 / 20
11 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an a n a 0 = , a 1 = , a 2 = , a 3 = , a 4 = / 20
12 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. 3 / 20
13 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. 3 / 20
14 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. Ha a = 4, akkor x n kaotikus sorozat. 3 / 20
15 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. Ha a = 4, akkor x n kaotikus sorozat. Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1 x). 3 / 20
16 SOROZATOK Számtani sorozat: a n+1 = a n + d Mértani sorozat: a n+1 = qa n a n+1 = an a n Bármely a 0 > 0 esetén az a n a 2 közelítését adja. x n+1 = ax n (1 x n ), a [0, 4] adott szám. Ha a = 4, akkor x n kaotikus sorozat. Logisztikus leképezés: f (x) = ax(1 x). Egyszerű módszer a sorozat viselkedésének tanulmányozására 3 / 20
17 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. 4 / 20
18 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. 4 / 20
19 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. Ha a 1 = 3 < a < = a 2, akkor x n 2-ciklushoz tart. 4 / 20
20 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. Ha a 1 = 3 < a < = a 2, akkor x n 2-ciklushoz tart. Ha a 2 < a < a 3, akkor x n 4-ciklushoz tart. 4 / 20
21 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha 0 < a < 1, akkor x n 0. Ha 1 < a < 3, akkor x n 1 1 a. Ha a 1 = 3 < a < = a 2, akkor x n 2-ciklushoz tart. Ha a 2 < a < a 3, akkor x n 4-ciklushoz tart. 4 / 20
22 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS 5 / 20
23 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. 5 / 20
24 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. Feigenbaum szám δ = 4, a k a k 1 a k+1 a k δ. 5 / 20
25 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. Feigenbaum szám δ = 4, a k a k 1 a k+1 a k δ. Ha a = 4, akkor az x n sorozat kaotikus, 5 / 20
26 LOGISZTIKUS LEKÉPEZÉS Ha a k < a < a k+1, akkor x n 2 k -ciklushoz tart. Feigenbaum szám δ = 4, a k a k 1 a k+1 a k δ. Ha a = 4, akkor az x n sorozat kaotikus, a sorozat tagjai különlegesen függenek az első tagtól. 5 / 20
27 LORENZ-EGYENLET Valóságos folyamatoknál is előfordul kaotikus viselkedés. 6 / 20
28 LORENZ-EGYENLET Valóságos folyamatoknál is előfordul kaotikus viselkedés. Rayleigh-Bénard konvekció 6 / 20
29 LORENZ-EGYENLET Valóságos folyamatoknál is előfordul kaotikus viselkedés. Rayleigh-Bénard konvekció A folyadékot alulról melegítjük, felülről hűtjük. Ennek hatására áramlás indul meg. 6 / 20
30 LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. 7 / 20
31 LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. ẋ = σ(y x) ẏ = ρx xz y ż = xy βz 7 / 20
32 LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. ẋ = σ(y x) ẏ = ρx xz y ż = xy βz x: a konvekció erőssége, y: a felfelé és lefelé áramlás hőmérsékletének különbsége, z: a függőleges hőmérsékletváltozás eltérése a lineáristól. 7 / 20
33 LORENZ-EGYENLET A Rayleigh-Bénard konvekció egyszerűsített matematikai modellje a Lorenz-egyenlet. ẋ = σ(y x) ẏ = ρx xz y ż = xy βz x: a konvekció erőssége, y: a felfelé és lefelé áramlás hőmérsékletének különbsége, z: a függőleges hőmérsékletváltozás eltérése a lineáristól. A megoldás érzékenyen függ a kezdeti feltételtől. 7 / 20
34 LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS Az x(t) értéke két különböző kezdeti feltételből indulva. Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1 Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = / 20
35 LORENZ-EGYENLET, PILLANGÓ HATÁS Az x(t) értéke két különböző kezdeti feltételből indulva. Kék: x(0) = y(0) = z(0) = 1 Piros: x(0) = y(0) = 1, z(0) = σ = 10, β = 8/3, ρ = 25 8 / 20
36 VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. 9 / 20
37 VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) 9 / 20
38 VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) Numerikus nehézség: több millió egyszerű egyenlet megoldása párhuzamosan. 9 / 20
39 VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) Numerikus nehézség: több millió egyszerű egyenlet megoldása párhuzamosan. Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott időpontban, sok helyen, nagy pontossággal kell ismerni az előrejelzéshez. 9 / 20
40 VALÓDI IDŐJÁRÁS MODELLEK Parciális differenciálegyenletek a szél sebességére, a hőmérsékletre, a nyomásra. t u(t, x, y, z) = D u(t, x, y, z)+a x u(t, x, y, z)+b y u(t, x, y, z)+f (t, x, y, z) Numerikus nehézség: több millió egyszerű egyenlet megoldása párhuzamosan. Mérési nehézség: a légkör állapotát egy adott időpontban, sok helyen, nagy pontossággal kell ismerni az előrejelzéshez. A Lorenz-egyenletnél megfigyelt kaotikus hatások miatt: Minél hosszabb időre akarunk előrejelezni, annál pontosabban kell ismerni a kezdeti feltételeket pillangóhatás. 9 / 20
41 SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I 10 / 20
42 SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I Átmenetek: S I, ráta: kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I S, ráta: γ 10 / 20
43 SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I Állapottér 10 / 20
44 SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Adott egy N csúcsú gráf A csúcsok kétféle állapotban lehetnek: egészséges S, fertőző I Állapottér Fertőzés: SIS IIS Gyógyulás: SIS SSS 10 / 20
45 SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Alapegyenletek (master equations) Ẋ SSS = γ(x SSI + X SIS + X ISS ), Ẋ SSI = γ(x SII + X ISI ) (2τ + γ)x SSI, Ẋ SIS = γ(x SII + X IIS ) (2τ + γ)x SIS, Ẋ ISS = γ(x ISI + X IIS ) (2τ + γ)x ISS, Ẋ SII = γx III + τ(x SSI + X SIS ) 2(τ + γ)x SII, Ẋ ISI = γx III + τ(x SSI + X ISS ) 2(τ + γ)x ISI, Ẋ IIS = γx III + τ(x SIS + X ISS ) 2(τ + γ)x IIS, Ẋ III = 3γX III + 2τ(X SII + X ISI + X IIS ), 11 / 20
46 SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Alapegyenletek (master equations) Ẋ SSS = γ(x SSI + X SIS + X ISS ), Ẋ SSI = γ(x SII + X ISI ) (2τ + γ)x SSI, Ẋ SIS = γ(x SII + X IIS ) (2τ + γ)x SIS, Ẋ ISS = γ(x ISI + X IIS ) (2τ + γ)x ISS, Ẋ SII = γx III + τ(x SSI + X SIS ) 2(τ + γ)x SII, Ẋ ISI = γx III + τ(x SSI + X ISS ) 2(τ + γ)x ISI, Ẋ IIS = γx III + τ(x SIS + X ISS ) 2(τ + γ)x IIS, Ẋ III = 3γX III + 2τ(X SII + X ISI + X IIS ), N csúcsú gráf esetén 2 N differenciálegyenlet 11 / 20
47 SIS JÁRVÁNYTERJEDÉS Alapegyenletek (master equations) Ẋ SSS = γ(x SSI + X SIS + X ISS ), Ẋ SSI = γ(x SII + X ISI ) (2τ + γ)x SSI, Ẋ SIS = γ(x SII + X IIS ) (2τ + γ)x SIS, Ẋ ISS = γ(x ISI + X IIS ) (2τ + γ)x ISS, Ẋ SII = γx III + τ(x SSI + X SIS ) 2(τ + γ)x SII, Ẋ ISI = γx III + τ(x SSI + X ISS ) 2(τ + γ)x ISI, Ẋ IIS = γx III + τ(x SIS + X ISS ) 2(τ + γ)x IIS, Ẋ III = 3γX III + 2τ(X SII + X ISI + X IIS ), A rendszer mérete a gráf automorfizmuscsoportja ismeretében csökkenthető: Simon, P.L., Taylor, M., Kiss., I.Z., Exact epidemic models on graphs using graph-automorphism driven lumping, J. Math. Biol., 62 (2011). 11 / 20
48 ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf 12 / 20
49 ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf Csúcsok állapotainak halmaza {a 1, a 2,... a m }. 12 / 20
50 ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf Csúcsok állapotainak halmaza {a 1, a 2,... a m }. A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza m N elemű 12 / 20
51 ÁLTALÁNOS MATEMATIKAI MODELL Adott egy N csúcsú, irányítatlan, hurokélmentes gráf Csúcsok állapotainak halmaza {a 1, a 2,... a m }. A gráf összes lehetséges állapotainak halmaza m N elemű Az állapotok változását Poisson-folyamat írja le t idő alatt annak valószínűsége, hogy egy a i állapotban levő csúcs a j állapotba kerül: 1 exp( λ ij t). 12 / 20
52 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIS járványterjedés 13 / 20
53 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIS járványterjedés A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}. 13 / 20
54 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIS járványterjedés A csúcsok állapotainak halmaza: {S, I}. Átmenetek és rátáik S I, λ = kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I S, λ = γ 13 / 20
55 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés 14 / 20
56 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I, R}. 14 / 20
57 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I, R}. Átmenetek és rátáik S I, λ = kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I R, λ = γ 14 / 20
58 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA SIR járványterjedés A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {S, I, R}. Átmenetek és rátáik S I, λ = kτ, k a szomszédos I csúcsok száma. I R, λ = γ Körmentes gráf esetén egzakt, nemlineáris, O(N) méretű rendszer adható meg. 14 / 20
59 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Híresztelés terjedése 15 / 20
60 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Híresztelés terjedése A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X, Y, Z } (tájékozatlan, terjesztő, akadályozó). 15 / 20
61 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Híresztelés terjedése A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {X, Y, Z } (tájékozatlan, terjesztő, akadályozó). Átmenetek és rátáik X Y, λ = kτ, k a szomszédos Y csúcsok száma. Y Z, λ = γ + jp, j a szomszédos Y és Z csúcsok együttes száma. 15 / 20
62 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban 16 / 20
63 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E +, E, I +, I } (gerjeszthető aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív). 16 / 20
64 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E +, E, I +, I } (gerjeszthető aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív). Átmenetek és rátáik E + E, λ = α. E E +, λ = th(iw E jw I + h E ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. I + I, λ = α. I I +, λ = th(iw E jw I + h I ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. 16 / 20
65 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Aktivitás terjedése neuron hálózatban A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: {E +, E, I +, I } (gerjeszthető aktív és inaktív, gátló aktív és inaktív). Átmenetek és rátáik E + E, λ = α. E E +, λ = th(iw E jw I + h E ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. I + I, λ = α. I I +, λ = th(iw E jw I + h I ), i, j a szomszédos E +, és I + csúcsok száma. Taylor, T.J., Hartley, C., Simon, P.L., Kiss., I.Z., Berthouze, L., Identification of criticality in neuronal avalanches: I. A theoretical investigation of the non-driven case, J. Math. Neuroscience, / 20
66 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Cégek csődbemenetele 17 / 20
67 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Cégek csődbemenetele A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: működő (M), csődbement (C). 17 / 20
68 PÉLDÁK HÁLÓZATI FOLYAMATRA Cégek csődbemenetele A csúcsok lehetséges állapotainak halmaza: működő (M), csődbement (C). Átmenetek és rátáik M C, λ = c + kw, k a szomszédos C csúcsok száma, c a spontán csődbemenetel rátája. 17 / 20
69 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: 18 / 20
70 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf 18 / 20
71 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf 18 / 20
72 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal 18 / 20
73 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal 18 / 20
74 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás 18 / 20
75 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás 18 / 20
76 GRÁF TÍPUSOK Véletlen gráfok: Erdős-Rényi véletlen gráf Watts-Strogatz véletlen gráf, kicsi a világ tulajdonsággal Barabási-Albert véletlen gráf, skálafüggetlen fokszámeloszlás Kutatás célja: Különböző típusú gráfokon, különböző dinamikához megfelelő közelítő (esetleg egzakt) differenciálegyenletek levezetése. 18 / 20
77 ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. 19 / 20
78 ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. 19 / 20
79 ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. Egy nagy gráfon végbemenő folyamat modellezése kezelhetetlenül sok egyenletre vezet. 19 / 20
80 ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. Egy nagy gráfon végbemenő folyamat modellezése kezelhetetlenül sok egyenletre vezet. A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel. 19 / 20
81 ÖSSZEFOGLALÁS x n+1 = 4x n (1 x n ), a sorozat tagjai erősen függenek az első tagtól. Miért nem lehet hosszú távra előrejelezni az időjárást: pillangó effektus. Kaotikus rendszer megoldása erősen függ a kiindulási feltételektől. Egy nagy gráfon végbemenő folyamat modellezése kezelhetetlenül sok egyenletre vezet. A valóságos folyamatok modellezése nehéz matematikát igényel. Az igazi kihívás olyan matematikai kérdés kitűzése és megoldása, ami nem reménytelenül nehéz, de azért mond valamit a világról. 19 / 20
82 Köszönöm a figyelmet! 20 / 20
Járványterjedés vizsgálata hipergráfokon
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar BSc szakdolgozat Járványterjedés vizsgálata hipergráfokon Huszárik ikolett Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány Témavezető: Bodó Ágnes,
RészletesebbenPopulációdinamika kurzus, projektfeladat. Aszimptotikus viselkedés egy determinisztikus járványterjedési modellben. El adó:
Populációdinamika kurzus, projektfeladat Aszimptotikus viselkedés egy determinisztikus járványterjedési modellben El adó: Unger Tamás István okleveles villamosmérnök matematika B.Sc. szakos hallgató Szeged
RészletesebbenHálózati folyamatok közelít differenciálegyenletei
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Hálózati folyamatok közelít differenciálegyenletei MSc szakdolgozat Írta: Varga Roxána Alkalmazott matematikus MSc, Alkalmazott analízis szakirány Témavezet
RészletesebbenHálózati folyamatok oszcillációinak vizsgálata
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi kar MSc szakdolgozat Hálózati folyamatok oszcillációinak vizsgálata Bodó Ágnes Alkalmazott matematikus MSc Témavezető: Besenyei Ádám adjunktus Alkalmazott
RészletesebbenINFORMÁCIÓTERJEDÉS MODELLEZÉSE HÁLÓZATOKON DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKEL
INFORMÁCIÓTERJEDÉS MODELLEZÉSE HÁLÓZATOKON DIFFERENCIÁLEGYENLETEKKEL Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar BSc szakdolgozat Készítette: Korányi Gerg Matematika BSc Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenDiszkrét Matematika. zöld könyv ): XIII. fejezet: 1583, 1587, 1588, 1590, Matematikai feladatgyűjtemény II. (
FELADATOK A LEKÉPEZÉSEK, PERMUTÁCIÓK TÉMAKÖRHÖZ Diszkrét Matematika 4. LEKÉPEZÉSEK Értelmezési tartomány és értékkészlet meghatározása : Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából ( zöld könyv ): XIII.
RészletesebbenA Barabási-Albert-féle gráfmodell
A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András Gráfok, hálózatok modelljei Rengeteg gráfokkal modellezhető terület: Pl: Internet, kapcsolati hálók, elektromos hálózatok, stb.
RészletesebbenRend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat)
Rend, rendezetlenség, szimmetriák (rövidített változat) dr. Tasnádi Tamás 1 2018. február 16. 1 BME, Matematikai Intézet Tartalom Mi a rend? Érdekes grafikáktól a periodikus rácsokig Nem periodikus parkettázások
RészletesebbenSzalai Péter. April 17, Szalai Péter April 17, / 36
Szociális hálók Szalai Péter April 17, 2015 Szalai Péter April 17, 2015 1 / 36 Miről lesz szó? 1 Megfigyelések Kis világ Power-law Klaszterezhetőség 2 Modellek Célok Erdős-Rényi Watts-Strogatz Barabási
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
Részletesebben"Flat" rendszerek. definíciók, példák, alkalmazások
"Flat" rendszerek definíciók, példák, alkalmazások Hangos Katalin, Szederkényi Gábor szeder@scl.sztaki.hu, hangos@scl.sztaki.hu 2006. október 18. flatness - p. 1/26 FLAT RENDSZEREK: Elméleti alapok 2006.
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18. Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk
RészletesebbenBevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk
Tartalom Bevezetés az állapottér elméletbe: Állapottér reprezentációk vizsgálata 1. Példa az állapottér reprezentációk megválasztására 2. Átviteli függvény és állapottér reprezentációk közötti kapcsolatok
RészletesebbenRekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26
Rekurzív sorozatok Németh Zoltán SZTE Bolyai Intézet www.math.u-szeged.hu/ nemeth Rekurzív sorozatok p.1/26 Miért van szükség közelítő módszerekre? Rekurzív sorozatok p.2/26 Miért van szükség közelítő
RészletesebbenVéletlen gráfok, hálózatok
Véletlen gráfok, hálózatok Véletlen gráfok, hálózatok Csirik András 2018.04.25 Erdős-Rényi modell Watts-Strogatz modell Barabási-Albert modell Hálózatok a mindennapokban Hálózatok a világ minden területén
RészletesebbenAlap-ötlet: Karl Friedrich Gauss ( ) valószínűségszámítási háttér: Andrej Markov ( )
Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel: 463-6-80 Fa: 463-30-9 http://www.vizgep.bme.hu Alap-ötlet:
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenStatisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok
Statisztikai módszerek a skálafüggetlen hálózatok vizsgálatára Gyenge Ádám1 1 Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamosmérnöki és Informatikai Kar Számítástudományi és Információelméleti
RészletesebbenBevezetés a kaotikus rendszerekbe
Bevezetés a kaotikus rendszerekbe. előadás Könyvészet: Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos Káosz, fraktálok és dinamika ` Fraktálok: szépség matematikai leírás Fraktálzene: Phil Thompson Me
RészletesebbenSzociális hálózatok Gráf alapú módszerek. Adatbányászat. Klaszterezés Szociális hálózatok. Szegedi Tudományegyetem. Adatbányászat
Klaszterezés Szegedi Tudományegyetem Élei lehetnek címkézettek (pl. ellenség, barát), továbbá súlyozottak (pl. telefonbeszélgetés) Megjelenési formái Ismeretségi, társszerzőségi gráf (Erdős-Bacon szám)
RészletesebbenBevezetés az állapottér-elméletbe Dinamikus rendszerek állapottér reprezentációi
Tartalom Bevezetés az állapottér-elméletbe Irányítható alak Megfigyelhetőségi alak Diagonális alak Állapottér transzformáció 2018 1 A szabályozáselmélet klasszikus, BODE, NICHOLS, NYQUIST nevéhez kötődő,
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenA numerikus előrejelző modellek fejlesztése és alkalmazása az Országos Meteorológiai Szolgálatnál
A numerikus előrejelző modellek fejlesztése és alkalmazása az Országos Meteorológiai Szolgálatnál HORÁNYI ANDRÁS Országos Meteorológiai Szolgálat 1 TARTALOM A numerikus modellezés alapjai Kategorikus és
RészletesebbenHálózatok fejlődése A hatványtörvény A preferential attachment A uniform attachment Vertex copy. SZTE Informatikai Intézet
Hálózattudomány SZTE Informatikai Intézet Számítógépes Optimalizálás Tanszék Előadó: London András 4. Előadás Hogyan nőnek a hálózatok? Statikus hálózatos modellek: a pontok száma (n) fix, az éleket valamilyen
RészletesebbenNumerikus módszerek. 9. előadás
Numerikus módszerek 9. előadás Differenciálegyenletek integrálási módszerei x k dx k dt = f x,t; k k ' k, k '=1,2,... M FELADAT: meghatározni x k t n x k, n egyenletes időlépés??? t n =t 0 n JELÖLÉS: f
RészletesebbenÖsszefoglalás és gyakorlás
Összefoglalás és gyakorlás High Speed Networks Laboratory 1 / 28 Hálózatok jellemző paraméterei High Speed Networks Laboratory 2 / 28 Evolúció alkotta adatbázis Önszerveződő adatbázis = (struktúra, lekérdezés)
RészletesebbenKözepek Gauss-kompozíciója Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán
Gondolatok egy versenyfeladat kapcsán Debreceni Egyetem, Matematikai Intézet, Analízis Tanszék Regionális Matematika Szakkör Megnyitója Debrecen, 015. szeptember 7. AGH-egyenl tlenség Tétel Értelmezzük
RészletesebbenVéletlen gráfok. Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet december 2.
Véletlen gráfok Backhausz Ágnes Eötvös Loránd Tudományegyetem és MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet agnes@cs.elte.hu 2015. december 2. Nagy hálózatok Példák valós hálózatokra társadalmi hálózatok
RészletesebbenBetekintés a komplex hálózatok világába
Betekintés a komplex hálózatok világába Dr. Varga Imre Debreceni Egyetem Informatikai Kar EFOP-3.6.1-16-2016-00022 Egyszerű hálózatok Grafit kristály Árpád házi uralkodók családfája LAN hálózat Komplex
RészletesebbenAZ ID JÁRÁS SZÁMÍTÓGÉPES EL REJELZÉSE. rejelzése. horanyi.a@met.hu) lat. Földtudományos forgatag. 2008. április 19.
Az z idjárási számítógépes elrejelz rejelzése HORÁNYI ANDRÁS S (horanyi.a@met.hu( horanyi.a@met.hu) Országos Meteorológiai Szolgálat lat Numerikus Modellez és Éghajlat-dinamikai Osztály (NMO) 1 MIÉRT FONTOS?
RészletesebbenANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK
ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kaotikus Differenciálegyenletek Szakdolgozat Chmelik Gábor Matematika B.Sc., Matematikai elemző szakirány Témavezető: Simon L. Péter, egyetemi docens
RészletesebbenDifferenciálegyenletek megoldása Laplace-transzformációval. Vajda István március 21.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 21. A módszer alkalmazásának feltételei: Állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenletek megoldására használhatjuk. A módszer alkalmazásának feltételei:
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
Részletesebbenn n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )
Matek szigorlat Komplex számok Sorozat határérték., a legnagyobb taggal egyszerűsítünk n n 3 3n 2 + 2 3n 2 n n + 2 25 n 3 9 n 2 + + 3) 2n 8 n 3 2n 3,, n n5 + n 2 n 2 5 2n + 2 3n 2) n+ 2. e-ados: + a )
RészletesebbenA társadalom hálózati jelenségeinek adatvezérelt vizsgálata I: Társadalmi terjedés. Magyar Tudomány Ünnepe 2017 Számítógépes Társadalomtudomány
A társadalom hálózati jelenségeinek adatvezérelt vizsgálata I: Társadalmi terjedés Kertész János CEU, BME Magyar Tudomány Ünnepe 2017 Számítógépes Társadalomtudomány Zhongyuan Ruan (CEU) Márton Karsai
RészletesebbenA diplomaterv keretében megvalósítandó feladatok összefoglalása
A diplomaterv keretében megvalósítandó feladatok összefoglalása Diplomaterv céljai: 1 Sclieren résoptikai módszer numerikus szimulációk validálására való felhasználhatóságának vizsgálata 2 Lamináris előkevert
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenBaran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek
Matematika Mérnököknek 2. Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Gyakorlat Differenciálegyenletek Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba Matematika Mérnököknek 2. 1.-2. Gyakorlat 1 / 42 Numerikus differenciálás
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenHálózatok, járványok és a változás egyenletei
BESENYEI ÁDÁM BODÓ ÁGNES Hálózatok, járványok és a változás egyenletei A komplex hálózatok vagy rendszerek vizsgálata napjaink egyik jelentős és rendkívül aktív kutatási területe a matematikától kezdve
RészletesebbenCsima Judit BME, SZIT február 17.
1 Véletlen gráfok és valós hálózatok Csima Judit BME, SZIT 2010. február 17. Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? 2. A klasszikus modell: Erdős-Rényi véletlen-gráf modell definíció jellemzői
RészletesebbenMatematika gyógyszerészhallgatók számára. A kollokvium főtételei tanév
Matematika gyógyszerészhallgatók számára A kollokvium főtételei 2015-2016 tanév A1. Függvénytani alapfogalmak. Kölcsönösen egyértelmű függvények és inverzei. Alkalmazások. Alapfogalmak: függvény, kölcsönösen
Részletesebbenkonvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket!
1. Határértékek 1. Állapítsa meg az alábbi sorozatokról, hogy van-e határértékük, konvergensek-e. Amennyiben igen, számítsa ki határértéküket! 2 2...2 2 (n db gyökjel), lim a) lim n b) lim n (sin(1)) n,
RészletesebbenEuleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai
Euleri és Lagrange szemlélet, avagy a meteorológia deriváltjai Mona Tamás Időjárás előrejelzés speci 3. előadás 2014 Differenciál, differencia Mi a különbség f x és df dx között??? Differenciál, differencia
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenNULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI
NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 08-09-07 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! A feladatlap kizárólag kék vagy fekete tollal tölthető ki.
RészletesebbenNemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése. Ladányi Gábor, PhD hallgató
Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése Ladányi Gábor, PhD hallgató ladanyi@uniduna.hu Tartalom Bevezetés Motiváció A peridinamikus anyagmodell Irodalmi áttekintés Korábbi kutatási eredmények
RészletesebbenKomplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek
Komplex hálózatok: alapfogalmak, modellek, módszerek London András, Németh Tamás 2015. április 13. Motiváció Alapfogalmak Centralitás mértékek Néhány gráfmodell Hálózatok mindenhol! ábra 1: Facebook kapcsolati
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenNumerikus módszerek 1.
Numerikus módszerek 1. 11. előadás: A Newton-módszer és társai Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 25. Tartalomjegyzék 1 A Newton-módszer és konvergenciatételei 2 Húrmódszer és szelőmódszer 3 Általánosítás
RészletesebbenFOTOKÉMIAI REAKCIÓK, REAKCIÓKINETIKAI ALAPOK
FOTOKÉMIAI REAKCIÓK, REAKCIÓKINETIKAI ALAPOK Légköri nyomanyagok forrásai: bioszféra hiroszféra litoszféra világűr emberi tevékenység AMI BELÉP, ANNAK TÁVOZNIA IS KELL! Légköri nyomanyagok nyelői: száraz
Részletesebbenilletve a n 3 illetve a 2n 5
BEVEZETÉS A SZÁMELMÉLETBE 1. Határozzuk meg azokat az a természetes számokat ((a, b) számpárokat), amely(ek)re teljesülnek az alábbi feltételek: a. [a, 16] = 48 b. (a, 0) = 1 c. (a, 60) = 15 d. (a, b)
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenTartalom. 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció)
Tartalom 1. Állapotegyenletek megoldása 2. Állapot visszacsatolás (pólusallokáció) 2015 1 Állapotgyenletek megoldása Tekintsük az ẋ(t) = ax(t), x(0) = 1 differenciálegyenletet. Ismert, hogy a megoldás
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN. 2003.11.06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1
DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN 2003..06. Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet Egy bemenetű, egy kimenetű rendszer u(t) diff. egyenlet v(t) zárt alakban n-edrendű diff. egyenlet
RészletesebbenCsima Judit BME, SZIT február 18.
1 Véletlen gráfok és valós hálózatok Csima Judit BME, SZIT 2011. február 18. Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? Tartalom 2 1. Motiváció: miért pont véletlen gráfok? 2. A klasszikus modell:
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenMátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása
Mátrixhatvány-vektor szorzatok hatékony számítása Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék & ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport munkatárs: Szekeres Béla János Alkalmazott Analízis
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
Részletesebbenés annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
3. 3. Probléma (T): Található-e minden L véges hálóhoz egy G véges csoport és annak H részcsoportja úgy, hogy a [H, G] intervallum (azaz a G-beli, H-t tartalmazó részcsoportok hálója) L-lel izomorf legyen?
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.
Differenciálegyenletek numerikus integrálása 2018. április 9. Differenciálegyenletek Olyan egyenletek, ahol a megoldást függvény alakjában keressük az egyenletben a függvény és deriváltjai szerepelnek
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenMatematika szigorlat javítókulcs, Informatika I máj. 30.
Matematika szigorlat javítókulcs, Informatika I. 006. máj. 0.. Legyen f : [0, [ R, f (x)= x x +. a) Vizsgálja meg a függvényt monotonitás szempontjából! f (x)= x (x + ). x=0 0
RészletesebbenMatematika A3 1. ZH+megoldás
Matematika A3 1. ZH+megoldás 2008. október 17. 1. Feladat Egy 10 literes kezdetben tiszta vizet tartalmazó tartályba 2 l/min sebesséeggel 0.3 kg/l sótartalmú víz Áramlik be, amely elkeveredik a benne lévő
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 3. Hibaszámítás, lineáris regresszió Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Hibaszámítás Hibák fajtái, definíciók Abszolút, relatív, öröklött
RészletesebbenA mérési eredmény megadása
A mérési eredmény megadása A mérés során kapott értékek eltérnek a mérendő fizikai mennyiség valódi értékétől. Alapvetően kétféle mérési hibát különböztetünk meg: a determinisztikus és a véletlenszerű
RészletesebbenHiszterézises káoszgenerátor vizsgálata
vizsgálata Csikja Rudolf 2007. november 14. 1 / 34 Smale-patkó Smale-patkó Smale-patkó Cantor-halmaz A végtelen sorozatok tere 2 / 34 Smale-patkó L S R L R T B 3 / 34 Smale-patkó f(x, y) = A [ ] [ ] x
RészletesebbenMeteorológiai Adatasszimiláció
Meteorológiai Adatasszimiláció 2017 November 17 összeállította: Bölöni Gergely Tartalom 1 2 3 4 Numerikus el rejelzés: a hidro-termodinamikai egyenletek (HTE) numerikus megoldása a HTE megoldása vegyes
Részletesebben4. A kézfogások száma pont Összesen: 2 pont
I. 1. A páros számokat tartalmazó részhalmazok: 6 ; 8 ; 6 ; 8. { } { } { }. 5 ( a ) 17 Összesen: t = = a a Összesen: ot kaphat a vizsgázó, ha csak két helyes részhalmazt ír fel. Szintén jár, ha a helyes
Részletesebben8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész
Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=
RészletesebbenMire jó a modellalkotás? Jelenségek megmagyarázásának eszköze.
Modellalkotás Mire jó a modellalkotás? Jelenségek megmagyarázásának eszköze. ok-okozati összefüggések feltárása összefüggések, mintázatok megmagyarázása "miért?" és "hogyan?" kérdések megválaszolása predikció
RészletesebbenBifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben. Simon L. Péter
Bifurkációk komplex rendszerek differenciálegyenleteiben Simon L. Péter Eötvös Loránd Tudományegyetem Matematikai Intézet Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Doktori értekezés tézisei 2012
RészletesebbenHierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal
Hierarchikus skálafüggetlen gráfok generálása fraktálokkal Komjáthy Júlia Simon Károly Sztochasztika Tanszék Matematika Intézet Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem www.math.bme.hu/~komyju www.math.bme.hu/~simonk
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenSzerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban
Szerkezetek numerikus modellezése az építőmérnöki gyakorlatban tanszékvezető, főiskolai docens a Magyar Építész Kamara tagja a Magyar Mérnöki Kamara tagja a fib Magyar Tagozatának tagja az ÉTE Debreceni
RészletesebbenZsidók, tudomány és hálózatok?
Zsidók, tudomány és hálózatok? Bevezető gondolatok és alapfogalmak Biró Tamás OR-ZSE Hálózatkutatás a Zsidó Tanulmányokban kutatócsoport 2018. 12. 19. Hálózatok mindenhol Például: emberek alkotta társadalmi
Részletesebben2. Alapfeltevések és a logisztikus egyenlet
Populáció dinamika Szőke Kálmán Benjamin - SZKRADT.ELTE 22. május 2.. Bevezetés A populációdinamika az élőlények egyedszámának és népességviszonyainak térbeli és időbeli változásának menetét adja meg.
RészletesebbenFunkcionális konnektivitás vizsgálata fmri adatok alapján
Funkcionális konnektivitás vizsgálata fmri adatok alapján Képalkotási technikák 4 Log Resolution (mm) 3 Brain EEG & MEG fmri TMS PET Lesions 2 Column 1 0 Lamina -1 Neuron -2 Dendrite -3 Synapse -4 Mikrolesions
RészletesebbenA Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003)
A Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003) Várdainé Kollár Judit szeminárium Budapest 2006. november 6. 1. Bevezetés: Belouszov Zsabotyinszkij-reakció: Ce(III)
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
RészletesebbenA talajok összenyomódásának vizsgálata
A talajok összenyomódásának vizsgálata Amit már tudni kellene Összenyomódás Konszolidáció Normálisan konszolidált talaj Túlkonszolidált talaj Túlkonszolidáltsági arányszám,ocr Konszolidáció az az időben
RészletesebbenAZ INSTACIONER HŐVEZETÉS ÉPÜLETSZERKEZETEKBEN. várfalvi.
AZ INSTACIONER HŐVEZETÉS ÉPÜLETSZERKEZETEKBEN várfalvi. IDÉZZÜK FEL A STACIONER HŐVEZETÉST q áll. t x áll. q λ t x t λ áll x. λ < λ t áll. t λ áll x. x HŐMÉRSÉKLETELOSZLÁS INSTACIONER ESETBEN Hőáram, hőmérsékleteloszlás
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
RészletesebbenMagyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás
Magyary Zoltán Posztdoktori beszámoló előadás Tengely Szabolcs 2007. november 9. Számelméleti Szeminárium tengely@math.klte.hu slide 1 Eredmények Eredmények Chabauty (T.Sz.): On the Diophantine equation
RészletesebbenJárványterjedés modellezése adaptív hálozatokon
Járványterjedés modellezése adaptív hálozatokon Szakdolgozat Írta: Major Levente Attila Matematika BSc elemző szakirány Témavezető: Bodó Ágnes PhD hallgató Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenInformációterjedés hálózatokon Voter modell
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Schneider Tímea Információterjedés hálózatokon Voter modell BSc Szakdolgozat Témavezet : Simon L. Péter Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
RészletesebbenDiszkrét matematika gyakorlat 1. ZH október 10. α csoport
Diszkrét matematika gyakorlat 1. ZH 2016. október 10. α csoport 1. Feladat. (5 pont) Adja meg az α 1 β szorzatrelációt, amennyiben ahol A {1, 2, 3, 4}. α {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 4), (4, 4)}
RészletesebbenDifferenciálegyenletek. Vajda István március 4.
Analízis előadások Vajda István 2009. március 4. Függvényegyenletek Definíció: Az olyan egyenleteket, amelyekben a meghatározandó ismeretlen függvény, függvényegyenletnek nevezzük. Függvényegyenletek Definíció:
RészletesebbenAutonóm egyenletek, dinamikai rendszerek
238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.
RészletesebbenMarkov-láncok stacionárius eloszlása
Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius
RészletesebbenCSAHÓCZI ERZSÉBET CSATÁR KATALIN KOVÁCS CSONGORNÉ MORVAI ÉVA SZÉPLAKI GYÖRGYNÉ SZEREDI ÉVA: MATEMATIKA 7.
Pedagógusképzés támogatása TÁMOP-3.1.5/12-2012-0001 CSAHÓCZI ERZSÉBET CSATÁR KATALIN KOVÁCS CSONGORNÉ MORVAI ÉVA SZÉPLAKI GYÖRGYNÉ SZEREDI ÉVA: MATEMATIKA 7. TANKÖNYVISMERTETŐ TÓTFALUSI MIKLÓS Csahóczi
RészletesebbenEgy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.
Egy forgáskúp metszéséről Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben. Az O csúcsú, O tengelyű, γ félnyílásszögű kúpot az ( XY ) sík itt két alkotóban
RészletesebbenBabeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet
/ Babeş Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar Magyar Matematika és Informatika Intézet / Tartalom 3/ kernelek segítségével Felügyelt és félig-felügyelt tanulás felügyelt: D =
RészletesebbenÁltalánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg
LMeasurement.tex, March, 00 Mérés Általánosan, bármilyen mérés annyit jelent, mint meghatározni, hányszor van meg a mérendő mennyiségben egy másik, a mérendővel egynemű, önkényesen egységnek választott
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben