E-tananyag Matematika 9. évfolyam Függvények

Átírás

1 Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést az A halmazon értelmezett függvénynek nevezzük. A B Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya. A B halmaz a képhalmaz. A B halmaz azon elemei, amelyeket az A halmazhoz rendeltük alkotják a függvény értékkészletét. Az A halmazbeli elemeket ősöknek, a B halmazbeli elemeket képeknek is mondjuk. Azokat a hozzárendeléseket, amelyeknél minden A halmazbeli elemnek pontosan egy képe van, és minden értékkészletbeli elemnek pontosan egy őse van, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek (kölcsönösen egyértelmű függvénynek) nevezzük. Függvények megadása a) Hozzárendelési szabállyal pl. ( ) b) Táblázattal x f(x) c) Grafikonnal y x 1. oldal Függvények VISZKI

2 Lineáris függvény Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0 és m, b elsőfokú függvénynek nevezzük. Az f(x) = mx + b képletben - a b megmutatja, hogy a függvény hol metszi az y tengelyt - az m (meredekség) megmutatja, hogy az előbb kapott pontból egységnyit jobbra haladva hány egységet lépünk fölfelé (m > 0) vagy lefelé (m < 0) Konstans függvény f(x) = b Két függvény párhuzamos egymással, ha a meredekségük megegyezik. Másodfokú függvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya ( ) ( ) alakú, másodfokú függvénynek nevezzük. A másodfokú függvények grafikonja parabola. Más alakban felírva ( ) ( ) A normál parabola ( ) függvény jellemzése: Zérushely: x = 0 Szélsőérték: Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Monotonitás: Szigorúan monoton csökken: Szigorúan monoton nő: 2. oldal Függvények VISZKI

3 Abszolútérték függvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya f(x) = a x + b + c ( ) alakú, abszolútérték függvényeknek nevezzük. Az abszolútérték függvény grafikonja V alakú. Az f(x) = x függvény jellemzése Zérushely: x = 0 Szélsőérték: Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Monotonitás: Szigorúan monoton csökken: Szigorúan monoton nő: [0; + Lineáris törtfüggvény Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvényeket, amelyek hozzárendelési szabálya ( ) ( ) alakú lineáris törtfüggvényeknek nevezzük. A lineáris törtfüggvények grafikonja hiperbola. Az ( ) függvény jellemzése Zérushely: nincs Szélsőérték: nincs Szigorúan monoton csökken: A függvénynek x = 0-ban szakadása van. 3. oldal Függvények VISZKI

4 Négyzetgyökfüggvény Azt a függvényt, amely egy nemnegatív valós számhoz a négyzetgyökét rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük. Az ( ) függvény jellemzése Zérushely: x = 0 Szélsőérték Minimum hely: x = 0 Minimum érték: f(0) = 0 Szigorúan monoton nő 4. oldal Függvények VISZKI

5 Egészrész függvény Az x szám egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb az x számnál. Jele: [x] pl. [1] = 1 [-1]= - 1 [1,2] = 1 [-0,9] = 0 [-1,1] = 1 f(x) = [x] Az x szám törtrészén az x [x] számot értjük. Törtrész függvény Jele: {x} pl. {0} = 0 { } {1} = 0 {1,2} = 0,2 {-0,9} = - 0,9 [-0,9] = -0,9 + 1 = 0,1 Előjel függvény Előjel függvény vagy szignumfüggvény (sgn) nevezzük az { eljárással megadható függvényt. ÉK.: {-1; 0; 1} 5. oldal Függvények VISZKI

6 A függvények jellemzésekor előforduló fogalmak Zérushely: Ahol a függvény metszi az x tengelyt. Valamely f függvény zérushelyeinek nevezzük az értelmezési tartományának mindezokat az x értékeit, amelyeknél f(x) = 0. Növekedés, csökkenés: Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely értékeinél a függvényértékekre ( ) ( ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény szigorúan monoton növekvő. Ha az f függvény értelmezési tartományában egy intervallum bármely értékeinél a függvényértékekre ( ) ( ) áll fenn, akkor azon az intervallumon a függvény szigorúan monoton csökkenő. Szélsőérték: Egy függvénynek minimuma van a változó egy értékénél, ha az ott felvett ( ) függvényértéknél kisebb értéket sehol sem vesz fel a függvény. Egy függvénynek maximuma van a változó egy értékénél, ha az ott felvett ( ) függvényértéknél nagyobb értéket sehol sem vesz fel a függvény. 6. oldal Függvények VISZKI