MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

Átírás

1 MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f : D R R függvényt értelmezési tartományának x 0 D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ɛ ha x x 0 < δ(ɛ) és x D teljesül.. Az f : I R (I R egy nem elfajult intervallum) függvényt differenciálhatónak nevezzük az x 0 I pontban, ha létezik a f(x) f(x 0 ) (véges) határérték. x x 0 x x 0 [E határértéket f x 0 -beli differenciálhányadosának, vagy deriváltjának nevezzük, és f (x 0 ) -lal, vagy df dx (x 0)-lal jelöljük.] 3. Az f : D R n R függvényt az x 0 D belső pontban az e (ahol e R n egy egységvektor) irány mentén differenciálhatónak nevezzük, ha létezik a f(x 0 + te) f(x 0 ) (véges) határérték. t 0 t [E határértéket D e f(x 0 )-lal jelöljük, és az f függvény e irány menti deriváltjának nevezzük az x 0 pontban.]. Mondja ki az alábbi tételeket: átviteli elv függvény (véges) határértékére, a lokális szélsőérték elegendő feltétele (egyváltozós függvényre). (x8 pont). Átviteli elv. Legyen f : D R R és x 0 D a D torlódási pontja. f(x) = a akkor és csakis x x0 akkor, ha bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozat esetén f(x n ) a (n ). [Másképpen megfogalmazva: az f függvény értelmezési tartományának egy x 0 torlódási pontjában akkor és csakis akkor lesz f határértéke az a szám, ha az értelmezési tartományból bármely x 0 -hoz konvergáló x n sorozatot véve, melynek elemei x 0 -tól különbözőek, a függvényértékek f(x n ) sorozata a hoz konvergál.]. A szélsőérték elegendő feltétele. Tegyük fel, hogy f : I R n-szer folytonosan differenciálható az x 0 I belső pont egy környezetében, és f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n ) (x 0 ) = 0 de f (n) (x 0 ) 0. Ha n páros, akkor f (n) (x 0 ) > 0 esetén f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, f (n) (x 0 ) < 0 esetén pedig szigorú lokális maximuma van x 0 -ban.

2 Ha n páratlan, akkor f-nek nincs szélsőértéke x 0 -ban. 3. Határozza meg a határértéket! (7 pont) x x 5 x x 5 x 5 = x + x (x 5)(x + 5) + x = (5 x) ( + x )(x 5)(x + 5) = ( + x )(x + 5) 40. A feladat a L Hospital szabállyal is megoldható. 4. Határozza meg az alábbi függvények (első) deriváltját! (4 pont) f(x) = x ln(sin x) x + e x, g(x) = (arcsin x)sin x+x. f (x) = ( ln(sin x) + x cos x sin x ) (x + e x ) (x + e x )x ln(sin x) (x + e x ) g (x) = e (sin x+x) ln(arcsin x) ((cos x + ) ln(arcsin x) + (sin x + x) x arcsin x 5. Legyen f(x) = x ln x, (x > 0)! (a) Számolja ki az f, f deriváltakat, és határozza meg f, f, f zérushelyeit (e, 7; e 0,5, 64; e,5 4, 48; e 0,5 0, 60; e,5 0, ) (5 pont), (b) állapítsa meg f stacionárius pontjait, monoton, konvex, konkáv szakaszait, és inflexiós pontjait (5 pont), (c) határozza meg f lokális szélsőérték-helyeit (5 pont), (d) határozza meg f határértékét a 0 és helyeken, és vázolja a függvény menetét! (8 pont) (a) f(x) = x ln x, x ln x = 0 ln x = 0, x = x = f (x) = x ln x + x x = x( ln x + ), x( ln x + ) = 0 ln x + = 0, x = x = e 0,5 f (x) = ln x + + x x = ln x + 3, ln x + 3 = 0 ln x = 3, x = x 3 = e,5. (b) Stacionárius pont: x = e 0,5, f monoton növekvő x( ln x + ) 0, x e 0,5, f monoton csökkenő x( ln x + ) 0, 0 < x e 0,5, f konvex ln x + 3 0, x e,5, f konkáv ln x + 3 0, 0 < x e,5, f inflexiós pontja ln x + 3 = 0-ból x = e,5. ).

3 3 (c) f-nek szigorú lokális minimuma van x -ben, mert f (x ) = ln e 0,5 + 3 = > 0. (d) Az első eszt a L Hospital szabállyal számolva így f gráfja x 0+ x ln x x + x ln x = x 0+ = +, ln x = x x 0+ x x = x 3 x 0+ = 0, x Határozza meg az f(x, y) = x 4xy + y 3 + y 9y, (x, y) R függvény (a) első és második parciális deriváltjait (5 pont), (b) összes stacionárius pontját (5 pont), (c) és lokális szélsőérték-helyeit! (6 pont) (a) A parciális deriváltak: x f(x, y) = x 4y, x x f(x, y) =, y x f(x, y) = 4, y f(x, y) = 4x + 3y + y 9, x y f(x, y) = 4, y y f(x, y) = 6y +. (b) A stacionárius pontok meghatározása: x 4y = 0, 4x + 3y + y 9 = 0, az első egyenletből x = y, ezt a második egyenletbe helyettesítve 8y + 3y + y 9 = 0, így 3y 6y 9 = 0, y y 3 = 0, (y 3)(y + ) = 0, y = 3, y = és x = 6, x = az összes stacionárius pontok. (c) = x x f(x, y) = 4, = x x f(x, y) x y f(x, y) y x f(x, y) y y f(x, y) = 4 4 6y + = (y )

4 4 amiből Stac. p. előjele előjele következtetés (6, 3) + + szigorú lokális minimumhely (, ) + nincs szélsőérték Összesen 00 pont (B csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: függvény (véges) határértéke, függvény lokális minimuma, (totális) differenciálhatóság. (3x8 pont). Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási pontja). Azt mondjuk, hogy f-nek van (véges) határértéke az x 0 pontban, ha van olyan a R szám, hogy minden ɛ > 0-hoz van olyan δ(ɛ) > 0, hogy f(x) a < ɛ ha 0 < x x 0 < δ(ɛ) és x D teljesül. Az a R számot az f függvény x 0 pontbeli határértékének nevezzük, [és jelölésére az a = f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk.] x x0. Azt mondjuk, hogy az f : D R R függvénynek az x 0 D pontban lokális minimuma van, ha van olyan ɛ > 0 szám, hogy f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D G(x 0, ɛ) mellett [ahol G(x 0, ɛ) az x 0 pont ɛ sugarú környezetét jelöli.] 3. Az f : D R n R függvényt az x 0 D belső pontban (totálisan) differenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A = (A,..., A n ) R n (konstans) vektor és ɛ : D R n R függvény, hogy ɛ(x) f(x) f(x 0 ) = (A, x x 0 ) + ɛ(x) ha x D, és x x0 x x 0 = 0 teljesül. [Itt (A, x x 0 ) az A = (A,..., A n ) és x x 0 vektorok belső szorzata. Az A = (A,..., A n ) vektort az f függvény x 0 pontbeli deriváltjának nevezzük, és f (x 0 )-lal jelöljük.]. Mondja ki az alábbi tételeket: Cauchy-féle középértéktétel, f : D R n R típusú függvény lokális minimumának elegendő feltétele. (x8 pont). Cauchy-féle középértéktétel. Legyenek f, g : [a, b] R folytonosak [a, b]-n, differenciálhatók ]a, b[-n, akkor létezik olyan ξ ]a, b[ melyre [f(b) f(a)] g (ξ) = [g(b) g(a)] f (ξ) teljesül.

5 . A lokális minimum elegendő feltétele. Tegyük fel, hogy az f : D R n R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x 0 D belső pont egy környezetében továbbá azaz x 0 stacionárius pontja f-nek. I. Ha a f(x 0 ) = f(x 0 ) = = n f(x 0 ) = 0, Q(h) = Q(h,..., h n ) := n j= n j i f(x 0 )h i h j kvadratikus függvény pozitív definít, azaz Q(h) > 0 minden h R n, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális minimuma van x 0 -ban, [Az alábbiak az előadáson kimondott tételhez tartoznak, de nem képezik részét a válasznak.] [II. ha a Q kvadratikus függvény negatív definít, azaz Q(h) < 0 minden h R n, h 0 esetén, akkor f-nek szigorú lokális maximuma van x 0 -ban, III. ha a Q kvadratikus függvény indefinít, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f-nek nincs szélsőértéke x 0 -ban.] i= 5 3. Határozza meg a határértéket! (7 pont) x x x x x x x = x x + x = ( x)( + x)( x + x) x x x + x x ( x) = ( + x)( x + x). A feladat a L Hospital szabállyal is megoldható. 4. Határozza meg az alábbi függvények (első) deriváltját! (4 pont) f(x) = ln(x + sin x) + e x, g(x) = (arctg x) tg x. f (x) = +cos x ( + x+sin x ex ) e x ln(x + sin x) ( + e x ) g (x) = e tan x ln(arctan x) ( ln(arctan x) + tan x +x cos x arctan x ). 5. Legyen f(x) = (x ) e x, (x R)! (a) Számolja ki az f, f deriváltakat, és határozza meg f, f, f zérushelyeit (5 pont), (b) állapítsa meg f stacionárius pontjait, monoton, konvex, konkáv szakaszait, és inflexiós pontjait (5 pont), (c) határozza meg f lokális szélsőérték-helyeit (5 pont),

6 6 (d) határozza meg f határértékét a és helyeken, és vázolja a függvény menetét! (8 pont) (a) f(x) = (x ) e x, (x ) e x = 0 (x ) = 0, x = x = f (x) = (x )e x, (x )e x = 0 x = 0, x = x,3 = ± f (x) = (x + x )e x, (x + x )e x = 0 x + x = 0, x = x 4,5 = ±. (b) Stacionárius pont: x,3 = ± f monoton növekvő (x )e x 0, x, f monoton csökkenő (x )e x 0, x, f konvex (x + x )e x 0, x, vagy x, f konkáv (x + x )e x 0, x, f inflexiós pontjai (x + x )e x = 0-ból x = x 4,5 = ±. (c) f-nek szigorú lokális minimuma van x = -ben, mert f (x ) > 0 és szigorú lokális maximuma van x 3 = -ben, mert f (x 3 ) < 0. (d) Az első eszt a L Hospital szabállyal számolva így f gráfja (x x ) e x = (x x + ) e x = +, x (x ) e x = x (x ) e x = x = 0, e x x 6. Határozza meg az f(x, y) = x 3 + x 9x 4xy + y, (x, y) R függvény (a) első és második parciális deriváltjait (5 pont), (b) összes stacionárius pontját (5 pont), (c) és lokális szélsőérték-helyeit! (6 pont)

7 (a) A parciális deriváltak: x f(x, y) = 3x + x 9 4y, x x f(x, y) = 6x +, y x f(x, y) = 4, y f(x, y) = 4x + y, x y f(x, y) = 4, y y f(x, y) =. (b) A stacionárius pontok meghatározása: 3x + x 9 4y = 0, 4x + y = 0, a második egyenletből y = x, ezt az első egyenletbe helyettesítve 3x + x 9 8x = 0, így 3x 6x 9 = 0, x x 3 = 0, (x 3)(x + ) = 0, x = 3, x = és y = 6, y = az összes stacionárius pontok. (c) = x x f(x, y) = 6x +, = x x f(x, y) x y f(x, y) y x f(x, y) y y f(x, y) = 6x = (x ) amiből Stac. p. előjele előjele következtetés (3, 6) + + szigorú lokális minimumhely (, ) nincs szélsőérték 7 Összesen 00 pont