Függvénytani alapfogalmak

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Függvénytani alapfogalmak"

Átírás

1 Függvénytani alapfogalmak 015. február Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás: Ha egy függvény esetében csak a hozzárendelési utasítást adják meg, akkor mindig felvet dik az a kérdés, mi a legb vebb halmaz, melyen értelmezhet a függvény. Azt is mondhatjuk ilyenkor, hogy meg kell tennünk a szükséges kikötéseket. Jelen esetben két okból kell kikötést tennünk. Egyrészt a négyzetgyök miatt, hiszen csak nem negatív számoknak létezik négyzetgyöke a valós számok halmazán, másrészt az osztás miatt, hiszen 0-val nem lehet osztani. Írjuk fel ezeket a kikötéseket képlettel, majd rendezzük ket a változóra. Végül határozzuk meg azt a halmazt, melynek elemei mindegyik kikötésnek eleget tesznek. A négyzetgyök miatti kikötés: 4x + 0 Rendezzük ezt x-re. 4x x 4 A nevez miatti kikötés: x 0 Ezt is rendezzük x-re. x x A függvény tehát a változó azon értékeire értelmezhet, melyekre x 4 és x. Célszer bb mindezt más jelöléssel írni. Jelölje a függvény értelmezési tartományát D f, és használjuk az intervallumokra vonatkozó jelöléseket. Ekkor az értelmezési tartomány az alábbi módon írható: D f = [ 4, ) \ { }. 1

2 . Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, ln(9 4x) melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! 5x + 8 Megoldás: Járjunk el ugyanúgy, mint az el z feladatban. Most is két kikötést kell tennünk, mert logaritmusa csak pozitív számoknak létezik, és nevez ben nem állhat 0. A logaritmus miatti kikötés: 9 4x > 0. Ebb l 9 > 4x, majd 9 4 > x következik. A nevez miatti kikötés: 5x Ebb l 5x 8, majd x 8 5 következik. Ezek alapján a függvény értelmezési tartománya a következ : D f = (, 9 ) { 4, \ 8 }. 5. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 1 melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! ln(5x 8) Megoldás: A logaritmus és a nevez miatt kell most is kikötést tennünk. A logaritmus miatti kikötés: 5x 8 > 0. Ebb l 5x > 8, majd x > 8 5 következik. A nevez miatti kikötés: ln(5x 8) 0. Most a rendezés egy kicsit érdekesebb, mint a korábbiakban. Célszer lenne a jobb oldalon álló 0-t is egy megfelel szám természetes alapú logarimusaként írni, mert akkor a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt elhagyhatjuk mindkét oldalról a logaritmust. Tudjuk, hogy ln 1 = 0, így ezt írjuk a jobb oldalra. ln(5x 8) ln 1 Ebb l 5x 8 1 következik, amit már könnyen tudunk rendezni. 5x 9, majd x 9 5. Ezek alapján a függvény értelmezési tartománya a következ : ( ) { 8 9 D f = 5, \. 5} 4. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, melyen az f(x) = arcsin x + 7 hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! 8 Megoldás: Most csak egyetlen kikötést kell tennünk az arcsin miatt. Tudjuk, hogy ez a függvény a [ 1, 1] intervallumon értelmezhet. Jelen

3 esetben azon kifejezés értékének kell ebbe az itervallumba esni, aminek az arcsin-át vesszük. A kikötés tehát: 1 x Ez egy kett s egyenl tlenség. Felbonthatjuk két egyenl tlenségre is, de elvégezhetjük egyben is a rendezési lépéseket. Els ként szorozzunk 8-cal. 8 x Vonjunk ki 7-et. 15 x 1 Végül osszunk -mal. 5 x 1 A függvény értelmezési tartománya a következ : [ D f = 5, 1 ]. 5. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = (x +) hozzárendelési utasítású függvény értékkészletét, ha az értelmezési tartomány a valós számok legb vebb olyan részhalmaza, melyen a függvény értelmezhet! Megoldás: A függvény nyilvánvalóan értelmezhet minden valós számra, tehát D f = IR. A g(x) = x függvény értékkészlete ismert, hiszen elemi alapfüggvény. Tudjuk, hogy R g = [0, ), azaz x 0 teljesül minden x IR esetén, és az x függvény fel is veszi az összes nem negatív értéket. Ezt felhasználva határozzuk meg f értékkészletét. Alakítsuk át f hozzárendelési utasítását úgy, hogy felbontjuk a zárójelet. f(x) = x + 6 Látható, hogy f a g-b l lineáris transzformációkkal származtatható, két lépésben. Els ként az x helyett x -re térünk át. Ez azt jelenti, hogy minden függvényérték kétszeresére változik. Ez azonban nem változtatja az értékkészletet, hiszen x 0 akkor és csak akkor, ha x 0. Második lépésben a x -r l x + 6-ra térünk át. Ez azt jelenti a függvény értékei megn nek 6-tal, s ez már változtat az értékkészleten. A x 0 egyenl tlenség ugyanis akkor és csak akkor teljesül, ha x Ebb l következ en az f függvény értékkészlete a következ : R f = [6, ).

4 6. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = 4e x hozzárendelési utasítású függvény értékkészletét, ha az értelmezési tartomány a valós számok legb vebb olyan részhalmaza, melyen a függvény értelmezhet! Megoldás: A függvény nyilvánvalóan értelmezhet minden való számra, tehát D f = IR. Hasonlóan, mint az el z feladatban, most is egy elemi alapfüggvényb l lineáris transzformációkkal kapjuk az f függvényt. Tekintsük ugyanis a g(x) = e x függvényt, azaz a jól ismert exponenciális függvényt. Ebb l származtatható transzformációkkal az f függvény, ugyanúgy két lépésben, mint az el z feladatban. A g függvény értékkészletét ismerjük, hiszen e x > 0 minden x IR esetén, s a függvény fel is vesz minden pozitív értéket, tehát R g = (0, ). Az e x > 0 egyenl tlenség viszont ekvivalens a 4e x > 0 egyenl tlenséggel, majd újabb ekvivalens átalakítással a 4e x > egyenl tlenséget kapjuk. Ez pedig azt jelenti, hogy az f függvény értékkészlete az alábbi: R f = (, ). 7. Feladat: Adjuk meg az f g és g f összetett függvények hozzárendelési utasítását, ha f(x) = x 1 és g(x) = 1 x! x Megoldás: Összetett függvénynek az olyan hozzárendeléseket nevezzük, amelyeket függvények egymás utánjaként állítunk el. Például az f g függvény azt jelenti, hogy el ször a g hozzárendelést hajtjuk végre, majd a kapott értékb l indulva végrehajtjuk az f hozzárendelést. Ezt az egymás utániságot fejezi ki az összetett függvények másik jelölési módja, amikor az f g összetett függvényt f(g(x))-szel jelölik. Ez a jelölésmód magyarázatot ad az elnevezésekre is, miszerint az els hozzárendelést bels függvénynek nevezzük, a másodikat pedig küls függvénynek. Ebb l a jelölésmódból pedig az is egyértelm, hogy az összetett függvény hozzárendelési utasítását úgy kapjuk, hogy a küls függvény hozzárendelési utasításában a változó szerepét a bels függvény veszi át. Képletben ez annyit jelent, hogy a küls függvényben x helyére a bels függyvényt kell helyettesítenünk. Ennyi magyarázat után lássuk a két összetett függvény hozzárendelési utasítását. Az f g el állításakor f-ben helyettesítünk x helyére g(x)- et, míg a g f esetén pedig g-ben helyettesítünk x helyére f(x)-et. Az eredmények a következ k: (f g)(x) = f(g(x)) = (1 x) 1 (1 x) = x 1 x Ha b vítünk 1-gyel, akkor ez a következ módon is írható: 4

5 (f g)(x) = f(g(x)) = x x 1. x 1 (g f)(x) = g(f(x)) = 1 x Ezt is írhatjuk más formában, ha a gyökjel alatt a törtet két részre bontjuk. Így a következ alakot kapjuk: (g f)(x) = g(f(x)) = x. 8. Feladat: Adjuk meg az f g és g f összetett függvények hozzárendelési utasítását, ha f(x) = x + 1 és g(x) = 5 x+! Megoldás: Amint az el z feladat megoldásában már szerepelt, az f g el állításakor f-ben x helyére g(x)-et helyettesítünk, míg a g f esetén pedig g-ben helyettesítünk f(x)-et x helyére. Így az alábbiakat kapjuk: (f g)(x) = f(g(x)) = 5 x+ + 1, (g f)(x) = g(f(x)) = 5 x Feladat: Adjuk meg az f f összetett függvény hozzárendelési utasítását, ha f(x) = x + 1! Megoldás: Olyan összetett függvényt kell el állítanunk, amelynek a küls és bels függvénye is az f függvény. Ez azt jelenti, az f függvényben az x helyére f(x)-et kell helyettesítenünk. Így a következ t kapjuk: (f f)(x) = f(f(x)) = (x +1) +1 = (x 4 +x +1)+1 = x 4 +x Feladat: Adjunk meg küls és bels függvényt az f(x) = cos x összetett függvény esetén! Megoldás: Amint a kett vel el bbi feladat magyarázatában szerepelt, a bels függvény az els hozzárendelés, a küls függvény pedig a második hozzárendelés, a függvények egymás utánjában. Amikor tehát egy összetett függvényhez keresünk küls és bels függvényt, akkor azt kell átgondolnunk, milyen hozzárendelést hajtunk végre el ször x-en. Most nyilvánvalóan x-nek cos-át vesszük, tehát ez lehet bels függvény. Mivel a küls függvényben a változó szerepét a bels függyvény veszi át, így ezen bels függvényhez tartozó küls függvényt úgy kapjuk meg, hogy a bels függvény helyére egyszer en a változót, általában x-et írjuk. Jelen esetben így a következ ket kapjuk. Bels függvény: g(x) = cos x Küls függvény: h(x) = x Ezen két függvényb l az f nyilván a h g kompozícióval kapható meg. 5

6 11. Feladat: Adjunk meg küls és bels függvényt az f(x) = tg x összetett függvény esetén! Megoldás: Feladatunk ugyanaz, mint az el bb. Gondoljuk végig, mi az els hozzárendelés. Ehhez célszer az f hozzárendelési utasítását egy kicsit átalakítani, ugyanis a jelölés félrevezet lehet. Amikor egy függvénynél szerepel hatványozás, az ugyanazt jelenti, mintha a függvényt zárójelbe tennénk, s a zárójelen kívülre írnánk hatványozást. Jelen esetben például a következ t: f(x) = tg x = (tg x) A rövidebb írásmód is hasznos, mert nem kell olyan sok zárójelet használnunk, de nem szabad elfeledkezni a jelentésér l. A hosszabb jelölésmód mutatja ugyanis egyértelm bben, hogy itt el ször a tg-ét vesszük az x-nek, majd amit kaptunk, azt emeljük négyzetre. Ezzel találtunk is küls és bels függvényt. Bels függvény: g(x) = tg x Küls függvény: h(x) = x Ebb l a két függvényb l az f nyilván a h g kompozícióval kapható meg. 1. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = (4x + 1) képlet függvény inverzének hozzárendelési utasítását! Megoldás: Az f függvény kölcsönösen egyértelm, mert f(a) = f(b) csak akkor teljesül, ha a = b, tehát létezik inverze. Az inverz függvény tulajdonképpen az eredeti hozzárendelés megfordítottját jelenti. Ha az eredeti függvényben az értéket röviden y-nal jelöljük, akkor az f függvényt az y = (4x + 1) egyenlettel adhatjuk meg. Az inverz függvényben felcserél dik a független változó, azaz x, és a függ változó, azaz y szerepe. Ami eddig az értelmezési tartomány volt az lesz az inverzben az értékkészlet, s ami az eredeti függvény értékkészlete volt, az lesz az inverz értelmezési tartománya. A hozzárendelési utasítás meghatározásakor ez azt jelenti, hogy fel kell cserélnünk az egyenletben x és y szerepét. Az inverz függvényt tehát az x = (4y + 1) egyenlet adja meg. Ez azonban így nem egy explicit alakban adott függvény, azaz nincs a függvényértékre, tehát y-ra rendezve. Ha lehetséges, akkor célszer bb inkább explicit alakban megadni a függvényeket, mert úgy sokkal egyszer bben kezelhet k. Próbáljuk meg tehát y-ra rendezni az egyenletet. Els lépésként vonjunk mindkét oldalból köbgyököt. x = 4y + 1 Ezután vonjunk ki mindkét oldalból 1-et, majd osszunk 4-gyel. 6

7 x 1 = y 4 Ezzel meg is kaptuk explicit alakban az inverz függvény hozzárendelési utasítását, melyet az alábbi módon írhatunk: x 1 f 1 (x) =. 4 Megjegyzés: Felhívjuk a gyelmet arra, hogy az f 1 (x) jelölésben nem hatványozásról van szó! Ezzel nem az f függvény 1-dik hatványát jelöljük, hanem az inverzét. 1. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = e x+5 képlet függvény inverzének hozzárendelési utasítását! Megoldás: Az f függvény kölcsönösen egyértelm, tehát létezik inverze. Járjunk el az el z feladatban leírtak szerint, azaz írjunk az f(x) helyére y-t. y = e x+5 Majd cseréljük fel x és y szerepét. x = e y+5 Ezután rendezzük y-ra az egyenletet. Mivel y kitev ben szerepel, ezért vesszük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. ln x = ln(e y+5 ) Mindezt azért tettük, mert középiskolából ismert, hogy log a (a b ) = b, s így ln(e y+5 ) = y + 5. (Ne feledkezzünk el arról, hogy az ln ugyanazt jelenti, mintha log e -t írnánk.) Így az egyenlet a következ lesz. ln x = y + 5 A további rendezési lépések már egyszer ek, el ször kivonunk 5-öt, majd osztunk -vel. ln x 5 = y Az inverz függvény hozzárendelési utasítása tehát a következ : f 1 (x) = ln x Feladat: Határozzuk meg az f(x) = ln(6x 7) képlet függvény inverzének hozzárendelési utasítását! Megoldás: Az f függvény kölcsönösen egyértelm, tehát létezik inverze. Írjunk az f(x) helyére y-t. y = ln(6x 7) 7

8 Cseréljük fel x és y szerepét. x = ln(6y 7) Rendezzük y-ra az egyenletet. Mivel y logaritmuson belül szerepel, ezért emeljük fel az e számot az egyenlet jobb illetve bal oldalára. e x = e ln(6y 7) Ezt azért tesszük, mert a logaritmus deníciója szerint a log a b = b, s így e ln(6y 7) = 6y 7. Ezzel az egyenlet a következ alakot ölti. e x = 6y 7 Már csak egyszer rendezési lépések vannak hátra. El ször mindkét oldalhoz adjunk 7-et, majd osszunk 6-tal. e x + 7 = y 6 Az inverz függvény hozzárendelési utasítása tehát az alábbi: f 1 (x) = ex Összetett feladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, ln(x + 9) melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! 6 x Megoldás: Hasonló feladattal találkoztunk az alapfeladatok között is. Most annyiban változott a helyzet, hogy több kikötést kell tenni, s így az összes kikötésnek elget tev halmaz meghatározása is nehezebb. Menjünk sorba a kikötéseken. Logaritmus miatti kikötés: x + 9 > 0, amib l x > 9 következik. Négyzetgyök miatti kikötés: 6 x 0, amib l x 6 következik. Ezt azonban még tovább kell alakítanunk. Ez az egyenl tlenség akkor teljesül, ha 6 x 6. Nevez miatti kikötés: 6 x 0, amib l 6 x. Mindkét oldal nemnegatív, így négyzetre emelhetünk. 6 x 4. Ebb l x, azaz x ±. Miután megtettük a kikötéseket, meg kell keresnünk azt a halmazt, melynek elemei mindegyik kikötésnek eleget tesznek. Ehhez csoportosítsuk a kikötéseket. Lehetnek olyan kikötések, amelyek alulról korlátozzák x értékét. Most két ilyen kikötésünk van, egyrészt 9 < x, másrészt 6 x. Ki kell 8

9 választanunk ezek közül az er sebbet, amelynek teljesülése maga után vonja a másik teljesülését is. Most a 9 < x az er sebb, hiszen ha ez teljesül akkor teljesül az 6 x kikötés is. Lehet olyan kikötés, ami felülr l korlátozza x értékét. Ilyen most csak egy van, x 6. Ha több ilyen kikötésünk lenne, akkor természetesen itt is ki kellene választanunk a leger sebbet. Valamint lehet kizáró kikötés. Ilyen most az x ±. Ezek után már egyenl tlenségekkel könny megadni a függvény értelmezési tartományát. Annak kell teljesülni, hogy 9 < x 6 és x ±. Ugyanez intervallumként felírva a következ : D f = ( 9 ], 6 \ {±}.. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, arccos x + 5 melyen az f(x) = 7 1 hozzárendelési utasítású függvény x + 7 értelmezhet! Megoldás: A feladat nagyon hasonlít az el z re. Tegyük meg a szükséges kikötésket. Az arccos miatti kikötés: 1 x Ebb l 7 x következik, majd 1 x, s végül a 6 x 1 egyenl tlenséget kapjuk. A négyzetgyök miatti kikötés: x + 7 0, amib l x 7 következik. Nevez miatti kikötés: 1 x + 7 0, amib l x következik. Mindkét oldal nem negatív, így négyzetre emelés után x következik, amib l x. Két olyan kikötésünk van, ami aluról korlátozza x értékét. Ezek a 6 x és 7 x egyenl tlenségek. Közülük a második az er sebb, tehát a 7 x feltételnek kell teljesülni. Felülr l csak az x 1 feltétel korlátozza x-et. Valamint van egy kizáró feltételünk is, x. Ezekb l a függvény értelmezési tartománya a következ : D f = [ 7 ], 1 \ { }. 9

10 1. ábra. f(x) = x + 4x + 4 és annak lesz kítése. Feladat: Tekintsük az f(x) = x + 4x + 4 függvényt. Sz kítsük le a függvényt minél tágabb halmazra úgy, hogy a lesz kítés kölcsönösen egyértelm legyen. Határozzuk meg ezen lesz kített függvény inverzét. Adjuk meg az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét is! Megoldás: Ha a valós számok halmazán értelmezzük a függvényt, akkor nem kölcsönösen egyértelm, hisz például f( ) = ( ) + 4 ( ) + 4 = 1 és f( 1) = ( 1) + 4 ( 1) + 4 = 1, azaz léteznek olyan különböz értékei x-nek, amelyekre ugyanazt az értéket veszi fel a függvény, s ezért lesz kítés nélkül nem invertálható. A megfelel lesz kítés megkereséséhez ábrázoljuk a függvényt, el tte azonban alakítsuk át a hozzárendelési utasítását. Könnyen felismerhet, hogy f(x) = x + 4x + 4 = (x + ). Ebb l látható, hogy a függvény grakonja egy olyan parabola, melyet az x függvény grakonjából x tengellyel párhuzamos, negatív irányú, egységgel történ eltolással kapunk. Az is látható az ábráról, hogy ha lesz kítjük a függvényt az x halmazra, akkor ezen lesz kítésen a függvény szigorúan monoton növ lesz, tehát kölcsönösen egyértelm. (Lényegében csak a parabola felét vesszük.) Ennél kevésbé nem sz kíthetünk a függvényen, mert akkor már lennének a grakonnak olyan pontjai, melyek azonos magasságban helyezkednének el, ami azt jelenti, a függvény nem kölcsönösen egyértelm. Egy megfelel lesz kítés tehát a következ : g(x) = x + 4x + 4 és D g = [, ) Ezen g függvénynek határozzuk meg az inverzét. Ehhez írjunk a g(x) helyére a hozzárendelési utasításban y-t. 10

11 . ábra. A g 1 (x) = x inverz függvény y = x + 4x + 4 Ezután cseréljük fel x és y szerepét. x = y + 4y + 4 A kapott egyenletet oldjuk meg y-ra. A jobb oldalt alakítsuk át. x = (y + ) Mivel a lesz kített függvény értelmezési tartománya lesz az inverz értékkészlete, így tudjuk y. Ebb l következ en y + 0, tehát ha mindkét oldalból gyököt vonunk, nincs szükség abszolút értékre. A következ t kapjuk: x = y +, amib l y = x. A g inverzének hozzárendelési utasítása tehát az alábbi: g 1 (x) = x. A négyzetgyök miatt ez a függvény csak a nem negatív számokon van értelmezve, így D g 1 = [0, ). Már korábban említettük, hogy az inverz értékkészlete a g függvény értelmezési tartománya, tehát R g 1 = [, ) Ha ábrázoljuk a g 1 (x) = x inverz függvényt, akkor mindez a grakonról is leolvasható. 11

12 ( ) x. ábra. f(x) = sin + és annak lesz kítése ( ) x 4. Feladat: Tekintsük az f(x) = sin + függvényt. Sz kítsük le a függvényt minél tágabb halmazra úgy, hogy a lesz kítés kölcsönösen egyértelm legyen. Határozzuk meg ezen lesz kített függvény inverzét. Adjuk meg az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét is! Megoldás: A feladat az el z h z hasonló. Ott sokat segített a függvény grakonja, ezért célszer nek t nik most is ábrát készíteni. A sin függvény grakonjából kaphatjuk meg f grakonját lineráis transzformációkkal. Mivel a sin mögött nem x áll, hanem x, ezért x tengellyel párhuzamosan kétszeresre kell nyújtani a függvény grakonját. A -as szorzó a sin el tt azt jelenti, hogy y tengellyel párhuzamosan háromszorosra kell nyújtani a grakont. Végül a + miatt y tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban, -vel el kell tolni a grakont. Jól látható, hogy a minden valós számra értelmezett függvény nem kölcsönösen egyértelm, ezért nem invertálható. Ha azonban a [ π, π] intervallumra lesz kítjük a függvényt, akkor egy szigorúan monoton növekv függvényt kapunk. Ez kölcsönösen egyértelm, így már invertálható. Ennél szélesebb intervallumon azonban már nem kölcsönösen egyértelm a függvény. Egy megfelel lesz kítés így a következ : ( ) x g(x) = sin + és D g = [ π, π]. Ezen g függvénynek határozzuk meg az inverzét. Ehhez írjunk a g(x) helyére a hozzárendelési utasításban y-t. ( ) x y = sin + 1

13 Ezután cseréljük fel x és y szerepét. ( ) y x = sin + Majd fejezzük ki y-t az egyenletb l. A rendezés els két lépése egyszer. Vonjunk ki mindkét oldalból -t, majd osszunk -mal. Így a következ t kapjuk: ( ) x y = sin Mivel az y a sin függvény argumentumában szerepel, ezért mindkét oldalnak vesszük az arcsin-át. arcsin x ( ( )) y = arcsin sin Ez azért jó, mert így a jobb oldalon arcsin és sin áll egymás után egy összetett függvényben, melyek egymás inverzei, s általánosan igaz, hogy f 1 (f(x)) = x, ha x eleme azon lesz kítés értelmezési tartományának, melyen az f-et invertáljuk. Ezért egy ilyen összetett függvény egyszer en az argumentummal egyenl. Általánosságban is azt mondhatjuk, hogy ha egy egyenletben egy függvény mögött áll az ismeretlen, akkor az egyenlet mindkét oldalán vesszük a függvény inverzét. Így eltüntetht a függvény, és az ismeretlen kifejezhet. Az egyenletünk ezután a következ alakot ölti. arcsin x = y Már csak -vel kell szoroznunk az egyenletet. arcsin x = y A g függvény inverze tehát a következ : g 1 (x) = arcsin x Határozzuk meg ezen függvény legb vebb értelmezési tartományát. Az arcsin miatti kikötés: 1 x 1 Rendezés után a következ t kapjuk: 1 x 5 A g 1 (x) függvény értelmezési tartománya tehát a következ : D g 1 = [ 1, 5]. Az ábráról leolvasható, hogy ez az eredeti függvény értékkészlete. Mivel az invertálás során felcserél dik az értelmezési tartomány és az értékkészlet, így g 1 (x) értékkészlete megegyezik a g(x) értelmezési tartományával. Ennek következtében R g 1 = [ π, π]. 1

14 4. ábra. A g 1 (x) = arcsin x inverz függvény Ha ábrázoljuk a g 1 (x) = arcsin x inverz függvényt, akkor mindez a grakonról is leolvasható. Ezen függvény grakonját, az arcsin függvény grakonjából kaphatjuk meg lineris transzformációkkal. Megjegyzés: Az utolsó két feladat ábráin jól látszik, hogy az eredeti és az inverz függvény grakonja egymás türkörképe az y = x egyenlet egyenesre nézve. 14

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el

Részletesebben

Függvények határértéke, folytonossága

Függvények határértéke, folytonossága Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el

Részletesebben

Határozott integrál és alkalmazásai

Határozott integrál és alkalmazásai Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,

Részletesebben

Komplex számok trigonometrikus alakja

Komplex számok trigonometrikus alakja Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Matematika 1 mintafeladatok

Matematika 1 mintafeladatok Matematika mintafeladatok Lukács Antal 06. február 0. Tartalomjegyzék. Komplex számok algebrai alakja. Komplex számok trigonometrikus alakja 6. Függvénytani alapfogalmak 4. Számsorozatok 46 5. Függvények

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok

Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.

L'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0. L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,

Részletesebben

Komplex számok algebrai alakja

Komplex számok algebrai alakja Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:

A gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások: . Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Függvényhatárérték és folytonosság

Függvényhatárérték és folytonosság 8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak

Részletesebben

Dierenciálhányados, derivált

Dierenciálhányados, derivált 9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez

Részletesebben

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1 6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált) Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

RE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel! RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

A relációelmélet alapjai

A relációelmélet alapjai A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Analízis házi feladatok

Analízis házi feladatok Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,

Részletesebben

Magasabbfokú egyenletek

Magasabbfokú egyenletek 86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y

Részletesebben

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC

6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC 6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen

Részletesebben

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1

x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény

Részletesebben

HALMAZELMÉLET feladatsor 1.

HALMAZELMÉLET feladatsor 1. HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY

ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY Koszinusztétel Tétel: Bármely háromszögben az egyik oldal négyzetét megkapjuk, ha a másik két oldal négyzetének összegéből kivonjuk e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát.

Részletesebben

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok . fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények

Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := 1, 2,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így jelöljük: [a, b], (a,

Részletesebben

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem)

Analízis elo adások. Vajda István. 2012. szeptember 10. Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem. Vajda István (Óbudai Egyetem) Vajda István Neumann János Informatika Kar Óbudai Egyetem 1 / 36 Bevezetés A komplex számok értelmezése Definíció: Tekintsük a valós számpárok R2 halmazát és értelmezzük ezen a halmazon a következo két

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények

1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1. Komplex függvények dierenciálhatósága, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, elemi függvények 1.1. Dierenciálhatóság 1.1. deníció. Legyen a z 0 pont az f(z) függvény értelmezési tartományának torlódási

Részletesebben

2. Halmazelmélet (megoldások)

2. Halmazelmélet (megoldások) (megoldások) 1. A pozitív háromjegy páros számok halmaza. 2. Az olyan, 3-mal osztható egész számok halmaza, amelyek ( 100)-nál nagyobbak és 100-nál kisebbek. 3. Az olyan pozitív egész számok halmaza, amelyeknek

Részletesebben

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2

PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÁSA: MATEMATIKA, KÖZÉP SZINT. 3, ahonnan 2 x = 3, tehát. x =. 2 FELADATSOR MEGOLDÁSA I. rész 1.1.) a) igaz b) hamis. 1..) A helyes megoldás: b) R = r 1..) x = 7 = ahonnan x = tehát x =. 1.4.) Az oszlopdiagramból kiolvasható hogy a két üzem termelése között a legnagyobb

Részletesebben

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)

1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Határozatlan integrál

Határozatlan integrál Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás

Részletesebben

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval

4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval 4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Függvények. Fogalom. Jelölés

Függvények. Fogalom. Jelölés Függvények Fogalom Ha egy A halmaz minden eleméhez egyértelműen hozzárendeljük egy B halmaz valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya,

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)

Komplex számok. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) Komplex számok Definíció. Komplex számoknak nevezzük a valós számokból képzett rendezett (a, b) számpárok halmazát, ha közöttük az összeadást és a szorzást következőképpen értelmezzük: (a, b) + (c, d)

Részletesebben

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert)

GYAKORLAT. 1. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok (lásd EA-ban is; iskolából ismert) GYAKORLAT. Elemi logika, matematikai állítások és következtetések, halmazok lásd EA-ban is; iskolából ismert I. Halmazok.. Alapfogalmak: "halmaz" és "eleme". Halmaz kritériuma: egyértelm en eldönthet,

Részletesebben

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.

SHk rövidítéssel fogunk hivatkozni. Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,

Részletesebben

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu-

Módszertani megjegyzés: A kikötés az osztás műveletéhez kötődik. A jobb megértés miatt célszerű egy-két példát mu- . modul: ELSŐFOKÚ TÖRTES EGYENLETEK A következő órákon olyan egyenletekkel foglalkozunk, amelyek nevezőjében ismeretlen található. Ha a tört nevezőjében ismeretlen van, akkor kikötést kell tennünk: az

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda

Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 12 mintapélda Trigonometrikus egyenletek megoldása Azonosságok és 1 mintapélda Frissítve: 01. novermber 19. :07:41 1. Azonosságok 1.1. Azonosság. A sin és cos szögfüggvények derékszög háromszögben vett, majd kiterjesztett

Részletesebben

MATEMATIKA A 10. évfolyam

MATEMATIKA A 10. évfolyam MATEMATIKA A 10. évfolyam 7. modul Négyzetgyökös egyenletek Készítette: Gidófalvi Zsuzsa Matematika A 10. évfolyam 7. modul: Négyzetgyökös egyenletek Tanári útmutató A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály

Részletesebben

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36 Vektorok Wettl Ferenc 2014. október 20. Wettl Ferenc Vektorok 2014. október 20. 1 / 36 Tartalom 1 Vektorok a 2- és 3-dimenziós térben 2 Távolság, szög, orientáció 3 Vektorok koordinátás alakban 4 Összefoglalás

Részletesebben

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz

Obudai Egyetem RKK Kar. Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Obudai Egyetem RKK Kar Feladatok a Matematika I tantárgyhoz Gyakorló Feladatok a Matematika I Tantárgyhoz Els rész: Feladatok. Halmazelmélet, Számhalmazok, Függvények... Feladat. Legyen A = { : + 3 = 3},

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)

Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.) Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes . MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben