Kombinatorika gyakorló feladatok
|
|
- Henrik Barta
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = = Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as számjegyből? 1,1,2! P = = 12. 1! 1! 2! 3. a)hány ötös lottószelvényt kell kitöltenünk ahhoz, hogy biztosan 5-ös találatunk legyen? 5 90 C 90 = = b) Hány ötös lottószelvényt kell kitöltenünk ahhoz, hogy legalább 3-as találatunk legyen? (legrosszabb esetet feltételezve: 0, 1, 2 találatosak +1 db). Egy pénzdarabot 10-szer feldobunk. Hány sorozat adódhat, ha a dobások sorrendjét is figyelembe vesszük? 2 elem 10-edosztályú ismétléses variációjával: 10, i V = = 5. Egy négytagú család telefonja 2-szer szólalt meg egy estén. Hányféle változatban vehették fel a kagylót, ha ugyanaz a személy 2-szer is felvehette de a sorrendet nem vesszük figyelembe? Ismétléses kombinációt kell használni. elem másodosztályú ismétléses kombinációja: 2, i C = = = Egy dobozban 16 golyó van, 10 fehér, piros és 2 kék. Egymás után visszatevés nélkül kihúzzuk mind a 16-ot. Hányféle sorrend keletkezhet, ha az egyszínűeket nem különböztetjük meg egymástól? Ismétléses permutációval: 10,,2 16! P 16 = = !! 2!
2 7. Hogyan módosul az előző feladat eredménye, ha minden golyót visszateszünk a kihúzás után, és így húzunk ki 16 golyót? Csak az számít, hogy mennyi eltérő színű golyó van, az egyes színeken belüli darabszámok az összes lehetséges sorrendet nem, csak ezek előfordulási valószínűségét befolyásolják. Háromféle szín van, tehát 3 elem 16-odosztályú ismétléses variációjának meghatározása a feladat: 16, i V = , valahol az ötös lottós feladat környékén. 3 = 8. Egy 8 tagú család színházjegyet kap. a) Hányféleképpen oszthatók ki a jegyek, ha az is számít, ki hova ül? Az adott helyre először 8, majd 7, aztán 6 végül 5 családtag közül válogathatunk, vagyis: V = = b) Mi a helyzet akkor, ha csak az számít, hogy egyáltalán ki megy el a színházba? 8 8 elem -edosztályú kombinációja: C8 = = Adott egy 10-szer 12-es sakktábla (10 sor és 12 oszlop). A bal felső sarkából a jobb alsóba szeretnék eljutni úgy, hogy mindig csak jobbra vagy lefelé léphetünk. Hányféle útvonal létezik? Az egyes útvonalakat kódolhatjuk úgy, hogy a jobbra lépésnek J-t, a lefelé lépésnek L-et feleltetünk meg, így minden útvonal egy ebből a két betűből álló sorozatnak felel meg, amelyben mindig 11 db J és 9 db L szerepel. Az összes sorozatok száma így: 9,11 20! P 20 = = ! 11! 10.a) Egy társaságban 6 fiú és 6 lány van. Hányféleképpen alakulhatnak belőlük egyszerre táncoló párok? Sorba rendezzük az 6 lányt, és melléjük kisorsoljuk az 6 fiút: 6!= b) Egy társaságban 8 fiú és 5 lány van. Hányféleképpen alakulhat belőlük 5 egyszerre táncoló pár (csak ellentétes neműek alkothatnak párt:-)? Az 5 lány mindenképpen táncol. Állítsuk őket sorba, s sorsoljuk melléjük a fiúkat valamilyen sorrendben. A válasz ebből láthatóan: V 5 8 = egyforma kockát feldobunk. Hányféle végeredmény jöhet ki? (Nem a pontok összege, hanem az egyes számú pontok előfordulása a lényeg.) Mindegyik kocka mind a hat oldalát mutathatja egymástól függetlenül, azaz 6 elem -, i edosztályú ismétléses kombinációi adják a végeredményt: C6 = = = 126. HF: Hogyan változik az előző feladatra adott válasz, ha mindegyik kocka különböző színű? (Segítség: ez már egyáltalán nem olyan egyszerű feladat. Az egyes esetek száma aszerint
3 változik, hogy hány különböző számot látunk. Pl. négy db 6-os csak egyféleképpen jöhet ki négy különböző kocka esetén is, de 3 db 6-os és 1db 5-ös már négyféleképpen, s.í.t.) Összetettebb gyakorló feladatok Itt már a fenti fogalmak közül többet is kell használni egyszerre, de sokszor talán az a jobb hozzáállás, hogy tőlük függetlenül, a kályhától indulva végiggondoljuk az egyes lehetséges kimenetelek legenerálását, kialakulását. 12. A 0,1,2,3, számjegyekből hány valódi ötjegyű szám képezhető, amelyben legalább az egyik számjegy ismétlődik? Nullával nem kezdődhet szám. A legalább egy számjegy ismétlődik azt jelenti, hogy akár mind az öt számjegy egyforma is lehet, ezért egyszerűbb az összes valódi ötjegyű számból kivonni az ismétlést nem tartalmazókat. Összes: = 2500, a mind különböző számjegyet tartalmazók száma = 96, a kettőt kivonva egymásból a válasz ember csónakázik, 3 csónak van: egy, egy 3 és egy 2 üléses. Hányféleképpen foglalhatják el a csónakokat, ha egy csónakon belül az ülésrend nem számít? Először kisorsoljuk, kik ülnek a személyes csónakba, majd a 3 és 2 személyesekbe. A sorsolás eredményei egymástól függetlenek, azaz a lehetséges kimenetelek száma összeszorzódik, az egyes sorsolások eredményeit pedig ismétlés nélküli kombinációk adják. 9 2 Vagyis a végeredmény: = (Az utolsó csónakban ülők személye 3 2 természetesen már adott az utolsó előtti sorsolás után, ennek megfelelően = 1.) 1. Egy páncélszekrény 6 egymás mögötti tárcsa megfelelő beállításával nyitható ki. A tárcsák 9 számjegyet tartalmaznak, amelyek közül egyet kell beállítani minden tárcsán. Ha valaki nem ismeri a kódot, mennyi időt vehet igénybe legrosszabb esetben a szekrény kinyitása, ha folyamatosan próbálkozik és egy kombináció beállítása 5 másodpercig tart? Legrosszabb esetben a legutolsó próbálkozásra nyílik ki a szekrény, vagyis az összes esetet meg kell vizsgálni, amely 6, i V = = Ennyiszer 5 másodperc éppen másodperc, ami 30 nap 18 óra 6 perc 5 másodperc. Kicsit sokáig tart. (És közben még csak nem is eszik az illető.) láda áruból 15 láda első osztályú, a többi másodosztályú árut tartalmaz. Hányféleképpen választható ki ezek közül 5 láda úgy, hogy legfeljebb 2 másodosztályú legyen közöttük? Azokat az eseteket kell összeadni, amikor pontosan nulla, egy vagy két db másodosztályú láda van a kiválasztottak között: + + = =
4 16. Egy érmének bizonyos számú feldobásával adódó sorozatokat állítunk elő. Ha a sorozat dobásainak számát 2-vel növeljük, a különböző sorozatok száma 38-gyel növekszik. Hány dobásból állt az eredeti sorozat? Legyen az eredeti sorozat hossza n. Ekkor a következő egyenletet írhatjuk föl: n+ 2 n n 2 n n 2 2 = 38 2 (2 1) = = 38 2 = 128 n = Egy 52 lapos francia kártyacsomagban ász és király van. Négyfelé osztjuk a lapokat. Hányféle olyan szétosztás lehetséges, amelynek során mindegyik játékosnak 1-1 ász és király jut? Ültessük le a játékosokat egy adott tetszőleges sorrendbe. Először osszuk ki a ászt és a királyt, ezek lehetséges összes előfordulása!!. A maradék lapot db 11-es csoportba osztjuk, az egyes csoportokon belül persze nem számít a lapok sorrendje. Először lapból választunk ki 11-et, majd 33-ból 11-et, végül a maradék 22-ből 11 kiválasztása megadja az utolsó 11-es pakli összetételét is. Ezek egymástól független sorsolások (lásd csónakos feladat), ezért a végeredmény az ászokkal és királyokkal együtt: ! 26!! = (!) (11!) 18. Hányféleképpen lehet egy 32 lapos magyar kártyacsomagot egyenlő részre osztani, hogy mind a ász ugyanabba a részbe kerüljön? 28 Különítsük el a ászt, és sorsoljuk mellé a maradék lapot a 28-ból. Ezt -féleképpen tehetjük meg. A többi csomagot ugyanígy sorsoljuk ki, de mivel a sorrendjük most nem lényeges, a kapott eredményt még 3!-sal osztanunk kell, vagyis a megoldás ! 13 = ! 3!! (8!) 19. Egy vívóedzésen 15 vívóból 6 pár vív egyidejűleg. Hányféleképpen választhatók ki a párok? Először válasszuk ki azt a 12 vívót, aki vív:. Ezután a fennmaradó vívókból mindig 12 kiválasztunk kettőt, majd, mivel a párok sorrendje nem lényeges (mindegy, hogy melyik pár melyik páston vív), a részeredményt elosztjuk 6!-sal. Tehát: ! = = ! 3! (2!) 6! 20. A binomiális és hipergeometrikus eloszlást bevezető feladat. Egy zsákban 13 golyó van, 7 fehér és 6 fekete. Egyszer visszatevéssel, egyszer pedig visszatevés nélkül kihúzunk belőle 5-öt. Hány olyan sorsolás van a visszatevéses esetben,
5 amelyben a kihúzott fekete golyók száma 3? Hány ugyanilyen sorsolás van a visszatevés nélküli esetben, ha az egyszínű golyókat is megkülönböztetjük egymástól? És ha nem? a) A visszatevéses esetben nem számít, hogy összesen hány fekete és fehér golyó van a zsákban, csak az határozza meg az egyes lehetőségeket, hogy a három kihúzott fekete milyen sorrendben kerül elő. Vagyis az, hogy az 5 húzásból melyik húzásra veszünk ki feketét a 3 zsákból. Ezért 5 elem 3-adosztályú kombinációi adják a megoldást: C5 = = (Ez éppen a binomiális eloszlás együtthatója abban az esetben, amikor 3 fekete golyó kihúzási valószínűségét számoljuk.) b) A visszatevés nélküli esetben az egyes lehetőségeket az adja, hogy konkrétan melyik fekete és fehér golyók milyen sorrendben kerülnek kihúzásra. A sorsolást modellezhetjük úgy, hogy először kiválogatjuk azt a 3 fekete és 2 fehér golyót, amelyet kihúzunk, majd ezeket elrendezzük az összes lehetséges sorrendben. Ezért a megoldás: (6 feketéből 3)*(7 fehérből 6 7 2)*(összes lehetséges sorrend) = 5! = (Ez pedig - az 5! nélkül - a hipergeometrikus eloszlás számlálója, azaz a kedvező kimenetelek száma abban az esetben, amikor a 3 fekete golyó kihúzási valószínűségét számoljuk.) Ha a golyókat mégsem különböztetjük meg egymástól, akkor a válasz megint 10, mert a sorrend ismét csak a színektől függ, a nem visszatevés csak az valószínűségeket befolyásolja. Vegyes feladatok 21.Egy kockát ötször feldobunk egymás után. a.) Hányféle eredmény lehetséges? b.) Hány olyan eredmény van, melynél utoljára 1-est dobtunk? c.) Hány olyan eredmény van, melyben pontosan egy darab 1-es szerepel? d.) Hány olyan eredmény van, melyben van 1-es? e.) Hány olyan eredmény van, melyben pontosan egy darab 1-es és pontosan kettõ darab 2-es szerepel? 22.Egy n elemű halmaznak a.) hány 8 elemű (n>8) részhalmaza van? b.) hány k elemű (n>k) részhalmaza van? c.) hány részhalmaza van? 23. Egy 32 lapos magyar kártyacsomagból egyszerre kiveszünk öt lapot. Hány húzásnál lesz a lapok között a.) csak piros b.) csak egy piros c.) piros d.) 2 piros és 3 zöld e.) minden szín f.) pontosan egy ász és négy piros g.) ász vagy piros
6 h.) ász és piros? 2. Egy 32 lapos magyar kártyacsomagból egymás után veszünk ki öt lapot. Hány húzásnál lesz a lapok között a.) az elsõ piros, a második, harmadik zöld és az utolsó kettõ makk b.) az elsõ kettõ piros, a többi pedig egyszínû c.) a szín szerinti megoszlás? 25. Válaszoljon a 3. és. feladat kérdéseire abban az esetben, ha egy 32 lapos magyar kártyacsomagból visszatevéssel vesszük ki az öt lapot. 26. Egy futballmeccsen 5 gól esett. a.) Hányféleképpen alakulhatott ki ez az eredmény? b.) Hányféle végeredmény lehet? 27. Hány tagja van az (a+b+c) 10 polinomnak összevonás elõtt, összevonás után. Mennyi az együtthatója az a 2 b 3 c 5 tagnak? 28.a.) Az {1,2,3,,5,6,7,8,9} halmaz hány ötödosztályú kombinációja nem tartalmazza a {7,8,9} halmazt? b.) Az {1,2,3,,5,6,7} halmaz hány negyedosztályú ismétléses variációja nem tartalmazza a {1,2} halmaz mindkét elemét? 29.Négy tagú család 11-féle képeslapból hányféleképp választhat egy-egy lapot, ha a) mind a 11 fajtából választhat mindenki úgy, hogy - számít, ki melyiket választja - nem számít, ki melyiket választja b) minden lapból csak egy lap van, de - számít, ki melyiket választja - nem számít, ki melyiket választja 30. Egy 12 tagú társaság csónakot bérel. Hányféleképpen foglalhatnak helyet, ha a.) csak egy üléses b.) egy 3, egy és egy 5 üléses c.) három különböző üléses d.) három egyforma üléses e.) kettő 5 üléses csónakot bérelnek, és egy csónakban csak a megadott létszámban foglalhatnak helyet? 31. Adott a 0,1,2,8,9 számjegy. a.) Hány ötjegyű szám írható fel belőlük ismétlődés nélkül? b.) Hány négyjegyű szám írható fel belőlük ismétlődés nélkül? c.) Hány négyjegyű szám írható fel belőlük ismétlődéssel? d.) Hány négyjegyű páros szám írható fel felhasználásukkal? e.) Hány négyjegyű szám írható fel belőlük úgy, hogy csak pontosan két különböző jegyet tartalmaz? 32. Ha egy halmaz elemeinek a számát 2-vel növeljük, akkor az elemek permutációinak a száma az eredeti permutációk számának 930-szorosa lesz. Hány elemű a halmaz?
7 33. Egy dobozban 3 sárga golyó van. Hány piros golyót kell betenni ahhoz, hogy 95 féleképpen lehessen egymás után kihúzni őket? ( vagyis permutálni a piros és sárga golyókat) 3. Három kocsiból álló villamosra 9 ember száll fel úgy, hogy minden kocsira három ember jut. Hányféleképpen történhet ez? 35. Egy pénzérmét 10-szer feldobunk egymás után. a.)hány különböző dobássorozatunk lehet? b.)hányszor lehet 6 fej és írás a dobássorozatban? 36. Egy pénzérmét n-szer feldobunk egymás után. Ha a dobások számát 2-vel növeljük, akkor az eredménysorozatok száma 3072-vel nő. Hányszor dobtunk? 37. a.)hányféleképp tölthetünk ki egy 13-as totó szelvényt? b.)hányféleképp tölthetünk ki egy 13-as totó szelvényt úgy, hogy 8 db 1-est, 2 db x-et és 3 db 2-est használunk? 38. Pontból és vonásból hány, legfeljebb négyelemű jel állítható össze?
Klasszikus valószínűségi mező megoldás
Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos
7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:
Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem
1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?
skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
semelyik kivett golyót nem tesszük vissza később az urnába. Hányféle színsorrendben tehetjük ezt meg?
VIII. KOMBINATORIKA VIII.1. Kombinatorikai alapfeladatok 1. Példa. Egy urnában egy piros golyó P, egy fehér golyó F és egy zöld golyó Z van. Egymás után kihúzzuk a három golyót, semelyik kivett golyót
Klasszikus valószínűségszámítás
Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van
1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k
Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.
9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2
Kombinatorika. Permutáció
Kombinatorika Permutáció 1. Adva van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegy. Hány különböző 9-jegyű szám állítható elő ezekkel a számjegyekkel, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? Mi van akkor, ha a szám
AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?
KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen
Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.
1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb
Permutáció (ismétlés nélküli)
Permutáció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli permutáció?... 1. Három tanuló, András, Gábor és Róbert együtt mennek az iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a
Ismétlés nélküli kombináció
Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)
Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3
Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
æ A GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek)
æ A3 6-7. GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek) 1. Az 1,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával hány különböző 5- jegyű szám készíthető? 2. A 0,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika
Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.
Matematika A4 I. gyakorlat megoldás
Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es?
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
Kombinatorika A A B C A C A C B
. Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy
Szerencsejátékok. Elméleti háttér
Szerencsejátékok A következőekben a Szerencsejáték Zrt. által adott játékokat szeretném megvizsgálni. Kiszámolom az egyes lehetőségeknek a valószínűségét, illetve azt, hogy mennyi szelvényt kell ahhoz
Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?
Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Környezet statisztika
Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)
Valószínűség számítás
Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora
71) A 32 lapos magyar kártyából kiosztunk 8 lapot. Hányféleképp lehet, hogy pontosan 3 hetes és 4 ász van közöttük? 72) A 32 lapos magyar kártyából
Permutációk: 1) Egy sakkverseny döntőjébe 6 játékos került be. Hányféleképp alakulhat a játékosok sorrendje, ha a döntőben mindenki azonos esélyekkel indul? 2) A Mekk Elek név betűiből hányféle (nem feltétlen
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.
Biomatematika 2 Orvosi biometria
Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)
Ismétlés nélküli permutáció
Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba
Vegyes összeszámlálási feladatok. Gyakorlás
Vegyes összeszámlálási feladatok Gyakorlás Összeszámlálási feladatok Négyjegyű függvénytáblázat 22. oldala 1. FELADAT: Október 6-a Az aradi vértanúk emléknapja nemzeti gyásznap. Hányféle sorrendben hangozhat
Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni?
Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni? Kombinatorika avagy hányféleképp? Zsuzsi babájának négyféle színes blúza és kétféle
36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25
Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;
Eseményalgebra, kombinatorika
Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek
(6/1) Valószínűségszámítás
(6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor
12. Kombinatorika, valószínűségszámítás
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 12. Kombinatorika, valószínűségszámítás 1. Bornemissza Gergely elfelejtette a lőporraktár négy számjegyes pinkódját. Csak arra emlékszik, hogy vagy 1552 volt, vagy a számjegyek
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika
Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés
æ A GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek)
æ A3 6-7. GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek) 1. Az 1,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával hány különböző 5- jegyű szám készíthető? 2. A 0,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával
Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz
Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:
Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és
Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat
KOMBINATORIKA Permutáció
Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Egyszerűsítsd a következő törteket! 77! 3! 74! n! (n )! (n )! (n 1)! Bontsuk fel a faktoriálist a számlálóban és nevezőben is, majd egyszerűsítsünk: 77! 3! 74! = 1 74 75 76 77 1 3 1 74 =
Számlálási feladatok
Számlálási feladatok Ezek olyan feladatok, amelyekben a kérdés az, hogy hány, vagy mennyi, de a választ nem tudjuk spontán módon megadni, csak számolással? ) Ha ma szombat van, milyen nap lesz 200 nap
1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)
1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1
Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA
VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események
Számelmélet Megoldások
Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,
1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos?
Valószínűségszámítás, földtudomány alapszak, 2015/2016. őszi félév 1. Hányféle sorrendben vonulhat ki a pályára egy focimeccsen a tizenegy kezdő játékos? 2. Két tizenhárom fős vízilabdacsapat mérkőzik
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
7. témakör: kombinatorika. Kidolgozott feladatok:
7. témakör: kombinatorika Kidolgozott feladatok:.) A színházba egy fős baráti társaság jegyei egymás mellé szólnak. Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? Hányféleképpen ülhetnek le akkor, ha András
3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy
Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
1. Feladatsor. I. rész
. feladatsor. Feladatsor I. rész. Mely x valós számokra lesz ebben a sorrendben a cos x, a sinx és a tg x egy mértani sorozat három egymást követő tagja?... (). Egy rombusz egyik átlója 0 cm, beírható
A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi
Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?
1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű
MATEMATIKA 11. osztály I. KOMBINATORIKA
MATEMATIKA 11. osztály I. KOMBINATORIKA Kombinatorika I s m é t l é s n é l k ü l i p e r m u t á c i ó 1. Öt diák (A, B, C, D, E) elmegy moziba, és egymás mellé kapnak jegyeket. a) Hányféle sorrendben
Levelező Matematika Verseny Versenyző neve:... Évfolyama:... Iskola neve:... Postára adási határidő: január 19. Feladatok
Postára adási határidő: 2017. január 19. Tollal dolgozz! Feladatok 1.) Az ábrán látható piramis természetes számokkal megszámozott kockákból áll. Az alsó szinten semelyik két kockának nincs ugyanolyan
Kombinatorika. 1. Ismétlés nélküli permutáció
Kombinatorika A kombinatorika keretén belül tanuljuk: ismétlés nélküli permutációk, ismétléses permutációk, ismétlés nélküli variációk, ismétléses variációk, ismétlés nélküli kombinációk, ismétléses kombinációk.
23. Kombinatorika, gráfok
I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta
Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok
Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható
Játék a szavakkal. Ismétléses nélküli kombináció: n különböző elem közül választunk ki k darabot úgy, hogy egy elemet csak egyszer
Játék a szavakkal A következőekben néhány szóképzéssel kapcsolatos feladatot szeretnék bemutatni, melyek során látni fogjuk, hogy egy ábrából hányféleképpen olvashatunk ki egy adott szót, vagy néhány betűből
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész
MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.
Matematika B4 II. gyakorlat
Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok
VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.
2. A ξ valószín ségi változó eloszlásfüggvénye a következ : x 4 81 F (x) = x 4 ha 3 < x 0 különben
1 feladatsor 1 Egy dobozban 20 fehér golyó van Egy szabályos dobókockával dobunk, majd a következ t tesszük: ha a dobott szám 1,2 vagy 3, akkor tíz golyót cserélünk ki pirosra; ha a dobott szám 4 vagy
2) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 42. Adja meg a háromszög hiányzó adatait!
Szinusztétel 1) Egy háromszög két oldalának hossza 3 és 5 cm. Az 5 cm hosszú oldallal szemközti szög 70. Adja ) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 4.
Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombinatorika Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.. Kombinatorikai alapfeladatok A kombinatorikai alapfeladatok lényege az, hogy bizonyos elemeket sorba rendezünk, vagy néhányat
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny
Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.
44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY. Megyei forduló április mal, így a számjegyeinek összege is osztható 3-mal.
44. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló - 2015. április 11. HATODIK OSZTÁLY - Javítási útmutató 1. Melyik a legkisebb 3-mal osztható négyjegyű szám, amelynek minden számjegye különböző,
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika
Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés
[Biomatematika 2] Orvosi biometria
[Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =
3. gyakorlat. 1. Független események. Matematika A4 Vetier András kurzusa február 27.
3. gyakorlat Matematika A4 Vetier András kurzusa 2009. február 27. 1. Független események Az A és B események akkor és csak akkor függetlenek,ha az alábbbi négy egyenlőség teljesül: P(A B) = P(A)P(B) P(A
Összegek összege, Bűvös négyzet, Bűvös háromszög és egyebek
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fax: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör 2017/2018.
Ajánlott szakmai jellegű feladatok
Ajánlott szakmai jellegű feladatok A feladatok szakmai jellegűek, alkalmazásuk mindenképpen a tanulók motiválását szolgálja. Segít abban, hogy a tanulók a tanultak alkalmazhatóságát meglássák. Értsék meg,
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév
Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;
Gyakorló feladatsor matematika javítóvizsgára évfolyam.docx
1) Egy bankba ot helyezek el évre megtakarítás céljából. Mennyi pénzem lesz a év leteltekor, ha az éves kamat? 2) Egy autó értéke 7 évvel ezelőtt volt. Mennyi most az értéke, ha végig évi os értékcsökkenéssel
Valószínűségszámítás feladatok
Valószínűségszámítás feladatok Klasszikus valószínűség./ Eg csomag magar kártát jól összekeverünk. Menni annak a valószínűsége, hog a ász egmás után helezkedik el?./ 00 alma közül 0 férges. Menni a valószínűsége,
Diszkrét matematika II. gyakorlat
Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.
FPI matek szakkör 8. évf. 4. szakkör órai feladatok megoldásokkal. 4. szakkör, október. 20. Az órai feladatok megoldása
4. szakkör, 2004. október. 20. Az órai feladatok megoldása Most csak három önmagában nem nehéz feladatot kapsz, és a feladatot magadnak kell általánosítani, szisztematikusan adatot gyűjteni, általános
Eredmények, megoldások
Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;
PYTAGORIÁDA. 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó?
Az iskolai forduló feladatai 2006/2007-es tanév Kategória P 3 1. Két szám összege 156. Az első összeadandó a 86 és a 34 különbsége. Mekkora a másik összeadandó? 2. Számítsd ki: 19 18 + 17 16 + 15 14 =
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései
12. Mellékletek 1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései 1. Mikor tanít számelméletet és hány órában? (Pl. 9. osztályban a nevezetes azonosságok után 4 órában.) 2. Milyen könyvet használnak
Közgazdaságtani, módszertani és üzleti alapozó modul Gazdasági matematika 2. Valószínűségszámítás
Gazdasági matematika 2: Valószínűségszámítás Tantárgyi útmutató 1. A tantárgy helye a szaki hálóban Gazdálkodási és menedzsment szakirány áttekintő tanterv Nagyításhoz kattintson a képre! Turizmus - vendéglátás
Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
Kombinatorika alapjai összefoglaló
Kombinatorika alapjai összefoglaló Permutációk, variációk, kombinációk száma 1. Permutációk: akkor beszélünk permutációról, ha valahány konkrét elemet sorba rendezünk. Pl. a fogorvosnál várakozók beengedésének
8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.
BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat
KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,
KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe
III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló
III. osztály 1 Orchidea Iskola IV. Matematika verseny 2011/2012 II. forduló 1. Mennyi az eredmény 15+17 15+17 15+17=? A) 28 B) 35 C) 36 D)96 2. Melyik szám van a piramis csúcsán? 42 82 38 A) 168 B) 138
Matematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x
Matematika érettségi emelt 8 október ( ) lg( 8) 8 8 nem megoldás lg( 8) 8 9 ] ; [ ] ; [, M {;} Matematika érettségi emelt 8 október 6 I. eset II. eset ;[ ] 5 5 6 ;[ ], [ [; 5 5 6 [ [; 4, {;} M Matematika
gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.
Valószínűségszámítás Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma 100 200 300 400 500 600