A Barabási-Albert-féle gráfmodell

Átírás

1 A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András

2 Gráfok, hálózatok modelljei Rengeteg gráfokkal modellezhető terület: Pl: Internet, kapcsolati hálók, elektromos hálózatok, stb. Különböző modellek: Erdős-Rényi modell Watts-Strogatz modell Barabási-féle webgráf

3 Valós gráfok jellemzői Smallworld tulajdonság rövid átlagos úthossz Általában a csúcsok számában logaritmikus Magas klaszterezettség (clustering) Globális: zárt hármasok (tripletek) száma Lokális: csúcs szomszédjai közt futó élek és lehetséges élek aránya Megfelelő fokszámeloszlás

4 Erdős-Rényi modell Két különböző konstrukciót is jelöl: G(n, p) modell: n pont, minden él p valószínűséggel egymástól függetlenül G(n, M) modell: minden n pontú, M élű gráf azonos valószínűséggel

5 Erdős-Rényi modell G(n, p) modell Élek várható száma: G(n, M) modell Élek száma: pontosan M Egy adott e élű gráf valószínűsége: Minden M élű gráf valószínűsége: Élek egymástól függetlenek Élek egymástól nem függetlenek

6 Erdős-Rényi modell Néhány példa összetettebb tulajdonságra: Ha n p<1, akkor majdnem biztosan minden komponens mérete O(logn) alatt marad Ha a gráfban izolált pont Ha biztosan összefüggő lesz, akkor majdnem biztosan lesz, akkor a gráf majdnem

7 Erdős-Rényi modell Határ (threshold): Azt mondjuk, hogy egy p 0 =p 0 (n) függvény határ egy T tulajdonságra, ha p=p(n) esetén P(T) 0, ha p/p 0 0 P(T) 1, ha p/p 0 Például T= a gráf tartalmaz kört p 0 (n)=1/n határ T= a gráf összefüggő p 0 (n)=ln(n)/n határ

8 Erdős-Rényi modell Monoton tulajdonságok: Egy T gráftulajdonság monoton, ha olyan G(V, E 1 ) és G (V, E 2 ) gráfra, amelyre E 1 E 2, fennáll a következő: T teljesül G-re T teljesül G -re Tétel (Bollobás & Thomason): Ha T nemtriviális monoton gráftulajdonság, akkor létezik p 0 (n) határ a G(n, p) gráfokra.

9 Watts-Strogatz modell Kiindulási állapot: körgyűrű (ring lattice) Minden csúcs mindkét irányban a K/2 legközelebbi szomszédjával összekötve Majd: Minden él nagyobb sorszámú végpontját b valószínűséggel cseréljük Azonos valószínűséggel választunk azon végpontok között, melyekkel a gráf egyszerű marad

10 Watts-Strogatz modell Small-world tulajdonság Átlagos úthossz: b = 0 -ra: b 1 esetben: Klaszterezettség (clustering) b = 0 -ra: b 1 esetben:

11 Korlátozott véletlengráf folyamatok Restricted random graph process -ek Rucinski & Wormald: Egyenletes választás azon élek közül, amelyekkel a fokszám d alatt marad Erdős, Suen & Winkler: Egyenletes választás azon élek közül, amelyekkel nem keletkezik háromszög

12 Fokszámeloszlások Erdős-Rényi: Binomiális (Poisson) Watts-Strogatz: δ K / binomiális

13 Fokszámeloszlások Valós példákban: Csomópontok (hub-ok) Nagyon sok levél, kis fokszámú csúcs Néhány példa: Internet (webgráf) Hivatkozási gráf tudományos cikkeknél Szociális hálók (pl. filmszínészek) Nyugat-USA elektromos hálózata

14 Fokszámeloszlások Hatványeloszlás Legyen γ>1 valós szám. Annak a valószínűsége, hogy egy csúcs foka k: Tehát egy megfelelő c konstansra:

15 Fokszámeloszlások Példa kitevők: Internet (webgráf): γ 2.1 Hivatkozási gráf: γ 3 Filmszínészek: γ 2.3 Elektromos hálózat: γ 4

16 Barabási-Albert féle gráfmodell Két alapgondolat Folyamatos növekedés A folyamatnak nincs egy kitüntetett végállapota, újabb és újabb csúcsokat adunk a gráfhoz Preferenciális kapcsolódás (preferential attachment) Az új csúcsot annál nagyobb valószínűséggel kötjük egy régi v csúcshoz, minél nagyobb v fokszáma

17 Barabási-Albert féle gráfmodell Kiindulási állapot: Kezdeti véletlen gráf m 0 csúccsal Folyamatosan újabb csúcsok keletkeznek Az új csúcsot megjelenésekor összekötjük m darab, már jelenlévő csúccsal. Ha az i-edik csúcs fokszáma k i, akkor annak a valószínűsége, hogy összekötjük vele:

18 Barabási-Albert féle gráfmodell Skálafüggetlenség A modell során a fokszámeloszlás nem változik meg az idő múlásával 0,018 0,016 0,014 0,012 0,01 0,008 0, ,004 0,

19 Barabási-Albert féle gráfmodell Skálafüggetlenség A modell során a fokszámeloszlás nem változik meg az idő múlásával 1,2 1 0,8 0,6 0, ,

20 Barabási-Albert féle gráfmodell Tulajdonságai: Átlagos úthossz: Klaszterezettség: Robusztusság (a hubok egyaránt erősségek és gyengeségek)

21 Barabási-Albert féle gráfmodell Az alapösszetevők nélkül Növekedés nélkül: Egy idő után elveszti a skálafüggetlen tulajdonságát, végül teljes gráf lesz Preferenciális kapcsolódás nélkül: Azonos valószínűséggel minden csúcshoz

22 Barabási-Albert féle gráfmodell Egyéb kiegészítések Csúcsok törlése időnként A modellben jelenleg lineáris preferenciát használtunk, és az ezzel kapott eloszlás: Így ha γ 3, akkor a modellen módosítani kell!

23 Valós gráfpéldák 0,4 0,35 0,3 Asztrofizika kollaborációs gráf hálózat Wikipedia szerkesztői hálózat 0,25 0,2 Astrophysics Wiki 0,15 0,1 0,

24 Valós gráfpéldák 0,6 Amazon termékek kapcsolatai Pennsylvania közlekedési térképe 0,5 0,4 0,3 Amazon Pennsylvania 0,2 0,

25 Források Barabási, Albert-László, and Réka Albert. "Emergence of scaling in random networks." science (1999): Janson, Svante, Tomasz Luczak, and Andrzej Rucinski. Random graphs. Vol. 45. John Wiley & Sons, Barabási, Albert-László, Réka Albert, and Hawoong Jeong. "Mean-field theory for scale-free random networks." Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (1999): Barabási, Albert-László, Réka Albert, and Hawoong Jeong. "Scale-free characteristics of random networks: the topology of the world-wide web." Physica A: Statistical Mechanics and its Applications (2000): Hein, Dipl-Inform Oliver, Dipl-Wirtsch-Ing Michael Schwind, and Wolfgang König. "Scale-free networks." Wirtschaftsinformatik 48.4 (2006): Wikipedia szócikkek (Erdős Rényi model, Watts and Strogatz model, Barabási Albert model, Scale-free network, Preferential attachment, Clustering coefficient)

26 A Barabási-Albert-féle gráfmodell és egyéb véletlen gráfok Papp Pál András