Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni?

Átírás

1

2 Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni?

3 Kombinatorika avagy hányféleképp? Zsuzsi babájának négyféle színes blúza és kétféle színes szoknyája van. Szeretné mindig másképpen felöltöztetni. Hányféleképpen tudja felöltöztetni a babáját?

4 Kombinatorika alapfogalmak I. Ismétlés nélküli Permutációk: akkor beszélünk permutációról, ha valahány konkrét elemet sorba rendezünk. Akkor ismétlés nélküli a permutáció, ha minden elem csak egyszer szerepel. Pl. fogorvosnál várakozók beengedésének sorrendje,(ha mindenki csak egyszer megy be) egy osztály sorba állítása, Adott filmek vetítési sorrendje. (ha minden filmet csak egyszer vetítenek) Számítás: Az első kiválasztása még n féleképp történhet a következőt már a maradékból választjuk és így tovább, mindig eggyel kevesebb elemből választhatunk, amíg az összes sorba kerül. P=n(n-1)(n-2) 3 2 1=n! (n faktoriális)

5 Ismétlés nélküli Permutáció Példák Hányféle sorrendben ülhet le egymás mellé 5 kutya? Az első helyre még 5-en tudnak leülni, a másodikra már csak 4 közül választhatok, mert egy már az első helyre került, őt már nem választhatom még egyszer. A harmadik helyre már csak 3 lehetőségem van, és így tovább, míg az össze kutyát le nem ültettem. 5!=

6 Ismétlés nélküli Permutáció Példák Hányféle sorrendben kerülhetnek sorra az alábbi várakozó fiatalok? Az első helyre még 6-an tudnak állni, a másodikra már csak 5 lehetőségem van, mert egy már az első helyre került, őt már nem választhatom még egyszer. A harmadik helyre már csak 3 lehetőségem van, és így tovább, míg mindenki helyet kap a sorban. 6!=

7 Feladatok 1-k-3. (2005.május 2+3 pont) Anna, Béla, Cili és Dénes színházba megy. Jegyük a bal oldal 10. sor 1., 2., 3., 4. helyére szól. a) Hányféle sorrendben tudnak leülni a négy helyre? b) Hányféleképpen tudnak leülni a négy helyre úgy, hogy Anna és Béla egymás mellé kerüljenek? 1-k-4. (2005.október 2+1 pont) Egy iskolának mind az öt érettségiző osztálya 1-1 táncot mutat be a szalagavató bálon. Az A osztály palotást táncol, ezzel indul a műsor. A többi tánc sorrendjét sorsolással döntik el. Hányféle sorrend alakulhat ki? Válaszát indokolja! 1-k-6. (2006. február 2 pont) Hány különböző háromjegyű pozitív szám képezhető a 0, 6, 7 számjegyek felhasználásával?

8 Kombinatorika alapfogalmak II. Ismétlés nélküli Variációk: akkor beszélünk variációról, ha egy adott (k) elemszámú sorozatot kell összeállítanunk valahány (n) fajta elemből. Pl. egy három sávos zászlót kiszínezni, ha 10 színünk van. Vagy, hány dobogós sorrend lehetséges, ha egy tornán 16 versenyző indul. Fontos, hogy a sorrend itt számít, nem mindegy, ki áll a legfelső dobogón az eredményhirdetéskor, és a zászló színeinek sorrendje sem közömbös. A variáció ismétlés nélküli, ha egy elem (pl. szín, versenyző, sütemény) csak egyszer szerepelhet. Számítás: Az ismétlés nélküli variáció majdnem olyan, úgy számoljuk, mint a permutációt, csak hamarabb abbahagyjuk. Az első kiválasztása még n féleképp történhet a következőt már a maradékból választjuk és így tovább, mindig eggyel kevesebb elemből választhatunk, de csak az első k tényezőt írjuk le. P=n(n-1)(n-2) (n-k+1)=n!/(n-k)!

9 Ismétlés nélküli Variáció Példák Hányféle dobogós sorrend lehetséges az alábbi lóversenyen, amelyen 7 versenyző indult? Az első helyre még 7-en futhatnak be, a másodikra már csak 6 közül választhatok, mert egy már az első helyre került, őt már nem választhatom még egyszer. A harmadik helyre már csak 5 lehetőségem van, és több dobogós hely nincs =7!/(7-3)!= 210

10 Kombinatorika alapfogalmak III. Ismétlés nélküli Kombinációk: Az ismétlés nélküli kombinációk száma azt adja meg, hogy n elemből hányféleképp választhatunk ki k-t, ha a sorrend nem számít. Tehát pl. egy osztályból hárman kapnak (ugyanolyan) jutalmat, kilencven számból a lottón kiválasztunk ötöt. Számítás: Ez majdnem olyan, mint egy ismétlés nélküli variáció, csakhogy itt a sorrend nem számít. Ezért az ismétlés nélküli variációk számát el kell osztani azzal, ahány féleképp sorba lehet rakni a kiválasztott k elemeket Azaz n elem esetén: n!/(n-k)!k!

11 Feladatok 1-k-12. (2006. október 2 pont) A piacon az egyik zöldségespultnál hétféle gyümölcs kapható. Kati ezekből háromfélét vesz, mindegyikből 1-1 kilót. Hányféle összeállításban választhat Kati? (A választ egyetlen számmal adja meg!) 1-k-2. (2005.május 3 pont) A focira jelentkezett 19 tanulóból öten vehetnek részt egy edzőtáborban. Igazolja, hogy több, mint féleképpen lehet kiválasztani az öt tanulót! Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha a könyvek egyformák, és mindenki csak egy könyvet kaphat?

12 Kombinatorika alapfogalmak IV. Ismétléses variációk: akkor beszélünk variációról, ha egy adott (k) elemszámú sorozatot kell összeállítanunk valahány (n) fajta elemből. Ismétléses egy variáció, ha egy elemet többször felhasználhatunk Pl. egy három sávos zászlót kiszínezni, ha 10 színünk van és a színek ismétlődhetnek Fontos, hogy a sorrend itt számít, a zászló színeinek sorrendje nem közömbös. Számítás: Ilyenkor mind a k helyre n féle elemet választhatunk. V=n k

13 Feladatok 1-k-13. (2007. október 2 pont) Hány olyan háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből, amelyikben csupa különböző számjegyek szerepelnek? Hányféleképpen tölthetünk ki egy 13+1-es totószelvényt? Egy 5 házból álló házsort szeretnénk kifesteni. Hányféle kifestés létezik, ha 4-féle festékünk van? Egy 10 fős társaságban 4 könyvet osztunk szét. Hányféleképpen tehetjük meg, ha minden könyv különböző, és mindenki csak egy könyvet kaphat?

14 Vegyes Feladatok 1-k-1. (2005.május 2+2 pont) A szóbeli érettségi vizsgán az osztály 22 tanulója közül az első csoportba öten kerülnek. a) Hányféleképpen lehet a 22 tanulóból véletlenszerűen kiválasztani az első csoportba tartozókat? Először mindenki történelemből felel. b) Hányféle sorrendben felelhet történelemből az 5 kiválasztott diák? 1-k-5. (2005.október 3 pont) Egy vállalkozás reklám-ajándéka szabályos hatszög alapú egyenes gúla, amit fából készítenek el. A gúla oldallapjait hat különböző színnel festik be úgy, hogy 1-1 laphoz egy színt használnak. Hányféle lehet ez a színezés? (Két színezést akkor tekintünk különbözőnek, ha forgatással nem vihetők át egymásba.)

15 Vegyes Feladatok 1-k-8. (2006.május 3 pont) A 12. évfolyam tanulói magyarból próbaérettségit írtak. Minden tanuló egy kódszámot kapott, amely az 1, 2, 3, 4 és 5 számjegyekből mindegyiket pontosan egyszer tartalmazta valamilyen sorrendben. Hány tanuló írta meg a dolgozatot, ha az összes képezhető kódszámot mind kiosztották? 1-k-9. (2006. május 3 pont) Négy különböző gyümölcsfából egyet-egyet ültetek sorban egymás mellé: almát, körtét, barackot és szilvát. Tudom, hogy barackfa nem kerülhet a sor szélére. Hányféleképpen helyezhetem el a fákat? 1-k-10. (2006. október 3 pont) Októberben az iskolában hat osztály nevezett be a focibajnokságra egy-egy csapattal. Hány mérkőzést kell lejátszani, ha mindenki mindenkivel játszik, és szerveznek visszavágókat is?

16 Vegyes Feladatok 1-k-14. (2007. október 3 pont) A rajzterem falát egy naptár díszíti, melyen három forgatható korong található. A bal oldali korongon a hónapok nevei vannak, a másik két korongon pedig a napokat jelölő számjegyek forgathatók ki. A középső korongon a 0, 1, 2, 3; a jobb szélsőn pedig a 0, 1, 2, 3,... 8, 9 számjegyek szerepelnek. A beállított dátum február 15. Ezzel a szerkezettel kiforgathatunk valóságos vagy csak a képzeletben létező dátumokat Összesen hány dátum forgatható ki? 1-k-20. (2010. május 2 pont) Annának kedden 5 órája van, mégpedig matematika (M), német (N), testnevelés (T), angol (A) és biológia (B). Tudjuk, hogy a matematikaórát testnevelés követi, és az utolsó óra német. Írja le Anna keddi órarendjének összes lehetőségét!

17 Kombinatorika alapfogalmak V. Ismétléses Permutációk: akkor beszélünk permutációról, ha valahány konkrét elemet sorba rendezünk. Akkor ismétléses a permutáció, ha van olyan elem amiből több is van a sorban. Pl. fogorvosnál várakozók beengedésének sorrendje,(ha valakit többször is beszólítanak pl. érzéstelenítés miatt) Adott filmek vetítési sorrendje. (ha bizonyos filmeket többször is vetítenek) Számítás: Ilyenkor a többször szereplő elemet többször számoljuk, pl. ha öten várakoznak a rendelőben, de egyvalakit háromszor is beszólítanak, pl. injekció miatt, akkor úgy tekintjük, hogy heten várakoznak, amiből hárman megegyeznek. Ezután 7-tal számolunk úgy mint az ismétlés nélküli permutációnál, majd a végén elosztjuk 3!- sal. P=7!/3!