Függvénytani alapfogalmak
|
|
- Veronika Szekeresné
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Függvénytani alapfogalmak 015. február Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 4x + melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! x Megoldás: Ha egy függvény esetében csak a hozzárendelési utasítást adják meg, akkor mindig felvet dik az a kérdés, mi a legb vebb halmaz, melyen értelmezhet a függvény. Azt is mondhatjuk ilyenkor, hogy meg kell tennünk a szükséges kikötéseket. Jelen esetben két okból kell kikötést tennünk. Egyrészt a négyzetgyök miatt, hiszen csak nem negatív számoknak létezik négyzetgyöke a valós számok halmazán, másrészt az osztás miatt, hiszen 0-val nem lehet osztani. Írjuk fel ezeket a kikötéseket képlettel, majd rendezzük ket a változóra. Végül határozzuk meg azt a halmazt, melynek elemei mindegyik kikötésnek eleget tesznek. A négyzetgyök miatti kikötés: 4x + 0 Rendezzük ezt x-re. 4x x 4 A nevez miatti kikötés: x 0 Ezt is rendezzük x-re. x x A függvény tehát a változó azon értékeire értelmezhet, melyekre x 4 és x. Célszer bb mindezt más jelöléssel írni. Jelölje a függvény értelmezési tartományát D f, és használjuk az intervallumokra vonatkozó jelöléseket. Ekkor az értelmezési tartomány az alábbi módon írható: D f = [ 4, ) \ { }. 1
2 . Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, ln(9 4x) melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! 5x + 8 Megoldás: Járjunk el ugyanúgy, mint az el z feladatban. Most is két kikötést kell tennünk, mert logaritmusa csak pozitív számoknak létezik, és nevez ben nem állhat 0. A logaritmus miatti kikötés: 9 4x > 0. Ebb l 9 > 4x, majd 9 4 > x következik. A nevez miatti kikötés: 5x Ebb l 5x 8, majd x 8 5 következik. Ezek alapján a függvény értelmezési tartománya a következ : D f = (, 9 ) { 4, \ 8 }. 5. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, 1 melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! ln(5x 8) Megoldás: A logaritmus és a nevez miatt kell most is kikötést tennünk. A logaritmus miatti kikötés: 5x 8 > 0. Ebb l 5x > 8, majd x > 8 5 következik. A nevez miatti kikötés: ln(5x 8) 0. Most a rendezés egy kicsit érdekesebb, mint a korábbiakban. Célszer lenne a jobb oldalon álló 0-t is egy megfelel szám természetes alapú logarimusaként írni, mert akkor a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt elhagyhatjuk mindkét oldalról a logaritmust. Tudjuk, hogy ln 1 = 0, így ezt írjuk a jobb oldalra. ln(5x 8) ln 1 Ebb l 5x 8 1 következik, amit már könnyen tudunk rendezni. 5x 9, majd x 9 5. Ezek alapján a függvény értelmezési tartománya a következ : ( ) { 8 9 D f = 5, \. 5} 4. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, melyen az f(x) = arcsin x + 7 hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! 8 Megoldás: Most csak egyetlen kikötést kell tennünk az arcsin miatt. Tudjuk, hogy ez a függvény a [ 1, 1] intervallumon értelmezhet. Jelen
3 esetben azon kifejezés értékének kell ebbe az itervallumba esni, aminek az arcsin-át vesszük. A kikötés tehát: 1 x Ez egy kett s egyenl tlenség. Felbonthatjuk két egyenl tlenségre is, de elvégezhetjük egyben is a rendezési lépéseket. Els ként szorozzunk 8-cal. 8 x Vonjunk ki 7-et. 15 x 1 Végül osszunk -mal. 5 x 1 A függvény értelmezési tartománya a következ : [ D f = 5, 1 ]. 5. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = (x +) hozzárendelési utasítású függvény értékkészletét, ha az értelmezési tartomány a valós számok legb vebb olyan részhalmaza, melyen a függvény értelmezhet! Megoldás: A függvény nyilvánvalóan értelmezhet minden valós számra, tehát D f = IR. A g(x) = x függvény értékkészlete ismert, hiszen elemi alapfüggvény. Tudjuk, hogy R g = [0, ), azaz x 0 teljesül minden x IR esetén, és az x függvény fel is veszi az összes nem negatív értéket. Ezt felhasználva határozzuk meg f értékkészletét. Alakítsuk át f hozzárendelési utasítását úgy, hogy felbontjuk a zárójelet. f(x) = x + 6 Látható, hogy f a g-b l lineáris transzformációkkal származtatható, két lépésben. Els ként az x helyett x -re térünk át. Ez azt jelenti, hogy minden függvényérték kétszeresére változik. Ez azonban nem változtatja az értékkészletet, hiszen x 0 akkor és csak akkor, ha x 0. Második lépésben a x -r l x + 6-ra térünk át. Ez azt jelenti a függvény értékei megn nek 6-tal, s ez már változtat az értékkészleten. A x 0 egyenl tlenség ugyanis akkor és csak akkor teljesül, ha x Ebb l következ en az f függvény értékkészlete a következ : R f = [6, ).
4 6. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = 4e x hozzárendelési utasítású függvény értékkészletét, ha az értelmezési tartomány a valós számok legb vebb olyan részhalmaza, melyen a függvény értelmezhet! Megoldás: A függvény nyilvánvalóan értelmezhet minden való számra, tehát D f = IR. Hasonlóan, mint az el z feladatban, most is egy elemi alapfüggvényb l lineáris transzformációkkal kapjuk az f függvényt. Tekintsük ugyanis a g(x) = e x függvényt, azaz a jól ismert exponenciális függvényt. Ebb l származtatható transzformációkkal az f függvény, ugyanúgy két lépésben, mint az el z feladatban. A g függvény értékkészletét ismerjük, hiszen e x > 0 minden x IR esetén, s a függvény fel is vesz minden pozitív értéket, tehát R g = (0, ). Az e x > 0 egyenl tlenség viszont ekvivalens a 4e x > 0 egyenl tlenséggel, majd újabb ekvivalens átalakítással a 4e x > egyenl tlenséget kapjuk. Ez pedig azt jelenti, hogy az f függvény értékkészlete az alábbi: R f = (, ). 7. Feladat: Adjuk meg az f g és g f összetett függvények hozzárendelési utasítását, ha f(x) = x 1 és g(x) = 1 x! x Megoldás: Összetett függvénynek az olyan hozzárendeléseket nevezzük, amelyeket függvények egymás utánjaként állítunk el. Például az f g függvény azt jelenti, hogy el ször a g hozzárendelést hajtjuk végre, majd a kapott értékb l indulva végrehajtjuk az f hozzárendelést. Ezt az egymás utániságot fejezi ki az összetett függvények másik jelölési módja, amikor az f g összetett függvényt f(g(x))-szel jelölik. Ez a jelölésmód magyarázatot ad az elnevezésekre is, miszerint az els hozzárendelést bels függvénynek nevezzük, a másodikat pedig küls függvénynek. Ebb l a jelölésmódból pedig az is egyértelm, hogy az összetett függvény hozzárendelési utasítását úgy kapjuk, hogy a küls függvény hozzárendelési utasításában a változó szerepét a bels függvény veszi át. Képletben ez annyit jelent, hogy a küls függvényben x helyére a bels függyvényt kell helyettesítenünk. Ennyi magyarázat után lássuk a két összetett függvény hozzárendelési utasítását. Az f g el állításakor f-ben helyettesítünk x helyére g(x)- et, míg a g f esetén pedig g-ben helyettesítünk x helyére f(x)-et. Az eredmények a következ k: (f g)(x) = f(g(x)) = (1 x) 1 (1 x) = x 1 x Ha b vítünk 1-gyel, akkor ez a következ módon is írható: 4
5 (f g)(x) = f(g(x)) = x x 1. x 1 (g f)(x) = g(f(x)) = 1 x Ezt is írhatjuk más formában, ha a gyökjel alatt a törtet két részre bontjuk. Így a következ alakot kapjuk: (g f)(x) = g(f(x)) = x. 8. Feladat: Adjuk meg az f g és g f összetett függvények hozzárendelési utasítását, ha f(x) = x + 1 és g(x) = 5 x+! Megoldás: Amint az el z feladat megoldásában már szerepelt, az f g el állításakor f-ben x helyére g(x)-et helyettesítünk, míg a g f esetén pedig g-ben helyettesítünk f(x)-et x helyére. Így az alábbiakat kapjuk: (f g)(x) = f(g(x)) = 5 x+ + 1, (g f)(x) = g(f(x)) = 5 x Feladat: Adjuk meg az f f összetett függvény hozzárendelési utasítását, ha f(x) = x + 1! Megoldás: Olyan összetett függvényt kell el állítanunk, amelynek a küls és bels függvénye is az f függvény. Ez azt jelenti, az f függvényben az x helyére f(x)-et kell helyettesítenünk. Így a következ t kapjuk: (f f)(x) = f(f(x)) = (x +1) +1 = (x 4 +x +1)+1 = x 4 +x Feladat: Adjunk meg küls és bels függvényt az f(x) = cos x összetett függvény esetén! Megoldás: Amint a kett vel el bbi feladat magyarázatában szerepelt, a bels függvény az els hozzárendelés, a küls függvény pedig a második hozzárendelés, a függvények egymás utánjában. Amikor tehát egy összetett függvényhez keresünk küls és bels függvényt, akkor azt kell átgondolnunk, milyen hozzárendelést hajtunk végre el ször x-en. Most nyilvánvalóan x-nek cos-át vesszük, tehát ez lehet bels függvény. Mivel a küls függvényben a változó szerepét a bels függyvény veszi át, így ezen bels függvényhez tartozó küls függvényt úgy kapjuk meg, hogy a bels függvény helyére egyszer en a változót, általában x-et írjuk. Jelen esetben így a következ ket kapjuk. Bels függvény: g(x) = cos x Küls függvény: h(x) = x Ezen két függvényb l az f nyilván a h g kompozícióval kapható meg. 5
6 11. Feladat: Adjunk meg küls és bels függvényt az f(x) = tg x összetett függvény esetén! Megoldás: Feladatunk ugyanaz, mint az el bb. Gondoljuk végig, mi az els hozzárendelés. Ehhez célszer az f hozzárendelési utasítását egy kicsit átalakítani, ugyanis a jelölés félrevezet lehet. Amikor egy függvénynél szerepel hatványozás, az ugyanazt jelenti, mintha a függvényt zárójelbe tennénk, s a zárójelen kívülre írnánk hatványozást. Jelen esetben például a következ t: f(x) = tg x = (tg x) A rövidebb írásmód is hasznos, mert nem kell olyan sok zárójelet használnunk, de nem szabad elfeledkezni a jelentésér l. A hosszabb jelölésmód mutatja ugyanis egyértelm bben, hogy itt el ször a tg-ét vesszük az x-nek, majd amit kaptunk, azt emeljük négyzetre. Ezzel találtunk is küls és bels függvényt. Bels függvény: g(x) = tg x Küls függvény: h(x) = x Ebb l a két függvényb l az f nyilván a h g kompozícióval kapható meg. 1. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = (4x + 1) képlet függvény inverzének hozzárendelési utasítását! Megoldás: Az f függvény kölcsönösen egyértelm, mert f(a) = f(b) csak akkor teljesül, ha a = b, tehát létezik inverze. Az inverz függvény tulajdonképpen az eredeti hozzárendelés megfordítottját jelenti. Ha az eredeti függvényben az értéket röviden y-nal jelöljük, akkor az f függvényt az y = (4x + 1) egyenlettel adhatjuk meg. Az inverz függvényben felcserél dik a független változó, azaz x, és a függ változó, azaz y szerepe. Ami eddig az értelmezési tartomány volt az lesz az inverzben az értékkészlet, s ami az eredeti függvény értékkészlete volt, az lesz az inverz értelmezési tartománya. A hozzárendelési utasítás meghatározásakor ez azt jelenti, hogy fel kell cserélnünk az egyenletben x és y szerepét. Az inverz függvényt tehát az x = (4y + 1) egyenlet adja meg. Ez azonban így nem egy explicit alakban adott függvény, azaz nincs a függvényértékre, tehát y-ra rendezve. Ha lehetséges, akkor célszer bb inkább explicit alakban megadni a függvényeket, mert úgy sokkal egyszer bben kezelhet k. Próbáljuk meg tehát y-ra rendezni az egyenletet. Els lépésként vonjunk mindkét oldalból köbgyököt. x = 4y + 1 Ezután vonjunk ki mindkét oldalból 1-et, majd osszunk 4-gyel. 6
7 x 1 = y 4 Ezzel meg is kaptuk explicit alakban az inverz függvény hozzárendelési utasítását, melyet az alábbi módon írhatunk: x 1 f 1 (x) =. 4 Megjegyzés: Felhívjuk a gyelmet arra, hogy az f 1 (x) jelölésben nem hatványozásról van szó! Ezzel nem az f függvény 1-dik hatványát jelöljük, hanem az inverzét. 1. Feladat: Határozzuk meg az f(x) = e x+5 képlet függvény inverzének hozzárendelési utasítását! Megoldás: Az f függvény kölcsönösen egyértelm, tehát létezik inverze. Járjunk el az el z feladatban leírtak szerint, azaz írjunk az f(x) helyére y-t. y = e x+5 Majd cseréljük fel x és y szerepét. x = e y+5 Ezután rendezzük y-ra az egyenletet. Mivel y kitev ben szerepel, ezért vesszük mindkét oldal természetes alapú logaritmusát. ln x = ln(e y+5 ) Mindezt azért tettük, mert középiskolából ismert, hogy log a (a b ) = b, s így ln(e y+5 ) = y + 5. (Ne feledkezzünk el arról, hogy az ln ugyanazt jelenti, mintha log e -t írnánk.) Így az egyenlet a következ lesz. ln x = y + 5 A további rendezési lépések már egyszer ek, el ször kivonunk 5-öt, majd osztunk -vel. ln x 5 = y Az inverz függvény hozzárendelési utasítása tehát a következ : f 1 (x) = ln x Feladat: Határozzuk meg az f(x) = ln(6x 7) képlet függvény inverzének hozzárendelési utasítását! Megoldás: Az f függvény kölcsönösen egyértelm, tehát létezik inverze. Írjunk az f(x) helyére y-t. y = ln(6x 7) 7
8 Cseréljük fel x és y szerepét. x = ln(6y 7) Rendezzük y-ra az egyenletet. Mivel y logaritmuson belül szerepel, ezért emeljük fel az e számot az egyenlet jobb illetve bal oldalára. e x = e ln(6y 7) Ezt azért tesszük, mert a logaritmus deníciója szerint a log a b = b, s így e ln(6y 7) = 6y 7. Ezzel az egyenlet a következ alakot ölti. e x = 6y 7 Már csak egyszer rendezési lépések vannak hátra. El ször mindkét oldalhoz adjunk 7-et, majd osszunk 6-tal. e x + 7 = y 6 Az inverz függvény hozzárendelési utasítása tehát az alábbi: f 1 (x) = ex Összetett feladatok 1. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, ln(x + 9) melyen az f(x) = hozzárendelési utasítású függvény értelmezhet! 6 x Megoldás: Hasonló feladattal találkoztunk az alapfeladatok között is. Most annyiban változott a helyzet, hogy több kikötést kell tenni, s így az összes kikötésnek elget tev halmaz meghatározása is nehezebb. Menjünk sorba a kikötéseken. Logaritmus miatti kikötés: x + 9 > 0, amib l x > 9 következik. Négyzetgyök miatti kikötés: 6 x 0, amib l x 6 következik. Ezt azonban még tovább kell alakítanunk. Ez az egyenl tlenség akkor teljesül, ha 6 x 6. Nevez miatti kikötés: 6 x 0, amib l 6 x. Mindkét oldal nemnegatív, így négyzetre emelhetünk. 6 x 4. Ebb l x, azaz x ±. Miután megtettük a kikötéseket, meg kell keresnünk azt a halmazt, melynek elemei mindegyik kikötésnek eleget tesznek. Ehhez csoportosítsuk a kikötéseket. Lehetnek olyan kikötések, amelyek alulról korlátozzák x értékét. Most két ilyen kikötésünk van, egyrészt 9 < x, másrészt 6 x. Ki kell 8
9 választanunk ezek közül az er sebbet, amelynek teljesülése maga után vonja a másik teljesülését is. Most a 9 < x az er sebb, hiszen ha ez teljesül akkor teljesül az 6 x kikötés is. Lehet olyan kikötés, ami felülr l korlátozza x értékét. Ilyen most csak egy van, x 6. Ha több ilyen kikötésünk lenne, akkor természetesen itt is ki kellene választanunk a leger sebbet. Valamint lehet kizáró kikötés. Ilyen most az x ±. Ezek után már egyenl tlenségekkel könny megadni a függvény értelmezési tartományát. Annak kell teljesülni, hogy 9 < x 6 és x ±. Ugyanez intervallumként felírva a következ : D f = ( 9 ], 6 \ {±}.. Feladat: Határozzuk meg a valós számok legb vebb részhalmazát, arccos x + 5 melyen az f(x) = 7 1 hozzárendelési utasítású függvény x + 7 értelmezhet! Megoldás: A feladat nagyon hasonlít az el z re. Tegyük meg a szükséges kikötésket. Az arccos miatti kikötés: 1 x Ebb l 7 x következik, majd 1 x, s végül a 6 x 1 egyenl tlenséget kapjuk. A négyzetgyök miatti kikötés: x + 7 0, amib l x 7 következik. Nevez miatti kikötés: 1 x + 7 0, amib l x következik. Mindkét oldal nem negatív, így négyzetre emelés után x következik, amib l x. Két olyan kikötésünk van, ami aluról korlátozza x értékét. Ezek a 6 x és 7 x egyenl tlenségek. Közülük a második az er sebb, tehát a 7 x feltételnek kell teljesülni. Felülr l csak az x 1 feltétel korlátozza x-et. Valamint van egy kizáró feltételünk is, x. Ezekb l a függvény értelmezési tartománya a következ : D f = [ 7 ], 1 \ { }. 9
10 1. ábra. f(x) = x + 4x + 4 és annak lesz kítése. Feladat: Tekintsük az f(x) = x + 4x + 4 függvényt. Sz kítsük le a függvényt minél tágabb halmazra úgy, hogy a lesz kítés kölcsönösen egyértelm legyen. Határozzuk meg ezen lesz kített függvény inverzét. Adjuk meg az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét is! Megoldás: Ha a valós számok halmazán értelmezzük a függvényt, akkor nem kölcsönösen egyértelm, hisz például f( ) = ( ) + 4 ( ) + 4 = 1 és f( 1) = ( 1) + 4 ( 1) + 4 = 1, azaz léteznek olyan különböz értékei x-nek, amelyekre ugyanazt az értéket veszi fel a függvény, s ezért lesz kítés nélkül nem invertálható. A megfelel lesz kítés megkereséséhez ábrázoljuk a függvényt, el tte azonban alakítsuk át a hozzárendelési utasítását. Könnyen felismerhet, hogy f(x) = x + 4x + 4 = (x + ). Ebb l látható, hogy a függvény grakonja egy olyan parabola, melyet az x függvény grakonjából x tengellyel párhuzamos, negatív irányú, egységgel történ eltolással kapunk. Az is látható az ábráról, hogy ha lesz kítjük a függvényt az x halmazra, akkor ezen lesz kítésen a függvény szigorúan monoton növ lesz, tehát kölcsönösen egyértelm. (Lényegében csak a parabola felét vesszük.) Ennél kevésbé nem sz kíthetünk a függvényen, mert akkor már lennének a grakonnak olyan pontjai, melyek azonos magasságban helyezkednének el, ami azt jelenti, a függvény nem kölcsönösen egyértelm. Egy megfelel lesz kítés tehát a következ : g(x) = x + 4x + 4 és D g = [, ) Ezen g függvénynek határozzuk meg az inverzét. Ehhez írjunk a g(x) helyére a hozzárendelési utasításban y-t. 10
11 . ábra. A g 1 (x) = x inverz függvény y = x + 4x + 4 Ezután cseréljük fel x és y szerepét. x = y + 4y + 4 A kapott egyenletet oldjuk meg y-ra. A jobb oldalt alakítsuk át. x = (y + ) Mivel a lesz kített függvény értelmezési tartománya lesz az inverz értékkészlete, így tudjuk y. Ebb l következ en y + 0, tehát ha mindkét oldalból gyököt vonunk, nincs szükség abszolút értékre. A következ t kapjuk: x = y +, amib l y = x. A g inverzének hozzárendelési utasítása tehát az alábbi: g 1 (x) = x. A négyzetgyök miatt ez a függvény csak a nem negatív számokon van értelmezve, így D g 1 = [0, ). Már korábban említettük, hogy az inverz értékkészlete a g függvény értelmezési tartománya, tehát R g 1 = [, ) Ha ábrázoljuk a g 1 (x) = x inverz függvényt, akkor mindez a grakonról is leolvasható. 11
12 ( ) x. ábra. f(x) = sin + és annak lesz kítése ( ) x 4. Feladat: Tekintsük az f(x) = sin + függvényt. Sz kítsük le a függvényt minél tágabb halmazra úgy, hogy a lesz kítés kölcsönösen egyértelm legyen. Határozzuk meg ezen lesz kített függvény inverzét. Adjuk meg az inverz értelmezési tartományát és értékkészletét is! Megoldás: A feladat az el z h z hasonló. Ott sokat segített a függvény grakonja, ezért célszer nek t nik most is ábrát készíteni. A sin függvény grakonjából kaphatjuk meg f grakonját lineráis transzformációkkal. Mivel a sin mögött nem x áll, hanem x, ezért x tengellyel párhuzamosan kétszeresre kell nyújtani a függvény grakonját. A -as szorzó a sin el tt azt jelenti, hogy y tengellyel párhuzamosan háromszorosra kell nyújtani a grakont. Végül a + miatt y tengellyel párhuzamosan, pozitív irányban, -vel el kell tolni a grakont. Jól látható, hogy a minden valós számra értelmezett függvény nem kölcsönösen egyértelm, ezért nem invertálható. Ha azonban a [ π, π] intervallumra lesz kítjük a függvényt, akkor egy szigorúan monoton növekv függvényt kapunk. Ez kölcsönösen egyértelm, így már invertálható. Ennél szélesebb intervallumon azonban már nem kölcsönösen egyértelm a függvény. Egy megfelel lesz kítés így a következ : ( ) x g(x) = sin + és D g = [ π, π]. Ezen g függvénynek határozzuk meg az inverzét. Ehhez írjunk a g(x) helyére a hozzárendelési utasításban y-t. ( ) x y = sin + 1
13 Ezután cseréljük fel x és y szerepét. ( ) y x = sin + Majd fejezzük ki y-t az egyenletb l. A rendezés els két lépése egyszer. Vonjunk ki mindkét oldalból -t, majd osszunk -mal. Így a következ t kapjuk: ( ) x y = sin Mivel az y a sin függvény argumentumában szerepel, ezért mindkét oldalnak vesszük az arcsin-át. arcsin x ( ( )) y = arcsin sin Ez azért jó, mert így a jobb oldalon arcsin és sin áll egymás után egy összetett függvényben, melyek egymás inverzei, s általánosan igaz, hogy f 1 (f(x)) = x, ha x eleme azon lesz kítés értelmezési tartományának, melyen az f-et invertáljuk. Ezért egy ilyen összetett függvény egyszer en az argumentummal egyenl. Általánosságban is azt mondhatjuk, hogy ha egy egyenletben egy függvény mögött áll az ismeretlen, akkor az egyenlet mindkét oldalán vesszük a függvény inverzét. Így eltüntetht a függvény, és az ismeretlen kifejezhet. Az egyenletünk ezután a következ alakot ölti. arcsin x = y Már csak -vel kell szoroznunk az egyenletet. arcsin x = y A g függvény inverze tehát a következ : g 1 (x) = arcsin x Határozzuk meg ezen függvény legb vebb értelmezési tartományát. Az arcsin miatti kikötés: 1 x 1 Rendezés után a következ t kapjuk: 1 x 5 A g 1 (x) függvény értelmezési tartománya tehát a következ : D g 1 = [ 1, 5]. Az ábráról leolvasható, hogy ez az eredeti függvény értékkészlete. Mivel az invertálás során felcserél dik az értelmezési tartomány és az értékkészlet, így g 1 (x) értékkészlete megegyezik a g(x) értelmezési tartományával. Ennek következtében R g 1 = [ π, π]. 1
14 4. ábra. A g 1 (x) = arcsin x inverz függvény Ha ábrázoljuk a g 1 (x) = arcsin x inverz függvényt, akkor mindez a grakonról is leolvasható. Ezen függvény grakonját, az arcsin függvény grakonjából kaphatjuk meg lineris transzformációkkal. Megjegyzés: Az utolsó két feladat ábráin jól látszik, hogy az eredeti és az inverz függvény grakonja egymás türkörképe az y = x egyenlet egyenesre nézve. 14
Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
Részletesebben[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
RészletesebbenA dierenciálszámítás alapjai és az érint
A dierenciálszámítás alapjai és az érint 205. november 7.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az fx) x 2 3 x függvény deriváltját! Megoldás: Deriválás el tt célszer átalakítani a függvényt. A gyök
RészletesebbenFÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY
FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenMatematika 1 mintafeladatok
Matematika mintafeladatok Lukács Antal 06. február 0. Tartalomjegyzék. Komplex számok algebrai alakja. Komplex számok trigonometrikus alakja 6. Függvénytani alapfogalmak 4. Számsorozatok 46 5. Függvények
RészletesebbenFüggvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok
Függvények menetének vizsgálata, szöveges széls érték feladatok 2015. március 29. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Hol növekv az f() függvény, ha deriváltja f () = ( + 2)( 5) 2? Megoldás: Egy függvény növekedését,
Részletesebben6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének
6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük
Részletesebben1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!
Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenExponenciális, logaritmikus függvények
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
Részletesebben2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)
(11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 05. április.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az alábbi határozatlan integrált! + sin ch Megoldás: Az integrálandó függvényen belül összeadás illetve kivonás m velete szerepel,
RészletesebbenAbszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások
Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és b) jelű egyenletnek pontosan egy megoldása van, a c) és d) jelű egyenletnek viszont nincs megoldása
RészletesebbenKalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus
Függvények Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet)
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenKomplex számok algebrai alakja
Komplex számok algebrai alakja Lukács Antal 015. február 8. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Legyen z 1 + 3i és z 5 4i! Határozzuk meg az alábbiakat! (a) z 1 + z (b) 3z z 1 (c) z 1 z (d) Re(i z 1 ) (e) Im(z
Részletesebbena) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenExponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások
Eponenciális és logaritmikus kifejezések - megoldások Eponenciális és logaritmikus kifejezések Megoldások ) Igazolja, hogy az alábbi négy egyenlet közül az a) és jelű egyenletnek pontosan egy megoldása
RészletesebbenIrracionális egyenletek, egyenlôtlenségek
9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
Részletesebbenegyenlőtlenségnek kell teljesülnie.
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenDierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
Részletesebbenfüggvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(
FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval
Részletesebben2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia
2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények
Részletesebben1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x
RészletesebbenNagy András. Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály 00. Feladatok a logaritmus témaköréhez. osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 =
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
Részletesebben2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia
2014. szeptember 24. és 26. Dr. Vincze Szilvia Mind a hétköznapi, mind a tudományos életben gyakran előfordul, hogy bizonyos halmazok elemei között kapcsolat figyelhető meg. A kapcsolat fogalmának matematikai
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenHatvány gyök logaritmus
Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1 Hatvány gyök logaritmus Hatványozás azonosságai 1. Döntse el az alábbi állításról, hogy igaz-e vagy hamis! Ha két szám négyzete egyenl, akkor
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek V.
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenMatematika 11. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Humán tagozat Matematika 11. osztály I. rész: Hatvány, gyök, logaritmus Készítette: Balázs Ádám Budapest, 018 . Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFeladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint
TÁMOP-4-08/-009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! (12 pont) Megoldás:
Trigonometria Megoldások ) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! cos + cos = sin ( pont) sin cos + = + = ( ) cos cos cos (+ pont) cos + cos = 0 A másodfokú egyenlet megoldóképletével
Részletesebben25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1
6 Komplex számok megoldások Lásd ábra z = + i, z = + i, z = i, z = i z = 7i, z = + 5i, z = 5i, z = i, z 5 = 9, z 6 = 0 Teljes indukcióval 5 Teljes indukcióval 6 Az el z feladatból következik z = z = =
Részletesebbenb) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2
1) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) b) c) ( ) ) Határozza meg az 1. feladatban megadott, ; intervallumon
RészletesebbenE-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények
Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenA Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Függvények. Függvények A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a szabadon eső test sebessége az idő függvénye. Konstans hőmérsékleten
RészletesebbenMatematika 8. osztály
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály III. rész: Függvények Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék III. rész:
RészletesebbenMásodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenMatematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus
Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold!
Megoldások 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyik függvény? Válaszod indokold! A: Minden emberhez hozzárendeljük a munkahelyének nevét. B: Minden valós számhoz hozzárendeljük az ellentettjét. C: Minden
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások. alapfüggvény (ábrán: fekete)
Megoldások 1. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1 a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: g (x)
RészletesebbenDescartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
RészletesebbenIV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások november
IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Megoldások 009. november Határozatlan integrálás.05. + C + C.06. + C + C.07. ( ( 5 5 + C.08. ( ( + 5 5 + + C.09. + ( + ln + + C.. ( + ( + ( + 5 5 + + C.. + ( + ( + ( + + ( + ( + +
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenFÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer
FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot
RészletesebbenA relációelmélet alapjai
A relációelmélet alapjai A reláció latin eredet szó, jelentése kapcsolat. A reláció, két vagy több nem feltétlenül különböz halmaz elemei közötti viszonyt, kapcsolatot fejez ki. A reláció értelmezése gráffal
RészletesebbenRE 1. Relációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
RE 1 Relációk Függvények RE 2 Definíció: Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor azt mondjuk, hogy
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenFüggvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények
Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.
Részletesebben8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.
8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenM. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!
Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének
RészletesebbenFüggvények július 13. Határozza meg a következ határértékeket! 1. Feladat: x 0 7x 15 x ) = lim. x 7 x 15 x ) = (2 + 0) = lim.
Függvények 205. július 3. Határozza meg a következ határértékeket!. Feladat: 2. Feladat: 3. Feladat: 4. Feladat: (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0 ) (2 + 7 5 ) (2 + 7 5 ) (2 + 0) (2 + 0 7 5 ) (2 + 0 7 5 ) (2
Részletesebben9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:
9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC 2019-03-14 Wettl
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenÉrettségi feladatok: Függvények 1/9
Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
RészletesebbenI. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
RészletesebbenOrszágos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
RészletesebbenHozzárendelés, lineáris függvény
Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű
RészletesebbenMagasabbfokú egyenletek
86 Magasabbfokú egyenletek Magasabbfokú egyenletek 5 90 a) =! ; b) =! ; c) = 5, 9 a) Legyen = y Új egyenletünk: y - 5y+ = 0 Ennek gyökei: y=, y= Tehát egyenletünk gyökei:, =!,, =! b) Új egyenletünk: y
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
Részletesebben