24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.

Átírás

1 2009/ Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől. A kombinatorika problémái két fő kérdéskör köré csoportosítható: a) egy halmaz elemeinek különböző sorrendben való elhelyezése; b) egy halmaz elemeiből a különböző módon való kiválasztás. Az első kérdéskör vezet a permutációk, a második a kombinációk, a kettő együtt a variációk fogalmához. Amennyiben az adott elemek között egyenlők is vannak, akkor ismétléses permutációról; ha pedig a kiválasztásnál megengedjük egy elem ismételt szerepeltetését, akkor ismétléses kombinációról, illetve ismétléses variációról beszélünk. Az n! (olvasd: n faktoriális) jelentése. A pozitív egész számok szorzata 1-től n- ig. Az -az n! = n Az 1! értékét 1-nek tekintjük. Célszerű: 0!=1-nek definiálni. Def: n különböző elem egy lehetséges sorrendjét permutációnak nevezzük. a) Té tel(1): n különböző elem összes permutációinak száma: P n = n! Bizonyítás: vegyünk egy n rekeszes dobozt, és vizsgáljuk meg, hányféleképpen lehet az 1, 2, 3 n elemeket elhelyezni a megadott n helyre. Az első rekeszbe az n elem bármelyike választható, így ez a rekesz n-féleképpen tölthető be. Bármelyik elemet is választjuk, a másodikba az (n-1) elem bármelyike tehető, ezért az első két rekesz kitöltésére n (n-1) lehetőségünk van. Hasonlóan látható be, hogy a következő helyek mindegyike 1 gyel kevesebb módon tölthető be, mint az őt megelőző hely. Így az n-edik rekeszbe már csak egyetlen elem marad. pl.: Hányféle sorrendben léphet be az ajtón 5 ember? (Válasz: 5! = 120) Def: n elem egy lehetséges sorrendjét, amikor ezek között vannak egyforma elemek is (pl.: k, l, m egyforma), ismétléses permutációnak nevezzük.,, n! b) Té tel (2): A fenti esetben az összes ismétléses permutációk száma: P k l m n = k! l! m! (k, l, m: az egyforma elemek száma) pl.: Hányféleképpen állítható sorba 4 db piros, 3 db kék és 2 db zöld golyó? (Válasz: 4,3,2 9! P 9 = = 1260 ) 4!3!2! Def: Variációnak nevezzük, amikor n különböző elemből kiválasztunk k< n darabot úgy, hogy az adott kiválasztásnál számít a sorrend. c) Té tel(3): n különböző elem k-ad osztályú (ismétlés nélküli) variációinak a száma: V k n =n n 1 n 2... n k 1 = n! n k! pl.: Egy fagyizóban 12-féle fagyit árulnak. Hányféle 5 gombócos tölcséres fagyi van? (Egyféléből csak egy gombócot veszünk.) (Válasz: V 5 12 = = 12! 7! =95040 )

2 2009/ Huszk@ Jenő Def: Ismétléses variációnak nevezzük, amikor n különböző elemből kiválasztunk k darabot úgy, hogy 1-1 elem többször is szerepelhet (legfeljebb k-szor) és az adott kiválasztásban számít a sorrend. k d)té tel(4): n különböző elem k-ad osztályú ismétléses variációinak a száma: V n (ism.) = n k pl.: Hányféle 5 hosszúságú fej vagy írás sorozat van? (Válasz: 2 5 = 32) pl.: Egy fagyizóban 12-féle fagyit árulnak. Hányféle 5 gombócos tölcséres fagyi van? (Egyféléből többet is vehetünk.) (Válasz: V 5 12 ism. =12 5 = ) Def: Kombinációnak nevezzük, amikor n különböző elemből kiválasztunk k< n darabot úgy, hogy a sorrend nem számít. e)té tel(5): n különböző elem k-ad osztályú (ismétlés nélküli) kombinációinak a száma: n n 1 n 2... n k 1 n! = = k! n k! k! C n k = n k pl: Hányféle lottóötös van (5 a 90-ből)? (Válasz: C 5 90 = 90 5 =90! 85! 5! = ) pl.: Egy fagyizóban 12-féle fagyit árulnak. Hányféle 5 gombócos kelyhes fagyi van? (Egyféléből csak egy gombócot veszünk.) (Válasz: C 5 12 = 12 5 =12! 7! 5! =792 ) Def.: Ismétléses kombinációnak nevezzük, amikor n különböző elemből kiválasztunk k darabot úgy, hogy a sorrend nem számít és 1 elemet többször is (legfeljebb k-szor) kiválaszthatunk f)té tel(6): n különböző elem k-ad osztályú ismétléses kombinációinak a száma: C k n ism. = n k 1 k pl: Egy fagyizóban 12-féle fagyit árulnak. Hányféle 5 gombócos kelyhes fagyi van? (Egyféléből többet is vehetünk.) (Válasz: C 5 12 ism. = 16 5 =16! 11! 5! =4368 ) A binomiális tétel: a b = n n 0 n 1 b... n k an an 1 an k b... n 1 k n n abn 1 bn Pascal-háromszög: A Pascal-háromszög egy kiválasztási táblázat, a segítségével megmondhatjuk, hogy például hányféleképpen lehet n darab elemből k darabot kiválasztani: n-dik sor k-adik eleme n. n 0 n 1 n 2 n k n 1 n n n Té tel(7): n k n k = n Bizonyítás: - bal oldal: n k = n! n k! k!

3 2009/ Huszk@ Jenő -jobb oldal: n k n = n! [ n n k ]! n k! = n! k! n k! Té tel(8): A Pascal háromszög n-edik sorában lévő számok összege 2 n. (Azaz: n 0 n 1... n n =2n ) 1. Bizonyítás: Binomiális tétellel: 2 n = 1 1 n = n 0 n 1... n n 2. Bizonyítás: Mindkét oldalon az n elemű halmaz részhalmazainak száma van feltüntetve. - bal oldal: 0-elemű részhalmazok száma + 1-elemű részhalmazok száma n-elemű részhalmazok száma = összes részhalmaz száma - jobb oldal: részhalmazok száma az ismert tétel szerint (Segédtétel: n elemű halmaz részhalmazainak száma: 2 n. 2. Gráfok A gráf pontokból és vonalakból álló alakzat. Minden vonal két (nem feltétlenül különböző) pontot köt össze. A pontok a gráf pontjai (vagy szögpontjai), a vonalak a gráf élei. Az élek egyenesekre vagy görbe vonalakra is illeszkedhetnek, keresztezhetik is egymást. Azt fontos tudni, hogy melyik pont, melyik ponttal van összekötve.a gráfokat jól lehet alkalmazni ismeretségi viszonyoknál, elektromos hálózatoknál, közlekedési útvonalak tervezésénél. Négy pont esetében például a következő kapcsolatok kifejezésére: szögpont egyenesre illeszkedő él görbe vonalra illeszkedő él Ha egy gráfnak n pontja van (n pozitív egész szám), és mindegyik pontból pontosan egy él vezet a többi ponthoz, akkor ezt n pont ú teljes gráfnak nevezzük. Egy négy pontú teljes gráf például a következő: teljes gráf, mindegyik pontjából

4 2009/ Huszk@ Jenő n-1 él vezet (itt 3 él, mivel n=4) Egy gráfban előfordulhat olyan él is, amelynek mindkét végpontja ugyanaz a pont. Az ilyen él neve huroké l. Két csúcs között több élt is húzhatunk. Ezek a többszörös é lek. Az alábbi gráfon két hurokél, és két többszörös él található: többszörös él hurokél Egy gráfot egyszerűnek nevezü nk, ha nincs benne sem hurokél, sem többszörös él. A középiskolai tanulmányok során csak egyszerű gráfokkal foglalkozunk. Egy gráf összefügg ő, ha bármely pontjából bármely másik pontjába az élek mentén el lehet jutni. Az első gráf összefüggő, a második nem összefüggő: összefüggő nem összefüggő

5 2009/ Huszk@ Jenő A gráf egy P pontjához (szögpontjához) illeszkedő élvégek számát a P pont fokszámának nevezzük. Az alábbi gráfban a fokszámok összege:12 (zárójelben mindegyik pont fokszáma) Egy gráf összes pontja fokszámának az összege megegyezik élei számának a kétszeresével. Ez következik abból, hogy a fokszámok összege az élek végpontjainak (minden élnek két végpontja van, ezért minden él kétszer szerepel az összeszámlálásban) összege. A fokszámok összegére vonatkozó megállapításból következik, hogy minden gráf fokszámának az összege páros szám, továbbá a páratlan fokszámú szögpontok száma páros szám. Az előzőek szemléltetése, bemutatása: a fokszámok összege páros szám a páratlan fokszámú szögpontok száma:4

6 2009/ Huszk@ Jenő Egy gráf komplementerén olyan gráfot értünk, amelyik az eredetivel együtt egy teljes gráfot alkot. Ebből következik, hogy a komplementer gráf komplementere az eredeti gráf. Az n szögpontú teljes gráf komplementere az n szögpontú él-nélküli gráf. A komplementer jelölése: G, illetve G = G a komplementer gráf éleit szaggatott vonalak jelölik él-nélküli hatpontú gráf Egy G' gráf a G gráfnak részgrá fja, ha a G' minden szögpontja, szögpontja a G gráfnak is, és G' minden éle, éle G gráfnak is. A G és a G' gráfokat izomorfoknak nevezzük (szokás azonosnak is nevezni), ha a G és a G' szögpontjainak halmaza között létezik olyan kölcsönösen egyértelmű leképezés, hogy a két G beli pont akkor és csak akkor van összekötve a G-ben, ha a nekik megfelelő pontok össze vannak kötve a G'-ben.

7 2009/ Huszk@ Jenő Ha egy gráf teljes, akkor annak részgráfja, vagy a részgrá f komplementere mindig összefügg ő. a részgráfja nem összefüggő izolált pont komplementere összefüggő Ha egy gráf úgynevezett zárt Euler vonal, akkor a bejárhatósá g (megrajzolható egy vonallal úgy, hogy a ceruzát nem emeljük fel) szükséges feltétele, hogy minden pont fokszáma páros legyen, vagy két páratlan fokszámú pontja legyen. páratlan fokszámú pontok száma: 2 Nem járható be Az EC élet eltávolítva bejárható: a kiindulási pontba érkezünk

8 2009/ Huszk@ Jenő Ha a gráfban a kezd ő és a végpont különböző, akkor a bejárhatóság szükséges feltétele, hogy a kezdő és a végpont páratlan fokszámú legyen, az összes többi páros fokszámú.(nyitott Euler vonal) nem járható be bejárható Az olyan összefüggő gráfokat, amelyekben nincs kör (zárt poligon, amelyben a végpontokon kívül minden pont és él csak egyszer szerepel), fá nak nevezzük. Egy fában bármely két pontot pontosan egy út (vonal) köt össze. Egy n szögpont ú fának pontosan n-1 éle van. ez a kör hiányzik A szögpontok száma: 8; az élek száma: 7.

9 2009/ Huszk@ Jenő Alkalmazások a) szerencsejátékok (rulett, kártyajátékok, póker, stb), nyereményjátékok (totó, lottó, stb.) esetén használható a kombinatorika, illetve a valószínűségszámítás (Ezt részletesen kifejtve, példát mutatva nem kell további alkalmazást említeni! Pl.: ha kitöltenénk az összes lehetséges módon ötöslottó-szelvényeket, az egy darab telitalálat mellett hány négyes, hármas, kettes találatunk lenne?) = 425; = 35700; = b) kódmegfejtéskor is használják a kombinatorikát; az összes variáció segítségével található meg a helyes kombináció számítástudomány c)a kombinatorika igen fontos lehet egy sakkozó számára, hogy felmérje az összes kombinációs lehetőséget és így ezek közül kiválasztva mindig a legjobb lépést lépje meg d) sportversenyek, sportrendezvények megszervezése esetén is hasznunkra válhat a kombinatorika (pl: bajnokság, csapatok kialakításakor) e) hat város között úgy akarnak utakat tervezni, hogy bármely városból bármely városba el lehessen jutni, és a városok között a lehető legkevesebb számú közvetlen utat keljen megépíteni. Átfogalmazva: városok a pontok, a városok közötti utak az élek. (Összesen 5 élre van szükség) Történet: A gráfelmélet a matematika viszonylag új ága. Keletkezését általában Euler egy 1736-ban megjelent dolgozatától számítják, amelyben a königsbergi hidak problémájával foglalkozik.(königsberg városa egy folyó két partján és a folyó két szigetén fekszik. A négy városrészt 7 híd köti össze. Kérdés, hogy lehet-e olyan sétát tenni, a városban, amelynek során minden hídon pontosan egyszer kelünk át?(nem, mert a gráf nem minden pontjának fokszáma páros, illetve a páratlan fokszámú csúcsok száma nem kettő)