Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői

Átírás

1 Függvények ábrázolása, jellemzése II. Alapfüggvények jellemzői A függvények ábrázolásához használhatjuk a nevezetes szögek, illetve a határszögek értékeit. f (x) = sin x Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R Értékkészlet: R f : y [ 1; 1] Periodicitás: Zérushely: Periódus: p = π x = 0 + k π Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: x [ π + k π; 3π + k π] Szigorúan monoton növekvő: x [ π + k π; π + k π] Szélsőérték: Maximum: Helye: x = π + k π Értéke: y = 1 Minimum: Helye: x = π + k π Értéke: y = 1 Korlátosság: Pontos alsó korlát: k = 1 Pontos felső korlát: K = 1 Korlátos függvény. Paritás: Páratlan 1

2 g (x) = cos x Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R Értékkészlet: R f : y [ 1; 1] Periodicitás: Periódus: p = π Zérushely: x = π + k π Monotonitás: Szigorúan monoton csökkenő: x [0 + k π; π + k π] Szigorúan monoton növekvő: x [π + k π; π + k π] Szélsőérték: Maximum: Helye: x = 0 + k π Értéke: y = 1 Minimum: Helye: x = π + k π Értéke: y = 1 Korlátosság: Pontos alsó korlát: k = 1 Pontos felső korlát: K = 1 Korlátos függvény. Paritás: Páros

3 h (x) = tg x 3

4 Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R \ { π + k π} Értékkészlet: R f : y R Periodicitás: Periódus: p = π Zérushely: x = 0 + k π Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: x ] π + k π; π + k π[ Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja. Nem korlátos függvény. Paritás: Páratlan 4

5 t (x) = ctg x 5

6 Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: (k Z) Értelmezési tartomány: D f : x R \ {0 + k π} Értékkészlet: R f : y R Periodicitás: Periódus: p = π Zérushely: x = π + k π Monotonitás: Szigorúan monoton növekvő: x ]0 + k π; π + k π[ Szélsőérték: Nincs szélsőértéke. Korlátosság: Nincs alsó és felső korlátja. Nem korlátos függvény. Paritás: Páratlan 6

7 Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat 1. (K) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f (x) = sin (x π ) + 1 b) f (x) = 3 cos (x) c) f (x) = ctg ( 1 x) 1. (E) Ábrázold és jellemezd az f (x) = tg ( π x) függvényt! 3. (K) Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket! a) f (x) = cos ( 1 3 x) b) f (x) = 1 tg x c) f (x) = 1 ctg (x π ) 4. (E) Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket! a) f (x) = sin ( π x) 4 b) f (x) = sin x c) f (x) = tg ( x ) 5. (E) Ábrázold a következő trigonometrikus függvényeket! a) f (x) = cos x sgn (sin x) b) f (x) = tg x sgn (ctg x) c) f (x) = [x] sin (π x) d) f (x) = sin x sin x e) f (x) = cos x + cos x 7

8 6. (K) Határozd meg a következő függvények f ( π ) helyettesítési értékét! a) f (x) = sin (x + π 4 ) b) f(x) = cos(3x π) c) f (x) = ctg (x π 5 ) 7. (K) Határozd meg, hogy a következő függvények hol veszik fel a értéket! a) f(x) = 5 + sin x b) f (x) = cos (x) + 1 c) g (x) = tg (x + π ) 4 8. (K) Döntsd el ábrázolás nélkül, hogy illeszkedik e a P ( π; 4) pont a következő függvények grafikonjára! a) f(x) = cos(x) + 3 b) g (x) = tg (x π) 9. (K) Határozd meg a P (x; 0) és Q (π; y) pontok koordinátáit úgy, hogy illeszkedjenek a következő függvényekre! a) f (x) = sin (x 3π ) b) g (x) = ctg ( x ) (K) Határozd meg ábrázolás nélkül a következő függvények zérushelyeit! a) f (x) = cos 7x b) g (x) = tg x 11. (K) Írd fel annak a g (x) függvénynek a hozzárendelési szabályát, amelyet úgy kapunk, hogy az adott f (x) függvényt eltoljuk az adott v vektorral! a) f (x) = sin x és v (π; 6) b) f (x) = ctg x és v ( π 11 ; 8) 8

9 Felhasznált irodalom (1) Hajdu Sándor; 003.; Matematika 10.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest () Urbán János; 009.; Sokszínű matematika 10; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 010.; Matematika 10; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 10; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Vancsó Ödön; 005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (7) Fuksz Éva; 011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (8) Fröhlich Lajos; 006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged (9) (10) Saját anyagok 9