Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Átírás

1 Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. Elméleti kérdések A csoport 1. Hogyan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komplex szám szorzatát más alakba való átváltás nélkül? 2. Sorolja fel a harmadik egységgyököket trigonometrikus alakban! 3. Definiálja a numerikus sorozat konvergenciáját és határértékét! 4. Mondjon a sorozat konvergenciájára egy olyan feltételt, amely szükséges, de nem elégséges! 5. Mit ért azon, hogy egy valós-valós függvény monoton növekedő? 6. Karikázza be a helyes választ! a) Egy páros és egy páratlan függvény szorzata A) páros B) páratlan C) páros és páratlan D) nem páros és nem páratlan E) nem dönthető el b) A z=r ( cos(ϕ)+ j sin(ϕ) ) komplex szám ötödik egységgyök, ha A) r=1ésϕ= 2π 3 B) r=2ésϕ= 2π 5 C) r=2ésϕ=4π D) r=1 ésϕ= 4π 5 E) r=1ésϕ= 3π 7 c) Ha az (a n ) sorozat konvergens és a (b n ) sorozat divergens, akkor a A) szorzatuk konvergens B) szorzatuk divergens C) összegük konvergens D) összegük divergens E) az előbbiek közül egyik sem d) Legyen f : [ 3, 3] R, és g:r R, g(x)=2x+1. Mi lehet az f g függvény értelmezési tartománya? Számítási feladatok A)R B) [ 3, 3] C) [ 2, 1] D) [ 1, 2] E) az előbbiek közül egyik sem 1. Adottak a z 1 = 2 2 ( cos ( π 4) + j sin ( π 4)), z2 = 3+2j és z 3 = 1+3j komplex számok. a) Számítsa ki z 7 értékét algebrai alakban! 1 b) Írja fel a z 2 szám trigonometrikus és exponenciális alakját! c) Oldja meg a z 5 = z 1 2z 3 egyenletet és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! 2. Igazolja, hogy az a n = n2 + 2 sorozat szigorúan monoton növekedő! 3n+1

2 3. Számítsa ki a következő sorozatok határértékét: 2n 2 n+2 a) lim n 3 n ( 5 b) lim 9n2 + 12n 1 3n 1 ) ) 2n 1 ( 3n+1 c) lim 3n x ha x>1 4. Legyen f : D f =R, f (x)=x 2 és g: D g =R, g(x)= 1 ha x 1 Adja meg az f g függvényt képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f g függvényről monotonitás, korlátosság, konvexitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából? 1 8 pont 1 Elég szemléletes alapon eldönteni, hogy milyen tulajdonságok érvényesek. 1 Képlet, ábra, tulajdonságok 1-1 pont.

3 Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. B csoport Elméleti kérdések 1. Írja fel a Moivre formulát! Mit fejez ki az összefüggés? 2. Milyen értékeket vehetnek fel a képzetes egység pozitív egész kitevős hatványai? Milyen összefüggés van a hatványkitevő és a hatvány értéke között? 3. Mit ért azon, hogy egy numerikus sorozat határértéke+? 4. Mondjon a numerikus sorozat konvergenciájára olyan feltételt, ami szükséges is és elégséges is! 5. Mit ért azon, hogy egy valós-valós függvény páros? 6. Karikázza be a helyes választ! a) Két monoton növekedő függvény szorzata A) monoton növekedő B) monoton csökkenő C) szigorúan monoton D) nem monoton E) nem dönthető el b) A z=r ( cos(ϕ)+ j sin(ϕ) ) komplex szám hetedik egységgyök, ha A) r=1ésϕ= 4π 3 B) r=2 ésϕ= 4π 7 C) r=1 ésϕ= 6π 7 D) r=2 ésϕ=6π E) r=1ésϕ= 2π 5 c) Ha az (a n ) sorozat monoton növekedő és a (b n ) sorozat monoton csökkenő, akkor az (a n b n ) sorozat A) monoton növekedő B) monoton csökkenő C) nem monoton D) divergens E) konvergens d) Ha az f és g valós-valós függvények mindegyike konkáv az I intervallumon, akkor f g szorzatuk ezen az intervallumon A) konvex B) konkáv C) nem konvex és nem is konkáv D) monoton növekedő E) nem dönthető el Számítási feladatok 1. Adottak a z 1 = 4 2 ( cos ( ) ( )) 3π 4 + j sin 3π 4, z2 = 2+ j és z 3 = 3 4j komplex számok. a) Számítsa ki z 5 értékét algebrai alakban! 1 b) Írja fel a z 3 szám trigonometrikus és exponenciális alakját! c) Oldja meg a z 3 = 9z 1 + 2z z 3 egyenletet és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon!

4 2. Igazolja, hogy az a n = 2n+1 sorozat szigorúan monoton csökkenő! n Számítsa ki a következő sorozatok határértékét: pont n+4 n 3 a) lim 2n n 3n+1 ( b) lim 4n2 + 16n+3 2n 3 ) c) lim ( 4n 3 4n ) 5n+3 4. Legyen x 1 ha x> 1 f : D f =R, f (x)=4 x és g: D g =R, g(x)= 2 ha x 1 Adja meg az f g függvényt képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f g függvényről monotonitás, korlátosság, konvexitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából? 1 8 pont 1 Elég szemléletes alapon eldönteni, hogy milyen tulajdonságok érvényesek. 1 Képlet, ábra, tulajdonságok 1-1 pont.

5 Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I dec. 10. Elméleti kérdések Az 1. zh. pótlása 1. Mit értünk egy komplex szám konjugáltján? Mit mondhatunk egy komplex számnak és a konjugáltjának a szorzatáról? 2. Írja fel a z=3 ( cos(112 ) j sin(112 ) ) komplex szám trigonometrikus alakját! 3. Mit ért azon, hogy egy numerikus sorozat monoton növekedő, illetve szigorúan monoton növekedő? 4. Mit mondhatunk két konvergens sorozat összegének, illetve hányadosának határértékéről? 5. Mit ért azon, hogy egy valós-valós függvény felülről korlátos, és mit ért azon, hogy korlátos? 6. Karikázza be a helyes választ! a) Ha az f és g valós-valós függvények nem korlátosak, akkor A) f+ g nem korlátos B) f g nem korlátos C) f+ g korlátos D) f g korlátos E) nem dönthető el b) Melyik összefüggés teljesül z 1, z 2 C esetén? A) z 1 z 2 < z 1 z 2 B) z 1 z 2 > z 1 z 2 C) z 1 z 2 = z 1 z 2 D) z 1 + z 2 = z 1 + z 2 E) az előbbiek közül egyik sem c) Ha lim a n =+, akkor (a n ) A) monoton növekedő B) konvergens C) felülről korlátos D) alulról korlátos E) az előzőek közül egyik sem x d) Legyen f :R\{3, 5} R, f (x)= 2 és g: [0,+ [ R, g(x)= x. Ekkor f g (x 3)(x 5) értelmezési tartománya: A)R\{3, 5} B)R\ { } 3, 5 C)R\{9, 25} D) [0;+ [\ { } 3, 5 E) [0;+ [\{9, 25} Számítási feladatok 1. Adottak a z 1 = 2 ( cos ( ) ( )) 4π 3 + j sin 4π 3, z2 = 2+ j 3 és z 3 = 4 3j komplex számok. a) Számítsa ki z 6 értékét algebrai alakban! 1 b) Írja fel a z 3 szám trigonometrikus és exponenciális alakját!

6 c) Oldja meg a z 3 = 9z 1 + 6z 2 egyenletet és az eredményt adja meg trigonometrikus alakban! Ábrázolja a megoldásokat a Gauss-féle számsíkon! 2. Igazolja, hogy az a n = 3n+7 3n+2 sorozat szigorúan monoton csökkenő! 3. Számítsa ki a következő sorozatok határértékét: n 2 2n n+7n a) lim 8n n+3n+2 ( b) lim 5n2 + 8n+3 5n 2 4n+5 ) c) lim ( 2n+7 2n+4 ) 3n 1 4. Legyen x 1 ha x 0 f : D f =R, f (x)= 1 ha x<0 és g: D g =R, g(x)= x 3 8 pont Adja meg az f g függvényt képlettel, és ábrázolja Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben! Mit mondhatunk az f g függvényről monotonitás, korlátosság, konvexitás és szimmetriatulajdonságok szempontjából? 1 1 Elég szemléletes alapon eldönteni, hogy milyen tulajdonságok érvényesek. 1 Képlet, ábra, tulajdonságok 1-1 pont.