Ismétlés nélküli kombináció

Átírás

1 Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen lehet egyforma könyvet kiosztani, ha mindenki 1 könyvet kaphat? Az els könyvet 1 tanulónak adhatjuk. A második könyvet a maradék 1 tanulónak adhatjuk. És így tovább hely lehetség Összesen féleképpen oszthatjuk ki a könyveket, úgy hogy a sorrend számít. 1! Másképpen: eset lehetséges. 1! Igen ám, de egyformák a könyvek. A kiválasztott tanulót akárhogy állítjuk sorba, ugyanazt az esetet kapjuk, mert ugyanaz a könyv lesz náluk. Az esetek száma annyiadrészre csökken, ahányféleképpen a kiválasztott öt tanulót sorba tudjuk rendezni. 1! 1! 1!! 1!! Így a lehetségek száma: 1 Hogy ne kelljen annyit írni, ezt a törtet úgy jelöljük, hogy 1 /olvasd. 1 alatt az öt/ és binominális együtthatónak nevezzük. k n Általánosan: n (olvasd n alatt a k). k Általános képlet k n n! n különböz elembl n - féleképpen lehet k (nk)!k! kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk. 1. Hány lottószelvényt kell kitölteni, hogy találatosunk legyen? Az ötös lottón az 1,,, 90 számok közül kell kiválasztani számot úgy, hogy a sorrend mindegy. Ezt félképpen tehetjük meg. 90 Tehát a biztos ötös találathoz majdnem millió szelvényt kéne kitölteni. Nem túl gazdaságos. Számold ki mennyibe kerülne! A hatos lottón 1,,, számok közül kell 6 számot úgy, hogy a sorrend mindegy. 1

2 6 Ezt félképpen tehetjük meg. Itt kevesebb szelvényt kell kitölteni, de kevesebbet is fizet.. Egy kalapban van 0 különböz szín golyó. Belemarkolunk a kalapba és kiveszünk ötöt. Ezt hányféleképpen tehetjük meg? A kiválasztott öt golyó sorrendje nem számít, ezért vehetünk ki öt golyót.. Egy mhelyben egy mszak alatt elkészített 00 darab zár között % selejtes. Hányféleképpen lehet közülük kiválasztani zárat úgy, hogy a.) mind a selejtes legyen, b.) selejtes legyen? 00 0,0 = 0 0 zár selejt és 0 zár jó. A zárak egyformák ezért a kiválasztott elemek sorrendje nem számít. a.) A 0 selejtbl kell választani mind a tizet. A lehetségek száma: b.) Ötöt a selejtekbl kell választani, ez féleképpen lehetséges. Ötöt a jókból kell választani, ez 0 - féleképpen lehetséges. Bármelyik jó mellé bármelyik öt rosszat párosíthatjuk, az lehetséges kiválasztások száma: 0 0. Egy csomag magyar kártyából húzzunk ki találomra 7 lapot. Hány esetben lehet a kihúzott lapok között 1 király? A kihúzott lapok sorrendje mindegy. Az a lényeges, hogy milyen lapokat kapunk, a sorrendjük nem számít a kezünkben. A királyból egyet 1 - féleképpen választhatunk. Kell még 6 nem király. A nem királyból hatot féleképpen választhatunk. Bármelyik királyt bármelyik hat nem királlyal összepárosíthatjuk ezért az összes lehetségek számát az egyes lehetségek számának a szorzata adja: királyból egy a nem királyból 6. A buszjegy kezel automata a jegyet 9 pontban lyukasztja ki. Hányféle érvényesítés lehetséges, ha az automata legalább 1 és legfeljebb 9 helyen lyukaszt? Egy önkiszolgáló étterem pultján 6 különböz leves és 9 különböz zelék áll. Hányféle lehet egy fs társaság együttes fogyasztása, ha mindenki eszik levest is és fzeléket is?

3 Egy hallgatónak 0 egykötetes regénye és verseskötete van. Magával akar vinni kötetet. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha a kiválasztottak közt versesköteteknek is kell lennie? 0 76 (Összes lehetség- csak regény választás).. Hány különböz összeg fizethet ki egy-egy darab 1,,, illetve 0 Ft-ossal? ugyanis egyik pénzérme sem állítható el a többi felhasználásával, tehát minden kiválasztás másmás összeg. 9. Egy 0 fs üdül társaság fs turnusokban ebédel. Hányféleképpen lehetséges ez? 0! =! 0 1. Hány átlója van egy szabályos 1 oldalú sokszögnek? A 1 db hármanként nem kollineáris pontból --t választva meghúzzuk az összes lehetséges egyenest. Ezek között a sokszög oldalai is ott lesznek, tehát ezeket levonjuk. Azért van szó kombinációról, mert a két kiválasztott pont sorrendje nem számít (nem számít, hogy oda, vagy vissza húzzuk az egyenest). V = (db átló) P 11. Egy polcon 1 üveg bor van: fehér és vörös. Hányféle módon lehet kiválasztani ezek közül 6 üveggel, hogy közötte üveg vörös bor legyen? 1 Tehát ( vörös bor) féleképpen. ( fehér bor) 1. Egy -es létszámú osztályban létre kell hozni egy tagú bizottságot, amelyben legyen 1 titkár, a másik csak tag. Hány olyan eset van, amikor Kovács Éva: a.) titkára a bizottságnak? b.) nem titkár, de tag a bizottságban? c.) szerepel a bizottságban? a.)ha Kovács Éva a titkár, akkor a maradék 1 tanulóból választunk helyre: b.)valaki titkár lesz, Kovács Éva tag. A titkár helyére 1 féle választás van.

4 A tag helyére 0 ( helyre választunk, mert a titkárt már kiválasztottuk és Kovács Éva is elfoglalt egy helyet.) 0 9 Tehát Ö = c.)az el kettl következik, hogy + 1 = Egy osztályból 17 fiú napos túrára megy. Éjszakára a turistaházban 1 darab ágyas, 1 darab ágyas, 1 darab ágyas és 1 darab ágyas szobában kapnak szállást. Hányféleképpen helyezkedhetnek el a szobákban, ha az egy szobában lév fekvhelyek között nem teszünk különbséget? Mivel a fekhelyeket nem különböztetjük meg, a sorrend nem számít. ágyas szobába a 17 fiúból sorsolunk ki nyolcat: ez -féleképpen lehetséges. ágyas szobába a maradék 9 fiúból sorsolunk ki négyet: ez lehetséges. ágyas szobába a maradék fiúból sorsolunk ki hármat: ez féleképpen -féleképpen lehetséges. ágyas szobába a maradék két fiú megy: egyféleképpen lehetséges. Az összes esetek száma: Egy csomag magyar kártyából kihúzunk lapot. Hány esetben lesz a kihúzott lapok között a) legalább 7 zöld; b) legfeljebb 7zöld? a.) Legalább 7 zöld van a lapok között, ha 7 vagy zöld lapot húztunk. zöld van a lapok között: Kell a zöldbl, ez 1-féleképpen lehetséges. Kell a nem zöldbl, ez Tehát zöld -féleképpen lehetséges. -féleképpen lehet a lap között. 7 zöld van a lapok között: Kell a zöldbl 7, ez 7 -féleképpen lehetséges. Kell a nem zöldbl, ez -féleképpen lehetséges. Bármelyik 7 zöld lapot bármelyik három nem zöld lappal párosíthatjuk, ezért 7 7 zöld -féleképpen lehet a lap között. Legalább 7 zöld összesen 7 esetben lehet a lapok között. b.) Legfeljebb 7 zöld van a tíz lap között. sak az az eset kedveztlen, ha zöld lapot húztunk. Ha kevés a kedveztlen eset, akkor könnyebb úgy számolni, hogy a kedvez esetek számából kivonjuk a kedveztlen esetek számát. Összes lehetség: Kedveztlen esetek száma ( zöldet húztunk): Kedvez esetek száma: játékkockából 0 selejt. Ha az ötszáz kockából kiveszünk 0-t, akkor hány esetben lesz köztük

5 a.) legalább selejt; b.) legfeljebb selejt? a.) Összes esetek száma: 0 00 Kedveztlen eset: nincs selejt vagy ha 1 selejt van. Kedvez esetek száma: b.) Kedvez eset ha 0; 1; selejt van A síkban adott n pont, ahol k pont ugyanazon az egyenesen helyezkedik el, a többi viszont hármanként nem kollineáris. a) Hány egyenessel kötjük össze ezeket a pontokat? b) Hány különböz háromszög csúcsait helyezhetjük el ezeken a pontokban? a) n k 1 b) n k 17. Egy társaságban mindenki mindenkivel kezet fogott. Összesen 66 kézfogás történt. Hányan voltak a társaságban? Megoldás: n(n 1) n 66 ahonnan n= 1 1. Hányféleképpen olvashatjuk ki a MIIMAKÓ szót a következ táblázatból? M I I M A I I M A I M A K I M A K Ó A bal fels sarokból a jobb alsó sarok felé kell haladnunk, csak jobbra vagy lefelé léphetünk. Összesen -öt kell lépni jobbra és -at kell lépni lefelé, ez összesen hely. 1. megoldás: Nyolc hely van. Ebbl ki kell választani hármat, úgy hogy a sorrend mindegy és ezekre a helyekre írjuk az l betket, a többi helyre a j betket. Ezt 6 -féleképpen tehetjük meg. pl. a JJJLLJLJ sorozat annak felel meg, hogy jobbra, jobbra, jobbra, le, le, jobbra, le, jobbra M I I M A I I M A I M A K I M A K Ó

6 . megoldás: Nyolc hely van. Ebbl ki kell választani hármat, úgy hogy a sorrend mindegy és ezekre a helyekre írjuk a j betket, a többi helyre az l betket. Ezt 6 -féleképpen tehetjük meg.. megoldás: Annyi útvonal van, amennyiszer sorba lehet rendezni J,! és L bett: P 6!!. Megoldás: rekurzív számlálással M I 1 1 I 1 M 1 A 1 I 1 I M A 6 1 I M 6 A 1 K 1 I 1 M A 0 K Ó 6 Megjegyzés: P k,nk n n! k! (n k)! k n 19. Egy csomag lapos franciakártya-csomagból lapot húzunk ki. Hány esetben lesz ezek között: a) király b) pontosan 1 király c) legalább király d) pontosan király? Az lap közül lapot király van, ezért a) legalább 1 királyt: -féleképpen húzunk ki. Mivel a csomagban esetben NEM húzunk királyt. b) pontosan egy királyt: c) legalább két királyt: d) d) pontosan királyt akkor húzunk ki, ha a király közül választunk ki kettt, a többi nyolc lapot pedig a maradék lapból, tehát: 0. Hány téglalap alakítható ki az ábrán lev 1 egységnyi terület téglalapból, ha a rácspontok lehetnek a téglalap csúcsai? mert egy téglalapot csúcs határoz meg, a vízszintes 6 pont közül -öt 6 -féleképpen, a függleges pont közül -öt -féleképpen választhatunk ki, a megoldás a kettjük szorzata. 6