Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. I. B. 137/b március 16.
|
|
- Amanda Fülöp
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Bevezetés a Számításelméletbe II. 6. előadás Sali Attila Budapest Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi és Információelméleti Tsz. I. B. 7/b sali@cs.bme.hu 004 március 6.
2 A kritikus út módszere (PERT-módszer)
3 A kritikus út módszere (PERT-módszer) Az,,emeletekre bontás fontos alkalmazása az úgynevezett PERT módszer.
4 A kritikus út módszere (PERT-módszer) Az,,emeletekre bontás fontos alkalmazása az úgynevezett PERT módszer. Az elnevezés az angol,,program Evaluation and Review Technique rövidítéséből származik.
5 A kritikus út módszere (PERT-módszer) Az,,emeletekre bontás fontos alkalmazása az úgynevezett PERT módszer. Az elnevezés az angol,,program Evaluation and Review Technique rövidítéséből származik. Tegyük fel, hogy egy összetett feladatot több alvállalkozóval kell elvégeztetni. Az egyes részfeladatok nem végezhetőek el egymástól függetlenül: pl. egy házépítés során a kőművesmunkák nyilván megelőzik a festési munkákat.
6 Modell: G gráf élsúlyokkal. V (G) ={részfeladatok}, (x, y) E(G) l súllyal: y részfeladat nem kezdhető el korábban, mint az x kezdése után l idővel.
7 Modell: G gráf élsúlyokkal. V (G) ={részfeladatok}, (x, y) E(G) l súllyal: y részfeladat nem kezdhető el korábban, mint az x kezdése után l idővel. l = 0 is lehetséges. J H G E K D F I C B A L
8 Mikor tud elindulni Kis Béla?
9 felébredés gatya nadrág reggeli 0 nyakkendõ fogmosás zokni cipõ trikó ing 4 5 zakó elindulás
10 felébredés gatya nadrág reggeli 0 nyakkendõ fogmosás zokni cipõ trikó ing 4 5 zakó elindulás elindulás
11 felébredés gatya nadrág reggeli 0 nyakkendõ fogmosás zokni cipõ trikó ing 4 5 zakó elindulás fogmosás zakó elindulás cipõ 4
12 felébredés gatya nadrág reggeli 0 nyakkendõ fogmosás zokni cipõ trikó ing 4 5 zakó elindulás reggeli 0 fogmosás nyakkendõ 5 zakó elindulás zokni cipõ 4 nadrág
13 felébredés gatya nadrág reggeli 0 nyakkendõ fogmosás zokni cipõ trikó ing 4 5 zakó elindulás reggeli 0 fogmosás ing nyakkendõ 5 zakó elindulás gatya zokni cipõ 4 nadrág
14 felébredés gatya nadrág reggeli 0 nyakkendõ fogmosás zokni cipõ trikó ing 4 5 zakó elindulás trikó ing reggeli fogmosás 0 5 nyakkendõ zakó elindulás gatya zokni cipõ 4 nadrág
15 felébredés gatya nadrág reggeli zokni cipõ trikó ing fogmosás elindulás zakó nyakkendõ elindulás fogmosás zakó cipõ 4 reggeli zokni nadrág 5 0 nyakkendõ gatya ing trikó felébredés
16 felébredés gatya nadrág reggeli zokni cipõ trikó ing fogmosás elindulás zakó nyakkendõ elindulás fogmosás zakó cipõ 4 reggeli zokni nadrág 5 0 nyakkendõ gatya ing trikó felébredés
17 felébredés gatya nadrág reggeli zokni cipõ trikó ing fogmosás elindulás zakó nyakkendõ elindulás fogmosás zakó cipõ 4 reggeli zokni nadrág 5 0 nyakkendõ gatya ing trikó felébredés
18 felébredés gatya nadrág reggeli zokni cipõ trikó ing fogmosás elindulás zakó nyakkendõ elindulás fogmosás zakó cipõ 4 reggeli zokni nadrág 5 0 nyakkendõ gatya ing trikó felébredés 5
19 felébredés gatya nadrág reggeli zokni cipõ trikó ing fogmosás elindulás zakó nyakkendõ elindulás fogmosás zakó cipõ 4 reggeli zokni nadrág 5 0 nyakkendõ gatya ing trikó felébredés 5 6 0
20 felébredés gatya nadrág reggeli zokni cipõ trikó ing fogmosás elindulás zakó nyakkendõ elindulás fogmosás zakó cipõ 4 reggeli zokni nadrág 5 0 nyakkendõ gatya ing trikó felébredés
21 felébredés gatya nadrág reggeli zokni cipõ trikó ing fogmosás elindulás zakó nyakkendõ elindulás fogmosás zakó cipõ 4 reggeli zokni nadrág 5 0 nyakkendõ gatya ing trikó felébredés
22 G-ben nincs irányított kör.
23 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen.
24 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk.
25 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk. A gráf emeletekre bontható:
26 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk. A gráf emeletekre bontható:először a nyelő(k) jobbszélső halmazba, Nyelő: olyan csúcs melyből nem megy ki él 4
27 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk. A gráf emeletekre bontható:először a nyelő(k) jobbszélső halmazba, ennek elhagyása után keletkező nyelő(ke)t a jobbról második halmazba és így tovább. (jobbról balra!) Nyelő: olyan csúcs melyből nem megy ki él 4
28 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk. A gráf emeletekre bontható:először a nyelő(k) jobbszélső halmazba, ennek elhagyása után keletkező nyelő(ke)t a jobbról második halmazba és így tovább. (jobbról balra!) Ezek után balról jobbra, szintenként, meghatározhatjuk minden tevékenység elkezdésének lehetséges legkorábbi időpontját. Nyelő: olyan csúcs melyből nem megy ki él 4
29 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk. A gráf emeletekre bontható:először a nyelő(k) jobbszélső halmazba, ennek elhagyása után keletkező nyelő(ke)t a jobbról második halmazba és így tovább. (jobbról balra!) Ezek után balról jobbra, szintenként, meghatározhatjuk minden tevékenység elkezdésének lehetséges legkorábbi időpontját. A bal szélső tevékenység(ek) azonnal (0. időpontban) megkezdhető(ek), Nyelő: olyan csúcs melyből nem megy ki él 4
30 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk. A gráf emeletekre bontható:először a nyelő(k) jobbszélső halmazba, ennek elhagyása után keletkező nyelő(ke)t a jobbról második halmazba és így tovább. (jobbról balra!) Ezek után balról jobbra, szintenként, meghatározhatjuk minden tevékenység elkezdésének lehetséges legkorábbi időpontját. A bal szélső tevékenység(ek) azonnal (0. időpontban) megkezdhető(ek), egy y-hoz x,x,... tevékenységek, melyekre (x i,y) E(G), legkorábban a t,t,... időpontban kezdhetőek el, akkor y legkorábban Nyelő: olyan csúcs melyből nem megy ki él 4
31 G-ben nincs irányított kör.ha egy összehasonlítási gráfot irányítottan tekintünk (azaz x y (x, y) E), az ilyen. Megfordítva, ha egy irányított körmentes gráfba behúzzuk a tranzitivtásból adódó éleket (képezzük a tranzitív lezártját), akkor összehasonlítási gráfot kapunk. A gráf emeletekre bontható:először a nyelő(k) jobbszélső halmazba, ennek elhagyása után keletkező nyelő(ke)t a jobbról második halmazba és így tovább. (jobbról balra!) Ezek után balról jobbra, szintenként, meghatározhatjuk minden tevékenység elkezdésének lehetséges legkorábbi időpontját. A bal szélső tevékenység(ek) azonnal (0. időpontban) megkezdhető(ek), egy y-hoz x,x,... tevékenységek, melyekre (x i,y) E(G), legkorábban a t,t,... időpontban kezdhetőek el, akkor y legkorábban max(t + l(x,y), t + l(x,y),...) időpontban kezdhető. Nyelő: olyan csúcs melyből nem megy ki él 4
32 Kritikus út
33 Kritikus út Megjelöljük (nyelő(k)ből visszafelé) azokat az (x i,y) éleket, melyeken a maximumok felvétetnek.
34 Kritikus út Megjelöljük (nyelő(k)ből visszafelé) azokat az (x i,y) éleket, melyeken a maximumok felvétetnek. A G gráf kritikus élei, van legalább egy irányított út a forrásból a nyelőbe csupa kritikus élen.
35 Kritikus út Megjelöljük (nyelő(k)ből visszafelé) azokat az (x i,y) éleket, melyeken a maximumok felvétetnek. A G gráf kritikus élei, van legalább egy irányított út a forrásból a nyelőbe csupa kritikus élen. Ezek a kritikus útak: a leghosszabb utak a forrásból a nyelőbe.
36 Kritikus út Megjelöljük (nyelő(k)ből visszafelé) azokat az (x i,y) éleket, melyeken a maximumok felvétetnek. A G gráf kritikus élei, van legalább egy irányított út a forrásból a nyelőbe csupa kritikus élen. Ezek a kritikus útak: a leghosszabb utak a forrásból a nyelőbe. Az ilyen kritikus utakon lévő pontoknak megfelelő részfeladatok bármelyikének késedelmes elvégzése az egész összetett feladat befejezését késleltetné (innét a kritikus út elnevezés).
37 Kritikus út Megjelöljük (nyelő(k)ből visszafelé) azokat az (x i,y) éleket, melyeken a maximumok felvétetnek. A G gráf kritikus élei, van legalább egy irányított út a forrásból a nyelőbe csupa kritikus élen. Ezek a kritikus útak: a leghosszabb utak a forrásból a nyelőbe. Az ilyen kritikus utakon lévő pontoknak megfelelő részfeladatok bármelyikének késedelmes elvégzése az egész összetett feladat befejezését késleltetné (innét a kritikus út elnevezés). Ha viszont egy pont nincs kritikus úton, akkor a megfelelő feladat késedelmes elvégzése bizonyos határon belül még elfogadható. 5
38 Bonyolultság
39 Bonyolultság A szükséges lépések száma a G pontjainak fokszámösszegével (vagyis e-vel) arányos.
40 Bonyolultság A szükséges lépések száma a G pontjainak fokszámösszegével (vagyis e-vel) arányos. Ugyanis minden él hosszát pontosan egyszer vesszük figyelembe a maximumok számításakor.
41 Bonyolultság A szükséges lépések száma a G pontjainak fokszámösszegével (vagyis e-vel) arányos. Ugyanis minden él hosszát pontosan egyszer vesszük figyelembe a maximumok számításakor. A szintekre bontás is (alkalmas gráf tárolás esetén) fokszám összeggel arányos (minden élet figyelembe kell venni, amikor töröljük az egyik végpontját.)
42 Bonyolultság A szükséges lépések száma a G pontjainak fokszámösszegével (vagyis e-vel) arányos. Ugyanis minden él hosszát pontosan egyszer vesszük figyelembe a maximumok számításakor. A szintekre bontás is (alkalmas gráf tárolás esetén) fokszám összeggel arányos (minden élet figyelembe kell venni, amikor töröljük az egyik végpontját.) A leghosszabb út meghatározása ellentétben a legrövidebb útéval (lásd Algoritmuselmélet) általában nem végezhető el polinom időben. Ebben a speciális esetben azért tudtunk gyors algoritmust adni, mert G- ben nincsenek irányított körök. 6
43 Hogyan tároljunk gráfokat?
44 Hogyan tároljunk gráfokat? Egy v pontú és e élű G gráf szomszédossági mátrixa v, illeszkedési mátrixa ve helyet foglal el.
45 Hogyan tároljunk gráfokat? Egy v pontú és e élű G gráf szomszédossági mátrixa v, illeszkedési mátrixa ve helyet foglal el. Egyszerű gráfokra e v(v )/ irányítatlan gráfok esetén és e v(v ) irányított gráfok esetén.
46 Hogyan tároljunk gráfokat? Egy v pontú és e élű G gráf szomszédossági mátrixa v, illeszkedési mátrixa ve helyet foglal el. Egyszerű gráfokra e v(v )/ irányítatlan gráfok esetén és e v(v ) irányított gráfok esetén. Illeszkedési mátrix: (v )e zérus!!
47 Hogyan tároljunk gráfokat? Egy v pontú és e élű G gráf szomszédossági mátrixa v, illeszkedési mátrixa ve helyet foglal el. Egyszerű gráfokra e v(v )/ irányítatlan gráfok esetén és e v(v ) irányított gráfok esetén. Illeszkedési mátrix: (v )e zérus!! Ha egy gráf ritka (vagyis e cv ), akkor a szomszédossági mátrixban is rengeteg a zérus.
48 Hogyan tároljunk gráfokat? Egy v pontú és e élű G gráf szomszédossági mátrixa v, illeszkedési mátrixa ve helyet foglal el. Egyszerű gráfokra e v(v )/ irányítatlan gráfok esetén és e v(v ) irányított gráfok esetén. Illeszkedési mátrix: (v )e zérus!! Ha egy gráf ritka (vagyis e cv ), akkor a szomszédossági mátrixban is rengeteg a zérus. Nagy tárigény + időigény!!
49 Hogyan tároljunk gráfokat? Egy v pontú és e élű G gráf szomszédossági mátrixa v, illeszkedési mátrixa ve helyet foglal el. Egyszerű gráfokra e v(v )/ irányítatlan gráfok esetén és e v(v ) irányított gráfok esetén. Illeszkedési mátrix: (v )e zérus!! Ha egy gráf ritka (vagyis e cv ), akkor a szomszédossági mátrixban is rengeteg a zérus. Nagy tárigény + időigény!! Például egy csúcsról eldönteni hogy nyelő, szomszédossági mátrix esetén annak egy teljes oszlopát ( v ) adatot kell kiolvasni. 7
50 Szomszédossági tömbök és listák
51 Szomszédossági tömbök és listák Sokszor jó a gráfot úgy tárolni, hogy minden pontjához felsoroljuk a szomszédjait.
52 Szomszédossági tömbök és listák Sokszor jó a gráfot úgy tárolni, hogy minden pontjához felsoroljuk a szomszédjait. A szomszédossági listák általában különböző hosszúságúak,
53 Szomszédossági tömbök és listák Sokszor jó a gráfot úgy tárolni, hogy minden pontjához felsoroljuk a szomszédjait. A szomszédossági listák általában különböző hosszúságúak,= egy közös tömbben tároljuk, és egy külön tömbben a,,mutatókat (pointer), hogy hol kezdőnek kell egy adott pont szomszédai.
54 Szomszédossági tömbök és listák Sokszor jó a gráfot úgy tárolni, hogy minden pontjához felsoroljuk a szomszédjait. A szomszédossági listák általában különböző hosszúságúak,= egy közös tömbben tároljuk, és egy külön tömbben a,,mutatókat (pointer), hogy hol kezdőnek kell egy adott pont szomszédai és 4 6 8
55 Szomszédossági tömbök és listák Sokszor jó a gráfot úgy tárolni, hogy minden pontjához felsoroljuk a szomszédjait. A szomszédossági listák általában különböző hosszúságúak,= egy közös tömbben tároljuk, és egy külön tömbben a,,mutatókat (pointer), hogy hol kezdőnek kell egy adott pont szomszédai és szomszédossági tömb 8
56 Néha jó, ha az egyes listák rendezettek.
57 Néha jó, ha az egyes listák rendezettek. Az első tömb hossza a fokszámok összege, vagyis e, a második tömbé pedig v. Így a teljes tárigény e + v.
58 Néha jó, ha az egyes listák rendezettek. Az első tömb hossza a fokszámok összege, vagyis e, a második tömbé pedig v. Így a teljes tárigény e + v. Ez az elképzelhető minimális tárigénynek közel kétszerese (az {i, j} élt i szomszédainál is, j szomszédainál is felsoroljuk). (megtérül!)
59 Néha jó, ha az egyes listák rendezettek. Az első tömb hossza a fokszámok összege, vagyis e, a második tömbé pedig v. Így a teljes tárigény e + v. Ez az elképzelhető minimális tárigénynek közel kétszerese (az {i, j} élt i szomszédainál is, j szomszédainál is felsoroljuk). (megtérül!) Irányított gráfok esetén minden i ponthoz felsoroljuk azokat a j pontokat, melyekbe (i, j) irányított él vezet i-ből;
60 Néha jó, ha az egyes listák rendezettek. Az első tömb hossza a fokszámok összege, vagyis e, a második tömbé pedig v. Így a teljes tárigény e + v. Ez az elképzelhető minimális tárigénynek közel kétszerese (az {i, j} élt i szomszédainál is, j szomszédainál is felsoroljuk). (megtérül!) Irányított gráfok esetén minden i ponthoz felsoroljuk azokat a j pontokat, melyekbe (i, j) irányított él vezet i-ből; vagy azokat a k pontokat, melyekből (k, i) irányított él vezet i-be.
61 Néha jó, ha az egyes listák rendezettek. Az első tömb hossza a fokszámok összege, vagyis e, a második tömbé pedig v. Így a teljes tárigény e + v. Ez az elképzelhető minimális tárigénynek közel kétszerese (az {i, j} élt i szomszédainál is, j szomszédainál is felsoroljuk). (megtérül!) Irányított gráfok esetén minden i ponthoz felsoroljuk azokat a j pontokat, melyekbe (i, j) irányított él vezet i-ből; vagy azokat a k pontokat, melyekből (k, i) irányított él vezet i-be.ha mindkét listát megadjuk: a kétszeres tárigény számos algoritmusnál nagyságrenddel csökkenti a lépésszám-igényt.
62 Néha jó, ha az egyes listák rendezettek. Az első tömb hossza a fokszámok összege, vagyis e, a második tömbé pedig v. Így a teljes tárigény e + v. Ez az elképzelhető minimális tárigénynek közel kétszerese (az {i, j} élt i szomszédainál is, j szomszédainál is felsoroljuk). (megtérül!) Irányított gráfok esetén minden i ponthoz felsoroljuk azokat a j pontokat, melyekbe (i, j) irányított él vezet i-ből; vagy azokat a k pontokat, melyekből (k, i) irányított él vezet i-be.ha mindkét listát megadjuk: a kétszeres tárigény számos algoritmusnál nagyságrenddel csökkenti a lépésszám-igényt. Rendezett szomszédossági tömb:az egyes pontok szomszédai növekvő sorrendben. Rendezések: további idő igény, de ez később megtérülhet. 9
63 Láncolt szomszédossági listák
64 Láncolt szomszédossági listák Ha gyakran kell a gráfból egy élt (vagy akár pontot) elhagyni, akkor a szomszédsági tömb nem megfelelő:
65 Láncolt szomszédossági listák Ha gyakran kell a gráfból egy élt (vagy akár pontot) elhagyni, akkor a szomszédsági tömb nem megfelelő: a beszúrandó vagy elhagyandó elem után következők eggyel eltolása akár n darab további lépést is igényelhet.
66 Láncolt szomszédossági listák Ha gyakran kell a gráfból egy élt (vagy akár pontot) elhagyni, akkor a szomszédsági tömb nem megfelelő: a beszúrandó vagy elhagyandó elem után következők eggyel eltolása akár n darab további lépést is igényelhet.= Olyan listát adunk, aminek első tömbje a szomszédossági lista elemeit tetszőleges sorrendben tartalmazhatja.
67 Láncolt szomszédossági listák Ha gyakran kell a gráfból egy élt (vagy akár pontot) elhagyni, akkor a szomszédsági tömb nem megfelelő: a beszúrandó vagy elhagyandó elem után következők eggyel eltolása akár n darab további lépést is igényelhet.= Olyan listát adunk, aminek első tömbje a szomszédossági lista elemeit tetszőleges sorrendben tartalmazhatja. 0
68
69 A v hosszú tömb i-ik eleme mutatja meg, hogy hol kezdjük el az i-ik pont szomszédainak kiolvasását az első e hosszú tömbből. Az alatta lévő szám (egy második e hosszú tömb megfelelő eleme) mutatja meg, hogy hol folytatódik, illetve egy speciális szimbólum jelzi, hogy vége.
70 {, 4} él elhagyása után:
71 {, 4} él elhagyása után:
72 {, 5} él bevétele után:
73 {, 5} él bevétele után:
74 A B C D Tárigény v e + v e + v 4e + v Két pont szomszédosságának eldöntése Pont szomszédainak megjelölése d log d d v d d d Minden él megjelölése v e e e Új él hozzávétele e e Régi él elvétele e e d Régi pont elvétele v e e min(e,d ) Jelölések: v pontszám, e élszám, d maximális fokszám, A: szomszédsági mátrix, B: szomszédsági tömb, C: rendezett szomszédsági tömb, D: láncolt szomszédsági lista. 4
75 Mantel tétele Legfeljebb hány éle lehet egy n-csúcsú egyszerű gráfnak, ha nem tartalmaz háromszöget?
76 Mantel tétele Legfeljebb hány éle lehet egy n-csúcsú egyszerű gráfnak, ha nem tartalmaz háromszöget?. Tétel. Ha egy n-csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz háromszöget, akkor éleinek száma legfeljebb n n. 5
77 BIZONYÍTÁS Ha G nem tartalmaz háromszöget, akkor α(g) (G). 6
78 BIZONYÍTÁS Ha G nem tartalmaz háromszöget, akkor α(g) (G). Ugyanakkor E(G) τ(g) (G) mindig igaz.(!) 6
79 BIZONYÍTÁS Ha G nem tartalmaz háromszöget, akkor α(g) (G). Ugyanakkor E(G) τ(g) (G) mindig igaz.(!) Gallai tétele szerint α(g) + τ(g) = V (G) = n. 6
80 BIZONYÍTÁS Ha G nem tartalmaz háromszöget, akkor α(g) (G). Ugyanakkor E(G) τ(g) (G) mindig igaz.(!) Gallai tétele szerint α(g) + τ(g) = V (G) = n. Összerakva: E(G) τ(g) (G) τ(g) α(g) = (n α(g)) α(g) n n. 6
81 BIZONYÍTÁS Ha G nem tartalmaz háromszöget, akkor α(g) (G). Ugyanakkor E(G) τ(g) (G) mindig igaz.(!) Gallai tétele szerint α(g) + τ(g) = V (G) = n. Összerakva: E(G) τ(g) (G) τ(g) α(g) = (n α(g)) α(g) n n. A K n, n teljes páros gráf mutatja, hogy a tétel állítása éles. 6
82 BIZONYÍTÁS Ha G nem tartalmaz háromszöget, akkor α(g) (G). Ugyanakkor E(G) τ(g) (G) mindig igaz.(!) Gallai tétele szerint α(g) + τ(g) = V (G) = n. Összerakva: E(G) τ(g) (G) τ(g) α(g) = (n α(g)) α(g) n n. A K n, n teljes páros gráf mutatja, hogy a tétel állítása éles. Azt, hogy ez az egyetlen ilyen gráf, általánosabban bizonyítjuk. 6
83 Turán gráfok. Definíció. Definiáljuk a T n,m -t: Legyen n = qm + r, ahol 0 r < m. A gráf n pontját osszuk m osztályra, r darab q + pontú, m r q pontú. Két pont közt él különböző osztályban vannak. m-osztályú gráfnak nevezünk egy gráfot, ha a pontjai m osztályba oszthatók úgy, hogy az egy osztályban levő pontok között nem fut él. T n,m egy m-osztályú teljes gráf.
84 Turán gráfok. Definíció. Definiáljuk a T n,m -t: Legyen n = qm + r, ahol 0 r < m. A gráf n pontját osszuk m osztályra, r darab q + pontú, m r q pontú. Két pont közt él különböző osztályban vannak. m-osztályú gráfnak nevezünk egy gráfot, ha a pontjai m osztályba oszthatók úgy, hogy az egy osztályban levő pontok között nem fut él. T n,m egy m-osztályú teljes gráf.. Tétel (Turán). Ha egy n pontú G gráf nem tartalmaz K m+ -et, akkor e(g) e(t n,m ). Ha pedig e(g) = e(t n,m ), akkor G = T n,m. 7
85 Turán tétel bizonyítása
86 Turán tétel bizonyítása. Az m-osztályú gráfok közül T n,m -nek van a legtöbb éle.
87 Turán tétel bizonyítása. Az m-osztályú gráfok közül T n,m -nek van a legtöbb éle. Tegyük fel, hogy az a G gráf, amelyiknek a legtöbb éle van, nem a T n,m gráf. G-ben van két olyan osztály, hogy az egyikben x pont van, a másikban legalább x +.
88 Turán tétel bizonyítása. Az m-osztályú gráfok közül T n,m -nek van a legtöbb éle. Tegyük fel, hogy az a G gráf, amelyiknek a legtöbb éle van, nem a T n,m gráf. G-ben van két olyan osztály, hogy az egyikben x pont van, a másikban legalább Ha a nagyobból a kisebbe átteszünk egy pontot, akkor legfel- x +. jebb x él szűnik meg, viszont legalább x + új élet húzunk be.
89 Turán tétel bizonyítása. Az m-osztályú gráfok közül T n,m -nek van a legtöbb éle. Tegyük fel, hogy az a G gráf, amelyiknek a legtöbb éle van, nem a T n,m gráf. G-ben van két olyan osztály, hogy az egyikben x pont van, a másikban legalább Ha a nagyobból a kisebbe átteszünk egy pontot, akkor legfel- x +. jebb x él szűnik meg, viszont legalább x + új élet húzunk be.. Ha G egy K m+ -et nem tartalmazó n-pontú gráf, akkor ugyanazon a ponthalmazon konstruálható egy olyan m osztályú teljes H gráf, melyben minden pont fokszáma legalább akkora mint G-ben, vagyis minden v V (G) = V (H)-ra d G (v) d H (v).
90 Turán tétel bizonyítása. Az m-osztályú gráfok közül T n,m -nek van a legtöbb éle. Tegyük fel, hogy az a G gráf, amelyiknek a legtöbb éle van, nem a T n,m gráf. G-ben van két olyan osztály, hogy az egyikben x pont van, a másikban legalább Ha a nagyobból a kisebbe átteszünk egy pontot, akkor legfel- x +. jebb x él szűnik meg, viszont legalább x + új élet húzunk be.. Ha G egy K m+ -et nem tartalmazó n-pontú gráf, akkor ugyanazon a ponthalmazon konstruálható egy olyan m osztályú teljes H gráf, melyben minden pont fokszáma legalább akkora mint G-ben, vagyis minden v V (G) = V (H)-ra d G (v) d H (v). (a) m-re való teljes indukció. m = -re az állítás triviális. 8
91 (b) Legyen x olyan pont, hogy d G (x) = G. Legyen V = {u {u,x} E(G)}, V = V (G) V azaz, x V. G legyen G-nek a V által feszített részgráfja.
92 (b) Legyen x olyan pont, hogy d G (x) = G. Legyen V = {u {u,x} E(G)}, V = V (G) V azaz, x V. G legyen G-nek a V által feszített részgráfja. G -ben nincs K m, hiszen ez x-szel együtt G-ben K m+ -et alkotna. Indukciós feltevés G -re: Van olyan teljes m - osztályú H gráf, hogy minden v V (G )-re d G (v) d H (v).
93 (b) Legyen x olyan pont, hogy d G (x) = G. Legyen V = {u {u,x} E(G)}, V = V (G) V azaz, x V. G legyen G-nek a V által feszített részgráfja. G -ben nincs K m, hiszen ez x-szel együtt G-ben K m+ -et alkotna. Indukciós feltevés G -re: Van olyan teljes m - osztályú H gráf, hogy minden v V (G )-re d G (v) d H (v). (c) H gráf: V ponthalmazon a H gráf, majd V minden pontját kössük össze V minden pontjával, viszont hagyjunk el minden két V -beli pontot összekötő élet. A H gráf m osztályú.
94 (b) Legyen x olyan pont, hogy d G (x) = G. Legyen V = {u {u,x} E(G)}, V = V (G) V azaz, x V. G legyen G-nek a V által feszített részgráfja. G -ben nincs K m, hiszen ez x-szel együtt G-ben K m+ -et alkotna. Indukciós feltevés G -re: Van olyan teljes m - osztályú H gráf, hogy minden v V (G )-re d G (v) d H (v). (c) H gráf: V ponthalmazon a H gráf, majd V minden pontját kössük össze V minden pontjával, viszont hagyjunk el minden két V -beli pontot összekötő élet. A H gráf m osztályú. Ha v V, akkor d H (v) = V = G. Ha v V, akkor d H (v) = d H (v) + V d G (v) + V d G (v).
95 (b) Legyen x olyan pont, hogy d G (x) = G. Legyen V = {u {u,x} E(G)}, V = V (G) V azaz, x V. G legyen G-nek a V által feszített részgráfja. G -ben nincs K m, hiszen ez x-szel együtt G-ben K m+ -et alkotna. Indukciós feltevés G -re: Van olyan teljes m - osztályú H gráf, hogy minden v V (G )-re d G (v) d H (v). (c) H gráf: V ponthalmazon a H gráf, majd V minden pontját kössük össze V minden pontjával, viszont hagyjunk el minden két V -beli pontot összekötő élet. A H gráf m osztályú. Ha v V, akkor d H (v) = V = G. Ha v V, akkor d H (v) = d H (v) + V d G (v) + V d G (v).. Ha egy G-ben nincs K m+, de nem izomorf T n,m -mel, akkor van egy nála nagyobb élszámú m-osztályú teljes gráf, ennek az élszáma pedig nem nagyobb e(t n,m )-nél. Így beláttuk az állítás második részét is. 9
96 Két érdekes tétel
97 Két érdekes tétel 4. Tétel (Erdős Stone). Ha e(g) e(t n,m ) + εn, akkor G-ben nemcsak hogy van legalább egy K m+, hanem létezik olyan c(ε,m) konstans is, hogy G-ben van olyan teljes m+-osztályú részgráf, amelyben az osztályok pontszáma legalább c log n.
98 Két érdekes tétel 4. Tétel (Erdős Stone). Ha e(g) e(t n,m ) + εn, akkor G-ben nemcsak hogy van legalább egy K m+, hanem létezik olyan c(ε,m) konstans is, hogy G-ben van olyan teljes m+-osztályú részgráf, amelyben az osztályok pontszáma legalább c log n. Azaz, ha csak kicsit nagyobb az élsűrűség, mint a Turán gráfé, akkor már rengeteg K m+ van a gráfban. 0
99 5. Tétel (Erdős Simonovits). Ha G,G,...,G k adott gráfok, akkor létezik olyan ex(n;g,g,...,g k ) függvény, amelyre teljesül, hogy minden olyan G gráfnak, amelyre v(g) = n és e(g) ex(n;g,g,...,g k ), van valamelyik G i gráffal izomorf részgráfja. Az ex függvényre teljesül, hogy ex(n;g,g,...,g k ) lim ( n n = ) min i=,...,k χ(g i ). ()
100 5. Tétel (Erdős Simonovits). Ha G,G,...,G k adott gráfok, akkor létezik olyan ex(n;g,g,...,g k ) függvény, amelyre teljesül, hogy minden olyan G gráfnak, amelyre v(g) = n és e(g) ex(n;g,g,...,g k ), van valamelyik G i gráffal izomorf részgráfja. Az ex függvényre teljesül, hogy ex(n;g,g,...,g k ) lim ( n n = ) min i=,...,k χ(g i ). () Azaz a maximális G i -t nem tartalmazó gráf élsűrűségének nagyságrendje G i kromatikus számától függ, ha az legalább.
101 Ha valamelyik kizárandó gráf páros, akkor a fenti tétel nem határozza meg az élsűrűség nagyságrendjét.
102 Ha valamelyik kizárandó gráf páros, akkor a fenti tétel nem határozza meg az élsűrűség nagyságrendjét. T n,m élszáma ( ) ( ) ( ) n q + q e(t n,m ) = r (m r) ( )( n ). () m
103 Ha valamelyik kizárandó gráf páros, akkor a fenti tétel nem határozza meg az élsűrűség nagyságrendjét. T n,m élszáma ( ) ( ) ( ) n q + q e(t n,m ) = r (m r) ( )( n ). () m k = és G = K m+ esetén χ(k m+ ) = m +, azaz ebben az esetben az Erdős-Simonovits következik a Turánból.
Algoritmuselmélet. Mélységi keresés és alkalmazásai. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Mélységi keresés és alkalmazásai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 9. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 13.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 13. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Legrövidebb utak, Bellmann-Ford, Dijkstra Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 3. előadás Katona Gyula Y. (BME
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Gráfok megadása, szélességi bejárás, összefüggőség, párosítás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2. előadás
RészletesebbenSzA II. gyakorlat, szeptember 18.
SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA
22. GRÁFOK ÁBRÁZOLÁSA A megoldandó feladatok, problémák modellezése során sokszor gráfokat alkalmazunk. A gráf fogalmát a matematikából ismertnek vehetjük. A modellezés során a gráfok több változata is
RészletesebbenGráfelmélet. I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma
Készítette: Laczik Sándor János Gráfelmélet I. Előadás jegyzet (2010.szeptember 9.) 1.A gráf fogalma Definíció: a G=(V,E) párt egyszerű gráfnak nevezzük, (V elemeit a gráf csúcsainak/pontjainak,e elemeit
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 7. előadás
Algoritmuselmélet 7. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 11. ALGORITMUSELMÉLET 7. ELŐADÁS 1 Múltkori
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenEGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF
Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Bonyolultságelmélet. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Bonyolultságelmélet Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 12.
Algoritmuselmélet NP-teljes problémák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 12. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. 2-3 fák. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem. 8.
Algoritmuselmélet 2-3 fák Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 8. előadás Katona Gyula Y. (BME SZIT) Algoritmuselmélet 8. előadás
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Részletesebben1. Szerencsére elmúlt a veszély, pánikra semmi ok. Luke Skywalker ugyan kivont lézerkarddal ment órára a jediképzőben, de a birodalmi gárda
1. ZH 2012. X. 11. 15 Mobiltelefon még kikapcsolt állapotban sem lehet a padon vagy a hallgató kezében. Minden egyes feladat helyes megoldása 10 pontot ér. A dolgozatok értékelése: 0-23 pont: 1, 24-32
RészletesebbenGráfok csúcsszínezései
Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára Gráfok csúcsszínezései 2012. október 1. Előadó: Hajnal Péter 1. (Csúcs)színezések alapfogalmai Emlékeztetőként idézzünk fel néhány korábban tanult
RészletesebbenGráfelméleti alapfogalmak
1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont
RészletesebbenELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
Részletesebben26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA
26. MINIMÁLIS KÖLTSÉGŰ UTAK MINDEN CSÚCSPÁRRA Az előző két fejezetben tárgyalt feladat általánosításaként a gráfban található összes csúcspárra szeretnénk meghatározni a legkisebb költségű utat. A probléma
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenGráfok, definíciók. Gráfok ábrázolása. Az adott probléma megoldásához ténylegesen mely műveletek szükségesek. Ábrázolások. Példa:
Gráfok, definíciók Irányítatlan gráf: G = (V,E), ahol E rendezetlen (a,b),a,b V párok halmaza. Irányított gráf: G = (V,E) E rendezett (a,b) párok halmaza; E V V. Címkézett (súlyozott) gráf: G = (V,E,C)
RészletesebbenFeladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a
Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,
RészletesebbenGráfok 1. Tárolási módok, bejárások. Szoftvertervezés és -fejlesztés II. előadás. Szénási Sándor
Gráfok 1. Tárolási módok, bejárások előadás http://nik.uni-obuda.hu/sztf2 Szénási Sándor szenasi.sandor@nik.uni-obuda.hu Óbudai Egyetem,Neumann János Informatikai Kar Gráfok 1. Tárolási módok Szélességi
RészletesebbenSzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.
SzA X/XI. gyakorlat, 2013. november 14/19. Színezünk és rajzolunk Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Mennyi a következő gráfok kromatikus száma: C 4, C 5, K 2,4, alábbi 2 gráf χ(c 4 ) = 2, páros hosszú
RészletesebbenDiszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
RészletesebbenMás szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy. Más szavakkal formálisan:, ahol olyan egész szám, hogy.
Bevezetés 1. Definíció. Az alsó egészrész függvény minden valós számhoz egy egész számot rendel hozzá, éppen azt, amely a tőle nem nagyobb egészek közül a legnagyobb. Az alsó egészrész függvény jele:,
RészletesebbenGráfelméleti feladatok. c f
Gráfelméleti feladatok d e c f a b gráf, csúcsok, élek séta: a, b, c, d, e, c, a, b, f vonal: c, d, e, c, b, a út: f, b, a, e, d (walk, lanţ) (trail, lanţ simplu) (path, lanţ elementar) 1 irányított gráf,
Részletesebben1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok. HálózatokII, 2007
Hálózatok II 2007 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Szerda 17:00 18:30 Gyakorlat: nincs Vizsga írásbeli Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/g/07nwii
RészletesebbenMegoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei
Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges
RészletesebbenBonyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II.
onyolultságelmélet gyakorlat 06 Gráfos visszavezetések II. 1. Feladat Mutassuk meg, hogy a n/-hosszú kör probléma NP-nehéz! n/-hosszú kör Input: (V, ) irányítatlan gráf Output: van-e G-ben a csúcsok felén
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe II. Zárthelyi feladatok április 23.
evezetés a számításelméletbe II. Zárthelyi feladatok 2018. április 23. 1. G egyszerű gráf csúcshalmaza legyen V (G) = {1, 2,..., 10}. z x, y V (G), x y csúcsok pontosan akkor legyenek szomszédosak G-ben,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 5. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 27 Gazdaságos faváz Kruskal-algoritmus Joseph Kruskal (1928 2010) Legyen V = {v 1, v 2,..., v n }, E = {e 1, e 2,...,
RészletesebbenSzámítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009
Számítógép hálózatok, osztott rendszerek 2009 1: Bevezetés: Internet, rétegmodell Alapok: aszimptótika, gráfok 1 Az előadáshoz Előadás: Hétfő 10:00 12:00 óra Gyakorlat: Hétfő 14:00-16:00 óra Honlap: http://people.inf.elte.hu/lukovszki/courses/0910nwmsc
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
RészletesebbenA számítástudomány alapjai. Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Bináris keresőfa, kupac Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
RészletesebbenEuler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3
Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó
RészletesebbenAdatszerkezetek II. 1. előadás
Adatszerkezetek II. 1. előadás Gráfok A gráf fogalma: Gráf(P,E): P pontok (csúcsok) és E P P élek halmaza Fogalmak: Irányított gráf : (p 1,p 2 ) E-ből nem következik, hogy (p 2,p 1 ) E Irányítatlan gráf
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 2. előadás
Algoritmuselmélet 2. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 12. ALGORITMUSELMÉLET 2. ELŐADÁS 1 Buborék-rendezés
RészletesebbenAdatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter
Adatszerkezetek 2. Dr. Iványi Péter 1 Fák Fákat akkor használunk, ha az adatok között valamilyen alá- és fölérendeltség van. Pl. könyvtárszerkezet gyökér (root) Nincsennek hurkok!!! 2 Bináris fák Azokat
Részletesebbenbármely másikra el lehessen jutni. A vállalat tudja, hogy tetszőlegesen adott
. Minimális súlyú feszítő fa keresése Képzeljük el, hogy egy útépítő vállalat azt a megbízást kapja, hogy építsen ki egy úthálózatot néhány település között (a települések között jelenleg nincs út). feltétel
RészletesebbenGráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére
Tamaga István Gráfelméleti modell alkalmazása épít ipari kivitelezés ütemezésére modell Készítsük el egy épít ipari kivitelezés gráfelméleti modelljét! Ekkor a kivitelezést megfeleltetjük egy gráfnak,
RészletesebbenGráf-algoritmusok Legrövidebb utak
https://www.cs.princeton.edu/~rs/algsds07/15shortestpaths.pdf Gráf-algoritmusok Legrövidebb utak Sapientia-EMTE 2017-18 Typesetting in TeX Két pont között, akkor van él, ha közéjük 1 2 3 4 eső szó szekvencia
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 1. előadás
Algoritmuselmélet 1. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Február 11. ALGORITMUSELMÉLET 1. ELŐADÁS 1 Források
RészletesebbenDiszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna
Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára 7. Előadás Párosítási tételek Előadó: Hajnal Péter Jegyzetelő: Kovácsházi Anna 2010. 10. 18. 2 7. Párosítási tételek.nb 7. Előadás Emlékeztető: Javító út, Javító
RészletesebbenAlgoritmusok bonyolultsága
Algoritmusok bonyolultsága 9. előadás http://www.ms.sapientia.ro/~kasa/komplex.htm 1 / 18 Közelítő algoritmusok ládapakolás (bin packing) Adott n tárgy (s i tömeggel) és végtelen sok 1 kapacitású láda
RészletesebbenAz optimális megoldást adó algoritmusok
Az optimális megoldást adó algoritmusok shop ütemezés esetén Ebben a fejezetben olyan modellekkel foglalkozunk, amelyekben a munkák több műveletből állnak. Speciálisan shop ütemezési problémákat vizsgálunk.
RészletesebbenKiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése
Kiegészítő részelőadás 1. Az algoritmusok hatékonyságának mérése Dr. Kallós Gábor 2014 2015 1 Az Ordó jelölés Azt mondjuk, hogy az f(n) függvény eleme az Ordó(g(n)) halmaznak, ha van olyan c konstans (c
RészletesebbenGráfelmélet jegyzet 2. előadás
Gráfelmélet jegyzet 2. előadás Készítette: Kovács Ede . Fák Tétel. : A következők ekvivalensek a T gráfra: (i) T összefüggő, e E. T e már nem összefüggő (ii) T összefüggő és körmentes. (iii) x, y V T!
RészletesebbenSíkbarajzolható gráfok Április 26.
Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 18. előadás
Algoritmuselmélet 18. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Május 7. ALGORITMUSELMÉLET 18. ELŐADÁS 1 Közelítő algoritmusok
RészletesebbenHAMILTON ÚT: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó út
SÍKBA RAJZOLHATÓ GRÁFOK ld. előadás diasorozat SZÍNEZÉS: ld. előadás diasorozat PÉLDA: Reguláris 5 gráf színezése 4 színnel Juhász, PPKE ITK, 007: http://users.itk.ppke.hu/~b_novak/dmat/juhasz_5_foku_graf.bmp
RészletesebbenKOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára. Klikkek gráfokban-1. Definíció. Egy G gráfban egy K V(G) csúcshalmazt klikknek nevezünk, ha K
KOMBINATORIKA ElŐADÁS Matematika BSc hallgatók számára Klikkek gráfokban Előadó: Hajnal Péter 2017 1. Az alapkérdés Emlékeztetünk egy a gráfok színezésénél tárgyalt fontos fogalomra: Definíció. Egy G gráfban
RészletesebbenIII. Gráfok. 1. Irányítatlan gráfok:
III. Gráfok 1. Irányítatlan gráfok: Jelölés: G=(X,U), X a csomópontok halmaza, U az élek halmaza X={1,2,3,4,5,6}, U={[1,2], [1,4], [1,6], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,5],[5,6]} Értelmezések: 1. Fokszám:
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
RészletesebbenDiszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz
Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot
RészletesebbenHAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör. Forrás: (
HAMILTON KÖR: minden csúcson PONTOSAN egyszer áthaladó kör Teljes gráf: Páros gráf, teljes páros gráf és Hamilton kör/út Hamilton kör: Minden csúcson áthaladó kör Hamilton kör Forrás: (http://www.math.klte.hur/~tujanyi/komb_j/k_win_doc/g0603.doc
RészletesebbenPélda Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 11. előadás
Algoritmuselmélet 11. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Március 26. ALGORITMUSELMÉLET 11. ELŐADÁS 1 Kruskal
RészletesebbenGráfalgoritmusok ismétlés ősz
Gráfalgoritmusok ismétlés 2017. ősz Gráfok ábrázolása Egy G = (V, E) gráf ábrázolására alapvetően két módszert szoktak használni: szomszédsági listákat, illetve szomszédsági mátrixot. A G = (V, E) gráf
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe II. 1. zh,
Bevezetés a számításelméletbe II. 1. zh, 2014.03.20. 1. Egy 59 csúcsú egyszer gráfban bármely két csúcs fokszámösszege 60- nál nagyobb páros szám. Igaz-e, hogy a gráfban biztosan van Eulerkörséta? 2. Egy
RészletesebbenRamsey-féle problémák
FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:
RészletesebbenAlgoritmuselmélet 12. előadás
Algoritmuselmélet 12. előadás Katona Gyula Y. Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Számítástudományi Tsz. I. B. 137/b kiskat@cs.bme.hu 2002 Április 9. ALGORITMUSELMÉLET 12. ELŐADÁS 1 Turing-gépek
RészletesebbenMelykeres(G) for(u in V) {szin(u):=feher Apa(u):=0} for(u in V) {if szin(u)=feher then MBejar(u)}
Mélységi keresés Ez az algoritmus a gráf pontjait járja be, eredményképpen egy mélységi feszítőerdőt ad vissza az Apa függvény által. A pontok bejártságát színekkel kezeljük, fehér= érintetlen, szürke=meg-
RészletesebbenÉrdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)
Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik
RészletesebbenA számítástudomány alapjai
A számítástudomány alapjai Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Legszélesebb utak Katona Gyula Y. (BME SZIT) A számítástudomány
Részletesebben30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK
30. ERŐSEN ÜSSZEFÜGGŐ KOMPONENSEK A gráfos alkalmazások között is találkozunk olyan problémákkal, amelyeket megoldását a részekre bontott gráfon határozzuk meg, majd ezeket alkalmas módon teljes megoldássá
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
RészletesebbenBevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)
Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK
RészletesebbenGráfelméleti feladatok programozóknak
Gráfelméleti feladatok programozóknak Nagy-György Judit 1. Lehet-e egy gráf fokszámsorozata 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6? 2. Lehet-e egyszer gráf fokszámsorozata (a) 3, 3, 4, 4, 6? (b) 0, 1, 2, 2, 2,
Részletesebben5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus.
5/1. tétel: Optimalis feszítőfák, Prim és Kruskal algorithmusa. Legrövidebb utak graphokban, negatív súlyú élek, Dijkstra és Bellman Ford algorithmus. Optimalis feszítőfák Egy összefüggő, irányítatlan
RészletesebbenAlgoritmuselmélet. Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás. Katona Gyula Y.
Algoritmuselmélet Függvények nagyságrendje, elágazás és korlátozás, dinamikus programozás Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
RészletesebbenKözösségek keresése nagy gráfokban
Közösségek keresése nagy gráfokban Katona Gyula Y. Számítástudományi és Információelméleti Tanszék Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem 2011. április 14. Katona Gyula Y. (BME SZIT) Közösségek
RészletesebbenHasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése
Hasonlósági keresés molekulagráfokon: legnagyobb közös részgráf keresése Kovács Péter ChemAxon Kft., ELTE IK kpeter@inf.elte.hu Budapest, 2018.11.06. Bevezetés Feladat: két molekulagráf legnagyobb közös
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
Részletesebben1. zárthelyi,
1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk
RészletesebbenDiszkrét matematika II. gyakorlat
Diszkrét matematika II. gyakorlat 9. Gyakorlat Szakács Nóra Helyettesít: Bogya Norbert Bolyai Intézet 2013. április 11. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2013. április 11.
RészletesebbenSíkbarajzolható gráfok, duális gráf
Síkbarajzolható gráfok, duális gráf Papp László BME November 8, 2018 Gráfok lerajzolása Definíció: Egy G gráf diagramján a gráf olyan lerajzolását értjük ahol a csúcsok különböző síkbeli pontok, illetve
RészletesebbenPÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN
PÁROS HOSSZÚ KÖRÖK GRÁFOKBAN CSIKVÁRI PÉTER Kivonat. Ebben a jegyzetben bebizonyítjuk Bondy és Simonovits következő tételét. Ha egy n csúcsú egyszerű gráf nem tartalmaz C k kört akkor az éleinek száma
RészletesebbenJavító és majdnem javító utak
Javító és majdnem javító utak deficites Hall-tétel alapján elméletileg meghatározhatjuk, hogy egy G = (, ; E) páros gráfban mekkora a legnagyobb párosítás mérete. Ehhez azonban első ránézésre az összes
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden
RészletesebbenPélda Hajtsuk végre az 1 pontból a Dijkstra algoritmust az alábbi gráfra. (A mátrixban a c i j érték az (i, j) él hossza, ha nincs él.
Legrövidebb utak súlyozott gráfokban A feladat egy súlyozott gráfban egy adott pontból kiinduló legrövidebb utak megkeresése. Az input a súlyozott gráf és a kiindulási s pont. Outputként egy legrövidebb
RészletesebbenMinimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra:
Minimális feszítőfák Legyen G = (V,E,c), c : E R + egy súlyozott irányítatlan gráf. Terjesszük ki a súlyfüggvényt a T E élhalmazokra: C(T ) = (u,v) T c(u,v) Az F = (V,T) gráf minimális feszitőfája G-nek,
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
RészletesebbenDiszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. október 12. 1. Diszkrét matematika 2. 5. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. október 12. Diszkrét matematika
RészletesebbenGRÁFELMÉLET. 7. előadás. Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus
GRÁFELMÉLET 7. előadás Javító utak, javító utak keresése, Edmonds-algoritmus Definíció: egy P utat javító útnak nevezünk egy M párosításra nézve, ha az út páratlan hosszú, kezdő- és végpontjai nem párosítottak,
RészletesebbenGráfelméleti alapfogalmak
KOMBINATORIKA GYAKORLAT osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2014. 1. Feladat. Az alábbiakban egy-egy egyszerű gráfot definiálunk. Rajzoljuk
Részletesebben1. Gráfmodellek. 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736)
1. Gráfmodellek 1.1 Königsbergi hidak (Euler, 1736) Probléma: Königsberg mellett volt egy Pregel nevû folyó, két szigettel. A folyó két partját és a szigeteket hét híd kötötte össze. Bejárhatjuk-e volt
Részletesebben