Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,"

Átírás

1 // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1. fejezet Elméleti összefoglaló Lásd 16. lecke összefoglalója. Kidolgozott feladatok Hányféleképpen fordulhat elő ultiban, hogy a kapott 10 lap között pontosan 4 piros, 5 zöld és 1 ász van? (A pakliban 32 lap van: 8 tök, 8 makk, 8 piros és 8 zöld. Minden színből az alábbi figurák léteznek: ász, király, felső, alsó, 10-es, 9-es, 8-as, 7-es.) Vegyük észre, hogy 4 piros, 5 zöld és 1 ász nem feltétlenül 10 lapot takar (pl. a piros ász piros és ász is)! Így három eset lehetséges: nálunk van a zöld ász; nálunk van a piros ász; egyik sincs nálunk; Az első esetben nálunk van: 4 piros, ezek közül egyik sem ász; 5 zöld, ezek közül az egyik az ász; végül 1 nem piros, nem zöld és nem ász lap. 4 piros, nem ász ( 7 4 ) féleképpen választható ki. Az 5 zöld közül egy az ász, a maradék 4 lap ( 7 4 ) féleképpen választható ki. A maradék egy lapot a pakli nem piros, nem zöld és nem ász lapjai közül kell kiválasztanunk (ez =14 lap), tehát ( 14 1 ) féleképpen választható ki. Összesen: ( 7 4 ) ( 7 4 ) ( 14 1 )=17150 Teljesen hasonlóan, ha a piros ász van nálunk: 4 piros, ebből egy ász, a többi 3 lap ( 7 3 ) -féleképpen választható ki. coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 1/7

2 5 zöld, egyik sem ász ( 7 5 ) -féleképpen választható ki. A maradék egy nem piros, nem zöld, nem ász lap ( 14 1 ) -féleképpen választható ki. Összesen: ( 7 3 ) ( 7 5 ) ( 14 1 )= A harmadik esetben, ha sem a piros, sem a zöld ász nincs nálunk: a piros lapok ( 7 4 ) -féleképpen választhatók ki; a zöld lapok pedig ( 7 5 ) -féleképpen (ugyanis a piros ász és a zöld ász nem választható ki). A maradék lapnak ásznak kell lennie, tehát kétféle lehet (tök vagy makk) Összesen: ( 7 4 ) ( 7 5 ) 2=1470. A három esetet összegezve: ( 7 4 ) ( 7 4 ) ( 14 1 )+( 7 3 ) ( 7 5 ) ( 14 1 )+( 7 4 ) ( 7 5 ) 2= Hányféle nulla találatos totószelvény lehetséges? Az egyszerűség kedvéért tekintsünk el a +1-es meccstől, vagyis csak 13 mérkőzésre tippelhetünk. Egy meccsre háromféle tipp adható: 1, 2, X, az alapján, hogy a hazai vagy a vendégcsapat győzelmét várjuk, illetve a döntetlenre tippelünk. Ezek közül pontosan egy helyes, kettő pedig rossz. Vagyis minden egyes meccsre 2-féle rossz tipp adható. Ha mind a 13 meccsre rossz tippet adunk, akkor ez = 2 13 =8192-féle kitöltés Hányféleképpen lehet pontosan 10 találatunk a fenti szerencsejátékban? (Most is tekintsünk el a +1 mérkőzéstől) A 13 tippből 10 jó, 3 pedig helytelen, de egy meccsre kétféleképpen is lehet rosszul tippelni. A 13-ból eltalált 10 meccset ( ) -féleképpen választhatjuk ki, ugyanis a kiválasztás sorrendje nem, csak a kiválasztás ténye számít. A maradék 3 meccsre 2 3 -féleképpen adhatunk rossz tippet. Vagyis a lehetőségek száma: ( ) 2 3 = A miniszter 20 millió Ft jutalmat oszt szét 5 államtitkár között. Hányféleképpen teheti ezt meg, ha az egység 1 millió Ft, és legalább ennyit mindenki megkap? Mivel mindenki kapott legalább 1 millió Ft-ot, ezért tekinthetjük úgy, hogy már mindenki rendelkezik ezzel az 1 millióval és a maradék 15 milliót kell szétosztani 1 milliós adagokban. Ez úgy történik, hogy vesszük az 1 milliót és kiválasztunk egy embert, akinek odaadjuk és így tovább, amíg az összes pénz el nem fogy. Egy embert többször is kiválaszthatunk, és a végeredmény szempontjából csak az érdekes, hogy mennyit kapott, az nem, hogy milyen sorrendben. A fentiek alapján megállapíthatjuk, hogy ismétléses kombinációval állunk szemben (a kiválasztott ember személye ismétlődhet). C 15,5 =( )=( 19 5 )= Egy négy házaspárból álló társaság szórakozni indult. coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 2/7

3 a) Először színházba mentek. Hányféleképpen ülhettek le egy sorban, ha a párok egymás mellett akartak ülni? b) A színház után elmentek vacsorázni. Hányféleképpen ülhették körül a kör alakú asztalt, ha a házastársak ismét egymás mellett akartak ülni? a) Tekintsük a négy házaspárt. Őket 4! -féleképpen lehet sorba rendezni. Ezen belül mindenki helyet cserélhet a párjával. Egy-egy ilyen cserével megduplázódik a lehetőségek száma, vagyis összesen: 4! 2 4 =384 -féleképpen ülhetnek le. b) Tekintsük újra a négy házaspárt. Ők valamilyen sorrendben leülnek az asztal körül. Mivel az asztal kör alakú, ezért nincs kitüntetett első hely, vagyis ha minden pár eggyel (egy párnyival) arrébb ül, akkor ugyanazt az ültetési rendet kapjuk (ez már egy más sorrend lenne, ha nem körbe, hanem sorba ülnének, vagyis ha lenne 1. hely). Nyilván ugyanez igaz, ha 2 vagy 3 hellyel ülnének arrébb (4-nél már a kiinduló helyzetbe érnének vissza.) Vagyis minden körbeüléshez 4 sorba állítás tartozik. Ezért a lehetséges elrendezések száma: 4! = Hányféle négyjegyű szám készíthető a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből, ha a) minden számjegy legfeljebb egyszer szerepelhet (a négyjegyű számban minden jegy különböző); b) a számjegyek többször is szerepelhetnek? Vegyük észre, hogy a feladat nem ugyanaz, mint a , mert itt a 0 is szerepel a megadott számjegyek között, márpedig egy négyjegyű szám első számjegye nem lehet 0. Így mindkét esetben számolhatunk úgy, hogy meghatározzuk azon sorrendek számát, amikor a nulla is állhat az első helyen, és ebből levonjuk a 0-val kezdődőek számát. a) a 2. helyre 9-féle; a 3. helyre 8-féle; a 4. helyre pedig 7-féle számjegy kerülhet, ez összesen =5040 -féle lehetőség. Ebből még le kell vonnunk azon esetek számát, amikor az első jegy 0, akkor a 2. helyen 9-féle; a 3. helyen 8-féle; a 4. helyen 7-féle számjegy lehet, ez összesen 9 8 7=504 -féle lehetőség. Így a valódi (nem 0-val kezdődő) négyjegyű számok száma: =4536. b) Ebben az esetben az összes lehetőségek száma (minden helyre 10-féle számjegy kerülhet): = 10 4 = Azon esetek száma, amikor a 0 az első helyen áll: = 10 3 =1000. Vagyis a valódi (nem nullával kezdődő) négyjegyű számok száma: =9000. Számolhattunk volna a következő módon is: az 1. helyre 9-féle; A 2., 3. és 4. helyre féle számjegy kerülhet, tehát az összes lehetőségek száma: = Húsz óvodás sétálni indul. Szépen sorban, párosával, ahogy illik. Hányféleképpen állhatnak így sorban, ha coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 3/7

4 a) számít, hogy az egyes pároknál ki melyik oldalon megy; b) nem számít, hogy ki melyik oldalon megy? a) Ebben a feladatban a lehetséges sorrendek száma megegyezik a 20 fő lehetséges sorrendjeinek számával, vagyis 20!. Szemléltethetjük az esetet az alábbi módon: jobb oldal bal oldal 1. ; jobb oldal bal oldal 2. ;... ; jobb oldal bal oldal 10. Vagyis a 20 gyerek minden egyes sorrendjéhez rendelhető egy "sétáló sorrend", így a lehetőségek száma valóban 20!. b) Induljunk ki a fenti ábrából! Ha valamelyik párban helyet cserélnek (jobb és bal oldal felcserélődik), ez itt nem számít új sorrendnek. Sőt, ha mindegyik páron belül cserélgetnek, az még mindig ugyanaz a sorrend, hiszen most nem számít, hogy az egyes pároknál ki melyik oldalon áll. Tehát az itteni lehetőségek száma annyiad része az a) feladatbelinek, ahányféle módon tudnak a gyerekek helyet cserélni. Mind a 10 párban kétféle felállás lehet, ez = 2 10 =1024 lehetőség. Vagyis ha nem számít, hogy az egyes pároknál ki melyik oldalon áll, akkor az óvódások 20! 2 10 = féleképpen állhatnak kettes sorban Az unokahúgom nagyon szeret babázni. Kedvenc babájának kikönyörgött egy teljes ruhatárat: három blúz (fehér, piros, sárga), három szoknya (kék, piros, zöld) és három pár zokni (fehér, kék, lila) alkotja a készletet. Minden nap másképp öltözteti fel, ráadásul egyszerre nem lehet rajta két azonos színű ruhadarab (pl. fehér blúz és fehér zokni). Hány napon keresztül tudja különböző összeállításba öltöztetni babáját? A következő ruhadarabok vannak: Blúz: fehér; piros; sárga 3-féle; Szoknya: kék; piros; zöld 3-féle; Zokni: fehér; kék; lila 3-féle. Összesen 3 3 3=27 -féleképpen lehetne felöltöztetni a babát. Azon esetek száma, amikor két ruhadarab színe megegyezik: Fehér blúz - fehér zokni: 3 lehetőség; Piros blúz - piros szoknya: 3 lehetőség; Kék szoknya - kék zokni: 3 lehetőség, hiszen a harmadik ruhadarab még háromféle színű lehet. Így összesen 3+3+3=9 esetben fordul elő, hogy két ruhadarab megegyező színű. Vagyis 27 9=18 olyan öltöztetés van, ahol minden ruhadarab eltérő színű Egy 120 fős egyetemi évfolyam 5, egyenként 24 fős tankörből áll. Az évfolyamon a fiúk és lányok aránya 3:2. Az egyetemi kari tanács ülésére 10 fős küldöttséget kell kiállítaniuk. Hányféleképpen tehetik meg ezt, ha a) minden tankörből 2-2 küldöttet választanak; b) azt szeretnék, hogy a nemek aránya tükröződjön a küldöttség összetételében? coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 4/7

5 a) Egy tankörből (24 fő) véletlenszerűen választanak 2 embert úgy, hogy a sorrend nem számít. Ezt ( 24 2 ) -féleképpen tehetik meg. Természetesen minden tankörben ennyi lehetőség lesz. Az egyes tankörök küldötteit egymástól függetlenül választották ki, így az összes lehetőségek száma: ( 24 2 ) 5 = ( 24! 2! 22! ) 5 = ( ) 5 = = b) Az évfolyamon a fiúk és a lányok aránya 3:2, vagyis 72 fiú és 48 lány van. Mivel a kiválasztás alapja is ez az arány, ezért 6 fiúból és 4 lányból fog állni a küldöttség. Tehát a fiúknál 72-ből kell választani 6-ot, ezt ( 72 6 ) -féleképpen tehetik meg; a lányoknál pedig 48 közül kell 4-et kiválasztani, erre ( 48 4 ) -féle lehetőség adódik. Mivel a választások ismét függetlenek egymástól, az összes lehetőségek száma: ( 72 6 ) ( 48 4 )= 72! 6! 66! 48! 4! 44! = = Ellenőrző feladatok 1. feladat Hányféleképpen lehet pontosan 3 találatunk az ötös lottón? ( 5 3 ) ( 85 2 ) ( 3 5 ) ( 85 2 ) ( 90 3 ) 2. feladat Hány négyjegyű szám készíthető az 1, 2, 3, 4 számjegyekből, ha mindegyik számjegy csak egyszer szerepelhet, és nem kerülhet a neki megfelelő sorszámú helyre? feladat coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 5/7

6 A 32 lapos magyar kártyából húzunk 8 lapot. Hányféleképpen fordulhat elő az, hogy nincs nálunk ász? ( 28 8 ) ( 32 8 ) 8! 28! 4. feladat A 32 lapos magyar kártyából húzunk 8 lapot. Hányféleképpen fordulhat elő az, hogy 4 piros és 4 ász van a kezünkben? ( 8 4 ) ( 8 3 ) 21 ( 7 3 ) feladat Pókerben (5 lapot kapunk az 52 lapos pakliból) hányféleképpen fordulhat elő, hogy póker van a kezünkben? ( 52 4 ) feladat Hányféleképpen lehet a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával 10- zel osztható ötjegyű számot készíteni úgy, hogy egy számjegy csak egyszer szerepelhet? coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 6/7

7 feladat És ha a számjegyek többször is szerepelhetnek? 5 4 4! coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 7/7

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

Permutáció (ismétlés nélküli)

Permutáció (ismétlés nélküli) Permutáció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli permutáció?... 1. Három tanuló, András, Gábor és Róbert együtt mennek az iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a

Részletesebben

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb. 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

Kombinatorika A A B C A C A C B

Kombinatorika A A B C A C A C B . Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. 9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2

Részletesebben

46. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY

46. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY 6. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló Javítási útmutató NEGYEDIK OSZTÁLY 1. Írd be az 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 és 12 számokat a kis körökbe úgy, hogy a szomszédos számok különbsége

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

Kombinatorika gyakorló feladatok

Kombinatorika gyakorló feladatok Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika II. gyakorlat Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.

Részletesebben

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK

43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK Telefon: 37-8900 Fax: 37-8901 43. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ, 1. forduló ÖTÖDIK OSZTÁLY- MEGOLDÁSVÁZLATOK 1. 1. Egy osztási műveletben az osztandó és az osztó összege 89.

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

Kombinatorika Gyakorlat. Király Balázs

Kombinatorika Gyakorlat. Király Balázs Kombinatorika Gyakorlat Király Balázs 2 Tartalomjegyzék 1. Permutációk 5 2. Variációk 23 3. Kombinációk 37 4. Binomiális tétel, szitaformula 51 5. Összeszámlálási feladatok 67 6. Zárthelyi Dolgozat 73

Részletesebben

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló

III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138

Részletesebben

45. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY HARMADIK OSZTÁLY

45. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY HARMADIK OSZTÁLY 45. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló Javítási útmutató HARMADIK OSZTÁLY 1. Marci tolltartójában fekete, piros és kék ceruzák vannak, összesen 20 darab. Hány fekete ceruza van

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát!

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára ; halmaz összes részhalmazát! 1. témakör: HALMAZELMÉLET A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Halmazok: 8-9. oldal 1. Sorold fel az a b x y halmaz összes részhalmazát!. AdottU alaphalmaz, és annak két

Részletesebben

SET. Például: SET mert: Szín: 3 egyforma. Alak: 3 egyforma. Darab: 3 egyforma. Telítettség: 3 különböző

SET. Például: SET mert: Szín: 3 egyforma. Alak: 3 egyforma. Darab: 3 egyforma. Telítettség: 3 különböző 1 SET A SET játékszabályairól röviden, már ha valaki nem ismerné: Hogy néznek ki a kártyalapok? Minden kártyán van egy ábra, aminek 4 jellemzője van. Minden kategória további három különböző lehetőséget

Részletesebben

Adam Kałuża játéka Piotr Socha rajzaival J á t é k s z a b á l y

Adam Kałuża játéka Piotr Socha rajzaival J á t é k s z a b á l y Adam Kałuża játéka Piotr Socha rajzaival Játékszabály A JÁTÉK ELŐKÉSZÍTÉSE Az első játék előtt le kell választani a sablonról a zsetonokat és a játékos jelölőket. TÁRSASJÁTÉK 2 4 FŐ RÉSZÉRE JÁTÉKIDŐ KB.

Részletesebben

71) A 32 lapos magyar kártyából kiosztunk 8 lapot. Hányféleképp lehet, hogy pontosan 3 hetes és 4 ász van közöttük? 72) A 32 lapos magyar kártyából

71) A 32 lapos magyar kártyából kiosztunk 8 lapot. Hányféleképp lehet, hogy pontosan 3 hetes és 4 ász van közöttük? 72) A 32 lapos magyar kártyából Permutációk: 1) Egy sakkverseny döntőjébe 6 játékos került be. Hányféleképp alakulhat a játékosok sorrendje, ha a döntőben mindenki azonos esélyekkel indul? 2) A Mekk Elek név betűiből hányféle (nem feltétlen

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A)

(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A) A póker matematikája Mostanában egyre közkedveltebb kártyajáték lett a (Holdem) Poker, melynek az is oka lehet, hogy a televízióban megjelent a nagyobb versenyek közvetítése. Mint minden kártyajátékban,

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS. x j)

MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS. x j) MATEMATIKA 10. osztály (Elnézést a tegezésért, gyerekeknek készült eredetileg. ) I. GYÖKVONÁS Négyzetgyök 1. Számítsd ki számológép nélkül a pontos értékét: a) 0 4 1 7 8 6 7 d) 00 18. Melyik a nagyobb?

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc

PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA. KÖZÉPSZINT I. 45 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004.május MATEMATIKA KÖZÉPSZINT I. 45 perc A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok

Részletesebben

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész

Minta 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR. I. rész 2. MATEMATIKA KÖZÉPSZINTŰ ÍRÁSBELI FELADATSOR I. rész A feladatok megoldására 45 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához

Részletesebben

1. A Honfoglaló játék célja. 1. A Honfoglaló játék célja 2. A csapatok kialakítása 3. Kérdéskártyák

1. A Honfoglaló játék célja. 1. A Honfoglaló játék célja 2. A csapatok kialakítása 3. Kérdéskártyák Tartalom 1. A Honfoglaló játék célja 2. A csapatok kialakítása 3. Kérdéskártyák 3.1 Tudnivalók a kérdéskártyákról 3.2 Feleletválasztós kérdéskártyák 3.3 Tippelős kérdéskártyák 4. A játék menete - Hosszú

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4

1 = 1x1 1+3 = 2x2 1+3+5 = 3x3 1+3+5+7 = 4x4 . Orchidea Iskola VI. Matematika verseny 0/0 II. forduló = x + = x ++ = x +++ = x Ennek ismeretében mennyivel egyenlő ++++...+9+99=? A ) 0. D ) 0 000 6 C ) 0 D ) A Földközi-tengerben a só-víz aránya :

Részletesebben

Feladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006)

Feladatlap. a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) Feladatlap a hatosztályos speciális matematika tantervű osztályok írásbeli vizsgájára (2006) 1) Karcsi januárban betegség miatt háromszor hiányzott az iskolából:12-én,14-én és 24-én. Milyen napra esett

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 016. január 16. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Egyszerűsítse a következő kifejezést: Válaszát

Részletesebben

7. témakör: kombinatorika. Kidolgozott feladatok:

7. témakör: kombinatorika. Kidolgozott feladatok: 7. témakör: kombinatorika Kidolgozott feladatok:.) A színházba egy fős baráti társaság jegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha András

Részletesebben

Számlálási feladatok

Számlálási feladatok Számlálási feladatok Ezek olyan feladatok, amelyekben a kérdés az, hogy hány, vagy mennyi, de a választ nem tudjuk spontán módon megadni, csak számolással? ) Ha ma szombat van, milyen nap lesz 200 nap

Részletesebben

PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó?

PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? Az iskolai forduló feladatai 2006/2007-es tanév Kategória P 3 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? 2. Számítsd ki: 19 18 + 17 16 + 15 14 =

Részletesebben

1. Feladatsor. I. rész

1. Feladatsor. I. rész . feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható

Részletesebben

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY 5. OSZTÁLY 1.) A páratlan számjegyek száma 5, közülük 1 db, illetve 3 db lehet a háromjegyű számunkban. Ha mindhárom számjegy páratlan, akkor az 5 lehetőségből választhatunk mindhárom helyiértékre. Így

Részletesebben

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

SzA II. gyakorlat, szeptember 18. SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály

KockaKobak Országos Matematikaverseny osztály KockaKobak Országos Matematikaverseny 9-10. osztály 016. november 4. A feladatsort készítette: RÓKA SÁNDOR Lektorálta: DR. KISS GÉZA Anyanyelvi lektor: ASZÓDINÉ KOVÁCS MÁRIA A válaszlapról másold ide az

Részletesebben

2) Anna, Bori és Cili moziba mentek. Hányféle sorrendben ülhetnek le egymás mellé? Írja le a megoldás menetét!

2) Anna, Bori és Cili moziba mentek. Hányféle sorrendben ülhetnek le egymás mellé? Írja le a megoldás menetét! (9/1) Kombinatorika 1) Egy Audi, egy BMW és egy Citroen márkájú autó rendszámtábla párjait leszerelik. Hányféleképpen rakhatja vissza a párokat a feledékeny autószerelő? 2) Anna, Bori és Cili moziba mentek.

Részletesebben

Oszthatósági problémák

Oszthatósági problémák Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,

Részletesebben

46. Grósz Erzsébet: A MAGYAR KÁRTYA a fejlesztésben

46. Grósz Erzsébet: A MAGYAR KÁRTYA a fejlesztésben 46. Grósz Erzsébet: A MAGYAR KÁRTYA a fejlesztésben A matematikai készségek kialakítása, és megerősítése a magyar kártya segítségével Kidolgozta: Grósz Erzsébet fejlesztő pedagógus A magyar kártya méltatlanul

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2011. NOVEMBER 26.) 3. osztály

BOLYAI MATEMATIKA CSAPATVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ SZÓBELI (2011. NOVEMBER 26.) 3. osztály 3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA

PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA STUDIUM GENERALE MATEMATIKA SZEKCIÓ MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA 2016. január 16. KÖZÉPSZINTŰ PRÓBAÉRETTSÉGI VIZSGA Név E-mail cím SG-s csoport Pontszám 2016. január 16. II. Időtartam: 135 perc STUDIUM

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11.

44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április 11. 44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HETEDIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Ki lehet-e tölteni a következő táblázat mezőit pozitív egész számokkal úgy, hogy

Részletesebben

4 ÉVFOLYAMOS FELVÉTELI EREDMÉNYEK

4 ÉVFOLYAMOS FELVÉTELI EREDMÉNYEK 71400510854-9. évfolyam Magyar nyelv 46 71400510854-9. évfolyam Matematika 31 71479247326-9. évfolyam Magyar nyelv 37 71479247326-9. évfolyam Matematika 25 71507778014-9. évfolyam Magyar nyelv 43 71507778014-9.

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi első fordulójának feladatmegoldásai Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 008-009. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára. Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer valós megoldásait. ( x

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező

Részletesebben

Minden feladat teljes megoldása 7 pont

Minden feladat teljes megoldása 7 pont Postacím: 11 Budapest, Pf. 17. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY ORSZÁGOS DÖNTŐ 1. nap NEGYEDIK OSZTÁLY JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Minden feladat teljes megoldása 7 pont 1. Hat futó: András, Bence, Csaba,

Részletesebben

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA

SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA 1 ELSŐ GYAKORLAT SZÁMÉRTÉKEK (ÁT)KÓDOLÁSA A feladat elvégzése során a következőket fogjuk gyakorolni: Számrendszerek közti átváltás előjelesen és előjel nélkül. Bináris, decimális, hexadexcimális számrendszer.

Részletesebben

1. Az allergiás betegekről azt tartjuk nyilván, hogy mire allergiások.

1. Az allergiás betegekről azt tartjuk nyilván, hogy mire allergiások. 1. Az allergiás betegekről azt tartjuk nyilván, hogy mire allergiások. Pl. [Peti [tej tojás] Lotti [tojás] Ákos [tojás liszt]] a., Kik allergiások a legtöbb anyagra [Peti Ákos] b. Gyűjtsük ki, hogy melyik

Részletesebben

Alkotások adott feltételekkel

Alkotások adott feltételekkel Alkotások adott feltételekkel 1.2 Alapfeladat Alkotások adott feltételekkel 2. feladatcsomag adott számú elemből néhány elem kiválasztása (konkrét tevékenységek tapasztalatai alapján), a lehetséges esetek

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége. Valószínűségszámítás Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma 100 200 300 400 500 600

Részletesebben

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013

Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó. Második félév. Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 2013 Árvainé Libor Ildikó Lángné Juhász Szilvia Szabados Anikó Második félév Tizenegyedik, javított kiadás Mozaik Kiadó Szeged, 0 SZORZÁS ÉS OSZTÁS -VEL Mesélj a képrõl! Hány kerékpár és kerék van a képen?

Részletesebben

HEXAÉDEREK. 5. Hányféleképpen lehet kiolvasni Erdős Pál nevét, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk?

HEXAÉDEREK. 5. Hányféleképpen lehet kiolvasni Erdős Pál nevét, ha csak jobbra és lefelé haladhatunk? HEXAÉDEREK 0. Két prímszám szorzata 85. Mennyi a két prímszám összege? 1. Nyolc epszilon találkozik egy születésnapi bulin, majd mindenki kézfogással üdvözli egymást. Ha eddig 11 kézfogás történt, hány

Részletesebben

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6

PYTAGORIÁDA Az országos forduló feladatai 35. évfolyam, 2013/2014-es tanév. Kategória P 6 Kategória P 6 1. Írjátok le azt a számot, amely a csillag alatt rejtőzik: *. 5 = 9,55 2. Babszem Jankó 25 ször kisebb, mint Kukorica Jancsi. Írjátok le, hogy hány centiméter Babszem Jankó, ha Kukorica

Részletesebben

Kombinatorika alapjai összefoglaló

Kombinatorika alapjai összefoglaló Kombinatorika alapjai összefoglaló Permutációk, variációk, kombinációk száma 1. Permutációk: akkor beszélünk permutációról, ha valahány konkrét elemet sorba rendezünk. Pl. a fogorvosnál várakozók beengedésének

Részletesebben

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály

IV. Matematikai tehetségnap 2013. szeptember 28. IV. osztály IV. osztály 1. feladat. Ha leejtünk egy labdát, akkor az feleakkora magasságra pattan fel, mint ahonnan leejtettük. Milyen magasról ejtettük le a labdát, ha ötödször 10 cm magasra pattant fel? 2. feladat.

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók I. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók

Részletesebben

Varga Tamás Matematikaverseny Javítási útmutató Iskolai forduló 2016/ osztály

Varga Tamás Matematikaverseny Javítási útmutató Iskolai forduló 2016/ osztály 1. Az erdészet dolgozói pályázaton nyert facsemetékkel ültetnek be egy adott területet. Ha 450-et ültetnének hektáronként, akkor 380 facsemete kimaradna. Ha 640 facsemetével többet nyertek volna, akkor

Részletesebben

A MatLap 2011/10. számában megjelent A logikai táblázat módszere című cikk feladatainak a megoldása

A MatLap 2011/10. számában megjelent A logikai táblázat módszere című cikk feladatainak a megoldása A MatLap 2011/10. számában megjelent A logikai táblázat módszere című cikk feladatainak a megoldása 1. ajtóin a feliratok a következők: I. szoba: Ebben a szobában hölgy, a másikban tigris van. II. szoba:

Részletesebben

Reinhard Staupe remek üzletelős játéka B A S A R I. 10 éves kortól 3-4 játékos részére 20-30 perc játékidő

Reinhard Staupe remek üzletelős játéka B A S A R I. 10 éves kortól 3-4 játékos részére 20-30 perc játékidő Reinhard Staupe remek üzletelős játéka B A S A R I 10 éves kortól 3-4 játékos részére 20-30 perc játékidő Mi van a dobozban? Játéktábla 100 db drágakő 4 színben (tartalék drágakövek is vannak a dobozban,

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Egy fa tövétől a fára mászik fel egy csiga. Nappalonként 3 métert mászik felfelé, de éjszakánként 2 métert visszacsúszik. Az indulástól számított 10. nap délutánjáig felér a csúcsra. Milyen

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva

Matematika A 1. évfolyam. páros, páratlan. 22. modul. Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva Matematika A 1. évfolyam páros, páratlan 22. modul Készítették: Szabóné Vajna Kinga Harzáné Kälbli Éva Molnár Éva matematika A 1. ÉVFOLYAM 22. modul Páros, páratlan modulleírás A modul célja Időkeret Ajánlott

Részletesebben

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok

Készítette: Ernyei Kitti. Halmazok Halmazok Jelölések: A halmazok jele általában nyomtatott nagybetű: A, B, C Az x eleme az A halmaznak: Az x nem eleme az A halmaznak: Az A halmaz az a, b, c elemekből áll: A halmazban egy elemet csak egyszer

Részletesebben

12. Kombinatorika, valószínűségszámítás

12. Kombinatorika, valószínűségszámítás I. Nulladik ZH-ban láttuk: 12. Kombinatorika, valószínűségszámítás 1. Bornemissza Gergely elfelejtette a lőporraktár négy számjegyes pinkódját. Csak arra emlékszik, hogy vagy 1552 volt, vagy a számjegyek

Részletesebben

Kombinatorika. 1. Ismétlés nélküli permutáció

Kombinatorika. 1. Ismétlés nélküli permutáció Kombinatorika A kombinatorika keretén belül tanuljuk: ismétlés nélküli permutációk, ismétléses permutációk, ismétlés nélküli variációk, ismétléses variációk, ismétlés nélküli kombinációk, ismétléses kombinációk.

Részletesebben

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.)

24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) 24. szakkör (Csoportelméleti alapfogalmak 3.) D) PERMUTÁCIÓK RENDJE Fontos kérdés a csoportelméletben, hogy egy adott elem hanyadik hatványa lesz az egység. DEFINÍCIÓ: A legkisebb olyan pozitív k számot,

Részletesebben

MATEMATIKA VERSENY

MATEMATIKA VERSENY Vonyarcvashegyi Eötvös Károly Általános Iskola 2015. 8314 Vonyarcvashegy, Fő u. 84/1. 2. osztály MATEMATIKA VERSENY -------------------- név Olvasd el figyelmesen, majd oldd meg a feladatokat! A részeredményeket

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc

Próbaérettségi 2004 MATEMATIKA. PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május EMELT SZINT. 240 perc PRÓBAÉRETTSÉGI 2004. május MATEMATIKA EMELT SZINT 240 perc A feladatok megoldására 240 perc fordítható, az idő leteltével a munkát be kell fejeznie. A feladatok megoldási sorrendje tetszőleges. A II. részben

Részletesebben

45. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY

45. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY NEGYEDIK OSZTÁLY 45. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló Javítási útmutató NEGYEDIK OSZTÁLY 1. Piroska, a nagymamája, a farkas és a vadász egymás mellett ülnek egy padon. Se a nagymama, se Piroska

Részletesebben

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk?

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk? Valószínűségszámítás, gráfok, statisztika 1. Egy 660 fős iskola tanulóinak 60%-a lány. A lány tanulók 25%-a a 12. évfolyamra jár. Egy tetszőleges tanulót választva az iskola tanulói közül, mennyi a valószínűsége,

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben