Kalkulus S af ar Orsolya F uggv enyek S af ar Orsolya Kalkulus

Átírás

1 Függvények

2 Mi a függvény? A függvény egy hozzárendelési szabály. Egy valós függvény a valós számokhoz, esetleg egy részükhöz rendel hozzá pontosan egy valós számot valamilyen szabály (nem feltétlen képlet) szerint. Egy függvény értelmezési tartománya azon valós számok halmaza, amelyre a szabályt megadtuk, jele: ÉT vagy D. Az értékkészlet azon valós számok halmaza, amelyek előállnak képként, jele: ÉK vagy R. Ha a függvényt f -nek hívjuk, akkor az eddigieket úgy írhatjuk, hogy f : D f R f.

3 Példák { x ha x 0 Abszolút érték: f (x) = -x x < 0 Ezen függvény értelmezési tartománya R, értékkészlete R

4 Tulajdonságok Monotonitás: Amh az f függvény monoton nő, ha bármely x < x D f -re f (x ) f (x ). Szigorú monoton nő, ha <-el is igaz. Paritás: Amh az f függvény páros, ha f ( x) = f (x), amh az f függvény páratlan, ha f ( x) = f (x). Ezek csak akkor vizsgálhatóak, ha a D f szimmetrikus az origóra. Periodicitás:Amh az f függvény periodikus T periódussal ha f (x + T ) = f (x). Itt is illene megkötést tenni D f -re.

5 Inverz Ha y = f (x) akkor a függvény inverze az a függvény amely y-hoz x-et rendeli. Az f függvény pontosan akkor invertálható, ha R f -ben minden szám csak egyszer áll elő x f szerinti képeként. Ehhez elégséges hogy f szigorú monoton legyen (de ez nem szükséges). Emiatt az inverz értelmezési tartománya megegyezik az eredeti függvény értékkészletével, és az inverz értékkészlete megegyezik az eredeti függvény értelmezési tartományával. Az inverz ábrája az eredeti függvény ábrájának az y = x egyenesre vett tükörképe. Emiatt az abszolútérték függvény nem invertálható, hiszen a pozitív értékeket kétszer veszi fel. Ugyanez a helyzet az x -el. Utóbbi esetben mégis értelmeztünk inverzet úgy, hogy leszűkítettük azt a halmazt, ahol invertáltuk a nemnegatív számokra.

6 Nevezetes függvények - Exponenciális függvény: a x Számolási szabályok exponenciális kifejezésekre, ha a, b tetszőleges valós számok és α, β tetszőleges természetes számok: a α b α = (a b) α a α a β = a α+β (a α ) β = a α β illetve ha a 0: Vigyázat! a α = a α a α a β = aα β a 0 = (a α ) β a αβ = a (αβ), így például n 4 n, hanem n = ( n ) n és 4 n = n!

7 Nevezetes függvények - Exponenciális függvény: a x Számolási szabályok exponenciális kifejezésekre (gyökökre) ha a > 0: α α a = a α a β = a β α = ( α a ) β α a b = α a α b Vigyázat! n n, hanem n = n n és n = n!

8 Exponenciális függvények Az a x függvény képe, ha a > : A teljes R-en értelmezett, értékkészlete R +, szigorú monoton nő.

9 Nevezetes függvények - Exponenciális függvények 0 < a < Mivel ( a ) x = a x, ezért pont az a x y tengelyre vett tükörképe A teljes R-en értelmezett, értékkészlete R +, szigorú mon. csökken.

10 Nevezetes függvények - log Az exponenciális függvény inverze a logaritmus függvény. Definíció szerint log a b az a szám, amelyre a-t emelve b-t kapjuk, azaz a log a b = b Ez a definíció köti össze az exponenciális kifejezések számolási szabályait a logaritmusos kifejezésekével. Tegyük fel, hogy a R + \ {}, b, c, d R +, α R ekkor log a (c d) = log a c + log a d log a (b α ) = α log a b log a ( b c ) = log a b log a c log a = 0, log a a =

11 Nevezetes függvények - log a x, a > Mivel a x a teljes R-en értelmezett, értékkészlete R +, szigorú monoton nő, így az inverze R + -n értelmezett, értékkészlete R és szigorú monoton nő

12 Nevezetes függvények - log a x, 0 < a < Mivel a x a teljes R-en értelmezett, értékkészlete R +, szigorú monoton csökken, így az inverze R + -n értelmezett, értékkészlete R és szigorú monoton csökken

13 Trigonometrikus függvények - sin, cos Definíció hegyesszögekre: legyenek egy derékszögű háromszög befogóinak hossza a és b, átfogójának hossza c. Az a oldallal szembeni szöge α. c a α b Definíció szerint: sin α = a c cos α = b c

14 Trigonometrikus függvények - sin, cos Ebből következően néhány nevezetes érték: sin π 6 = cos π 6 = sin π = cos π = sin π 4 = cos π 4 =

15 Trigonometrikus függvények - sin, cos Kiterjesztés az összes szögre (az ábráért köszönet Nagy Ilonának) 0 ( ) π 5 ( ) π 50 ( 4 ) 5π 6 sin 90 ( ) π 60 ( ) π 45 ( ) π 4 0 ( ) π 6 80 (π) 0 (0) cos 0 ( ) 7π 6 5 ( ) 5π 4 40 ( ) 4π 70 ( ) π 0 ( ) π 6 5 ( ) 7π 00 ( 4 ) 5π

16 Trigonometrikus függvények - sin, cos Kiterjesztés alapján az többi nevezetes érték: ( π ) sin + kπ = ( ) k ( π ) cos + kπ = 0 sin(kπ) = 0 cos(kπ) = ( ) k

17 Trigonometrikus függvények - sin Értelmezési tartománya a teljes R, értékkészlete a [, ]. Nem monoton, π periodikus, páratlan, azaz sin( α) = sin α. Egyéb szimmetriái: sin(α + π) = sin(α) és sin ( α + π ) = cos α.

18 Trigonometrikus függvények - cos Értelmezési tartománya a teljes R, értékkészlete a [, ]. Nem monoton, π periodikus, páros, azaz cos( α) = cos α. Egyéb szimmetriái: cos(α + π) = cos α és cos ( α + π ) = sin α

19 Trigonometrikus függvények - tan A tan α definíciója hegyesszögekre a b, kiterjeszthető az összes szögre is a kör segítségével. Alternatív definíció: tan α = sin α cos α. Ebből következően a nevezetes értékek: tan π 6 = tan π = tan π 4 = tan(kπ) = 0 ( π ) tan + kπ nem értelmezett

20 Trigonometrikus függvények - tan Értelmezési tartománya: R \ { π + kπ}, értékkészlete a R. Nem monoton, π periodikus, páratlan, azaz tan( α) = tan α.

21 Összefüggések a szögfüggvények között Tegyük fel, hogy α, β R, ekkor sin α + cos α =, és a kétszeres szögekre: sin(α) = sin α cos α és cos(α) = cos α sin α. Felhasználva a koszinusz kétszeres szögekre vonatkozó összefüggést kapjuk a linearizáló azonosságokat: sin α = cos(α) és cos α = + cos(α) Végül két szög összegére az addíciós tételek: sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin(α β) = sin α cos β sin β cos α és cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β

22 Nevezetes függvények: arcsin Trigonometrikus függvények inverzét csak egy olyan intervallumon tudjuk venni, ahol az adott függvény monoton. A sin esetében a [ π, π ] -n Értelmezési tartománya a [, ], értékkészlete a [ π, π ], szigorú monoton nő, páratlan.

23 Nevezetes függvények: arccos A cos esetében a [0, π]-n Értelmezési tartománya a [, ], értékkészlete a [0, π], szigorú monoton csökken. (nem páros!)

24 Nevezetes függvények: arctan A tan esetében a ( π, π ) -n Értelmezési tartománya a R, értékkészlete ( π, π ), szigorú monoton nő, páratlan.