11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes"

Átírás

1 . MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes

2 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik a fürd kádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi id alatt telik meg az eredetileg üres kád? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a kádban lev vízmennyiséget az eltelt id függvényében! 80. Válasz a kérdésre: 6 perc alatt telik meg a kád, mert = Értéktáblázat készítése: T (perc) L (liter) Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt id t az x tengelyen, a térfogatot (literben) az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x 5 x vagy f (x) = 5 x.

3 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Mintapélda Egy 0 cm hosszú gyertyát meggyújtunk. A gyertya 4 óra alatt ég el. Fél óra alatt hány centimétert csökken? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a gyertya hosszának alakulását az eltelt id t l függ en! 0. Válasz a kérdésre: A gyertya óra alatt = 5 cm-t csökken, fél óra alatt,5 cm-rel 4 lesz alacsonyabb.. Értéktáblázat készítése: T (h) 0 0,5,5 4 M (cm) 0 7,5 5, Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: Az eltelt id t az x tengelyen, a gyertya magasságát az y tengelyen ábrázoltuk, tehát: x 5 x + 0. vagy f (x) = 5 x + 0.

4 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Egy személygépkocsi az autópálya 50 km-es szakaszán 0 km/h sebességgel halad. Mennyi id alatt teszi meg ezt az utat? Készíts táblázatot és ábrázold grafikonon a sebességet az út függvényében! v. Válasz a kérdésre: Az autó 0,45 óra alatt teszi meg az utat, mert t = = 50 = 0, 4 5. s 0. Értéktáblázat készítése: s (km) km v h Ábrázolás grafikonnal: 4. Hozzárendelési utasítás meghatározása: A megtett utat az x tengelyen, az autó sebességét az y tengelyen ábrázoltuk, így: x 0, vagyis f (x) = 0.

5 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9 II. A lineáris függvény Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = mx + b képlettel adhatjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspont második koordinátája. Ha m = 0, akkor az f ( x ) = b. f(x) = mx + b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans (nulladfokú) függvénynek nevezünk. Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes.. f(x) = b Ha m 0, akkor ez a lineáris függvény els fokú.. f(x) = mx, ha m > 0 4. f(x) = mx, ha m < 0 Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növ, vagyis növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökken, vagyis növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = mx függvény az egyenes arányosság függvénye, az arányossági tényez az m. (Minden x érték esetén az f(x) érték m-szerese az x-nek). A grafikonról leolvashatjuk, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.

6 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Ábrázoljuk és jellemezzük az f ( x) = x 5 hozzárendeléssel megadott függvényt! Ábrázolása:. Az y tengelyt a 5 pontban metszi.. Ebb l a pontból kiindulva a + meredekség miatt egy egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk felfelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: x =,5. 4. Szigorúan növekv (mivel a meredeksége pozitív el jel ). Mintapélda 5 Ábrázoljuk és jellemezzük a g ( x) = x + hozzárendeléssel megadott függvényt! 4 Ábrázolása:. Az y tengelyt a + pontban metszi.. Ebb l a pontból kiindulva a meredekség miatt 4 4 egységnyi jobbra haladás esetén egységet lépünk lefelé az y tengely mentén.. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját. Jellemzése:. É.T.: R.. É.K.: R.. Zérushely: x = Szigorúan csökken (mivel a meredeksége negatív el jel ).

7 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Feladatok. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f ( x) = x ; b) f ( x) = ; c) f ( x) = x ; d) ( x) f =.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f ( x) = x 5 ; b) f ( x) = x + 4 ; c) f ( x) = 5 x ; d) ( x) = x 4 f.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! a) f ( x ) = x + 5 ; b) ( ) f x = x ; c) ( ) f x = x ; d) f ( x ) = x + 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! + = x 6 4 = x 5 x + f x. a) f ( x) ; b) f ( x) ; c) f ( x) = ; d) ( x ) =

8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 6 x, Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = x 8, megadott függvény grafikonját! ha ha x 5 x > 5 hozzárendelési utasítással Ábrázoljuk el ször az ( x) = x f függvény grafikonját a ] ; 5] intervallumon, majd folytassuk az ( x) = x 8 f függvény grafi- konjával az ] 5; [ intervallumon. Közben megfigyelhetjük, hogy az x = 5 helyen ugyanazt az értéket veszik fel a függvények: f ( 5) = 5, ( 5) = 5 8 = f. = Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az f(x) = függvény grafikonját! x 5 x 5 hozzárendelési utasítással megadott Egyszer sítsük a törtet! x 5 f ( x) = = ( x + 5 ) ( x 5 ) = x + 5, x 5 ( x 5) x 5. Ábrázoláskor figyeljünk arra, hogy a függvény az x = 5 helyen nincs értelmezve. Ezt a szakadási pontot üres karikával jelöljük.

9 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! x x 6 x a) f ( x ) = ; b) f ( x ) = ; c) f ( x ) = ( x ) ; x x + 4 x x + 6x + 9 x d) f ( x ) = ; e) f ( x ) = ; f) f ( x ) = x + x x +, ha x ; x 4, ha x < x, ha g) f ( x ) = 6, ha x x, ha ; h) f ( x ) = x > x 4, ha x >. x Mintapélda 8 Adjuk meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( ; 5) ponton és az y tengelyt a 0 helyen metszi! b) átmegy a P( ; ) ponton és grafikonja párhuzamos az ( x) = x + 6 utasítással megadott függvény grafikonjával! f hozzárendelési a) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( x) mx + b Adott: P( ; 5), valamint b = 0. =. f ( x) az x helyen felvett függvényérték. Mivel a P pont rajta van a grafikonon, így x = és f ( ) = 5. Ezeket behelyettesítve az általános egyenletbe kapjuk: 5 = m 0 m = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: ( x) = 5x 0 f. b) A lineáris függvény hozzárendelési utasításának általános alakja: f ( x) mx + b Adott: P( ; ). Az el z példához hasonlóan = x és ( ) = f. Ha a keresett függvény grafikonja párhuzamos az ( x) = x + 6 =. f függvény képével, akkor a meredekségük megegyezik. A keresett hozzárendelési szabályban a meredekség tehát szintén. Ezeket behelyettesítve az általános képletbe kapjuk: = ( ) + b, ebb l b = 5. A keresett hozzárendelési utasítás: ( x) = x + 5 g.

10 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha az a) átmegy a P( 7; 4) ponton, és a meredeksége! b) átmegy a P( ; ) ponton és az x tengelyt a 6 pontban metszi! c) átmegy a P( ; 6) ponton, és meredeksége 0! d) átmegy a P( 00; ) ponton és párhuzamos az x tengellyel! e) átmegy a P( ; 4) és a Q( 4; ) pontokon! 7. a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelel en rajzold be a koordinátatengelyeket! f ( x) = x 5 ; f ( x) = x ; ( x) = x + f ; b) Írd fel a következ grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési tartományt is!

11 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 II. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek és lineáris egyenl tlenségek grafikus megoldása. Kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldása Mintapélda 8 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az egyik bank havi számlafenntartási díja 00 Ft, de havonta tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 00 Ft. A másik banknál a havi számlafenntartási díj 00 Ft, de minden tranzakció 50 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha havonta 5 tranzakció történik? Havonta hány tranzakció esetén éri meg az els bank, illetve a második? Válaszaidat indokold! Értéktáblázat készítése: Egyik bank: Havonta a tranzakciók száma Díj (Ft) Másik bank: Havonta a tranzakciók száma Díj (Ft) Hozzárendelési szabályok: x-szel jelöljük a tranzakciók számát. Egyik bank: ( x) ( x ) , x e = ; 00, x { ;} Másik bank: m( x) x =.

12 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Grafikon készítése: Szöveges válasz: Havi 5 tranzakció esetén az els bankot érdemes választani, mert itt csak 650 Ft-ot kell fizetnie, míg az másik banknál 850 Ft-ot. Havi egy tranzakció esetén a második bankban, de vagy annál több tranzakció esetén az els ben éri meg számlát nyitni. Feladatok Útmutató a következ 4 feladat megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat a következ képpen: töltsd ki az értéktáblázatokat, határozd meg minden feladatban a két értéktáblázat értékpárjai közötti hozzárendelési utasítást! Ábrázold az ezek által meghatározott függvények grafikonjait közös koordináta-rendszerben! 8. Egy új autó 500 eft-ba kerül, de 6 évig garantáltan nem hibásodik meg, azaz rá fordított költségek elhanyagolhatóak. Utána minden évben 00 eft-ot kell ráköltenünk. Egy 8 éves használt autó ára csak 800 eft, de az éves szervizdíja átlagosan 00 eft. Melyik autóra kell többet költenünk, ha a költségeket az autók 0 éves koráig összeszámoljuk? Melyik az a legkés bbi id pont, amikor még megéri a használt autót fenntartani? Válaszaidat indokold!

13 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 Kitöltend értéktáblázatok: Új autó év költség (eft) Használt autó év költség (eft) 9. Reggel a munkahelyemre villamossal és busszal egyaránt mehetek. A villamos azonnal indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es út 5 percbe telik, a busszal csak 7 perc. Melyikkel menjek, hogy minél hamarabb beérjek? Mennyi id alatt tesz meg a busz, ill. a villamos km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltend értéktáblázatok: Villamos s (km) 0 0,5 4 5 t (min) Busz s (km) 0 0,5 4 5 t (min) 0. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autóbusszal. A táv 00 km, a biciklisták 5 km/h óra sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola el l. A busz 9-kor indul ugyanerr l a helyr l, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat éri hamarabb a célt? Hány órával kés bb ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold!

14 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kitöltend értéktáblázatok: Bicikli s (km) t (h; perc) Autóbusz s (km) t (h; perc). Kati szeretne beiratkozni könyvtárba. Az egyik könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj, és minden kölcsönzés 50 Ft. A másik könyvtárban 00 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes az els, illetve a második könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltend értéktáblázatok: Egyik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft) Másik könyvtár Könyv(db) Összeg(Ft)

15 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 9. Lineáris egyenl tlenségek Mintapélda 0 Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül az y + 4 < x egyenl tlenség? Az egyenl tlenséget y-ra rendezve kapjuk az y < x 4 egyenl tlenséget. Ha a < jel helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk. Azokat a síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y koordinátája kisebb, mint a baloldali kifejezés, vagyis az egyenes alatt találhatók. A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík. Az egyenes pontjai nem tartoznak a megoldáshalmazba (ezt szaggatott vonallal jelöljük).. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek koordinátáira teljesül, hogy a) y < x; b) y x + 4; c) y x + ; e) y > x 4?. Határozd meg a pontok y koordinátáit úgy, hogy az így kapott pont az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonjai felett illetve alatt legyenek! Hozzárendelési utasítások: f (x) = x 4 g (x) = x + h (x) = x + 4 i (x) = x Pontok: P( ; ) Q(5; ) R( ; ) S(; ) T( 6; ) U(0; ) V(,5 ; ) 4. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenl tlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y ; b) x + 4 > 0,5, c) y < 5, d) x Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenl tlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) x + 4 > x ; b) x x + 5; c) 5 x 7 < 5 x + ; d) x x.

16 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 6. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi lineáris egyenl tlenségeket! Színezd ki a megoldási halmazt! a) y > x ; b) y és x < ; c) y < x + és < x < Jellemezd az adott ponthalmazokat! a) b)

17 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK IV. El jel-, törtrész és egészrész függvény. El jelfüggvény Azt a függvényt, amely a negatív valós számokhoz -et, a pozitív valós számokhoz +-et, a 0-hoz pedig 0-át rendel, el jelfüggvénynek (szignum függvénynek) nevezzük., ha x > 0 A valós számok halmazán értelmezett sgn( x ) = 0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással, ha x < 0 megadott függvény grafikonja a következ : Jellemzés: É.T.: R. É.K.: { ; 0; }. Zérushely: x = 0. Monotonitás: monoton növekv. Széls érték: minimumhely: minden x < 0 esetén; minimumérték: ; maximumhely: minden x > 0 esetén; maximumérték:. Paritás: páratlan, mert sgn( x) = sgn(x).. Egészrész-függvény Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x-nél. Az egészrész jele: [x] A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következ :

18 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: É.T.: R. É.K.: Z. Zérushely: 0 x <. Monotonitás: Az értelmezési tartományán monoton növekv, de szakaszonként állandó. Ha k egész szám, akkor k x < k+ helyeken k értéket veszi fel. Széls érték: nincs széls értéke.. Törtrész-függvény Ha egy számból elveszük az egészrészét, akkor a törtrésze marad. Jelölése: x [x] = {x} A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük. Grafikonja a következ : Jellemzés: É.T: R. É.K: [0; [. Zérushely: x Z. Monotonitás: Ha k Z, akkor a [k; k+[ intervallumon szigorúan növekv. Széls érték: minimumhely: x Z; minimumérték: 0; maximuma nincs. A függvény periodikus, vagyis tetsz leges helyen ugyanazt a függvényértéket veszi fel, mint az -gyel, vagy bármely egész számmal nagyobb helyen. Az a legkisebb ilyen pozitív egész szám, ezt nevezzük a periódus hosszának. Jelöléssel: f(x + ) = f(x), tetsz leges k Z esetén f(x) = f(x + k).

19 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Mintapélda Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = [x]; b) g(x) = {x}; c) h(x) = sgn (x + ). a) A függvény a 0 értéket a [0; 0,5[ intervallumon veszi fel, pl.: [0 [ = 0, de [0,5 [ =. Az értéket a [0,5; [ intervallumon veszi fel, pl.: [0,5 [ =, de [ [ = stb. A grafikon: b) Az alapfüggvény minden függvényértéke kétszeresére n : c) A függvény grafikonját eltoljuk az x tengely mentén egységgel:

20 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 8. Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = [x]; b) f(x) = [ x]; c) f(x) = [ x] d) f(x) = [x] + ; e) f(x) = [x ] ; f) f(x) = [x + ]; g) f(x) = [x ]. ; 9. Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = {x}; b) f(x) = { x}; c) f(x) = d) f(x) = {x} ; e) f(x) = {x + }. x ; 0. Ábrázold a következ függvényeket! a) f(x) = sgn(x); b) f(x) = sgn( x); c) f(x) = sgn( x ); d) f(x) = sgn(x) ; e) f(x) = sgn(x).

21 . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 5 Kislexikon Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az els fokú függvények összessége. Grafikonja egyenes. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete) mindig megadható f ( x) = mx + b alakban, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspont. koordinátája. b = 0 esetén a grafikon átmegy az origón. Ha m = 0, akkor a függvény konstans függvény, grafikonja párhuzamos az x tengellyel. Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépni pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé. Lineáris függvény monotonitása: ha m > 0, akkor a függvény szigorúan növ, vagyis ha az x helyébe bármely két különböz valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez nagyobb függvényérték tartozik. ha m < 0, akkor a függvény szigorúan csökken, vagyis ha az x helyébe bármely két különböz valós számot helyettesítünk, akkor a nagyobb x értékhez kisebb függvényérték tartozik. Pont és egyenes illeszkedése: A P(x 0 ;y 0 ) pont rajta van az f ( x) mx + b = hozzárendelési utasítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha x helyébe x0 -t; f(x) helyébe y0 -t helyettesítve az egyenl ség teljesül. Ha y 0 > mx0 + b, akkor a P pont az egyenes felett helyezkedik el, ha y 0 < mx0 + b, akkor pedig alatta van. Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó, akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f ( x) = mx, m 0 függvény írja le, ahol m az arányossági tényez. lineáris

22 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE El jelfüggvénynek (szignumfüggvénynek) nevezzük a valós számok halmazán értelmezett, ha x > 0 sgn( x ) = 0, ha x = 0 hozzárendelési utasítással megadott függvényt., ha x < 0 Az x valós számnak az egészrésze az a legnagyobb egész szám, amely nem nagyobb x nél. Az egészrész jele: [x]. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = [x] hozzárendelési utasítással megadott függvényt egészrész-függvénynek nevezzük. Ha egy számból elveszük az egész részét, akkor a törtrésze marad. Jelölése: x [x] = {x}. A valós számok halmazán értelmezett f(x) = {x} hozzárendelési utasítással megadott függvényt törtrész-függvénynek nevezzük.

23 . MODUL ABSZOLÚTÉRTÉK- FÜGGVÉNY Készítette: Csákvári Ágnes

24 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Az abszolútérték-függvény definíciója Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0 a, ha a 0 a = a, ha a < 0 A valós számok halmazán értelmezett abszolútérték-függvényt az x, ha x 0 f (x) = x = x, ha x < 0 hozzárendelési utasítással definiáljuk. Ez szemléletesen azt mutatja meg, hogy a szám milyen messze van a 0-tól a számegyenesen. Az abszolútérték-függvény ( f (x) = x ) tulajdonságai x 5 0,5 5 4 f(x) 5 0, ,6. 0 0,6. 0,6,6. Monotonitás: Ha x < 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = x függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken. Ha x 0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton növekv.. Zérushely: Az f(x) = x függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel.. Széls érték: Az f (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van.

25 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9 (Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökken, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekv.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f(x) = 0. A g (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen maximuma van. (Látható, hogy a g függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton növekv, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton csökken.) Másképp: a g függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legnagyobb értékét, ekkor g (x)=0. Megállapításainkat értéktáblázattal is alátámasztjuk: x 5 0,5 5 4 g(x) 5 0, ,6. 0 0,6. 0,6,6 4. A h (x) = x függvénynek az x = 0-ban helyi (lokális) maximuma van, és maxi- mumértéke h(0)=. Ez azt jelenti, hogy az értelmezési tartományának az x = 0 hely egy környezetében van olyan valódi részhalmaza, amelyen a h függvény nem vesz fel -nál nagyobb értéket, de ez a teljes értelmezési tartományra természetesen nem feltétlenül igaz. x h(x) 0 0

26 0 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Az f (x) = x + 5 hozzárendelési szabály alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Számítás el tt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! x 0 f(x) ; ; Függvényértékek számítása: f ( 0 ) = = 5 f ( ) = + 5 = + 5 = + 5 = f ( ) = + 5 = + 5 = + 5 = + = Adott függvényértékek esetén az x értékek számítása: f (x) = 6 Tipp az x helyek számára: 0 x + 5 = 6 A tipp indoklása: a x sohasem lehet pozitív, így a függvény 5 nél nagyobb értéket nem vehet fel. x = x = Ellentmondás, mert az abszolútérték-függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. f (x) = 5 Tipp az x helyek számára: x + 5 = 5 x = 0 x = 0 x = 0

27 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY f (x) = 0 Tipp az x helyek számára: x + 5 = 0 x = 5 0 x x = = x 0 = 0 = A többi függvényértékhez tartozó x helye(ke)t is ugyanígy kell kiszámolni. Feladatok Az.,.,., feladatok megoldásánál figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás el tt próbáld megtippelni az adott függvényértékhez tartozó helyek számát! Számításodat grafikonon ellen rizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a (x) = x x 0 / a(x) 6 0 b) b (x) = x + 4 x 0 4 b(x) c) c (x) = x x 0 4 c(x) 0 4 d) d (x) = x x ,75 d(x) 0 5 0

28 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a (x) = x a ( 8 ) =?; a ( ) =?; a ( 4 ) =? x =?, ha a (x) = 4; ; 0; ; 4 b) b (x) = x + b ( 0,5 ) =?; b ( 0 ) =?; b ( 5 ) =? x =?, ha b (x) = ; 0; ; ;. c) c (x) = x + 4 c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c (,4 ) =? x =?, ha c (x) = 5; 4; ; 0; 0,5. d) d (x) = x 4 5 d ( 8 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =? x =?, ha d (x) = 4; 0; ; 5; 6.

29 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve használd a tanult jelöléseket! a) a (x) = x a ( ) =?; a ( ) =?; a ( 0 ) =? x =?, ha a (x) = 0; 6; 4; 0;. b) b (x) = x + b ( 5 ) =?; b ( ) =?; b ( ) =? x =?, ha b (x) = 4; ; 0; ; 5. c) c (x) = x + c ( ) =?; c ( 0 ) =?; c ( 0, ) =? x =?, ha c (x) = ; ; 4 ; 0; 0,5. d) d (x) = x + + d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d (,75 ) =? x =?, ha d (x) = ; ; ; 0; 4.

30 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Az abszolútérték-függvény transzformálása Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x, a g (x) = x illetve a (x) = x + hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasznál- hatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x 5 4, 0 g(x), 0 h(x) 7 6, g (x) = x, x, ha ha x 0 x < 0 h (x) = x +, x +, ha ha x 0 x < 0 Ha az f függvény értékeib l -at vonunk ki, akkor a g függvény megfelel értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény megfelel értéke lesz az eredmény. Ez a grafikonon az f (x) függvény grafikonjának eltolását eredményezi az y tengely mentén illetve + egységgel. Általánosságban: a g (x) = x + a ( a 0 tól különböz, tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén a egységgel a < 0 esetén lefelé, a > 0 esetén felfelé.

31 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 Az abszolútérték-függvény transzformálása: x tengely menti eltolás Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x, a g (x) = x + illetve a h (x) = x hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonját! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. x 5 4, 0 f(x) 5 4, 0 g(x) 4, x 5 4, 0 4 f(x) 5 4, 0 4 h(x) 7 6, g (x) = h (x) = x +, ha x, ha x, ha x +, ha x x < x x < Az értéktáblázatból is látható, hogy a g függvény ugyanazokat az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt is jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy

32 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény ugyanazokat az értékeit egységgel kés bb veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti egységgel, pozitív irányba történ eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = x + a ( a 0 tól különböz, tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén a egységgel a el jelével ellentétes irányba: a < 0 esetén pozitív, a > 0 esetén negatív irányba. Az abszolútérték-függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények grafikonját! f (x) = x ; g (x) = x ; h (x) = x. Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját! x 0, g(x) 9 6 0,9 6 9 x,5 0 h(x),5 0 x g(x)= x, ha, ha x 0 x < 0 x, ha h(x)= x, ha x 0 x < 0

33 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 7. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következ függvények grafikonját: f (x) = x ; g (x) = x ; h (x) = x! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot vagy az abszolútérték definícióját! x 0, x 0, g(x) 9 6 0,9 6 9 x,5 0 x,5 0 h(x),5 0 Észrevehetjük, hogy x, ha g(x)= x, ha x 0 x < 0 x, ha h(x)= x, ha x 0 x < 0. az x és az x függvények grafikonja és tulajdonságaik megegyeznek. az f függvény értékeit -mal szorozva, a g függvény értékeit, míg del szorozva, a h függvény értékeit kapjuk meg. A definíciót felhasználva láthatjuk, hogy a megfelel lineáris függvény meredekségét változtatta meg ez a szorzótényez. Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk az abszolútérték definíciójából is két lineáris függvény ábrázolásával. Általánosságban: az f (x) = x függvényb l a g (x) = a x függvényt úgy kapjuk, hogy minden függvényértéket a-szorosára változtatunk. Szemléletesen: ha az a szorzótényez 0 és között van, akkor az abszolútérték-függvény grafikonja szétnyílik, -nél nagyobb, akkor a grafikon meredekebb lesz, negatív, akkor a grafikon az x tengelyre is tükröz dik. Megjegyzés: Ezeknek a függvényeknek a grafikonját megkaphatjuk egyetlen lineáris függvényb l is a következ módon: el ször a lineáris függvény grafikonját nyújtjuk vagy zsugorítjuk, majd az x tengely alatti (ahol a függvény negatív értékeket vesz fel) részt tükrözzük az x tengelyre. Ezek a transzformációk megjelennek a lineáris függvényeknél is.

34 8 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Válaszolj a következ kérdésekre!. Mit értünk egy szám abszolútértékén? Mit jelent szemléletesen?. Mi az abszolútérték-függvény definíciója?. A függvény legyen adott f (x) = x + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetsz le- ges valós szám. Ez a függvény mely y értékeket veszi fel 0, ill. helyen? 4. A függvény legyen adott f (x) = x + b hozzárendelési utasítással, ahol b egy tetsz le- ges valós szám. Milyen b értékek esetén lesz a függvénynek 0, ill. zérushelye? 5. Mi a különbség az f (x) = x + 5, illetve az f (x) = x + 5 hozzárendelési utasítással megadott függvények grafikonja között? 6. Az f (x) = x + függvénynek hol van széls értéke? Maximuma vagy mini- muma van? Mekkora ez a függvényérték? 7. Hogyan változik az f (x) = x + + függvény széls értéke a 6. feladatban található függvény széls értékéhez képest? 8. Az f (x) = c x függvénynek milyen c értékek esetén van minimuma, illetve maxi- muma? 9. Hogyan változik az f (x) = x függvény grafikonja, ha az x t megszorozzuk egy ]0;[ intervallumbeli számmal? 0. Jellemezd az f (x) = c x hozzárendelési utasítással megadott függvény monotoni- tását negatív, illetve pozitív c értékek esetén!

35 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 9 Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x, x [ 4;6 [ hozzárende- 4 lési utasítással megadott függvényt! Értéktáblázattal: x ,9 9 9 f(x) 0 4,75 4, Transzformációs lépések:. h (x) = x. g (x) = x 4. f (x) = x 4 Definíció szerint: f (x) = x 4 x 4, ha, ha x 0 x < 0 Jellemzés: É.T.: 4 x < 6, ahol x valós. É.K.: 4,5 < f (x) 0. Zérushely: x = 0. Monotonitás: 4 x < 0 intervallumon szigorúan monoton növekv. 0 x <6 intervallumon szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) = 0.

36 40 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Értéktáblázattal: x f(x) Transzformációs lépések:. h (x) = x. g (x) = x. f (x) = x Definíció szerint: x, ha f (x) = x, ha x 0 x < 0 Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: f (x). Zérushely: nincs. Monotonitás: x 0 esetén szigorúan monoton növekv. 0 < x esetén szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = 0 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 0 ) =.

37 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda 4 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x 6 + hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Értéktáblázattal: x f(x) Transzformációs lépések:. h (x) = x. g (x) = x 6. f (x) = x 6 + Definíció szerint: x 6 + = x 5 f (x) = x = x + 7, ha, ha x 6 x < 6 Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: f (x). Zérushely: nincs. Monotonitás: x < 6 esetén szigorúan monoton csökken. x 6 esetén szigorúan monoton növekv. Széls érték: x = 6 helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( 6 ) =.

38 4 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 5 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x + hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Transzformációs lépések:. l (x) = x. h (x) = x +. g (x) = x + 4. f (x) = x + Definíció szerint: x, ha f (x) = x +, ha x x < Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: f (x) 0. Zérushely: x = 0. Monotonitás: x < esetén szigorúan monoton növekv. x esetén szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( ) = 0.

39 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 4 Mintapélda 6 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x + 8, x [ ; 5 [ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Transzformációs lépések:. l (x) = x. h (x) = x. g (x) = x 4. f (x) = x + 8 Definíció szerint: 9 5 ( x ) + 8 = x = x + f (x) = 9 7 ( x ) + 8 = x + 8 = x + Jellemzés: É.T.: x [ ; 5 [, ahol x valós. É.K.: f (x) 8., ha, ha x < 5 x < Zérushely: nincs. Monotonitás: x < 5 intervallumon szigorúan monoton csökken. x < intervallumon szigorúan monoton növekv. Széls érték: x = helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( ) = 8. x = helyen minimuma van. A minimum értéke: f ( ) =.

40 44 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 7 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Jellemzés: É.T.: x R. É.K.: 0 f (x). Zérushely: x = 9 és x = helyeken. Monotonitás: Transzformációs lépések:. l (x) = x. h (x) = x + 5. g (x) = x f (x) = x Definíció szerint: x +, ha x, ha f (x)= x + 9, ha x 9, ha x esetén szigorúan monoton növekv. x 5 x < 9 x < 5 x < 9 5 x < intervallumon szigorúan monoton csökken. 9 x < 5 intervallumon szigorúan monoton növekv x < 9 esetén szigorúan monoton csökken. Széls érték: x = 9 és x = helyeken minimuma van. A minimum értéke: f ( 9 ) = f ( ) = 0. x = 5 helyen lokális maximuma van. A maximum értéke: f ( 5 ) = 4.

41 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 45 Mintapélda 8 Ábrázoljuk koordináta-rendszerben, és jellemezzük az f (x) = x + x 5, x [ 5;0[ hozzárendelési utasítással megadott függvényt! Definíció szerint: g (x) = x = x x +, ha, ha x x < h (x) = x 5 = x 5 x + 5, ha, ha x 5 x < 5 Két függvény összege szerepel. Az egyik grafikonjának csúcspontja -nál, a másiké 5-nél van, ezért a számegyenest részre tagoljuk, és eszerint vizsgáljuk a függvényt. Összegezve: f (x) = x 8 x + 8, ha, ha, ha 5 x < 0 x < 5 5 x <

42 46 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Jellemzés: É.T: x [ 5; 0 [. É.K: f (x) 8. Zérushely: nincs. Monotonitás: 5 x < 0 intervallumon szigorúan monoton növekv. x < 5 intervallumon állandó (konstans) értéket vesz fel. 5 x < intervallumon szigorúan monoton csökken. Széls érték: x < 5 intervallumon minimuma van. A minimum értéke: f (x) =. x = 5 helyen maximuma van. A maximum értéke: f ( 5 ) = 8. Feladatok 5. Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) = x + 5, 8 x ; b) f (x) = x 7 ; c) f (x) = x + ; d) f (x) = x 4, 6 x 4; e) f (x) = x ; 4 f) f (x) = x, x 5 [ 4; 8 [; g) f (x) = x, x ] 6; ]; h) f (x) = x ; i) f (x) = x ; j) f (x) = x + 4, 5 < x < ; k) f (x) = x ; l) f (x) = x ; m) f (x) = x Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x) = x 4, < x < 7; b) f (x) = x + ; c) f (x) = x + 4; d) f (x) = x +, x [ 6;4]; e) f (x) = x +, x < 5; f) f (x) = x ; 4 g) f (x) = x 5, < x < 4; h) f (x) = x + 0; i) f (x) = x + ; 4 j) f (x) = 4 x, x ] ; 5 ]; k) f (x) = x ; l) f (x) = x + +.

43 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. 5 a) f (x) = x + 4 ; b) f (x) = x 5 + 8, x [ ; 8 [; c) f (x) = x ; d) f (x) = x + 5 +, x [ 8; ]; e) f (x) = + x 4, x [ 0;0[; f) f (x) = 4 x + 8 +, x [ ; 7 ]; 4 g) f (x) = x 5 ; h) f (x) = x, x ] 5; 6 ]; i) f (x) = x ; j) f (x) = x +, 5 < x Ábrázold koordináta-rendszerben, és jellemezd az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! Az ábrázoláshoz felhasználhatod az értéktáblázatot vagy az abszolútérték-függvény definícióját. a) f (x ) = 5 x + ; b) f (x) = x + x; c) f (x) = x x ; x [ 6; 4 ]; d) f (x ) = x + x + ; x ] 8; [; e) f (x) = x + x 6 ; x [ 5; 0 [; f) f (x) = x + x ; g) f (x) = x x + 4 ; h) f (x) = x + x Rajzold be az ábrákba a grafikon és a hozzárendelési utasítás alapján a koordinátarendszer tengelyeit! a) f (x) = x b) f (x) = x

44 48 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE c) f (x) = x + 5 d) f (x) = x + 8 e) f (x) = 4 x f) f (x) = x g) f (x) = x + 6 h) f (x) = x 4 i) f (x) = x + j) f (x) = x + + 4

45 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 49 Mintapélda 9 Állítsuk sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m (x) = x hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Egyik lehet ség: Másik lehet ség:. x tengely menti eltolás. x tengelyre történ tükrözés. x tengelyre történ tükrözés. x tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás. y tengely menti eltolás Feladat 0. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: x tengely menti eltolás y tengely menti eltolás x tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a (x) = x + ; b (x) = x + ; c (x) = x ; d (x) = x ; e (x) = x ; f (x) = x + + ; g (x) = x ; h (x) = x + 4.

46 50 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 0 Állítsuk sorrendbe az el bbi geometriai transzformációkat úgy, hogy az m (x) = x + 6 hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonját kapjuk az alapfüggvény grafikonjából! Els lehet ség: (ez a sorrend általános érvény ). x tengely menti eltolás. x tengelyre történ tükrözés. y tengely menti zsugorítás, nyújtás (Megjegyzés: a sablon használata miatt célszer el bb tükrözni, s csak utána zsugorítani vagy nyújtani) 4. y tengely menti eltolás Többi lehet ség: az els három transzformáció sorrendje tetsz legesen felcserélhet. Ez további 5 lehetséges sorrendet eredményez. ( =! = 5 ) Feladat. Állítsd sorrendbe az alábbi geometriai transzformációkat úgy, hogy a következ hozzárendelési utasításokkal megadott függvények grafikonját kapjad az alapfüggvény grafikonjából! Geometriai transzformációk: x tengely menti eltolás y tengely menti eltolás x tengelyre tükrözés y tengely menti zsugorítás/nyújtás Függvények: a) a (x) = x + ; b) b (x) = x ; c) c (x) = x + ; 4 d) d (x) = x + 4 ; e) e (x) = x + ; f) f (x) = x +.

47 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 III. Abszolútértékes egyenletek, egyenl tlenségek grafikus megoldása Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a x + 5 = egyenletet! A keresett értékek: x = 8, illetve x =. Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a x + 5 egyenl tlenséget! A keresett intervallum: 8 x. Mintapélda Oldjuk meg grafikusan a x + 5 > egyenl tlenséget! A keresett intervallumok: x < 8 vagy x >. Feladat. Oldd meg grafikusan a következ egyenl tlenségeket! a) x ; b) x + > 4; c) x + 4 < 5 ; d) x ; e) x = x.

48 5 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 Oldjuk meg az x 4 = x + egyenletet!. megoldás (grafikus): A keresett értékek: x = 8, x 5.. megoldás (algebrai): Az abszolútérték definícióját alkalmazzuk (esetszétválasztás): I. x 0 eset: x = x behelyettesítéssel adódik: x 4 = x +, ebb l x = 6 = 5 II. x < 0 eset: = ( x ) x behelyettesítéssel adódik: ( x ) 4 = x +, ebb l x = 8 A megoldás tehát x = 5, x = 8. Mintapélda 5 Oldjuk meg grafikusan a x 4 x + egyenl tlenséget! A metszéspontok x koordinátáját az el z mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: x < 8 vagy 5 < x

49 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 5 Mintapélda 6 Oldjuk meg grafikusan a x 4 < x + egyenl tlenséget! A metszéspontok x koordinátáját a. mintapéldában már meghatároztuk. A keresett intervallumok: 8 x 5. Feladatok. Oldd meg grafikusan a következ egyenl tlenségeket, egyenletet! a) x + 5 < ; b) x + x + ; c) x 4 = x ; d) x > x Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket! a) = x 5; b) x 5 = 5; c) < x 5 5 ; 5. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl ség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete szín legyen! a) x < és y 4; b) x és y < 4; c) x és y > 4. Mintapélda 6 Színezzük ki azon pontok halmazát, melyek koordinátáira teljesül, hogy x < 4 és y <! A színezéshez használjuk fel a 5. feladatban leírtakat!

50 54 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 6. Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket! a) x 8 = x ; b) x = x + ; c) x 8 x < x + ; d) x 8 > x vagy x x Oldd meg grafikusan a következ egyenleteket, egyenl tlenségeket! a) x + 5 > x + 6 ; b) x x ; c) x < x ; d) x 4 + x 5 + ; e) x + x =. 8. Színezd ki a megadott tartományokat úgy, hogy ha az egyenl ség megengedett, akkor a tartomány határa a tartomány színe legyen, mivel a tartomány határvonala is beletartozik a megoldáshalmazba. Ha nem megengedett, akkor fekete szín legyen! a) x < 4 és y ; b) x 4 és y > ; c) x 4 és y.

51 . modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY 55 Kislexikon Pozitív szám abszolútértéke maga a szám, negatív szám abszolútértéke a szám ellentettje, ami pozitív szám. 0 =0. a, ha a 0 a = a, ha a < 0 Legyen x tetsz leges valós szám. Ekkor az abszolútérték-függvény: x, ha x 0 f (x) = x = x, ha x < 0 Tulajdonságai:. Monotonitás Ha x < 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért az f (x) = x függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken. Ha x 0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekv nek nevezzük.. Zérushely: Az f (x) = x függvénynek az x = 0 pontban van zérushelye. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ebben a pontban van közös pontja az x tengellyel.. Széls érték: Az f (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van. (Látható, hogy az f függvény negatív x-ek esetén szigorúan monoton csökken, pozitív x-ekre pedig szigorúan monoton növekv.) Másképp: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét, ekkor f (x) = 0

52

53 . MODUL MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes

54 58 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A másodfokú alapfüggvény definíciója, grafikonja és tulajdonságai A másodfokú alapfüggvény Minden valós számhoz rendeljük hozzá a négyzetét! Ekkor a hozzárendelési utasítás f (x) = x alakban írható fel. Adjunk meg táblázatban néhány értéket : x 6 0,5 5 4 f (x) 56 0, ,6 0 0, , 4 9 7,69 Mivel minden szám négyzete nemnegatív, ezért az f (x) = x függvény értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza. Ha koordináta-rendszerben ábrázoljuk az összes olyan értékpárt, amelynek els tagja egy tetsz leges valós szám, második tagja pedig annak négyzete, a következ görbét kapjuk: Ennek a görbének a neve parabola. Az ábrán látható, hogy a másodfokú függvény grafikonja szimmetrikus az y tengelyre, hiszen x = ( x). A parabola szimmetriatengelyén lév pontját tengelypontnak nevezzük. Másodfokú hozzárendelési utasítással találkozhatunk az a oldalú négyzet területének, ill. az a oldalú kocka felszínének kiszámításakor, de a fizikában is találkozunk vele a szabadesés és az egyenletesen gyorsuló test mozgását leíró út id kapcsolatnál. A másodfokú alapfüggvény tulajdonságai. Monotonitás Ha x 0, akkor növekv x értékekhez csökken függvényértékek tartoznak. Ezért a függvény ezen a tartományon szigorúan monoton csökken. Ha x 0, akkor növekv x értékekhez növekv függvényértékek tartoznak. Így a függvényt ezen a tartományon szigorúan monoton növekv nek nevezzük.

55 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 59. Zérushely Az értelmezési tartománynak azon eleme, ahol a függvényérték 0. Az f (x) = x függvénynek az x = 0 pontban zérushelye van. Ez szemléletesen azt is jelenti, hogy a függvény grafikonjának ezen a helyen közös pontja van az x tengellyel.. Széls érték Az f (x) = x függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen pozitív. Ezért az f függvénynek az x = 0-ban széls értéke, nevezetesen minimuma van. Másképpen: az f függvény az értelmezési tartományának x = 0 helyén veszi fel a legkisebb függvényértékét. Tekintsük a g (x) = x függvényt! Adjunk meg táblázatban néhány értéket, és ezek segítségével ábrázoljuk a függvényt! x 6 0,5 5 4 g (x) 56 0, ,6 0 0, , 4 9 7,69 A g függvény a 0 helyen a 0 értéket veszi fel, az összes többi helyen negatív. Ezért a g függvénynek az x = 0 helyen széls értéke, nevezetesen maximuma van. A g függvény nempozitív x-ek esetén szigorúan monoton növekv, nemnegatív x-ekre pedig szigorúan monoton csökken. Másképpen: a g függvény az értelmezési tartományának x = 0 pontjában veszi fel a legnagyobb értékét. Mintapélda Az f (x) = ( x ) + hozzárendelési utasítás alapján töltsük ki az értéktáblázatot, illetve használjuk a tanult jelöléseket! Figyeljünk arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás el tt tippeljük meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát!

56 60 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE a) b) x 0 4,5 6 f (x) x f (x) 4,5 6 a) Függvényértékek kiszámítása: f ( 0 ) = ( 0 ) + = ( ) + = 9 + = f ( 4,5 ) = ( 4,5 ) + = (,5 ) + =,5 + = 4,5 A többi függvényértéket is ehhez hasonlóan kell kiszámítani. Az eredmény: x 0 4,5 6 f (x) 8 4,5 b) x értékek kiszámítása: f (x) = Tipp az x helyek számára: 0 Gondolkozzunk! Az (x ) el jele pozitív, ezért a függvény grafikonja felfelé nyílik. Ez mutatja, hogy minimuma van. Az utána következ + miatt ez a minimumérték +, tehát ennél kisebb értéket nem vehet fel. Így f (x) = függvényértéket egyetlen helyen fogja felvenni, a többit két helyen. (x ) + = (x ) = Ellentmondás, mert egy szám négyzete 0 vagy pozitív. f (x) = (x ) + = (x ) = 0 x = 0 x = A fenti tipp ellen rzése

57 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 f (x) = A fenti tipp ellen rzése (x ) + = (x ) x = x = x = x = 4 = A további x értékeket is ehhez hasonlóan lehet kiszámítani. Az eredmény: x 0,5; 4,5 4; 5; f (x) 4,5 6 Feladatok A. és a. feladatban figyelj arra, hogy a függvény egy adott függvényértéket 0, vagy helyen is felvehet. Számítás el tt tippeld meg az adott függvényértékhez tartozó x helyek számát! Számításodat grafikonon ellen rizheted.. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékeket a megadott helyeken! a) a (x) = x + x a(x) b) b (x) = ( x 4 ) + x 0 4 4,5 6 b(x) c) c (x) = x 8 c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =?; c ( ) =? d) d (x) = 4 x d ( ) =?; d ( 0 ) =?; d ( ) =?; d ( ) =?; d ( 4 ) =?

58 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE e) e (x) = x + 4 e ( ) =?; e ( 0 ) =? ; e (,4) =? f) f (x) = (x + ) f ( ) =?; f ( 0 ) =?; f (0,) =? g) g (x) = (x + ) g ( 6) =?; g ( 5 ) =?; g ( ) =?; g ( 0 ) =?; g ( ) =? h) h (x) = (x + ) h ( 6) =?; h ( 5) =?; h ( ) =?; h ( 0 ) =?; h ( ) =? i) k (x) = (x 4) 5 k ( 8) =?; k ( ) =?; k ( ) =? j) l (x) = (x + ) + l ( ) =?; l ( 0 ) =?; l (,75 ) =?. Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot, illetve a tanult jelöléseket használva számítsd ki a függvényértékekhez tartozó x helyeket! a) a (x) = x + x a (x) b) b (x) = (x 4) + x b (x) 4,5 6 c) c (x) = x 8 x =?, ha c (x) = 0; 0; 8; 4,5; 9. d) d (x) = 4 x x =?, ha d (x) = 0; 4; ; ;. 6

59 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 6 e) e (x) = x + 4 x =?, ha e (x) = 5; 4; ; 0; 0,5. f) f (x) = (x + ) x =?, ha f (x) = 5; ; 0; ;. g) g ( x ) = ( x + ) 4 x =?, ha g (x) = ; ; ; 0; 0,5. h) h (x) = (x + ) x =?, ha h (x) = ; 0; ; ; 9 i) k (x) = (x 4) 5 x =?, ha k ( x ) = 4; 0; ; 5; 6. j) l (x) = (x + ) + x =?, ha l (x) = ; ; ; 0; Adott hozzárendelési szabály alapján töltsd ki az értéktáblázatot! a) f (x) = ( x) x 0 4 f (x) 0 4 b) g (x) = (x ) x ,75 g (x) 0 5 0

60 64 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 4. Egy 4 m széles, m magas kamion szeretne áthajtani az alagúton, mégpedig az autóút közepén haladva. Az alagút formája követi az f (x) = x + 4 másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e menni a kamion az alagúton? 5. Egy 0 m magas árbocú vitorlás megkísérelné az átkelést a 8 m széles folyón átível híd alatt. A vitorlás szélessége m. A híd íve követi az f (x) = x + másodfokú függvény grafikonját, ha az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Át tud-e úszni a vitorlás a híd alatt a folyó közepén? Át tud e kelni a folyó partjától 0 m-re? (A vitorlás árboca 0 m-re van a parttól.) 6. A Lucullus tengerjáró hajó át szeretne kelni a Seholsincs-szoroson. A hajó 7 méterre süllyed a tenger szintje alá. A szélessége pedig 0 m a tengerszinten. Át tud-e kelni a hajó a szoroson, ha a tengerszoros medrének íve követi az f (x) = x 8 függvény grafikonját, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter? 7. Peti elhajítja a labdáját. A labda mozgásának íve az f (x) = x + másodfokú 4 függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen méter. Peti 80 cm magas, és a fejével egy magasságból indítja a labdát, vagyis,8 méter magasságból. Hány métert repül el re a labda, amikor ismét olyan magasságba kerül, ahonnét elindult? 8. Egy m ugró bajnok 0 m magasból ugrik a vízbe. Hány másodperce van a gyakorlata végrehajtására, miel tt beleesne a vízbe? (s = (g/) t, ahol g = 9,8 m/s ) 9. Egy ember vitorlázórepül vel szeretne leereszkedni a domb tetejér l a völgybe. Milyen magas (km-ben megadva) a domb, ha a domb oldala és a völgy az f (x) = (x 5) függvény grafikonját követi, és az egység mindkét koordinátatengelyen kilométer? A domb tet pontjának talppontja (tet pont x tengelyre való vetülete) és a völgy aljának a távolsága 0,5 km. 0. Hányszorosára változik a négyzet területe, ha az oldalait másfélszeresére növeljük? Készíts értéktáblázatot, illetve grafikont a változás mértéke és a terület kapcsolatáról!

61 . modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK 65 II. A másodfokú alapfüggvény transzformációi. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f (x) = x, a g (x) = x, illetve h (x) = x + függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot. Összehasonlítjuk a megfelel függvényértékeket: x g(x) 6 6 h(x) Ha az f függvény értékeib l -at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig -t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti eltolását is jelent, illetve + egységgel. Általánosságban: a g (x) = x + v ( v 0 tól különböz, tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén v egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az f (x) = x, a g (x) = (x + ), illetve a h (x) = (x ) függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

62 66 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Összehasonlítjuk a megfelel függvényértékeket: x f (x) g (x) x f (x) h (x) Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit egységgel korábban veszi fel, mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén egységgel, másképp fogalmazva, negatív irányba egységgel. A h függvény az értékeit egységgel kés bb veszi fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti egységgel, pozitív irányba történ eltolásával kapjuk meg. Általánosságban: a g (x) = (x + u) ( u 0 tól különböz tetsz leges valós szám) függvény grafikonját az f (x) = x függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén u egységgel u el jelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata . modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Az óra első néhány percében idézzük fel az egyenes arányosságról és a lineáris függvényről az általános iskolában

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda 1 A csapból percenként 5 l víz folyik a fürdőkádba, melynek befogadó képessége 80 liter. Mennyi

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19.

Matematika 9. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < december 19. Matematika 9 Tankönyv és feladatgyűjtemény Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár III. fejezet - Függvények (kb. 15 tanóra) > o < 2015. december 19. copyright: c Juhász László Ennek

Részletesebben

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY

12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY MATEMATIK A 9. évfolyam 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 12. modul: ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK

13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 13. modul: MÁSODFOKÚ FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata

I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata 6 MATEMATIKA A 9. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Csoportok kialakítása: A tanár minden asztalra kitesz egy hozzárendelési szabályt a 7. kártyakészletből

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul AZ ABSZOLÚTÉRTÉK-FÜGGVÉNY ÉS MÁS NEMLINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 8. modul: Az abszolútérték-függvény és más nemlineáris függvények

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Függvények. Fogalom. Jelölés

Függvények. Fogalom. Jelölés Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. szakiskolai évfolyam 1. félév ESZKÖZÖK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam Betűkészlet csoportalakításhoz A D G B E H C F G H I J Matematika A 9. szakiskolai

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA

MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA MATEMATIKA TANMENET 9.B OSZTÁLY FIZIKA TAGOZAT HETI 6 ÓRA, ÖSSZESEN 216 ÓRA A TÁMOP 3.1.4. EU-s pályázat megvalósításához a matematika (9. b/fizika) tárgy tanmenete a matematika kompetenciaterület A típusú

Részletesebben

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely. 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely 2015. március 30. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak szakközépiskolásoknak Sz 1. A C csúcs értelemszerűen az AB oldal felező

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:

Részletesebben

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

Matematika A 9. szakiskolai évfolyam. 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul EGYENES ARÁNYOSSÁG ÉS A LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Matematika A 9. szakiskolai évfolyam 7. modul: Egyenes arányosság és a lineáris függvények Tanári útmutató 2 A

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK EMELT SZINT Koordinátageometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában 9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában Bevezet : A témakörben els - és másodfokú egyenl tlenségek megoldásának

Részletesebben

Függvénytani alapfogalmak

Függvénytani alapfogalmak Függvénytani alapfogalmak 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás:

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. . tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész

8. feladatsor. Kisérettségi feladatsorok matematikából. 8. feladatsor. I. rész Kisérettségi feladatsorok matematikából I. rész. Egy deltoid két szomszédos szöge 7 és 0. Mekkora lehet a hiányzó két szög? pont. Hozza egyszerűbb alakra a kifejezést, majd számolja ki az értékét, ha a=

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA

SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA 1 SULINOVA PROGRAMTANTERVÉHEZ ILLESZKEDŐ TANMENET 9. ÉVFOLYAM SZÁMÁRA Heti óraszám: 3 Éves óraszám: 37 x 3 = 111 A tanmenet 101 óra beosztását tartalmazza. A dolgozatok írása és javítása 10 órát foglal

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 0. évfolyam 5. modul Függvények Készítette: Csákvári Ágnes Matematika A 0. évfolyam 5. modul: Függvények Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási pontok

Részletesebben

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27. Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Gazdasági Matematika I. Megoldások

Gazdasági Matematika I. Megoldások . (4.feladatlap/2) Gazdasági Matematika I. Di erenciálszámítás alkalmazásai Megoldások a) Határozza meg az f(x) x 6x 2 + függvény x 2 helyen vett érint½ojének az egyenletét. El½oször meghatározzuk a pont

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4

Részletesebben

A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-..4-08/2-2009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA. évfolyam középszint

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

Mozgással kapcsolatos feladatok

Mozgással kapcsolatos feladatok Mozgással kapcsolatos feladatok Olyan feladatok, amelyekben az út, id és a sebesség szerepel. Az egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén jelölje s= a megtett utat, v= a sebességet, t= az id t. Ekkor érvényesek

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK

EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK Elsőfokú egyenletek megoldása mérleg elvvel Az egyenletek megoldása során a következő lépéseket hajtjuk végre: a kijelölt műveletek elvégzésével, az egynemű kifejezések összevonásával

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember

MATEMATIKA TANMENET. 9. osztály. 4 óra/hét. Budapest, 2014. szeptember MATEMATIKA TANMENET 9. osztály 4 óra/hét Budapest, 2014. szeptember 2 Évi óraszám: 144 óra Heti óraszám: 4 óra Ismerkedés, év elejei feladatok, szintfelmérő írása 2 óra I. Kombinatorika, halmazok 13 óra

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II.

Feladatok MATEMATIKÁBÓL II. Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára II. 1. Alakítsuk át a következő kifejezéseket úgy, hogy teljes négyzetek jelenjenek meg: a) x 2 2x + b) x 2 6x + 10 c) x 2 + x + 1 d) x 2 12x + 11 e) 2x 2

Részletesebben

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5.

MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. MATEMATIKA ÍRÁSBELI VIZSGA 2009. május 5. I. rész Fontos tudnivalók A megoldások sorrendje tetszőleges. A feladatok megoldásához szöveges adatok tárolására és megjelenítésére nem alkalmas zsebszámológépet

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6

Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 Érettségi feladatok: Trigonometria 1 /6 2003. Próba 14. Egy hajó a Csendes-óceán egy szigetéről elindulva 40 perc alatt 24 km-t haladt észak felé, majd az eredeti haladási irányhoz képest 65 -ot nyugat

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP

P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ. 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP J UHÁSZ I STVÁN P ÓTVIZSGA F ELKÉSZÍTŐ FÜZETEK UNIÓS RENDSZERŰ PÓTVIZSGÁHOZ T é m a k ö r ö k é s p r ó b a f e l a d a t s o r 9. osztályosoknak SZAKKÖZÉP 1. oldal 9. OSZTÁLYOS PÓTVIZSGA TÉMAKÖRÖK: I.

Részletesebben