Matematika A1a Analízis
|
|
- Ottó Dobos
- 4 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Differenciálhatóság H607, EIC Wettl Ferenc ALGEBRA TANSZÉK 1
2 Tartalom
3 A differenciálhatóság fogalma Pontbeli differenciálhatóság Jobb és bal oldali differenciálhatóság Folytonosság és differenciálhatóság Deriváltfüggvény Differenciálási szabályok Összeg, szorzat, hányados Összetett függvény differenciálása Implicit függvény deriváltja Inverz függvény deriváltja Darboux-tétel Összefoglalás 2
4 A differenciálhatóság fogalma
5 A differenciálhatóság fogalma Pontbeli differenciálhatóság
6 Pontbeli differenciálhatóság D Differenciálhatóság A valós f függvény a c D f pontban differenciálható, ha létezik az f(x) f(c) m = lim x c x c véges határérték. Ekvivalens alak x = c + h helyettesítéssel: f(x) f(c) f(c + h) f(c) m = lim = lim x c x c h 0 h Az m számot az f függvény c-beli differenciálhányadosának vagy c-beli deriváltjának nevezzük és f (c)-vel jelöljük (így kifejezve, hogy m függ f-től és a c helytől is). 3
7 Az előző határérték épp az f grafikonjához húzott (c, f(c))-pontbeli érintő meredeksége. c x x x x 4
8 f y f (c) + ε m = f (c) f (c) ε f(x) f(c) ε > 0 δ > 0 c δ c x c + δ [ 0 < x c < δ x f(x) f(c) x c ] f (c) < ε 5
9 P Az f(x) = e x függvény grafikonjához c = 0-ban húzott érintő meredeksége az e definíciója szerint 1,vagyis f itt differenciálható és a derivált értéke 1. e h e 0 lim h 0 h e h 1 = lim = 1. h 0 h K Az e x függvény tetsz. c R-ben differenciálható, és a derivált értéke e c. e c+h e c lim h 0 h e c (e h 1) = lim = e c e h 1 lim = e c h 0 h h 0 h 6
10 y y 3 x 3 x e x 2 x 2 x x x 7
11 Á Állítás Ha az f függvény differenciálható a c pontban és differenciálhányadosa itt m, akkor érintőjének egyenlete y = f(c) + m(x c). P Írjuk fel az f(x) = x 2 függvény (1, 1) pontbeli érintőjének egyenletét! M Az érintő meredeksége (iránytangense) a differenciálhányados c = 1-ben: f(x) f(1) x 2 1 m = lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Így az érintő egyenlete: y = 1 + 2(x 1), azaz y = 2x 1. 8
12 A differenciálhatóság fogalma Jobb és bal oldali differenciálhatóság
13 Jobb és bal oldali differenciálhatóság D Értelemszerűen módosítva a definíciót: Definíció A valós f függvény a c D f pontban differenciálható jobbról (balról), ha létezik az f(x) f(c) f(c + h) f(c) m = lim = lim x c + x c h 0 + h f(x) f(c) f(c + h) f(c) (m = lim = lim ) x c x c h 0 h véges határérték. Az m számot az f c-beli jobb (bal) oldali differenciálhányadosának vagy c-beli jobb (bal) oldali deriváltjának nevezzük. 9
14 P M P M f(x) = x bal és jobb oldali deriváltja? h 0 h lim = lim = 1 = jobb oldali derivált 1 h 0 + h h 0 + h h 0 h lim = lim = 1 = bal oldali derivált 1 h 0 h h 0 h Mivel a két egyoldali derivált a 0-ban különböző, f nem deriválható a 0-ban. f(x) = x jobb oldali határértéke a c = 0 helyen: h 0 1 lim = lim =, h 0 + h h 0 + h nincs véges határérték, a függvény nem differenciálható jobbról a 0-ban. 10
15 A differenciálhatóság fogalma Folytonosság és differenciálhatóság
16 Folytonosság és differenciálhatóság T Differenciálható függvény folytonos Ha f differenciálható c-ben, akkor ott folytonos is. B lim x c ( f(x) f(c) (f(x) f(c)) = lim x c x c ) (x c) = m 0 = 0, ha m az f differenciálhányadosa c-ben. Így lim f(x) = f(c). x c m Az állítás megfordítása nem igaz: pl. f(x) = x a c = 0 pontban folytonos, de nem diffható. 11
17 A differenciálhatóság fogalma Deriváltfüggvény
18 Deriváltfüggvény D Definíció Az f deriváltfüggvénye az f : x lim h 0 f(x + h) f(x) h függvény, mely f differenciálhatósági helyein van értelmezve. D A deriváltfüggvényre egy másik szokásos jelölés: Magasabbrendű deriváltak f = (f ), f = (f ), f (n) = (f (n 1) ) df dx. 12
19 P (e x ) = e x P (a) = 0 (konstansfüggvény deriváltja 0) P (x n ) = nx n 1, ha n pozitív egész szám, ugyanis c R esetén: x n c n lim x c x c = lim (x c)(x n 1 + x n 2 c xc n 2 + c n 1 ) = x c x c = lim x c (x n 1 + x n 2 c xc n 2 + c n 1 ) = nc n 1 13
20 P sin x = cos x, ugyanis c R esetén sin(c + h) sin(c) sin c cos h + cos c sin h sin(c) lim = lim = h 0 h h 0 h cos c sin h sin c(1 cos h) = lim = h 0 h = lim(cos c) sin h cos h (sin c)1 = (cos c) 1 (sin c) 0 = cos c, h 0 h h ugyanis 1 cos h (1 cos h)(1 + cos h) 1 cos 2 h lim = lim = lim h 0 h h 0 h(1 + cos h) h 0 h(1 + cos h) = lim h 0 sin 2 h h(1 + cos h) = lim sin h h 0 h (sin h) cos h = = 0 14
21 Differenciálási szabályok
22 Differenciálási szabályok Összeg, szorzat, hányados
23 Differenciálási szabályok T Tétel Legyenek f és g c-ben differenciálható függvények, a R konstans. 1. (af) (c) = af (c) 2. (f + g) (c) = f (c) + g (c) 3. (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c) ( ) f 4. (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g g 2, speciálisan (c) ( ) 1 (c) = g (c) g g 2, ha g(c) 0 (c) 15
24 B B P 2. (f + g) (f(x) + g(x)) (f(c) + g(c)) (c) = lim x c x c ( ) f(x) f(c) g(x) g(c) = lim + = f (c) + g (c) x c x c x c 3. (fg) f(x)g(x) f(c)g(c) (c) = lim x c x c f(x)g(x) f(c)g(x) + f(c)g(x) f(c)g(c) = lim x c x c ( ) f(x) f(c) g(x) g(c) = lim g(x) + f(c) x c x c x c = f (c)g(c) + f(c)g (c) (x n ) = nx n 1, akkor is ha n negatív egész szám, ugyanis legyen n = m N ( ) 1 (x n ) = x m = (xm ) mxm 1 (x m ) 2 = x 2m = mx m 1 = nx n 1 16
25 Differenciálási szabályok Összetett függvény differenciálása
26 T Láncszabály Ha g differenciálható c-ben, és f differenciálható g(c)-ben, akkor f g differenciálható c-ben, és (f g) (c) = f (g(c))g (c) B (f g) f(g(x)) f(g(c)) (c) = lim x c x c ( f(g(x)) f(g(c)) = lim x c g(x) g(c) g(x) g(c) x c f(g(x)) f(g(c)) g(x) g(c) = lim lim x c g(x) g(c) x c x c f(y) f(g(c)) g(x) g(c) = lim lim = f (g(c))g (c) y g(c) y g(c) x c x c ) 17
27 m A tételbeli képlet a függvényekre a (f g) = (f g) g alakot ölti (minden olyan helyen, ahol a jobb oldal értelmezve van, ott a bal is). m Három függvény kompozíciója esetén: (f g h) = (f g h) (g h) h (f(g(h(x)))) = f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) m Régies jelölések a differenciálhányados mint differenciálok hányadosa stílusában: dy y = f(u), u = g(x), jelölésekkel: dx = dy du du dx dy y = f(u), u = g(w), w = h(x) jelölésekkel: dx = dy du du dw dw dx 18
28 A fő kérdés mindig: melyik a külső függvény? P (sin 2 x) =? Külső függvény: f(x) = x 2 f (x) = 2x Belső függvény g(x) = sin x g (x) = cos x (sin 2 x) = 2(sin x) cos x P (sin x 2 ) =? Külső függvény f(x) = sin x f (x) = cos x Belső függvény: g(x) = x 2 g (x) = 2x (sin x 2 ) = cos x 2 2x 19
29 P (sin 2 x 3 ) =? M Külső függvény f(x) = x 2 f (x) = 2x Belső függvény: g(x) = sin x 3 (sin 2 x 3 ) = 2 sin x 3 (sin x 3 ) P (sin x 3 ) =? Külső függvény f(x) = sin x f (x) = cos x Belső függvény: g(x) = x 3 g (x) = 3x 2 (sin x 3 ) = cos x 3 3x 2 Tehát: (sin 2 x 3 ) = 2 sin x 3 cos x 3 3x 2 20
30 ( ( π ) ) P cos x = sin x, hiszen cos x = sin 2 x = = cos( π 2 x) ( π 2 x) = cos( π 2 x) = sin x P tg x = 1 ( ) sin x cos 2 x, hiszen = sin x cos x sin x cos x cos x cos 2 = x cos x cos x + sin x sin x = cos 2 = 1 x cos 2 x P ctg x = 1 ( ) cos x sin 2 x, hiszen = cos x sin x cos x sin x sin x sin 2 = x sin x sin x cos x cos x = sin 2 = 1 x sin 2 x 21
31 P (a x ) = a x ln a, ahol a > 0, hiszen (a x ) = (e x ln a ) = e x ln a (x ln a) = e x ln a ln a = a x ln a ( e P (sh x) x e x ) ( e x e x ( 1)) = = = ex + e x ( e P (ch x) x + e x ) e x e x = = = sh x 2 2 ( sh x ) ( ch P (th x) 2 x sh 2 x) = = ch x ch 2 = 1 x ch 2 x ( ch x ) ( sh P (cth x) 2 x ch 2 x) = = sh x sh 2 = 1 x sh 2 x = ch x 22
32 Differenciálási szabályok Implicit függvény deriváltja
33 D Implicit függvény F(x, y) = 0, melyről föltesszük, hogy F(x 0, y 0 ) = 0, és az (x 0, y 0 ) pont egy kis környezetében y kifejezhető x függvényeként, azaz van olyan f függvény és ε > 0, hogy x (x 0 ε, x 0 + ε) esetén F(x, y) = 0 y = f(x). Tekintsük a h(x) = F(x, f(x)) függvényt. x (x 0 ε, x 0 + ε) esetén h(x) = F(x, f(x)) = 0 = vagyis x 0 -ban a deriváltja is 0 lesz. = Ebből az összefüggésből pedig ki lehet fejezni f (x 0 )-t. f(x)-re szokás ilyenkor az y(x) jelölést is használni. 23
34 P Mennyi az y 2 = x 3 x görbe érintőjének meredeksége a (2, 6) pontban? F(x, y) = y 2 x 3 + x y = y(x) és tekintsük a deriváltat x 0 = 2-ben: 0 = d dx x=2 F(x, y(x)) = d dx (y(x)2 x 3 + x) x=2 = 2y(x)y (x) 3x x=2 0 = 2y(2)y (2) y (2) = y(2) = m Mivel a differenciálás lineáris művelet, ezért az egyenletet nem szükséges a deriválás előtt átrendezni. 24
35 Differenciálási szabályok Inverz függvény deriváltja
36 T Inverz függvény deriváltja Ha f differenciálható az I intervallumon, és a derivált sehol sem 0, akkor az f függvény g inverze is differenciálható, és g = 1 f g. m x = f(g(x)) implicit deriváltja 1 = f (g(x))g (x) g 1 (x) = f (g(x)) m Ha a I, és b = f(a), akkor g 1 (b) = f (g(b)) = 1 f (a). 25
37 m Az f inverz függvényére általánosan elterjedt jelölés az f 1. Ez más, mint az f reciproka! Vigyázzunk e két dologra is használt jelöléssel! m A hasonlóság a két fogalom között: f 1 mint reciprok: f f 1 = 1, ahol 1 az szorzás egységeleme, melyet c-vel szorozva c-t kapunk! f 1 mint inverz: f f 1 = id, ahol id : x x a kompozíció egyégeleme, melyre bármely g függvény esetén g id = id g = g. m E jelöléssel exp 1 = ln, ahol exp : x e x. m A zsebszámológépeken használt sin 1 jelölés helyett mi az arcsin jelölést használjuk. 26
38 y e x = exp x ln x x 27
39 P (ln x) = 1 x, x > 0 g(x) = ln x az f(x) = e x függvény inverze, és f (x) = e x, így (ln x) = g (x) = 1 f (g(x)) = 1 e ln x = 1 x ( ln x ) P (log a x) 1 = = ln a x ln a P Ha a R, akkor az x a 1 függvény értelmezési tartományának minden pontjában (x a ) = ax a 1, hiszen (x a ) = (e a ln x ) = e a ln x (a ln x) = x a a 1 x = axa 1. 28
40 P (arcsin x) 1 =, x ( 1, 1) 1 x 2 g(x) = arcsin x az f(x) = sin x [ π 2, π 2 ] függvény inverze, és f (x) = cos x, így (arcsin x) = g (x) = 1 = 1 sin 2 (arcsin x) 1 f (g(x)) = 1 cos(arcsin x) = 1 1 x 2, mert cos(arcsin x) > 0 a ( π 2, π 2 )-n. P (arccos x) 1 =, x ( 1, 1), ugyanis 1 x 2 arccos x = π 2 arcsin x 29
41 P (arctg x) = x 2, x R g(x) = arctg x az f(x) = tg x ( π 2, π 2 ) függvény inverze, és f (x) = (tg x) = 1 cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 = 1 + tg 2 x, így x (arctg x) = g (x) = 1 f (g(x)) = 1 1 cos 2 (arctg x) tg 2 (arctg x) = x 2 P (arcctg x) = x 2, x R, ugyanis arcctg x = π 2 arctg x Á arcsin x + arccos x = π 2, arctg x + arcctg x = π 2 arccos x = arcctg x 1 x x arcsin x arctg x 1 30
42 Hasonlóan kiszámítható az area függvények deriváltja: P (arsh x) = x 2, x R P (arch x) 1 =, x (1, + ) x 2 1 P (arth x) = 1, x ( 1, 1) 1 x2 P (arcth x) = 1, x (, 1) (1, + ) 1 x2 31
43 y y arth x arcth x x 1 1 x 2 x 32
44 f(x) f (x) a a R 0 x a a R ax a 1 sin x cos x cos x sin x tg x x π 2 + kπ, k Z 1 cos 2 x ctg x x kπ, k Z 1 sin 2 x e x e x a x a > 0 a x ln a sh x ch x ch x sh x 1 th x ch 2 x cth x x 0 1 sh 2 x 33
45 f(x) ln x x > 0 log a x x > 0 arcsin x x ( 1, 1) f (x) 1 x 1 x ln a 1 1 x 2 arccos x x ( 1, 1) 1 1 x 2 arctg x x 2 arcctg x x 2 arsh x arch x x (1, ) arth x x ( 1, 1) arcth x x (, 1) (1, ) 1 x x x x 2 34
46 Darboux-tétel
47 D Definíció f differenciálható (deriválható) egy (a, b) nyílt intervallumon, ha annak minden pontjában differenciálható. f differenciálható az [a, b] zárt intervallumon, ha (a, b)-n differenciálható, továbbá a-ban jobbról, b-ben balról differenciálható. T Darboux-tétel Ha a és b olyan intervallum pontjai, melyen f differenciálható, akkor f az f (a) és f (b) között minden értéket fölvesz, azaz f Darboux-tulajdonságú. m A Bolzano Darboux-tételben bizonyítottuk, hogy a folytonos függvények Darboux-tulajdonságúak. Bár az előbbi tétel szerint intervallumon differenciálható függvények deriváltfüggvénye is Darboux-tulajdonságú, a következő példa mutatja, hogy f nem feltétlenül folytonos. 35
48 x 2 sin( 1 x P f(x) = ) ha x 0 0 ha x = 0 M x 0 : f (x) = (x 2 sin(x 1 )) x = 0 : = 2x sin(x 1 ) + x 2 cos(x 1 )( x 2 ) = 2x sin( 1 x ) cos( 1 x ) f h 2 sin( 1 h (0) = lim ) 0 h 0 h 0 = lim h 0 h sin( 1 h ) = 0 y x 2 x 2 sin( 1 x ) x x 2 f nem folytonos a 0-ban, mert nem létezik ott határértéke 36
49 Összefoglalás
50 Összefoglalás Differenciálhatóság fogalma, deriváltfüggvény Differenciálhatóság és folytonosság kapcsolata Differenciálási szabályok (összeg, különbség, szorzat, hányados, összetett, implicit, inverz függvény) Elemi függvények és inverzeik deriváltjai Darboux-tétel 37
Dierenciálhatóság. Wettl Ferenc el adása alapján és
205.0.9. és 205.0.26. 205.0.9. és 205.0.26. / Tartalom A dierenciálhatóság fogalma Pontbeli dierenciálhatóság Jobb és bal oldali dierenciálhatóság Folytonosság és dierenciálhatóság Deriváltfüggvény 2 Dierenciálási
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Elemi függvények H607, EIC 2019-03-13 Wettl Ferenc
Részletesebben2014. november Dr. Vincze Szilvia
24. november 2-4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék. Meredekség, szelő, szelő meredeksége 2. Differencia-hányados fogalma 3. Differenciál-hányados fogalma 5. Folytonosság és differenciálhatóság kapcsolata
Részletesebben6. Folytonosság. pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények
6. Folytonosság pontbeli folytonosság, intervallumon való folytonosság, folytonos függvények Egy függvény egy intervallumon folytonos, ha annak miden pontjában folytonos. folytonos függvények tulajdonságai
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 A derivált alkalmazásai H607, EIC 2019-04-03 Wettl
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál 205..04. Határozatlan integrál 205..04. / 2 Tartalom Primitív függvény 2 Határozatlan integrál 3 Alapintegrálok 4 Integrálási szabályok 5 Helyettesítéses integrálás 6 Parciális integrálás
RészletesebbenDifferenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1
Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya
RészletesebbenFüggvény differenciálás összefoglalás
Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás. Csomós Petra
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 3. előadás Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus függvény
RészletesebbenElemi függvények. Matematika 1. előadás. ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár október 4.
Elemi függvények Matematika 1. előadás ELTE TTK Földtudomány BSc, Környezettan BSc, Környezettan tanár 2017. október 4. Csomós Petra Elemi függvények 1. Hatványfüggvények 2. Exponenciális és logaritmus
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Folytonosság H607, EIC 2019-03-07 Wettl Ferenc
RészletesebbenInverz függvények Inverz függvények / 26
Inverz függvének 2015.10.14. Inverz függvének 2015.10.14. 1 / 26 Tartalom 1 Az inverz függvén fogalma 2 Szig. monoton függvének inverze 3 Az inverz függvén tulajdonságai 4 Elemi függvének inverzei 5 Összefoglalás
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebben6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK. BSc Matematika I. BGRMA1HNND, BGRMA1HNNC
6. ELŐADÁS DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS II. DIFFERENCIÁLÁSI SZABÁLYOK BSc Matematika I. BGRMAHNND, BGRMAHNNC A következő diákon szereplő állítások mindegyikét az előadáson fogjuk igazolni, és példákkal bőségesen
RészletesebbenI. feladatsor i i i i 5i i i 0 6 6i. 3 5i i
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenDierenciálhányados, derivált
9. fejezet Dierenciálhányados, derivált A dierenciálhányados deníciója D 9.1 Az egyváltozós valós f függvény x0 pontbeli dierenciálhányadosának nevezzük a lim f(x0 + h) f(x0) h 0 h határértéket, ha ez
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebben= x2. 3x + 4 ln x + C. 2. dx = x x2 + 25x. dx = x ln 1 + x. 3 a2 x +a 3 arctg x. 3)101 + C (2 + 3x 2 ) + C. 2. 8x C.
. Határozatlan integrál megoldások.. 5. 7 5 5. t + t 5t. 8 = 7 8 = 8 5 8 5 6. e + 5 ln + tg + 7. = 8. + 5 = 5 ln + 5 9. = + 5 + 5 5 + 5 + 5 = /5 = 5 6 6/5 + 5 5 = + ln = 5 + 5 = + ln + 0.. a +a arctg a.
Részletesebben4.1. A differenciálszámítás alapfogalmai
69 4. Egyváltozós valós függvények differenciálszámítása 4.. A differenciálszámítás alapfogalmai 4... A görbe érintője és a pillanatnyi sebesség Tekintsük az f : R + R + f) 4 függvényt. Húzzuk meg az y
RészletesebbenBoros Zoltán február
Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n
Részletesebbenx a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1
EL 18 Valós exponenciális függvények Definíció: Ha a R, a>0, akkor legyen a x = e x lna, x R A valós változós exponenciális függvények grafikonja: x a x, ha a > 1 x a x, ha 0 < a < 1 A szinusz függvény
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenMATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)
MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f
RészletesebbenHatározatlan integrál
Határozatlan integrál Boros Zoltán Debreceni Egyetem, TTK Matematikai Intézet, Anaĺızis Tanszék Debrecen, 207. február 20 27. Primitív függvény, határozatlan integrál A továbbiakban legyen I R intervallum.
RészletesebbenMatematika A1a Analízis
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika Aa Analízis BMETE90AX00 Az exp és ln függvények H607, EIC 209-04-24 Wettl
RészletesebbenRégebbi Matek B1 és A1 zh-k. deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. n )
Régebbi Matek B1 és A1 zh-k Sorozatok és függvények határértékével, folytonossággal és a deriválás alapjaival kapcsolatos feladatai. 1. Számítsuk ki: (a) n ( 2n 1) n+3 1 + arccos( 2n + 1 n ) (b) n ( n
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenEllenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész
Ellenőrző kérdések a Matematika I. tantárgy elméleti részéhez, 2. rész Mintakérdések a 2. ZH elméleti részéhez. Nem csak ezek a kérdések szerepelhetnek az elméleti részben, de azért hasonló típusú kérdések
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenKalkulus I. NÉV: Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt
27.2.2. Kalkulus I. NÉV:... A csoport KÓD:.... Adjuk meg a b n = 3n 7 9 2n sorozat infimumát, szuprémumát. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt (a) ( lim n 2 3n n 2 n 3) n ( ) 3n 5 3 2n,
Részletesebben0, különben. 9. Függvények
9. Függvények 9.. Ábrázolja a megadott függvényeket, és vizsgálja meg a függvények korlátosságát, monotonitását, konveitását, paritását, előjelét, zérushelyeit, periodicitását és határozza meg a valós
Részletesebben[f(x) = x] (d) B f(x) = x 2 ; g(x) =?; g(f(x)) = x 1 + x 4 [
Bodó Beáta 1 FÜGGVÉNYEK 1. Határozza meg a következő összetett függvényeket! g f = g(f(x)); f g = f(g(x)) (a) B f(x) = cos x + x 2 ; g(x) = x; f(g(x)) =?; g(f(x)) =? f(g(x)) = cos( x) + ( x) 2 = cos( x)
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
Részletesebben1. Folytonosság. 1. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maximuma és minimuma?
. Folytonosság. (A) Igaz-e, hogy ha D(f) = R, f folytonos és periodikus, akkor f korlátos és van maimuma és minimuma?. (A) Tudunk példát adni olyan függvényekre, melyek megegyeznek inverzükkel? Ha igen,
RészletesebbenA L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás
A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás 9. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék A L Hospital-szabály, elaszticitás, monotonitás, konvexitás p. / A L
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. (Derivált)
Valós függvények (3) (Derivált) . Legyen a belső pontja D f -nek. Ha létezik és véges a f(x) f(a) x a x a = f (a) () határérték, akkor f differenciálható a-ban. Az f (a) szám az f a-beli differenciálhányadosa.
RészletesebbenKétváltozós függvények differenciálszámítása
Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt
Részletesebbenn 2 2n), (ii) lim Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, (ii) 3 t 2 2t dt,
205.05.9. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg a h() = 3 2 függvény deriváltját az = 2 helyen. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket:
RészletesebbenA gyakorlatok anyaga
A 7-11. gyakorlatok anyaga a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz B és D kurzusok Számhalmazok jelölésére a következő szimbólumokat használjuk: N := {1,,...}, Z, Q, Q, R. Az intervallumokat pedig így
RészletesebbenIntegrálszámítás. a Matematika A1a-Analízis nevű tárgyhoz november
Integrálszámítás a Matematika Aa-Analízis nevű tárgyhoz 009. november Tartalomjegyzék I. Feladatok 5. A határozatlan integrál (primitív függvények........... 7.. A definíciók egyszerű következményei..................
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenHatározatlan integral, primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL, PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY, ANTIDERIVÁLT FOGALMA)
Határozatlan integral primitívkeresés (Antiderivált). HATÁROZATLAN INTEGRÁL PRIMITÍVKERESÉS (PRIMITÍV FÜGGVÉNY ANTIDERIVÁLT FOGALMA). Definíció A differenciálszámítás egyik legfontosabb feladata az hogy
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK:
24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n
RészletesebbenVizsgatematika. = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika 1 / 42
Vizsgatematika = kötelez bizonyítás Minden tételnél fontosak az el adáson elhangzott példák/ellenpéldák! Vizsgatematika / 42 Bevezetés(logikai formulák és halmazok): logikai m veletek és m velettábláik,
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenANALÍZIS TANÁROKNAK I.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK I. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK
Részletesebben1. Bevezetés Differenciálegyenletek és azok megoldásai
. Bevezetés.. Differenciálegyenletek és azok megoldásai Differenciálegyenlet alatt olyan függvény egyenleteket értünk, melyekben független változók, függvények és azok deriváltjai szerepelnek. Legegyszerűbb
RészletesebbenFüggvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).
FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
Részletesebben4. fejezet. Egyváltozós valós függvények deriválása Differenciálás a definícióval
4. fejezet Egyváltozós valós függvények deriválása Elm 4.. Differenciálás a definícióval A derivált definíciójával atározza meg az alábbi deriváltakat!. Feladat: f) = 6 + f 4) =? f 4) f4 + ) f4) 5 + 6
RészletesebbenAnalízis. Ha f(x) monoton nő [a;b]-n, és difható egy (a;b)-beli c helyen, akkor f'(c) 0
Analízis A differenciálszámítás középértéktételei: 1) Rolle-tétel: Ha f folytonos a korlátos és zárt [a;b] intervallumon, f diffható [a;b]-n és f(a) = f(b), akkor van egy a < c < b belső pont, ahol f'(c)
Részletesebbenlim 2 2 lim 2 lim 1 lim 3 4 lim 4 FOLYTONOSSÁG 1 x helyen? ( 2 a matek világos oldala Mosóczi András 4.1.? 4.5.? 4.2.? 4.6.? 4.3.? 4 4.7. 4.4.? 4.8.?
FÜGGVÉNYEK HTÁÉTÉKE Mosóczi ndrás..?..?..?..?..?..?..?.8.? FOLYTONOSSÁG DEFINÍCIÓ. z üggvény olytonos az a helyen értelmezve van az a helyen létezik és véges a tárértéke az a helyen és a a DEFINÍCIÓ. z
RészletesebbenKalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.
. Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat
RészletesebbenMatematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.
Részletesebben2 (j) f(x) dx = 1 arcsin(3x 2) + C. (d) A x + Bx + C 5x (2x 2 + 7) + Hx + I. 2 2x F x + G. x
I feladatsor Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: a fx dx = x arctg + C b fx dx = arctgx + C c fx dx = 5/x 4 arctg 5 x + C d fx dx = arctg + C 5/ e fx dx = x + arctg + C f fx dx
Részletesebben1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.
1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
Részletesebben1. Fuggveny ertekek. a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I. x = arcsin(x) ha 1 x 0 x = 1, arctg(x) ha 0 < x < + a) f (x) = 4 x 2 x+log
1. Fuggveny ertekek 1 Szamtsuk ki az alabbi fuggvenyek erteket a megadott helyeken! a) f (x) = 3x 3 2x 2 + x 15 x = 5, 10, 5 B I b) f (x) = sin x 1 x = π 2, π 4, 3 3 2π, 10π I arcsin(x) ha 1 x 0 1 c) f
RészletesebbenEGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA
EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMíTÁSA BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési
RészletesebbenAnalízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév
Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?
RészletesebbenÉrtelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,
25.2.8. Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = 2 3 + 2 2 2 + függvény szélsőértékeit
RészletesebbenDIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS Matematika BSc szakosok részére (2008). A differenciálhatóság és a derivált fogalma Emlékeztetünk az egyváltozós különbségi hányados fogalmára, melyet a konvex függvények tárgyalása
RészletesebbenA legjobb közeĺıtés itt most azt jelentette, hogy a lineáris
Többváltozós függvények differenciálhatósága f(x) f(x Az egyváltozós függvények differenciálhatóságát a lim 0 ) x x0 x x 0 függvényhatárértékkel definiáltuk, s szemléletes jelentése abban mutatkozott meg,
RészletesebbenAnalízis házi feladatok
Analízis házi feladatok Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 200-. I. Félév 2 . fejezet Első hét.. Házi Feladatok.. Házi Feladat. Írjuk fel a következő sorozatok 0.,., 2., 5., 0. elemét,
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz (függvények deriváltja)
Feladatok megoldásokkal a második gyakorlathoz függvények deriváltja Feladat Deriváljuk az f = 2 3 + 3 2 Felhasználva, hogy összeget tagonként deriválhatunk, továbbá, hogy függvény számszorosának deriváltja
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben8n 5 n, Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás,
3... Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 4 deriváltját az = helyen.pt. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt lim n 8n 5
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. (Függvények határértéke és folytonossága) Analízis 2. (A,B, C szakirány, keresztfélév) Programtervező informatikus szak 2013-2014. tanév tavaszi félév Összeállította: Szili László
RészletesebbenTöbbváltozós, valós értékű függvények
Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Feladatok
Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenKalkulus 2., Matematika BSc 1. Házi feladat
. Házi feladat Beadási határidő: 07.0.. Jelölések x = (x,..., x n, y = (y,..., y n, z = (z,..., z n R n esetén. x, y = n i= x iy i, skalárszorzat R n -ben. d(x, y = x y = n i= (x i y i, metrika R n -ben
RészletesebbenPTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak
PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek (mindhárom félévre): 1. Scharnitzky
RészletesebbenHaladó lineáris algebra
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Haladó lineáris algebra BMETE90MX54 Lineáris leképezések 2017-02-21 IB026 Wettl Ferenc
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenRelációk Függvények. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!
függvények RE 1 Relációk Függvények függvények RE 2 Definíció Ha A, B és ρ A B, akkor azt mondjuk, hogy ρ reláció A és B között, vagy azt, hogy ρ leképezés A-ból B-be. Ha speciálisan A=B, azaz ρ A A, akkor
RészletesebbenI. feladatsor. (t) z 1 z 3
I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Valós függvények (2) (Határérték) 1. A a R szám δ > 0 sugarú környezete az (a δ, a + δ) nyílt intervallum. Ezután a valós számokat, a számegyenesen való ábrázolhatóságuk miatt, pontoknak is fogjuk hívni.
RészletesebbenI. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL
A primitív függvény és a határozatlan integrál 5 I A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL Gyaorlato és feladato ( oldal) I Vizsgáld meg, hogy a övetező függvényene milyen halmazon van primitív
Részletesebben9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA. 9.1 Metrika és topológia R k -ban
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMITÁSA 9.1 Metrika és topológia R k -ban Definíció. A k-dimenziós euklideszi térnek nevezzük és R k val jelöljük a valós számokból alkotott k-tagú x = (x 1, x
RészletesebbenAnalízis példatár. Országh Tamás. v0.2. A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a
Analízis példatár v0.2 A példatár folyamatosan bővül, keresd a frissebb verziót a http://matstat.fw.hu honlapon a letölthető példatárak közt. Országh Tamás Budapest, 2005-2010 1 Mottó: Ki kéne vágni minden
RészletesebbenHatványsorok, elemi függvények
Hatványsorok, elemi függvények EL 1 Hatványsorok, elemi függvények Hatványsorok, elemi függvények EL Definíció: függvénysorozat Legyen A R, H { f f:a R }. (A H halmaz elemei az A halmazon értelmezett függvények)
RészletesebbenKERESZTFALVI TIBOR ANAL IZIS IV. Differenci al as
KERESZTFALVI TIBOR ANALÍZIS IV. Differenciálás 3 Tartalom A. SZÁMFÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA I. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK 1. Differenciálhatóság, alapvető tulajdonságok............ 7 2. Monotonitás,
Részletesebben9. feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás)
Matematika Ac gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 017/18 ősz feladatsor: Többváltozós függvények deriválása (megoldás) 1 Számoljuk ki a következő függvények parciális deriváltjait
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenFüggvények határértéke és folytonosság
Függvények határértéke és folytonosság ) Bizonyítsa be a határérték definíciója alapján, hogy teljesül! + 5 + = Megoldás Heine definíciója alapján): Igazolandó, hogy a függvény értelmezve van a egy környezetében,
Részletesebben