36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0, = 0, = 0, Mo.: 32 = 0,25

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25"

Átírás

1 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk; 5 0, d prímszámot dobunk? = 0,5. BKSS 4... Két szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a legalább az egyiken -os áll; 0, b a dobott számok minimuma ; 0,9 c a dobott számok maximuma ; 5 0,4 d a dobott számok összege kisebb, mint 5; 0, e a dobott számok legnagyobb közös osztója? 0,9. BKSS Egy szabályos pénzdarabot ötször feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobunk fejet is és írást is; 0 = 0,95 b legalább két fejet dobunk; = 0,5 c több írást dobunk, mint fejet; = 0,5 d nem dobunk két fejet egymás után; = 0,405 e dobunk három fejet egymás után? = 0,5 4. A lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kihúzunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a piros ász is a négy lap között lesz? 4 = 0,5 5. Egy kockát hatszor egymás után feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a az,,,4,5, számok mindegyike szerepelni fog;! 0,054 b az első dobás eredménye -os, a többi pedig ettől különböző; 55 0,0 c az első két dobás eredménye -os, a többi pedig a -tól is és egymástól is különböző; 5 4 0,005 d két dobás eredménye -os, a többi pedig ettől különböző? 5 4 0,. BKSS Egy dobozban 0 cédula van -től 0-ig megszámozva. Találomra kiveszünk 5 cédulát. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott számok mindegyike -nál nagyobb? ,05. BKSS 4...a lapos magyar kártyából lapot találomra kihúzva mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok különböző színűek? 4 0,4. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát négyszer feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a különböző számokat dobunk; 5 4 0, 4 b a harmadik dobásnál dobunk először -ost; 5 5 0, 4 c nem dobunk két hatost egymás után; 9 0,9 4 d a dobott számok maximuma 4? ,5

2 Visszatevéses és visszatevés nélküli mintavétel. BKSS alkatrész közül 5 selejtes. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 0 alkatrészt találomra kiválasztva azok között selejtes lesz? ,00. BKSS 4... lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kiválasztva mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok között a pontosan két piros lesz; ,5 b legalább egy ász lesz; 4 4 0,4 c legfeljebb egy zöld lesz? ,4. BKSS 4... Mennyi annak a valószínűsége, hogy az ötös lottón egy találomra kitöltött lottószelvénnyel pontosan k találatot érünk el? k=0,,,,4,5 5 k 5 k BKSS Egy urnában 5 piros és fehér golyó van. Az urnából 0-szer húzunk úgy, hogy a kihúzott golyót mindig visszatesszük. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pontosan piros golyót húzunk; 0 5 0,0 b legalább egy fehér golyót húzunk 5 0 0, BKSS Bizonyos típusú tranzisztorok %-a selejt. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 0 db tranzisztort vásárolva azok között a selejt lesz? 0 0,0 0,9 0,00 b lesz selejt? 0,9 0 0,. BKSS Mennyi a valószínűsége, hogy egy tízgyermekes családban pontosan 4 lány van, ha egy fiúgyermek születésének valószínűsége 0,5 és egy leánygyermek születésének valószínűsége 0,49? 0 4 0,49 4 0,5 0,. BKSS Egy dobozban 0 kártya van. Húsz kártyán van A betű, tíz kártyán B betű és harmincon C betű. Egymás után kihúzunk 5 kártyát visszatevéssel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a pontosan -szor húzunk A betűt; ,4 5 5 b legalább kétszer húzunk B betűt; ,9 c páros sokszor húzunk C betűt? 0,5. BKSS Egy céltáblára 5 fiú ad le egy-egy lövést. Mindenki 0, valószínűséggel talál bele a 0-es körbe. Mennyi a valószínűsége, hogy a pontosan 5 találat lesz a 0-es körbe; 5 5 0, 5 0,4 0 0,04 b legfeljebb 4 találat lesz a 0-es körbe; 0,0094 c legalább két találat lesz a 0-es körbe? 0, BKSS Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy szabályos dobókockával dobva a hatodik dobásnál dobunk a először -ost; 5 5 0,0 b másodszor -os; ,0 c harmadszor -ost? 5 5 0,0

3 Valószínűségszámítás II. Diszkrét valószínűségi változók és nevezetes eloszlások Várható érték - Szórás - Eloszlásfüggvény. BKSS Egy telefonközpontba perc alatt átlagosan 5 hívás érkezik be. Ha adott időtartam alatt beérkező hívások száma Poisson-eloszlású, mennyi annak a valószínűsége, hogy perc alatt a pontosan hívás érkezik be; 5! e 5 0,04 b legfeljebb hívás érkezik be; 0,5 c legalább hívás érkezik be? 0,99 d a várhatónál több hívás érkezik be? 0,4. BKSS Egy 400 oldalas könyvben 00 sajtóhiba van. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 0 véletlenszerűen kiválasztott oldalon nem lesz sajtóhiba, ha feltesszük, hogy a sajtóhibák száma Poisson-eloszlású valószínűségi változó? 0, 00. Számolja ki az alábbi valószínűségi változók várható értékét és szórását! 0 a ξ M ξ = 5,5 D ξ, 0 b ξ M ξ = 0, D ξ,45 4. Egy csomag magyar kártyából találomra kihúzunk egy lapot. Jelölje ξ a kihúzott lap szokásos pontértékét. alsó:, felső:, király: 4, ász:, hetes:, nyolcas:, kilences: 9, tizes: 0 Adja meg ξ eloszlását, várható értékét, szórását! ξ M ξ =,5 D ξ,5 5. Variációk egy dobozra, három piros és négy fehér golyóra Egy dobozban piros és 4 fehér golyó van. Adjuk meg az alább definiált valószínűségi változók eloszlását, várható értékét, szórását, eloszlásfüggvényét! a Addig húzunk visszatevés nélkül, amíg piros nem lesz. Jelölje ξ a húzott golyók számát! 4 5 ξ 5 0 Mξ = Dξ = 5, x 5 5 < x 5 5 < x 5 < x < x 5 5 < x b Két golyót húzunk visszatevés nélkül. Jelölje ξ a pirosak számát a kihúzott golyók között. Hipergeometrikus eloszlás 0 ξ Mξ = Dξ 0, 0 x 0 0 < x < x < x

4 c Két golyót húzunk visszatevéssel. Jelölje ξ a pirosak számát. Binomiális eloszlás 0 ξ 4 9 Mξ = 4 Dξ = 49 0, x < x < x < x d Addig húzunk visszatevés nélkül, amíg két különböző színű golyó nem lesz a kihúzottak között. Jelölje ξ a húzott golyók számát! 4 5 ξ Mξ = 5 =, Dξ = 5 = 0, x 0 5 < x 0 5 < x < x 5 5 < x e Addig húzunk visszatevés nélkül, amíg két azonos színű golyó nem lesz a kihúzottak között. Jelölje ξ a húzott golyók számát! ξ 4 Mξ =,5 Dξ = 49 0,49 0 x < x < x f Két golyót húzunk visszatevéssel. Legyen ξ értéke 0, ha a két kihúzott golyó különböző színű, és legyen ez az érték, ha a kihúzott golyók azonos színűek. Indikátor-változó eloszlása 0 ξ 4 Mξ = 0,4 Dξ = 49 0,49 0 x < x < x. Egy szabályos dobókockával ötször dobunk egymás után. Jelölje ξ valószínűségi változó azt, hogy hányszor dobtunk -ost. Számolja ki ξ várható értékét és szórását! M ξ = 5 0, D ξ = 5 0,. Egy ξ valváltozó Poisson-eloszlású λ =, 5 paraméterrel. Határozza meg ξ eloszlását, várható értékét és szórását. Milyen valószínűséggel vesz fel ξ a várható értékénél kisebb értéket? Pξ <,5 0,54. Bizonyos típusú kávéfőzők 5%-a selejt. -at veszünk. Jelölje ξ a megvásárolt kávéfőzők között a selejtesek számát. Adja meg ξ eloszlását, várható értékét, szórását. Mennyi a valószínűsége, hogy a lesz selejtes a vásároltak között; b -nél kevesebb selejt lesz a vásároltak között? 0 ξ 0 0,05 0 0,95 0,05 0,95 0,05 0,95 0,05 0, Kiszámolt értékekkel: ξ 0, 55 0, 55 0, 005 0, 0005

5 Mξ = n p = 0,05 = 0,5 Dξ = n p q = 0,05 0,95 0, Plesz selejtes 0, 4 P-nél kevesebb selejtes 0, 995 Valószínűségszámítás III. Folytonos valószínűségi változók eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. BKSS 4... Igazolja, hogy Fx eloszlásfüggvény. Írja fel az Fx eloszlásfüggvényű ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvényét és számolja ki a felírt valószínűségeket! megj.: F eloszlásfv, ha a köv. tulajdonságok mindegyike teljesül: D F = R, 0 Fx, F monoton növő, F minden pontban balról folytonos, lim 0, lim x x a ex + e x < x <, Pξ > 0, Pln ξ ln D F = R F x = ex + e x = + ex + e x = + e } {{ x } 0< < 0 < Fx < e x + e x > 0 F szigorúan monoton növő tehát monoton növő is. F folytonos függvény, ezért F balról folytonos minden pontban. lim lim x x F sűrűségfüggvénye: fx = F x = e x + e x = 0 = 0 lim lim x x e x + e x < x < Pξ > 0 = Pξ 0 = Pξ < 0 = F0 = Pln ξ ln = Fln Fln = eln 0 ha x b arccos x ha < x π ha < x P D F = R + e x = 0 = e0 + e 0 = = 0,5 + e ln eln + e ln = + + = 0,0 ξ <, P ξ, P < ξ 0 0 arccos x π 0 π arccos x 0 arccos x 0 Fx π Az előző pont miatt F monotonitásához elég azt belátni, hogy F monoton növő a ],[ intervallumon: I. mo. arccos x szig. mon. csökkenő π arccos x szig. mon. csökkenő π arccos x szig. mon. növő π arccos x szig. mon. növő. II. mo. π arccos x = > 0, ha < x <. π x F folytonos a ], [, ],[, ], [ intervallumokon, tehát itt balról is folytonos. Belátjuk, hogy F balról folytonos továbbá az x = ill. x = helyeken.

6 is tehát, hogy ezeken a helyeken a baloldali határérték megegyezik a helyettesítési értékkel: lim lim 0 = 0 = F lim lim π arccos x = = F x x x x lim lim 0 = 0 x x lim lim = x x 0 ha x < F sűrűségfüggvénye: fx = F x = ha < x < π x 0 ha < x megj.: / D f, / D f P ξ < = P ξ = x0 ha x 0 < x c x P ξ < x 0, P 0 < ξ < x 0 0 ha x x 0 x 0 > 0 valós állandó F eloszlásfv: bizonyítás, mint fent. HF x F sűrűségfüggvénye: fx = F 0 x ha x > x 4 0 x = 0 ha x x 0 d P ξ < x 0 = = 0,5 P 0 < ξ < x 0 = 0 ha x < x x + ha x P < ξ, P 0 < ξ < F eloszlásfv: bizonyítás, mint fent. HF 0 ha x < F sűrűségfüggvénye: fx = F x = x+ ha < x x 0 P < ξ 0 = P < ξ = P 0 < ξ < =. BKSS 4... Határozza meg az A és B állandókat úgy, hogy Fx eloszlásfüggvény legyen! a A + B arctg x < x < A =, B = π 0 ha x < 0 b A =, B = A + Be x ha 0 x Várható érték és szórás. BKSS 4... Egy ξ valváltozó sűrűségfüggvénye fx. Számolja ki ξ várható értékét és szórását! a fx = x 4 ha x Mξ = Dξ = 0 ha x <

7 e x ha 0 x b fx = 0 ha x < 0 x + ha 0 x c fx = 0 máshol Mξ = Dξ = Mξ = Dξ = Nevezetes folytonos valószínűségi változók 4. BKSS 4... Legyen ξ normális eloszlású valószínűségi változó, amelynek várható értéke m és szórása σ! a Számolja ki a P ξ > 0, valószínűséget, ha m = 0 és σ = 0,! 0,045 Milyen x értékre teljesül a P x ξ = 0, 0 egyenlőség? x = 0, 5 b Számolja ki a P ξ valószínűséget, ha m = és P ξ > = 0,5! 0,4 c Számolja ki az m és σ értéket, ha m = 4σ és P ξ < = 0,0! m = 4, σ = d Számolja ki a P ξ > valószínűséget, ha σ = és P ξ = 0,4! 0, e Számolja ki a P ξ < 0,5 valószínűséget, ha P ξ < = 0,4 és P < ξ = 0,0! 0, 5. BKSS Egy repülőgép egy 00 m magasságú légifolyosóban repül. A repülőgép repülési magasságának a légifolyosó közepétől való eltérése 0 m várható értékű és 50 m szórású normális eloszlású valószínűségi változó. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a repülőgép a légifolyosóban halad? 0,45. BKSS 4..5 Egy gyártmány mérethibája - azaz a névleges mérettől való eltérése - 0 várható értékű, normális eloszlású valószínűségi változó. Annak a valószínűsége, hogy a mérethiba abszolútértéke meghaladja a mm-t: 0,. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a mérethiba abszolútértéke 0 mm-nél kisebb? 0,. BKSS 4... Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó az ];4[ intervallumon. Írja fel ξ sűrűségfüggvényét, eloszlásfüggvényét, várható értékét és szórását! 0 ha x fx = ha < x 4 0 ha 4 < x 0 ha x x ha < x 4 ha 4 < x Mξ = 5 Dξ =. BKSS 4... Egy benzinkútnál a tapasztalatok alapján annak a valószínűsége, hogy a tankolásra percnél tovább kell várni, 0,. Ha a várakozási idő exponenciális eloszlású valószínűségi változó, mennyi annak a valószínűsége, hogy a benzinkúthoz érkezve percen belül elkezdhetünk tankolni? 0,5 9. Egy ξ valváltozó jelentse annak az útnak a hosszát, amelyet egy gépkocsi az első műszaki hibáig megtesz kmben. Tegyük fel, hogy ξ exponenciális eloszlású és várható értéke: 500km. Írja fel ξ sűrűség- és eloszlásfüggvényét! Mennyi annak a valószínűsége, hogy ξ a várható értékénél kisebb értéket vesz fel? fx = 0 ha x e 500 x ha 0 < x 0 ha x 0 e 500 x ha 0 < x Mξ = 500 P ξ < Mξ = e 0, 0. Bizonyos típusú izzólámpák tönkremeneteléig eltelt égési időtartam hossza órában exponenciális eloszlású, 000 óra szórású ξ valószínűségi változó. M ξ =? fx =?? Mennyi a valószínűsége, hogy egy kiszemelt izzólámpa 000 órán belül még nem megy tönkre? Mξ = 000 fx = 0 ha x e 000 x ha 0 < x 0 ha x 0 e 000 x ha 0 < x

8 Pξ 000 = e 0,05

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli

a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli Gyakorló feladatok valószínűségszámításból végeredményekkel a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, a nehezebb feladatokat jelöli. Igaz-e, hogy tetszőleges A, B és C eseményekre teljesül a A B \ C =

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS. MSc. Órai Feladatok VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS MSc Órai Feladatok 1. Feladat (Diszkrét eloszlás) Ketten kosárlabdáznak. Az A játékos 0,4 a B játékos 0,3 valószínűséggel dob kosarat. A dobást A kezdi és felváltva dobnak egymás után.

Részletesebben

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2?

4.4. Egy úton hetente átlag 3 baleset történik. Mi a valószínűsége, hogy egy adott héten 2? HIPERGEO. BINOM. POISSON 4.1. Egy üzletben 100-an vásárolnak, közülük 80-an rendelkeznek bankkártyával. A pénztárnál 10-en állnak sorba, mi a valószínűsége, hogy 7-nek lesz bankkártyája? 4.2. Egy üzletben

Részletesebben

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László

Gyakorló feladatok. Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben,

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)

Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok) Poisson-eloszlás Exponenciális és normális eloszlás (házi feladatok)./ Egy televízió készülék meghibásodásainak átlagos száma óra alatt. A meghibásodások száma a vizsgált időtartam hosszától függ. Határozzuk

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 4. : A valószínűségi változó és jellemzői Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC

Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Valószín ségszámítás gyakorlat Földtudomány BsC Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 100 + x pontot lehet szerezni a félév

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

10. Valószínűségszámítás

10. Valószínűségszámítás . Valószínűségszámítás.. Események A valószínűségszámítás nagyon leegyszerűsítve események bekövetkezésének valószínűségével foglalkozik. Példák: Ha egy játékban egy dobókockával dobunk, akkor a kockadobás

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 4. MA3-4 modul. A valószínűségi változó és jellemzői Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 4. MA3-4 modul A valószínűségi változó és jellemzői SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

A II. fejezet feladatai

A II. fejezet feladatai A II. fejezet feladatai Kulcsszavak : valószínűségi változó, eloszlásfüggvény, diszkrét eloszlás, sűrűségfüggvény, nevezetes diszkrét és folytonos eloszlások, valószínűségi változók transzformációja, várható

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet?

a. minden számjegy csak egyszer szerepelhet? b. egy számjegy többször is szerepelhet? Az els gyakorlat feladatai 1. Az 1, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 5-jegy szám képezhet, amelyeknek a harmadik számjegye 8? 2. Az 1, 2, 3, 5, 7, 8 elemekb l hány olyan 6-jegy szám képezhet, amely 123-mal

Részletesebben

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12?

1. gyakorlat. 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 1. gyakorlat 1. Minek van nagyobb esélye? Annak, hogy egy szabályos kockát háromszor feldobva az eredmény 11, vagy annak, hogy az eredmény 12? 2. Egy urnában 3 lap van, az egyikre 1, a másikra 2, a harmadikra

Részletesebben

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz

Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (2012. 10. 01.-02.) Várható érték, szórás, módusz Villamosmérnök A4 4. gyakorlat (0. 0. 0.-0.) Várható érték, szórás, módusz. A k 0, (k,,, 4) diszkrét eloszlásnak (itt P(X k)) mennyi a (a) várható értéke, (b) módusza, (c) második momentuma, (d) szórása?

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 3. és 4. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Várható érték 1. Egy dobozban 6 cédula van, rajtuk pedig a következő számok: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6; (b) 1, 2, 6, 6, 6, 6;

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4?

3. Egy szabályos dobókockát kétszer feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a dobott számok különbségének abszolutértéke nagyobb mint 4? 1. Kombinatorikus valószínűség 1. Egy dobókockát kétszer feldobunk. a) Írjuk le az eseményteret! b) Mennyi annak a valószínűsége, hogy az első dobás eredménye nagyobb, mint a másodiké? 2. Mennyi a valószínűsége

Részletesebben

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz

Házi feladatok. Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz Házi feladatok Valószín ségszámítás és statisztika programtervez informatikusoknak, 2015 sz A házi feladatok tartalmaznak könnyebb és nehezebb példákat is ugyanannyi pontért. A feladatokhoz készítettem

Részletesebben

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt

1. Név:... Neptun Kód:... Feladat: Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt 1. Név:......................... Egy összeszerel½o üzemben 3 szalag van. Mindehárom szalagon ugyanazt a gyártmányt készítik. Egy gyártmány összeszerelési ideje normális eloszlású valószín½uségi változó

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás European Virtual Laboratory of Mathematics Project No. 2006 - SK/06/B/F/PP - 177436 Európai Virtuális Matematikai Laboratórium Árvai- Homolya Szilvia Valószínűségszámítás EVML e-könyvek Miskolc 2008 Sorozat

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük?

1.5 Hányféleképpen ültethetünk egy kerek asztal köré 7 embert, ha a forgatással egymásba vihető ülésrendeket azonosnak tekintjük? 1 Kombinatorika Valószínűségszámítás feladatok 2016/17 tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény, ha a 8 bástyát

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.

Statisztika I. 4. előadás Mintavétel. Kóczy Á. László KGK-VMI. Minta Mintavétel Feladatok. http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1. Statisztika I. 4. előadás Mintavétel http://uni-obuda.hu/users/koczyl/statisztika1.htm Kóczy Á. László KGK-VMI koczy.laszlo@kgk.uni-obuda.hu Sokaság és minta Alap- és mintasokaság A mintasokaság az a részsokaság,

Részletesebben

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az

vásárlót átlag 2 perc alatt intéz el (blokkolás, kártyaleolvasás), de ez az 1. Név:......................... Egy ABC-ben délután (5-t½ol 9 óráig) a vásárlók száma óránként 200 várható érték½u Poisson eloszlású valószín½uségi változó. A pénztáros egy vásárlót átlag 2 perc alatt

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17

Tartalomjegyzék Szitaformulák Példák a szitaformulára Mintavételezés Bayes-tétel... 17 Valószínűségszámítás Földtudomány szak, 2015/2016. tanév őszi félév Backhausz Ágnes (ELTE TTK Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék)1 Tartalomjegyzék 1. Valószínűségi mező 3 1.1. Példák valószínűségi

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KIDOLGOZOTT FELADATOK KOMBINATORIKA Példa: a) Hányféle módon rakható sorba egy csomag Magyar kártya 3 lapja? Nyilván 3! féle módon. Ez nagyon nagy szám, 3!,63 0 35. b) Hányféle módon

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Valószínűségszámítási gyakorlatok

Valószínűségszámítási gyakorlatok Matematikai és Informatikai Intézet Valószínűségszámítási gyakorlatok Összeállította Dr. Tómács Tibor egyetemi docens Utolsó módosítás 7. március 9. Eger, 7 Tartalomjegyzék Gyakorlatok.....................................

Részletesebben

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2

Tantárgy kódja Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Tantárgy neve Alkalmazott matematika II. Tantárgy kódja MT003 Meghirdetés féléve 3 Kreditpont 4 Összóraszám (elm+gyak) 2+2 Számonkérés módja gyakorlati jegy Előfeltétel (tantárgyi kód) MT002 Tantárgyfelelős

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8.

MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 2009 június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól

6. Buffon problémája: egy egységnyi hosszú tűt véletlenszerűen ledobunk a síkra, ahol a szomszédaiktól Klasszikus valószínűségi mező Valószínűségszámítás feladatok 1. Mekkora a valószínűsége, hogy kockával hatszor dobva mind a 6 szám előfordul? Mekkora a valószínűsége, hogy 12-szer dobva mind a 6 szám pontosan

Részletesebben

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor

Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor Programtervezı matematikus szak II. évfolyam Valószínőségszámítás 1. feladatsor (Véges) valószínőségi mezı. Klasszikus eset vagy nem? Egy kísérlet lehetséges kimeneteleinek halmaza az eseménytér (jel.:

Részletesebben

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés

Számítógépes döntéstámogatás. Statisztikai elemzés SZDT-03 p. 1/22 Számítógépes döntéstámogatás Statisztikai elemzés Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Előadás SZDT-03 p. 2/22 Rendelkezésre

Részletesebben

Felte teles való szí nű se g

Felte teles való szí nű se g Felte teles való szí nű se g Szűk elméleti összefoglaló 1. P(A B) = P(AB) P(B) 2. 0 P(A B) 1 3. P(A A) = 1 4. P(A ) = 0 5. egymást kizáró események esetén: P( A I B) = P(A i B). A és B események függetlenek,

Részletesebben

Valószínűségszámítás FELADATOK

Valószínűségszámítás FELADATOK Valószínűségszámítás FELADATOK készülő példatár Vetier András 2016. május 27. Tartalomjegyzék 1. Lehetséges kimenetelek 3 2. Kombinatórika 4 3. Klasszikus képlet 4 4. Feltételes valószínűség 5 5. Szorzási

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladatok Nagy-György Judit 2006. április 3. 1. Kombinatorikai alapok 1. Hányféleképpen állhatnak sorba egy 10 fős csoport tagjai? És körbe? 2. Hányféleképpen állhat sorba 10 nő és

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket!

( 1) i 2 i. megbízhatóságú a levont következtetése? A matematikai statisztika eszközeivel értékelje a kapott eredményeket! 1. Név:......................... Egy szabályos pénzérmét feldobunk, ha az els½o FEJ az i-edik dobásra jön, akkor a játékos nyereménye ( 1) i i forint. Vizsgálja szimulációval a játékot, különböz½o induló

Részletesebben

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János

Biomatematika 8. Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar. Fodor János Szent István Egyetem Állatorvos-tudományi Kar Biomatematikai és Számítástechnikai Tanszék Biomatematika 8. Valószínűség-számítás II. Fodor János Copyright c Fodor.Janos@aotk.szie.hu Last Revision Date:

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Valószínűségszámítás programtervező informatikusok részére Eger, 010. szeptember 0. Tartalomjegyzék 1. Véletlen események...............................

Részletesebben

Feladatok. 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül!

Feladatok. 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül! Ketskeméty-Pintér 1 Feladatok 1. első 1. Legyen A, B I. Adja meg az összes olyan C I eseményt, melyre A C A B teljesül! 2. Legyen A, B I. Adja meg az A, B-t tartalmazó legszűkebb σ algebrát! 3. Legyen

Részletesebben

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát.

5. Egyszerre feldobunk egy-egy szabályos hat-, nyolc-, és tizenkét oldalú dobókockát. 1. feladatsor 1. (a) Igazolja, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre fennáll, hogy (A B) (A C) = A (B + C)! (b) Sorolja fel a valószínűség-számítás axiómáit! (a) c=? (4) (b) D(ξ)=? (0.4714) { c x 5 (c)

Részletesebben

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint)

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Klasszikus valószínűség 1. Véletlenszerűen felírunk egy hatjegyű számot a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával, melyekben minden számjegy csak egyszer

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS

Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS Valószínűségszámítás és Statisztika I. zh. 2014. november 10. - MEGOLDÁS 1. Kihasználva a hosszasan elhúzódó jó időt, kirándulást szeretnénk tenni az ország tíz legmagasabb csúcsa közül háromra az elkövetkezendő

Részletesebben

Kombinatorika gyakorló feladatok

Kombinatorika gyakorló feladatok Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Eredmények, megoldások

Eredmények, megoldások Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk;

Részletesebben

1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek. (emlékeztetõ)

1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek. (emlékeztetõ) Ea1. 2002. 02. 11. 1. elõadás: A valószínûség fogalma, kombinatorikai alapismeretek Véletlen jelenség: feltételek, körülmények; ismételhetõség Megfigyelés: mi érdekel minket lehetséges kimenetelek Esemény:

Részletesebben

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk?

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk? Valószínűségszámítás, gráfok, statisztika 1. Egy 660 fős iskola tanulóinak 60%-a lány. A lány tanulók 25%-a a 12. évfolyamra jár. Egy tetszőleges tanulót választva az iskola tanulói közül, mennyi a valószínűsége,

Részletesebben

Matematika III. Nagy Károly 2011

Matematika III. Nagy Károly 2011 Matematika III előadások összefoglalója (Levelezős hallgatók számára) Nagy Károly 20 . Kombinatorika.. Definíció. Adott n darab egymástól különböző elem. Ezeknek egy meghatározott sorrendjét az n elem

Részletesebben

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont:

Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: Próbaérettségi feladatsor_a NÉV: osztály Elért pont: I. rész A feladatsor 1 példából áll, a megoldásokkal maximum 30 pont szerezhető. A kidolgozásra 45 perc fordítható. 1. feladat Egy osztály tanulói a

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK 1. ESEMÉNYALGEBRA 1. Egy gazdának két traktora van. Jelentse A illetve B azt az eseményt, hogy egy adott napon az első illetve a második traktor nem hibásodik

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás

STATISZTIKA ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE. Mi a modell? Matematikai statisztika. 300 dobás. sűrűségfüggvénye. Egyenletes eloszlás ELŐADÁS ÁTTEKINTÉSE STATISZTIKA 7. Előadás Egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Normális eloszlás Standard normális eloszlás Normális eloszlás mint modell /56 Matematikai statisztika Reprezentatív mintavétel

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat Programtervez informatikus szak, esti képzés Játékszabályok 0 + x pontot lehet szerezni a félév során: 50 pont:. ZH a félév közepén 50 pont:. ZH a félév végén

Részletesebben

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8.

MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2009. június 8. EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2009. június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor

Részletesebben

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA

ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Berzsenyi Dániel Főiskola ÁLTALÁNOS STATISZTIKA Műszaki menedzser alapszak Példatár Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 2006 1 Valószínűségszámítási tételek, feltételes valószínűség, események függetlensége

Részletesebben

Legfontosabb bizonyítandó tételek

Legfontosabb bizonyítandó tételek Legfontosabb bizonyítandó tétele 1. A binomiális tétel Tetszőleges éttagú ifejezés (binom) bármely nem negatív itevőj ű hatványa polinommá alaítható a övetez ő módon: Az nem más, mint egy olyan n tényezős

Részletesebben

VAL OSZ IN } US EGSZ AM IT AS es MATEMATIKAI STATISZTIKA feladatgy}ujtemeny Programozo matematikus, szamtastechnika levelez}o es tanarszakos hallgatok reszere Kesztette: Nagy Marta, Sztrik Janos es Tar

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

1. Előszó. 2. Valószínűségszámítás

1. Előszó. 2. Valószínűségszámítás 1. Előszó Ez a jegyzet a BME Építőmérnök hallgatóinak számára az A3 előadáshoz készült. Ennek a tárgynak előfeltétele az A1 tárgy, ami az egy változós kalkulus, és az A2 tárgy, ami a többváltozós kalkulusból

Részletesebben

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és

1.4 Hányféleképpen rakhatunk sorba 12 könyvet, ha 3 bizonyos könyvet egymás mellé akarunk rakni és Valószínűségszámítás és statisztika feladatok 1 Kombinatorika 2011/12. tanév, I. félév 1.1 Hányféleképpen lehet a sakktáblán 8 bástyát elhelyezni úgy, hogy egyik se üsse a másikat? Mennyi lesz az eredmény,

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

24. Valószínűség-számítás

24. Valószínűség-számítás 24. Valószínűség-számítás I. Elméleti összefoglaló Események, eseménytér A valószínűség-számítás a véletlen tömegjelenségek vizsgálatával foglalkozik. Azokat a jelenségeket, amelyeket a figyelembe vett

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége. Valószínűségszámítás Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma 100 200 300 400 500 600

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy:

Feladatok és megoldások a 9. hétre. 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: Feladatok és megoldások a 9. hétre Építőkari Matematika A3 1. Egy szabályos kockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy 6-ost dobunk, ha tudjuk, hogy: párosat dobunk? legalább 3-ast dobunk? legfeljebb

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

Debreceni Egyetem, KTK

Debreceni Egyetem, KTK Debreceni Egyetem, KTK Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli, e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb feladatokat jelöli

Részletesebben

Sorozatok és Sorozatok és / 18

Sorozatok és Sorozatok és / 18 Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle

Részletesebben

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA ÁVF GM szak 2010 ősz KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése 2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07 ÁVF Oktató: Lipécz György 1 A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak

Részletesebben

Matematika A4 II. gyakorlat megoldás

Matematika A4 II. gyakorlat megoldás Matematika A4 II. gyakorlat megoldás 1. Feltételes valószínűség Vizsgálhatjuk egy A esemény bekövetkezésének valószínűségét úgy is, hogy tudjuk, hogy egy másik B esemény már bekövetkezett. Például ha a

Részletesebben

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák

Populációbecslés és monitoring. Eloszlások és alapstatisztikák Populációbecslés és monitoring Eloszlások és alapstatisztikák Eloszlások Az eloszlás megadja, hogy milyen valószínűséggel kapunk egy adott intervallumba tartozó értéket, ha egy olyan populációból veszünk

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak

Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Valószín ségszámítás és statisztika gyakorlat programtervez informatikus szak Játékszabályok Az órákon részt kell venni, maximum 3-szor lehet hiányozni. Aki többször hiányzik, nem kap gyakjegyet. 00 +

Részletesebben