1. feladatlap. 1. Határozza meg a következ½o kifejezések értékét: a) b) log 8 6! 3

Átírás

1 . feladatlap. Határozza meg a következ½o kifejezések értékét: a) b) 7 + log 8 6! 3. András és Béla együtt 0 millió forintot örökölt. András takarékbetétkönyvet nyitott, és egy év múlva 80 ezer forint kamatot kapott. Béla a takarékbetétkönyvnél %-kal magasabb kamatozású állampapírt vett, mely kamata egy év elteltével 00 ezer forint volt. Mennyi volt külön-külön András és Béla öröksége? 3. A Kis család évente Ft-ot helyez el a takarékban évi 5%-os kamatra. Öt év után két évig nem nyúlnak a pénzhez, de ebben a két évben a kamat már csak évi 4%. Ezután öt évig évente kivesznek Ft-ot, miközben a kamat %. A tizenkettedik év végére hány forint marad a számlán? 4. Írja fel a következ½o sorozatok els½o, második, harmadik és tizedik tagját! a) b) c) d) a n = n + a n = ( )n 5 + n a n = sin n a n = n Vizsgálja meg a következ½o sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából! a) a n = 3n 5 + n

2 b) c) d) e) )n+ a n = ( n + 3 a n = + 3n n a n = n 5 n+ a n = n p n + f) a n = p n + p n 6. Számítsa ki az alábbi általános elem½u sorozatok határértékét! Határozza meg, hogy hányadik tagtól kezdve esnek a sorozat elemei a határérték adott " sugarú környezetébe? a) b) c) d) a n = 3n 5 + n ; " = 0 a n = 3 + ( )n n + ; " = 0 3 a n = n 4n + 3 ; " = 0 a n = n n + 3n ; " = 0

3 . feladatlap. Vizsgálja meg a következ½o sorozatokat konvergencia szempontjából! a) b) c) a n = a n = n 5n 3n n n 3 n + 3 a n = 3n4 n 3 + 8n 0 3p n 9 n 4 + 3n d) a n = 3 + 3n 5 n+ + n n e) a n = np 3n n 5 n f) a n = + 3 n+ n g) h) a n = 5n 3n + n + 3 a n = 7 + np n n n + ( ) n+ n + 3. Felvettünk t 0 Ft kölcsönt, amit évi egyenl½o részletekben kell majd törlesztenünk ( x kamat mellett). El½oször a kölcsön felvétele után évvel kell törlesztenünk. Tekintsük azt az (a n ) sorozatot, ahol az a n az n = 0; ; ; : : : év eltelte után fennálló tartozást jelenti. a) Írja fel a sorozat els½o 4 elemét. b) Milyen feltételek mellett lesz a sorozat monoton csökken½o?

4 3. Egy cégnek két kirendeltsége van egymástól 60 km távolságban, amelyeket a koordinátarendszerben A(0; 0) és a B(60; 0) pontokban helyezünk el. A két kirendeltség ugyanazt a terméket kínálja p forintos egységáron. A szállítási költség A-ból kilométerenként és egységenként 0Ft, B-b½ol pedig 5Ft. Az (x; y) pontban egy vev½o tartózkodik. a) Mi az alábbi kifejezések közgazdasági tartalma p + 0 p x + y q p + 5 (x 60) + y b) Határozza meg azon görbe egyenletét, mely aszerint vágja két részre a kirendeltségek piacainak halmazát, hogy az illet½o piac melyik cégt½ol tudja az árut olcsóbban beszerezni! 4. Vizsgálja meg az alábbi egyenesek meredekségének közgazdasági tartalmát: a) b) C = 55; 73 x az USA Steel Corp. 97 és 938 közötti id½oszakra vett költségfüggvénybecslése (C az évenkénti költség dollárban, x pedig az évenkénti acéltermelés tonnában). q = 0; 5 p + 0; 4 Indiában rizs éves keresleti függvényére vonatkozó becslés az 949 és 964 közötti id½oszakban (p az ár, q pedig az egy f½ore es½o fogyasztás). 5. Rajzolja fel az alábbi függvények gra konját! Vizsgálja meg ½oket monotonitás, korlátosság, paritás, periodicitás szempontjából! Adja meg a függvények értelmezési tartományát, értékkészletét is! a) f(x) = (x 3) + b) f(x) = x 5x + 6 c) f(x) = jx j+x d) f(x) = 3 jlog 3 xj

5 e) f(x) = p x 6x + 9 f) g) x f(x) = 3 sin + f(x) = [3 sin x + ] h) f(x) = p x i) f(x) = log (x ) j) k) f(x) = log x + f(x) = 3x+ x l) f(x) = tg x + 4

6 3. feladatlap. Számítsa ki a következ½o határértékeket! a) b) c) d) e) f) g) lim x! lim x! x 3x + x 4x x 3 + x x 3 p x lim x!4x 5x x 3 + 3x lim p 3x4 + x + 3x x! lim x! x x 3x + p x 3 + 4x p lim x + 3x x x! lim x! x 3 5 3x h) sin 4x lim x!0 7x. Adott az f(x) = log 3 jx j függvény. Számítsa ki az alábbi határértékeket: 3. Adott az limf(x), ha a = ; ; + x!a f(x) = x+ függvény. Számítsa ki az alábbi határértékeket: Folytonos-e a függvény az x = limf(x), ha a = ; 0; + 0; ; + x!a helyen? Vázolja a függvényt!

7 4. Legyen az f egyváltozós valós függvény a következ½o: f(x) = x ; ha x < 3 x ; ha x > Lehet-e úgy de niálni f(x)-et (és hogyan), hogy a [ legyen és minden x R esetén folytonos legyen? ; ] intervallumon lineáris 5. Határozza meg az alábbi függvények (x szerinti) els½orend½u deriváltját! a) b) f(x) = x3 + ex f(x) = 3p x 3 p x x 4 c) d) e) f) g) s r f(x) = x f(x) = (tgx + ln x) x 3 + f(x) = sin x + cos x sin x cos x f(x) = 3p cos x r e x f(x) = ln e x + h) f(x) = sin (4x ) i) f(x) = cos log 7 ( x)

8 4. feladatlap. Igazolja a derivált helyességét! y(x) = 4 ctg x + ln p sin x; y 0 (x) = ctg 3 x. Határozza meg az f(x) = x 3 6x + függvény x 0 = helyen vett érint½ojének az egyenletét. b) Határozza meg az f(x) = (x + ) 3p 3 x függvény görbéjének a ( ; 0) pontjába húzott érint½o egyenletét. 3. Határozza meg a következ½o függvények magasabb rend½u deriváltjait! a) f(x) = 3x 4 sin x f 000 (x) =? f 000 (0) =? b) f(x) = 4e 3x + sin 3 f (4) (x) =? 4. Bizonyítsa be, hogy a következ½o függvény kielégíti az adott összefüggést! y = p x x ; y 3 y 00 + = 0 5. Egy közlekedés gazdaságossági vizsgálat a T = 0; 4K ;06 összefüggést használja, ahol Kaz útépítés költsége, T pedig a forgalom nagyságát méri. Határozza meg a T (K-ra vonatkozó) elaszticitását. Határozza meg (ezen modell szerint közelít½oen) hány %-os forgalomnövekedést okoz az útépítés költségének %-os növekedése? 6. Egy termék iránti keresletet a p(> 0) ártól függ½oen az f(p) = 00 p + függvény írja le. Határozza meg (ezen modell szerint) hány %-kal és hogyan változik a kereslet, ha a cikk árát p = 50-r½ol %-kal növeljük! 7. Határozza meg az alábbi függvények széls½oértékeit! a) f(x) = x 4 + x 3 b) f(x) = x e x c) f(x) = x ln x d) f(x) = (x + ) (x + 3)

9 5. feladatlap. Egyenes fal mellett elhelyezked½o, 00m nagyságú téglalap alakú területet kell kijelölni úgy, hogy a három oldalához szükséges kerítés hossza a lehet½o legkisebb legyen. Mekkorák a téglalap oldalai?. Egy termék árbevételi függvénye B(x) = x p x Állapítsa meg, hogy az x (ár) milyen értéke mellett lesz az árbevétel maximális? 3. Számítsa ki a következ½o határértékeket! sin a) lim 3x x!0 5x tgx c) lim x! 4 e) lim x! g) lim x!0+0 i) lim x!0+0 ( b) lim x!0 e x sin x d) lim cos x x!0+0 x 3x+ x 3 8 sin x f) lim x! 0 ctgx h) lim sin x ex )ctgx ctgx 3 x x 3 e x x!+ 3x +x 4. Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvények esetén! Készítse el a függvények gra konját is! a) f(x) = 3x x 3 b) f(x) = x 4 3x c) f(x) = (x 3) p x d) f(x) = x + + x e) f(x) = (x + ) e x f) f(x) = x ln x

10 6. feladatlap. Számítsa ki a következ½o integrálokat! a) Z x + 3 sin x dx b) Z x + 3p x x+ dx c) Z tg x + p 3 dx d) Z x 3 e x x 3 e dx x. Számítsa ki a következ½o integrálokat! a) Z e x+ dx b) c) Z Z r 3 x dx x ln 3x dx d) e) Z Z x 3 x dx sin x 4p cos3 x dx f) Z x 3p 4 x dx

11 g) Z e x + e x + e x + dx h) Z 9 + x dx 3. Számítsa ki a következ½o integrálokat a parciális integrálás módszerével! a) Z xe x dx b) Z x x dx c) Z x sin(3x )dx d) Z x + cos x dx e) Z arctgxdx f) Z ln(x )dx g) Z ln x x dx h) Z arcsin xdx

12 7. feladatlap. Alkalmas helyettesítéssel számítsa ki a következ½o integrálokat! a) R cos p x p x dx b) R e p x dx c) R dx p x(+ 3p x) d) R p e x dx. Számítsa ki a következ½o függvények integrálját! a) R dx b) R x+ 4x x 5x+6 dx c) R x + x 3 +4x +4x dx d) R dx x Számítsa ki a következ½o határozott integrálokat: R 5R a) e x+ dx b) c) e) 0 R arctgxdx d) 0 4R q 3 ( 3x) dx x dx x +6 R 3 (x + ) cos xdx 4. Számítsa ki a következ½o improprius integrálokat: R R a) x e x dx b) dx +x R R x c) ln xdx d) p 4 x dx e) R p 4 x dx f) 4R 3p x 3 dx 5. Számítsa ki az y = hiperbola, az x tengely, az x = és az x = 4 egyenesek által x határolt tartomány területét! 6. Számítsa ki az y = x + x parabola és az y = 5x + 4 egyenes által határolt síkrész területét. 7. Mekkora az y = x görbe és az y = x x + 4 lev½o terület? egyenes által határolt els½o síknegyedben

13 8. feladatlap. Határozza meg az alábbi függvények els½orend½u parciális deriváltjait illetve a parciális deriváltak értékét az adott helyen! a) f(x; y) = x 5xy + 3y b) f(x; y) = e sin x y c) f(x; y) = xy x+y d) f(x; y) = ln(x + y ) e) f(x; y) = x y f) f(x; y) = e x y; P 0 (5; ) g) f(x; y) = x ln y + sin (xy) ; P 0 (0; e). Határozza meg az alábbi függvények másodrend½u parciális deriváltjait illetve a parciális deriváltak értékét az adott helyen! a) f(x; y) = cos (xy) + x ln y b) f(x; y) = x 3 y 5 x y 3 + 8x c) f(x; y) = e (x +y ) ; P0 (; 0) 3. Vizsgálja meg, hogy az alábbi kétváltozós skalárérték½u függvényeknek hol és milyen széls½oértéke van! a) f(x; y) = 3x + xy + y b) f(x; y) = xy c) f(x; y) = x y + e y d) f(x; y) = e (x +y xy) e) f(x; y) = x + y + xy f) f(x; y) = 4x + xy 5y + g) f(x; y) = x 3 + 3xy + y 4 h) f(x; y) = (6x x ) (8y y ) 4. Mekkorák az élei annak a felül nyitott m 3 térfogatú téglatest alakú ládának, mely elkészítéséhez minimális mennyiség½u anyag szükséges? 5. Meghatározandó az (x; y) síkon a P (x; y) pont olyan feltétel mellett, hogy a P (; 3); P (5; 4); P 3 ( ; ) pontoktól való távolságainak négyzetösszege minimális legyen. 6. Számítsa ki a következ½o integrálokat és vázolja a T integrálási tartományt! a) b) c) RR T R R y=0x= 3R 0 R 3 y 0 x sin ydxdy e x+3y dxdy dxdy (x+y+) ; ahol T = f(x; y) R ; 0 x ; 0 y g

14 R d) e) 0 p Ry (x + (sin x) y) dxdy y R R (cos (y + x) + arctgx) dydx 0 0 f) RR T (5 + 3xy) dxdy; ahol T = f(x; y) R ; 0 x ; x y xg :

15 9. feladatlap. Vizsgálja meg az alábbi sorokat konvergencia szempontjából! P a) P n b) P 000 n c) n n n! n n= n= n= P d) P 0 e) 3 n n= ( ) n+ np n n= f) P n= ( ) n p n 3. Számítsa ki az alábbi konvergens sorok összegét! P a) P b) n(n+) n= c) P n=0 5 n 0 n+ n= 0+ n 3 n 3. Egy 0 f½os társaság hányféleképpen tud leülni egy kerek aztalnál, ha a helyek nem számozottak? 4. Hány 7 jegy½u telefonszámot képezhetünk a ; ; ; 3; 3; 5; 5 számjegyek felhasználásával? 5. Egy 00 f½os cég legjobb 3 dolgozója kap különböz½o jutalmat. Hányféleképpen történhet a jutalmazás? 6. Egy bankban 4 pultnál folyik egyid½oben az ügyintézés. Az érkez½o ügyfelek bármelyik ügyintéz½onél jelentkezhetnek. Hányféleképpen jelentkezhet valamely napon az els½o 0 ügyfél a 4 ügyintéz½onél? 7. Hány ötöslottó-szelvényt kellene kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen ötösünk? 8. Hányféleképpen tölthet½o ki egy totószelvény? 9. Hányféleképpen tölthetünk ki úgy egy totószelvényt, hogy 8 darab -es, darab x-es és 4 darab -es tipp legyen rajta? 0. Hányféleképpen töltheti ki az ötöslottó-szelvényt az, aki a ; 9 és 5 számokat már bejelölte.. Három egyszín½u dobókockával dobva három számjegyb½ol álló "dobáshármast" kapunk. Hányféle eredmény adódhat?. A kajakcsapat 4 tagja felváltva gyakorol egy kétszemélyes kajakban úgy, hogy a két együtt evez½o sportoló közül az egyik a kormányos. Hányféle "szereposztás" lehetséges?

16 3. A cég egy csoportjában Ft jutalmat osztanak szét az ott dolgozó 5 munkatárs között. Hányféle módon történhet a jutalmazás, ha csak 0000-rel osztható jutalmak lehetségesek és az is lehet, hogy valaki/valakik nem kap/kapnak jutalmat láda ½oszibarackból 75 láda I. osztályú, 5 pedig II. osztályú. Hányféleképpen választhatunk ki ládát úgy, hogy e mintában a II. osztályú áru a 30%-ot ne haladja meg. 5. Hány olyan 6 jegy½u, különböz½o számjegyekb½ol álló szám van, amelyben három páros és három páratlan számjegy szerepel? 6. Egy pont egységnyi lépéseket tesz meg a számegyenesen, pozitív vagy negatív irányban. Hányféleképpen juthat el 5 lépéssel az origóból a +3 pontba?

17 0. feladatlap. Jelentse A azt az eseményt, hogy 9 dobásból egyszer sem kapunk egyest, B pedig azt, hogy mind a 9 dobás eredménye páros. Fogalmazza meg, mit jelentenek a következ½o események: a) A [ B b) A c) B n A. Egy üzemben három gép dolgozik. Jelentse A i azt az eseményt, hogy az i: gép (i = ; ; 3) egy éven belül elromlik. Fejezze ki az A i eseményekkel a következ½oket: a) csak a második gép romlik el, b) mindhárom gép elromlik, c) egyik gép sem romlik el, d) az els½o gép elromlik, e) a második és a harmadik gép nem romlik el, f) legalább egy gép elromlik. 3. Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószín½usége, hogy a) négyest dobunk, b) legalább négyest dobunk, c) legfeljebb négyest dobunk? 4. Két dobókockát feldobva mennyi annak a valószín½usége, hogy a) legalább az egyiken hatost dobunk, b) két különböz½o számot dobunk, c) a dobott számok összege 7? 5. Mennyi annak a valószín½usége, hogy a) telitalálatosunk, b) négy találatosunk lesz az ötöslottón? 6. Tíz darab ötforintost feldobunk. Mennyi annak a valószín½usége, hogy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet dobunk? 7. 7 jegy½u telefonszámot képezünk a ; ; ; 3; 3; 5; 5 számjegyek felhasználásával. Mennyi a valószín½usége, hogy páros számot kapunk? 8. A 3 lapos magyar kártyából 4 lapot találomra kihúzunk. Mennyi annak a valószín½usége, hogy a piros ász is a négy lap között lesz? alkatrész közül 0 selejtes. Találomra kiveszünk 5-t visszatevés nélkül. Mi a valószín½usége, hogy a) mind jó, b) van selejtes a kihúzottak között, c) 3 alkatrész selejtes? 0. Egy dobozban 35 piros és 5 fekete golyó van. Kihúzunk 0-t anélkül, hogy a kihúzott golyókat visszatennénk. Mi a valószín½usége, hogy a) legalább 3 golyó piros, b) legfeljebb 8 golyó fekete?. 0 db 40 W-os és 30 db 60 W-os ég½ob½ol kiveszünk -t, úgy, hogy az els½ot a kihúzás után visszatesszük. Mi a valószín½usége, hogy a) mindkett½o 40 W-os, b)egyik sem 40 W-os, c) csak az egyik 40 W-os.

18 . Legyen P (A) = ; P (A jb ) = és P (B ja) = : Határozza meg a P (A + B) és 4 4 P (A B ) valószín½uségeket. 3. Mennyi a P (A) és P (B); ha P (A jb ) = 7, P (B ja) = és P (A 0 B ) = 5

19 -. feladatlap. Egy üzemben 3 gép chipeket gyárt. Az els½o gép a chipek 50% át, a második a 30%-át, a harmadik pedig a 0% át gyártja. Az els½o gépen a chipek 0:5% a, a második és a harmadik gépen pedig az % a selejtes. Mi a valószín½usége, hogy a) egy találomra kiválasztott chip selejtes, b) 00 chipb½ol legfeljebb selejtes?. Egy egyetemi vizsgán az A szakosok 60%-a, a B szakosok 80%-a szerepel sikeresen. Az A szakosok az évfolyam 5%-át teszik ki. Mennyi a valószín½usége, hogy egy véletelnszer½uen kiválasztott hallgató sikeresen szerepel a vizsgán? 3. Egy céllövöldében 3 rekeszben vannak puskák. Az els½o rekeszben 3 puska van, ezekkel 0; 5 a találat valószín½usége, a második rekeszben puska található, ezzel 0; 7 a találat valószín½usége. A harmadik rekesz két puskájával 0; 8 valószín½uséggel találunk célba. Mennyi a találat valószín½usége, ha valaki találomra választ ki egy puskát? 4. Egy üzemben 3 gép chipeket gyárt. Az els½o gép a chipek 50% át, a második a 30%-át gyártja. Az els½o gépen a chipek 0:5% a, a második és a harmadik gépen pedig az % a selejtes. Mi a valószín½usége, hogy ha tudjuk, hogy egy kiválasztott chip selejtes, akkor azt az a) els½o gép, b) els½o vagy második gép gyártotta? 5. Egy egyetemi vizsgán az A szakosok 60%-a, a B szakosok 80%-a szerepel sikeresen. Az A szakosok az évfolyam 5%-át teszik ki. Mennyi a valószín½usége, hogy ha egy véletlenszer½uen kiválasztott hallgató sikeresen szerepel a vizsgán, akkor ½o B szakos? 6. Ketten l½onek egy céltáblára. A találat valószín½usége az els½o személy esetén, a 3 másiknál pedig. A találatok egymástól függetlenek. Mi a valószín½usége, hogy 5 legalább egy találat van a céltáblán? 7. Legyen P (A) = 0:6, P (B) = 0:8 és P (A+B) = 0:9 Független-e az A és B esemény? 8. Egy dobozban számozott golyók vannak -t½ol -ig. Egyet véletlenszer½uen kiválasztunk közülük. Jelentse A azt az eseményt, hogy a kiválasztott szám páros; B pedig azt, hogy a kiválasztott szám 3-mal osztható. Független-e az A és B esemény?

20 9. Az A és B események függetlenek. P (A) = 0:4 és P (B) = 0:5 Határozza meg a következ½o valószín½uségeket: a) P (A + B) b) P (A + B) c) P (A + B) 0. Lehetnek-e a következ½o valós függvények valamely valószín½uségi változó eloszlásfüggvényei? Ha igen, állapítsa meg a valószín½uségi változó típusát valamint számítsa ki a P (3 < 5:5) valószín½uséget? 0; ha x 0; ha x a) F (x) = x 3 b) F (x) = x ; ha x > ; ha x > +x x+ 0; ha x e x ; ha x 0 c) F (x) = x ; ha x > d) F (x) = x ; ha x > 0 x+ x+ 0; ha x e) F (x) = x ; ha x > x+. Legyenek adottak a következ½o valós függvények. Az adott függvény lehet-e valamely valószín½uségi változó s½ur½uségfüggvénye? Ha igen, határozza meg a valószín½uségi változó eloszlásfüggvényét, valamint számítsa ki a P ( < 3) valószín½uséget? x + a) f(x) = ; ha < x < 0; egyébként x + b) f(x) = ; ha < x < 3 0; egyébként 8 < c) f(x) = : d) f(x) = 5 x; ha 0 < x < x; ha < x < 0; egyébként jx + j ; ha < x 0; egyébként. A valószín½uségi változó a ; ; 5és 7 értékeket veszi fel, rendre 6 ; 5 ; 4 ; 6 valószín½uséggel. Számítsa ki a várható értékét és szórását. 3. Egy kockával dobunk, amíg 6-t nem dobunk. Mekkora lesz a dobások számának várható értéke, ha az utolsó dobást is beszámítjuk. 4. Egy hallgató maximum háromszor vizsgázhat Gazdasági Matematikából és minden vizsgán 0:48 valószín½uséggel megy át. Hányszor vizsgázik átlagosan egy hallgató Gazdasági Matematikából (feltéve, hogy ha elégtelent ért el és van még lehet½osége, akkor elmegy vizsgázni, illetve a sikeres vizsga javítást nem számoljuk)? 5. Az A és a B játékos felváltva dob kosárra (A kezd). Az A játékos 0:7, míg a B 0:8 valószín½uséggel talál be a kosárba. A játék maximum 4 dobásig tart, de azonnal befejez½odik, ha valamelyik játékos betalál a kosárba. Számítsa ki a játékbeli dobások számának várható értékét és szórását.