Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, x x 2 dx = arctg x + C = arcctgx + C,

Átírás

1 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f() = ln(2 3) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f() = függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 8pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 sin 2 3t dt, (ii) 3e s/2 ds, (iii) d. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

2 Definiáljuk a következő fogalmakat: A {b n } sorozat monoton nő. (ii) A g() függvény differenciálható a pontban. (iii) A korlátos E számhalmaz supremuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim s(t) = 5. t 3 (v) Riemann féle integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

3 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 2, a n = 5a n 4 (n > ) rekurzív sorozatot. pt n Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + 2n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 8 2 függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt 2 cos( + 2) d, (ii) ue u2 du, (iii) t t dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

4 Definiáljuk a következő fogalmakat: A (c n ) sorozat korlátos. (ii) A g(t) függvény monoton nő [a, b] n. (iii) Az f() nek az = 3 pont kritikus pontja. (iv) A környezetes definíció alapján lim L(p) =. p 2 (v) Integrálfüggvény. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

5 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n + 2 a n + 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2. Határozzuk meg az f() = 7 2 függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, majd ennek segítségével becsüljük meg 7 2 értékét. pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 2 függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3pt (λ + )e λ d (λ ), (ii) 2 y 2 + 6y + 9 dy, (iii) t t2 + 2 dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

6 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az { n } sorozat felülről korlátos. (ii) Az {a n } sorozat Cauchy-sorozat. (iii) A h() függvény konve az [, 4] intervallumon. (iv) A környezetes definíció alapján lim 2 f() =. (v) Darbou féle felső integrál. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

7 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Határozzuk meg az f() = 2 ( 5) 3 szélsőértékeit a [, 3] halmazon. 7pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt n lim 8n 3 n 5, n ( ) 2n 3 2n (ii) lim. n 2n A tanult módon ábrázoljuk az f() = 2 ln függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 33pt sin 2t t dt, (ii) dz z 2 + 3z + 2, (iii) 2t t t dt. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

8 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat alulról korlátos. (ii) Az E számhalmaznak a supremuma. (iii) Az f() függvény konkáv a [, 5] on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Darbou féle alsó integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

9 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK: n 3 +. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. 7pt n 3 + 2n2 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt lim n 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = n 3 n 3 cos, (ii) lim 2. e ( ) függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: u 3 + 2u u 2 du, (ii) 2 v 3 dv, (iii) 3 v 2 z dz. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

10 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {y n } sorozat határértéke. (ii) Az R() szigorúan monoton csökkenő a [, 3] on. (iii) Az f() függvénynek infleiós pontja van az = helyen. (iv) A környezetes definíció alapján lim t 2 + f(t) =. (v) Az integrálható f() függvény integrálközepe a [c, d] on. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

11 Kalkulus I. NÉV:... B csoport EHA:... FELADATOK:. Határozzuk meg a b n = 2n 3 sorozat infimumat, supremumat. 3n 7pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt lim n n , (ii) lim n n ( ) n+ 3n n 3 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 (3p + )sin p dp, (ii) 2t 2 (t 3 + ) 5 dt, (iii) 2y + y y dy. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

12 Definiáljuk a következő fogalmakat: lim n c n =. (ii) A alsó korlátja g() nek. (iii) Az E halmaz megszámlálhatóan végtelen. (iv) A környezetes definíció alapján lim h(z) =. z (v) Darbou-féle alsó integrál (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

13 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Definíció szerint és formálisan is határozzuk meg az f() = 2 3 függvény deriváltját az = 2 helyen. 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ( lim n3 ( ) n n + 3 n 2 + 2n), (ii) lim. n n 2n 2 függvényt. ( ) 2 Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 ds s 2 2s + 2, (ii) t 2 3t dt, (iii) e y dy. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

14 Definiáljuk a következő fogalmakat: A c szám korlátja az { n } sorozatnak. (ii) s(t) konve [, 2] on. (iii) A korlátos H számhalmaz infimuma. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) Darbou féle felső integrálközelítő összeg (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

15 Kalkulus I. NÉV:... B csoport EHA:... FELADATOK: 2n 2 5. Definíció alapján és formálisan is igazoljuk, hogy lim n n = 2. 6pt 2. Határozzuk meg az f() = arcsin függvénynek az a = pont körüli harmadrendű Taylor féle polinomját, továbbá becsüljük meg arcsin/2 értékét. 9pt 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = ( 5) 3 2 függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 v 2 ( + 2v 3 dv, (ii) ) du u 3 + u 2, (iii) 2 y ln(2 + 3y) dy. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

16 Definiáljuk a következő fogalmakat: Az {a n } sorozat szigorúan monoton csökkenő. (ii) A h() függvény lineárisan approimálható a 2 pontban. (iii) A {c n } sorozat részsorozata a {b n } sorozatnak. (iv) A környezetes definíció alapján lim t 2 g(t) = 3. (v) A Lagrange féle maradéktag (részletesen). Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

17 Kalkulus I. NÉV:... A csoport EHA:... FELADATOK:. Monotonitás és korlátosság szempontjából vizsgáljuk az a n = n + 5 2n infimum és a supremum értékét. sorozatot, majd adjuk meg az 2. Határozzuk meg az f() = függvény szélsőértékeit a [, 2] halmazon. 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 2 4 függvényt. pt Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 3 2 2t 2 + 3t + dt, (ii) e u ln 2 u du, (iii) v 2 + 3v 2 v dv. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

18 Definiáljuk a következő fogalmakat: A 2 szám felső korlátja az (y n ) sorozatnak. (ii) A 2 szám torlódási pontja a (c n ) sorozatnak. (iii) g folytonos a [ 2, 3) on. (iv) A környezetes definíció alapján lim f() =. (v) A [c, d] egy beosztása, a beosztás finomsága. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!

19 Kalkulus I. NÉV:... B csoport EHA:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 4, a n = 2a n + 3 (n > ) rekurzív sorozatot. 8pt 2. Határozzuk meg a következő határértékeket: 8pt n lim 3 n n, n ( ) n+ 2n 3 (ii) lim. n 3n + 3. A tanult módon ábrázoljuk az f() = 3 ln függvényt. Értelmezési tartomány, tengelymetszetek, paritás. (ii) Határérték. (iii) Első derivált, monotonitás, szélsőérték. (iv) Második derivált, konveitás, infleió. (v) Függvényábrázolás, értékkészlet. 4. Határozzuk meg a következő integrálokat: 34pt t cos2πt dt, (ii) 3 2 s 2 (s 2 ds, (iii) 4s + 3) 3 2y 2 + y y 3 + 2y 2 dy. Segédlet: α d = α+ + C, (α ), d = ln + C, α + cosd = sin + C, sin d = cos + C, cos 2 d = tg + C, sin 2 d = ctg + C, 2 d = arctg + C = arcctg + C, + d = arcsin + C = arccos + C, e d = e + C, a d = a 2 lna + C.

20 Definiáljuk a következő fogalmakat: lim n n =. (ii) A h(y) függvény folytonos a 2 pontban. (iii) G(t) lineárisan approimálható t ban. (iv) A környezetes definíció alapján lim U() =. (v) Az E számhalmaz felsőhatár tulajdonságú. Az elégséges érdemjegyhez a feladat részből legalább 3, a definíció részből legalább pontot el kell érni. Tiltott eszközök használata esetén az érdemjegy elégtelen és ezt követően a hallgató már csak szóban vizsgázhat!