MATEMATIKA HETI 3 ÓRA. IDŐPONT : 2009 június 8.

Átírás

1 EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2009 MATEMATIKA HETI 3 ÓRA IDŐPONT : 2009 június 8. A VIZSGA IDŐTARTAMA : 3 óra (180 perc) MEGENGEDETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor MEGJEGYZÉS: Nincs 1. lap/ 5

2 RÖVID KÉRDÉSEK A 2/1 Pontszám 2x 3 1) Az f és a g függvényekre f ( x) és g ( x) x 5. Számítsa ki azon x 1 pontok koordinátáit, ahol a két függvény grafikonja metszi egymást. 2) Oldja meg az e 2x 1 5 egyenletet. 3) Az f függvényt az f( x) ln(3x 4) hozzárendeléssel értelmezzük. Határozza meg azon pontok koordinátáit, ahol az f grafikonja metszi a koordináta-tengelyeket. 4) Az ábrán egy f függvény f deriváltjának a grafikonja látható. Határozza meg az x változó azon értékét, ahol az f függvénynek maximuma vagy minimuma van. Válaszát indokolja. 5) Az f, g és h függvények differenciálhatók az x 1 helyen. Tudjuk, hogy f ( x) g( x) h( x) továbbá, hogy g(1) 3, g (1) 2, h(1) 4, illetve h (1) 5. Számítsa ki f (1) értékét. 6) Legyen f ( x) ln(8 x). Írja fel az f grafikonja érintőjének valamelyik egyenletét abban a pontban, ahol x lap/ 5

3 RÖVID KÉRDÉSEK A 2/2 Pontszám 7) 2 Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet az y 3x 2 egyenletű görbe, az x = 1 és az x = 3 egyenletű egyenesek, valamint az x-tengely határolnak. 2x 8) Az f függvény deriváltja f ( x) 4e. Határozza meg az f ( x ) függvényt, ha tudjuk, hogy az f grafikonja áthalad a P(0,-3) ponton. e 2 x 1 9) Számítsa ki dx értékét. x 1 10) Két ember, A és B célba lőnek. 3 annak a valószínűsége, hogy A egy lövése eltalálja a célt. 4 1 annak a valószínűsége, hogy B egy lövése eltalálja a célt. 3 A 3 lövést ad le a célra, B pedig 5-öt. Melyiküknek nagyobb az esélye, hogy legalább egyszer eltalálja a célt? Válaszát indokolja! 11) Egy adott napon egy kávéház teraszán üldögélő vendégek 54% -a nő, 70%-uk visel napszemüveget, 41% -uk napszemüveget viselő nő. Véletlenszerűen kiválasztunk egy vendéget. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy ez a vendég napszemüveget viselő férfi. 12) Egy turistabusz 50 utassal a fedélzetén egy határállomáshoz érkezik. 5 utasnál van tiltott termék. A határon 4, véletlenszerűen kiszemelt utast ellenőriznek. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy négyük közül pontosan kettőnél van tiltott termék. 3. lap/ 5

4 ÖSSZETETT KÉRDÉSEK B1 ANALÍZIS 1/1 Pontszám Az f függvényt az alábbi módon értelmezzük: f( x) (2x 3)e x. a) Állapítsa meg az f értelmezési tartományát. 1 pont b) Határozza meg azon pontok koordinátátit, ahol az f grafikonja metszi a koordináta-tengelyeket. c) i. Határozza meg azokat az intervallumokat, amelyekben az f növő, illetve fogyó. ii. Határozza meg az f szélsőértékének megfelelő grafikonpont koordinátáit és állapítsa meg a szélsőérték jellegét. d) Legyen t az f grafikonjának az érintője abban a pontban, amelyre x 0. Írja föl a t egyenletét. e) Vázolja föl közös koordinátarendszerben az f grafikonját és a t érintőt. f) Igazolja, hogy F( x) (2x 1) e x az f egy primitív függvénye. g) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet az f grafikonja, a koordináta-tengelyek, valamint az x 1 egyenletű egyenes határolnak. 4. lap/ 5

5 ÖSSZETETT KÉRDÉSEK B2 VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS 1/1 Pontszám Egy dobozban 6 zseton van, mindegyikükön az A, B, C, D, E és F betűk valamelyike. Minden egyes betű pontosan egy zsetonon fordul elő. a) Egy zsetont véletlenszerűen kiveszünk a dobozból, följegyezzük a rajta álló betűt, ezután a zsetont visszarakjuk a dobozba. Ezt az műveletet háromszor hajtjuk végre. i. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a B, A, C betűket jegyezzük föl, ebben a sorrendben. ii. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy valamilyen sorrendben a fenti három betűt jegyezzük föl. b) A következő kísérlet során ismét 3 zsetont húzunk véletlenszerűen a dobozból, a kihúzott zsetonokat pedig ezúttal nem tesszük vissza. i. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy a B, A, C betűket jegyezzük föl, ebben a sorrendben. ii. Ezt a kísérletet tízszer egymás után végrehajtjuk. (A kihúzott 3 zsetont minden kísérlet végén visszatesszük a dobozba.) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy legalább egy alkalommal a B, A, C betűket jegyezzük fel ebben a sorrendben. 5. lap/ 5