Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint"

Átírás

1 TÁMOP-4-08/ A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy András

2 Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 = e) lg 0 = - f) log 0,04 = - g) log 7 9 = h) log = - ) Írd fel a következő egyenlőségeket logaritmus segítségével! a) 7 = 49 b) = 4 c) - = 8 d) e) 4 f) g) 7 = 9 4 = 64 = 9 = h) = 0, ) Számítsd ki a következő kifejezések értékét! a) lg 000 b) lg 00 c) log d) log e) log (-4) f) log 49 7 g) log 0 h) log

3 4) Oldd meg az egyenleteket! a) log a = 4 b) lg b = - c) log c = d) log 7 d = 4 e) log e = - f) log 0, f = - g) log g = h) log h = ) Határozd meg a logaritmus alapját! a) log a 7 = b) log b 4 = c) log c 7 = - d) log d = e) log e 0, = f) log f = 0 g) log g = h) log h = 6) Számítsd ki a következő kifejezések számértékét log 4 a) b) 0 lg 8 log ( ) c) d) 4 7 e) log f) g) 9 h) 7 log 4 7 log log log 49 7) Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! a) log (x 7) b) lg (x + 6) + lg ( x) c) log x d) log x

4 e) lg (x 4) f) log x 7 g) log 7 (x 8x + ) x 4 h) lg x 8) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f(x) = log x b) f(x) = log x + c) f(x) = log (x + ) d) f(x) = log x e) f(x) = -log (x + ) f) f(x) = log (x) g) f(x) = log (x + ) + h) f(x) = log (x ), ha x [-9] 9) Melyik nagyobb? a) log vagy log 6 b) log vagy log c) log 0, 4 vagy log 0, d) log 7 4 vagy log7 9 e) log 4 vagy log f) log vagy log 0) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log x = b) log x = -x + c) log x = - x + d) log x + = x e) log 4 x = x + f) log (x + ) = x g) log x = x h) log x = log (x ) + ) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát, a benne szereplő változók és számok logaritmusainak segítségével! a) x = bc b) x = a b 4

5 ab c) x = abc d) x = 4T a ab e) x = bc 4r π f) x = g) x = a b a h) x = b ) Fejezd ki x-et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg,4 + lg b) lg x = lg + lg + lg + lg 4 + lg c) lg x = lg lg 8 d) lg x = - lg 7 + lg e) lg x = lg 0 lg f) lg x = lg 9 lg lg 8 g) lg x = lg 8 lg 7 + lg h) lg x = lg + lg 4 lg 4 + lg ) Fejezd ki x-et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg a + lg b b) lg x = lg a + lg b lg c c) lg x = lg a lg b lg c lg d d) lg x = lg a + lg b e) lg x = lg a + lg b f) lg x = 0, lg a lg b g) lg x = (lg a lg b) h) lg x = lg (a b) 4) Határozd meg a következő kifejezések számértékét! a) lg + lg 4 b) log 7 log 7 c) log 6 + log 6 7 log 6 d) log log 7 e) lg lg lg f) lg + 6 lg + lg 8 lg

6 g) log 4 + log log 9 log 6 + log h) log 7 log 04 ) Határozd meg a következő hatványok számértékét! a) 0 -lg + log b) c) 0 -lg lg d) 00 log + log e) log 4 log 7 f) log log 4 g) 0, h) log log + 6) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg b) log (x + ) = log (x ) c) log x = log (0x 4) d) log( x + ) = log (x + ) e) log x = log x f) lg( x ) = lg( x ) g) log x + = log (x + ) h) lg x + = lg (x + ) 7) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x = b) log 7 (x 4) = c) log 9 x = d) log (x + ) = - e) log (x 6x + 8) = f) log 8 x = - g) log x+ (x + 8) = h) log log log 4 x = 0 8) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg + lg 6 b) log x = log + log 4 + log c) log 7 (x ) + = log 7 ( x) log 7 x d) log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 e) lg (x 4) + lg (x + ) = lg (x + 4) 6

7 f) log (x + ) = log (x + 8x + 6) g) lg x 8 + lg (x + ) = lg 6 h) log log ( x + ) = log (x 7) 9) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x + log 4 x = b) log (x + ) + log (x + ) =, c) log x log x = d) log x + log x = 0) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) log 7 (x + ) > log 7 (x + ) b) log (x ) log (6 x) c) log (7 + x) + log (x ) log (x + ) d) log 7 (7x ) < e) log x < 0 x + ) Oldd meg az alábbi feladatokat! a) Egy bankba forintot helyezünk el 6%-os éves kamatra Változatlan kamat mellett legalább hány év telik el, mire 0000 forintunk lesz? b) Egy fénymásoló beszerzési ára forint A gép értéke 0%-kal csökken évente A gép értéke hány év múlva éri az új árának csupán 60 %-át? 7

8 Megoldások ) a = 9 b = 4 c 7 = d 0 = 0 e 0 - = 0 f - = 0,04 (0,04 = ) g 7 = 9 h = ) a log 7 49 = b log 4 = c log 8 = - 4 d log = 9 e log 64 = - 4 f log 9 = g log 7 = h log 0, = (0, = ) 8 ) a lg 000 =, mert 0 = 000 b lg 00 =, mert 0 = 00 = 0 c log = 0, mert 0 = d log nem értelmezhető, mert x = (x R) e log (-4) nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) f log 49 = -, mert = g log 0 nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) h log =, mert = 8

9 4) a a = 4 = 6 b b = 0 - = 000 = 0,00 c c = d d = e e = = = 49 f f = 0, = g g = h h = = = = = 9 = = ) a a = 7 a = b b = 4 b = c c - = 7 c = d d = d = e e = 0, e = 7 f nem értelmezhető, mert f 0 = (f R\{0}) g g = g = = = 8 h h 4 = h = 6) log 4 a = 4 b 0 lg 8 = 8 log ( ) c nem értelmezhető, mert a logaritmus csak pozitív számokra értelmezett d e f g log 4 7 log log = log = ( ) = ( ) log = ( ) log log log = ( ) = = = ( ) log = = 4 = = 9

10 h 7 log 49 = log = ( ) log = = 7) 7 7 a (x 7) > 0 x > ÉT: x b (x + 6) > 0 - < x és ( x) > 0 x < ÉT: x ]-[ c x > 0 x < ÉT: x d x > 0 x ÉT: x R\ e (x 4) > 0 x 4 ÉT: x R\{4} 7 7 f > 0 x 7 > 0 < x ÉT: x x 7 g x 8x + > 0 x < vagy 6 < x ÉT: x ]- [ U ]6 [ h x 4 > 0 eset: x 4 > 0 és x > 0 - < x x eset: x 4 < 0 és x < 0 < x < ÉT: x ]- -[ U ][ 0

11 8) a f(x) = log x ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs b f(x) = log x + ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log x +, a grafikonjának eltolása + egységgel az y tengely mentén v(0) ÉT: x R + Zérushely: x = 4 Szélsőérték: nincs c f(x) = log (x + ) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) ÉT: x ]- [ Zérushely: x = - Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

12 d f(x) = log x Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log, a grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs e f(x) = -log (x + ) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) f(x) = -log (x + ), b grafikonjának tükrözése az x tengelyre ÉT: x ]- [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: nincs f f(x) = log (x) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x), a grafikonjának -szeres zsugorítása az x tengely mentén ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

13 g f(x) = log (x + ) + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikon eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) c(x) = log (x + ), b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén f(x) = log (x + ) +, c grafikonjának eltolása az y tengely mentén + egységgel v(0) ÉT: x ]- [ Zérushely: x -,8 Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan h f(x) = log (x ), ha x [-9] Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x ), a grafikonjának eltolása egységgel az x tengely mentén v(0) f(x) = log (x ), b grafikonjának eltolása - egységgel az y tengely mentén v(0-) ÉT: x ]9] ÉK: y ]- ] Zérushely: x = Monotonitás: szig monoton növő Szélsőérték: minimum nincs Paritás: nem páros, nem páratlan maximum hely: x = 9 maximum érték: y = 9) a A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szigorúan monoton növő < 6 log < log 6 b A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő > log < log c A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő 4 < log 0, 4 > log 0, d A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szigorúan monoton növő > log7 > log7 4 4

14 e A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő 9 9 > log 4 < log f log < és log > log < log 0) Az egyenletek bal oldalából képezzük az a(x) függvényt, jobb oldalából a b(x) függvényt, majd ábrázoljuk grafikonjukat közös koordináta-rendszerben a log x = Az ábráról leolvasható megoldás: x = 9, más megoldás nincs b log x = -x + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs c log x = - x + Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x =, más megoldás nincs d log x + = x Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x = 9, más megoldás nincs 4

15 e log 4 x = x + A grafikonoknak nincs közös pontja, tehát az egyenletnek nincs megoldása f log (x + ) = x Az ábráról leolvasható megoldások: x = -, x =, más megoldás nincs g log x = x Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs h log x = log (x ) + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs

16 ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, és a logaritmus alapja k R + \{} a log k x = log k + log k b + log k c b log k x = log k a + log k b c log k x = log k + log k a + log k b log k d log k x = log k a + log k b + log k c log k 4 log k T e log k x = log k a + log k (a b) log k log k b log k c f log k x = log k 4 + log k r + log k π log k g log k x = log k a + logk b h log k x = logk a log k b ) a lg x = lg (,4 ) = lg 6 x = 6 b lg x = lg ( 4 ) = lg! = lg 0 x = 0 44 c lg x = lg = lg = lg 8 x = d lg x = lg (7-8 8 ) = lg x = e lg x = lg f lg x = lg g lg x = lg h lg x = lg 0 0 = lg = lg 4 = lg x = = lg = lg = lg x = 9 4 = lg x = = lg x = ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, a lg x = lg ab x = ab ab ab b lg x = lg x = c c a a c lg x = lg x = bcd bcd d lg x = lg a b x = a b e lg x = lg a b x = a b f lg x = lg a a a = lg x = b b b g lg x = lg a lg b = lg a lg a b = lg b h lg x = lg (a b) x = a b, (a > b) = lg a b x = a b 6

17 4) a lg + lg 4 = lg 00 = b log 7 log 7 = log 7 = log7 7 = 7 c log 6 + log 6 7 log 6 = log 6 d log log 7 = + = e lg lg lg = lg 676 = log 6 6 = = lg 8 f lg + 6 lg + lg 8 lg = lg = lg = lg 000 = = lg 0 = 4 8 = 9 g log 4 + log log 9 log 6 + log = log 78 = log = log 44 = h log 7 log 04 = 0 = = ) a 0 -lg lg = ( 0 ) = - = + log b = log = 7 = 4 c 0 lg = = lg = vagy 0 -lg = 0 lg 0 lg lg = 0 = 0 lg = 0 lg d 00 = = = = 6 lg lg log + log log e = log log = = vagy log = = f g 0, h log 4 log 7 = 4 log log 4 4 log log = = vagy 7 log 7 6 = 9 log log + = = 4 log log 4 log = = = 4 = = 7 log log 4 log log 4 = ( ) = ( ) log = = log 4 log ( ) log = = 7

18 6) a 0 < x ÉT: x R + A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = x = ÉT, más megoldás nincs b x + > 0 - < x és x > 0 < x ÉT: x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs c x > 0 x 0 és 0x 4 > 0,4 < x ÉT: x ],4 [ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 0x 4 Az egyenlet megoldása x = 4 és x = 6, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d x + > 0 - < x és x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - ÉT: x U ]- [ log( x + ) = log (x + ) = log (x + ) log(x + ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x + Az egyenlet megoldása x = 0 ÉT, más megoldás nincs e x > 0 x 0 és x > 0 ÉT: x R + A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = x Az egyenlet azonosság, megoldása x R + f x > 0 x < és x > 0 < x és lg (x ) 0 x ÉT: x ][U ][ lg( x ) = lg ( - x) = lg (x ) lg( x ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = (x ) 7 Az egyenlet megoldása x = + 7 feladat megoldása x = g + ÉT és x = + 7 x > 0 - < x és x + > 0 - < x ÉT: x ] [ ÉT, tehát a A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = (x + ) Az egyenletnek nincs megoldása h x + > 0 x - és x + > 0 - < x ÉT: x U ] [ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x + Az egyenlet megoldása x = - 4 ÉT, más megoldás nincs 8

19 7) a 0 < x ÉT: x R + log x = log x = log A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 4 x = 4 ÉT, más megoldás nincs b x 4 > 0 4 < x ÉT: x ]4 [ log 7 (x 4) = log 7 (x 4) = log 7 7 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 4 = 4 Az egyenlet megoldása x = 47 ÉT, más megoldás nincs c x > 0 x ÉT: x R\ log 9 x = log9 x = log 9 9 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = Az egyenlet megoldása x = és x = 8, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d x + > 0 - < x ÉT: x log (x + ) = - log (x + ) = log - A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = Az egyenlet megoldása x = - 4 ÉT, más megoldás nincs e x 6x + 8 > 0 x < vagy 4 < x ÉT: x ] [ U ] [ 4 (Megjegyzés: az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük) log (x 6x + 8) = log (x 6x + 8) = log A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 6x + 8 = Az egyenlet megoldása x = és x =, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek f x > 0 x < ÉT: x log 8 x = - log8 x = log 8 8 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 9 Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs g x + 8 > 0-4 < x és x + > 0 - < x és x + x 0 ÉT: x ]-0[U ]0 [ log x+ (x + 8) = log x+ (x + 8) = log x+ (x + ) 9

20 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + 8 = (x + ) Az egyenlet megoldása x = - 7 ÉT és x = 7 ÉT, tehát a feladat megoldása x = 7 h Az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük A logaritmus definícióját alkalmazzuk: log log log 4 x = 0 log log 4 x = 0 log 4 x = x = 4 x = 64 Az ellenőrzést elvégezve megállapítható, hogy x = 64 valóban gyöke az egyenletnek 8) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait! a x > 0 ÉT: x R + lg x = lg + lg 6 lg x = lg 6 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs b x > 0 ÉT: x R + log x = log + log 4 + log log = log ( 4 ) x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: = 40 x 9 Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs 40 c x > 0 < x és x > 0 x < és 0 < x ÉT={}, azaz az egyenlet egyetlen valós számra sem értelmezhető, megoldása nincs d x > 0 < x és x + >0 - < x és x > 0 < x ÉT: x ] [ log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 log [(x )(x + )] = log [(x ) 8] A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x )(x + ) = (x ) 8 Az egyenlet megoldása x = és x =, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek e x 4 > 0 4 < x és x + > 0 - < x és x + 4 > 0-4 < x ÉT: x ]4 [ lg (x 4) + lg (x + ) = lg (x + 4) lg [(x 4)(x + )] = lg (x + 4) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x 4)(x + ) = x + 4 Az egyenlet megoldása x = - ÉT és x = 8 ÉT, tehát a feladat megoldása x = 8 f x + > 0 - < x és x + 8x + 6 > 0 x -4 ÉT: x (Megjegyzés: az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük) log (x + ) = log (x + 8x + 6) log (x + ) = log x + 8x + 6 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x + ) = x + 8x + 6 0

21 Az egyenlet megoldása x = 8 7 ÉT és x = a feladat megoldása x = g x 8 > 0 < x és x + > 0 - < x ÉT: x lg x 8 + lg (x + ) = lg 6 lg ( x 8)(x + ) = lg 6 7 ÉT, tehát A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( x 8)(x + ) = 6 Az egyenlet megoldása x = - ÉT és x = ÉT, tehát a feladat megoldása x = h x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - és x 7 > 0 7 < x ÉT: x ]7 [ log = log (x 7) 0 = log (x 7) log (x + ) log( x + ) log (x 7) = 0 x = 8 ÉT vagy log (x + ) = 0 x = - ÉT A feladat megoldása x = 8 logb c 9) Használjuk fel, hogy log a c =, ahol a, b, c R + \{} logb a a 0 < x ÉT: x R + log log x + log 4 x = log x + x = log x + log x = 6 log 4 Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs b x + > 0 - < x ÉT: x ]- [ log ( x + ) log (x + ) + log (x + ) =, log (x + ) + =, log log (x + ) + log (x + ) = Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs c 0 < x ÉT: x R + log log x log x = x log log x = log x log x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs d x > 0 és x ÉT: x ]0[U ] [ log log x + log x = + log x = + (log x) = log x log x Vezessünk be új ismeretlent: a = log x Így az egyenlet + a = a a =

22 log x = x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs 0) a x + > 0 - és x + > 0 - < x ÉT: x A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: (x + ) > (x + ) Az egyenlőtlenség megoldása: x < Az értelmezési tartománnyal összevetve x b x > 0 < x és 6 x > 0 x < 6 ÉT: x Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért: x 6 x Az egyenlőtlenség megoldása: x Az értelmezési tartománnyal összevetve x c 7 + x > 0-7 < x és x > 0 < x és x + > 0 - < x ÉT: x ] [ log (7 + x) + log (x ) log (x + ) log [(7 + x) (x )] log (x + ) A alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: (7 + x) (x ) (x + ) Az egyenlőtlenség megoldása: -6 x 4 Az értelmezési tartománnyal összevetve x ]4] d 7x > 0 < x ÉT: x 7 7 log 7 (7x ) < log7 (7x ) < log 7 A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: 7x < Az egyenlőtlenség megoldása: x < 7 4 e 4 Az értelmezési tartománnyal összevetve x 7 7 x > 0 - < x < ÉT: x x + (Megjegyzés: az ÉT meghatározása helyett választható a gyökök ellenőrzése) x x log < 0 log < log x + x + Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért:

23 x > x + Az egyenlőtlenség megoldása: - < x < Az értelmezési tartománnyal összevetve x ) a 00000,06 n 0000,06 n,7 Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg,7 lg,06 n lg,7 n lg,06 Az egyenlőtlenség megoldása: n 9,6 Legalább 0 évnek kell eltelnie, hogy 0000 forintunk legyen b ,9 n ,6 0,9 n 0,6 Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg0,6 lg 0,9 n lg 0,6 n (negatív számmal osztottunk!) lg0,9 Az egyenlőtlenség megoldása: n 4,8 Legalább évnek kell eltelnie, hogy a gép értéke az új árának 60 %-át érje

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének 6. Függvények I. Elméleti összefoglaló A függvény fogalma, értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet Legyen az A és B halmaz egyike sem üreshalmaz. Ha az A halmaz minden egyes eleméhez hozzárendeljük

Részletesebben

Exponenciális, logaritmikus függvények

Exponenciális, logaritmikus függvények Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett)

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-..4-08/2-2009-00 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői MATEMATIKA. évfolyam középszint

Részletesebben

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/

A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ A függvényekről tanultak összefoglalása /9. évfolyam/ Készítette: Almási István almasi84@gmail.com Lineáris függvény A függvény általános alakja: f (x):= m 1 m 2 x+b m a meredekség b a tengelymetszet 2/42

Részletesebben

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

Abszolútértékes egyenlôtlenségek Abszolútértékes egyenlôtlenségek 575. a) $, $ ; b) < - vagy $, # - vagy > 4. 5 576. a) =, =- 6, 5 =, =-, 7 =, 4 = 5; b) nincs megoldás;! c), = - ; d) =-. Abszolútértékes egyenlôtlenségek 577. a) - # #,

Részletesebben

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! Függvények 1 1. Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon!. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! 3. Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! 4. Az f függvényt a valós

Részletesebben

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) (11/1) Függvények 1 1) Ábrázolja az f()= -4 függvényt a [ ;10 ] intervallumon! (pont) ) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont) 3) Ábrázolja + 1 - függvényt a [ ;] -on! (3pont)

Részletesebben

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie.

egyenlőtlenségnek kell teljesülnie. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Abszolútértékes és gyökös kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? 6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.

Részletesebben

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint

Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint TÁMOP-3.1.4-08/-009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Trigonometrikus függvények és transzformációik MATEMATIKA 11. évfolyam középszint Készítette:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer FÜGGVÉNYEK A derékszögű koordináta-rendszer Az. jelzőszámot az x tengelyről, a 2. jelzőszámot az y tengelyről olvassuk le. Pl.: A(-3;-) B(3;2) O(0;0) II. síknegyed I. síknegyed A (0; 0) koordinátájú pontot

Részletesebben

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( FÜGGVÉNYEK 1. (008. okt., 14. fel, 5+7 pont) Fogalmazza meg, hogy az f : R R, f ( x) x 1 függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0( x) x függvény grafikonjából! Ábrázolja

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk

Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk Függvények csoportosítása, függvénytranszformációk 4. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Függvények csoportosítása p. 1/2 Függvények nevezetes osztályai Algebrai függvények

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

Egyenletek, egyenlőtlenségek V. Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az ax + bx + c = 0 alakban felírható egyenletet (a, b, c R; a 0), ahol x a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az ax + bx + c

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Elemi függvények, függvénytranszformációk

Elemi függvények, függvénytranszformációk Elemi üggvények, üggvénytranszormációk Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2013. 09. 06. 1 Függvénytani alapogalmak Függvény: két halmaz elemei közötti egyértelmű hozzárendelés. Jel.: :

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 1. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! a) b) 7 c) 5 d) 5 1 e) 6 1 6 f) ( 81 16 ) g) 0,00001 5. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

Részletesebben

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények

E-tananyag Matematika 9. évfolyam 2014. Függvények Függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt a hozzárendelést

Részletesebben

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:

Részletesebben

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára

az Energetikai Szakközépiskola és Kollégium kisérettségiző diákjai számára 8. témakör: FÜGGVÉNYEK A feladatok megoldásához használjuk a Négyjegyű függvénytáblázatot! Függvények: 6-30. oldal. Ábrázold a koordinátasíkon azokat a pontokat, amelyek koordinátái kielégítik a következő

Részletesebben

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak!

M. 33. Határozza meg az összes olyan kétjegyű szám összegét, amelyek 4-gyel osztva maradékul 3-at adnak! Magyar Ifjúság 6 V SOROZATOK a) Három szám összege 76 E három számot tekinthetjük egy mértani sorozat három egymás után következő elemének vagy pedig egy számtani sorozat első, negyedik és hatodik elemének

Részletesebben

Érettségi feladatok: Függvények 1/9

Érettségi feladatok: Függvények 1/9 Érettségi feladatok: Függvények 1/9 2003. Próba 1. Állapítsa meg a valós számok halmazán értelmezett x x 2-2x - 8 függvény zérushelyeit! 2004. Próba 3. Határozza meg a valós számok halmazán értelmezett

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Exponenciális és Logaritmusos feladatok MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Eponenciális és Logaritmusos feladatok A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonan szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny 2003. április 14. A 11-12. osztályosok feladatainak javítókulcsa 1. feladat Egy számtani sorozatot az első eleme és különbsége egyértelműen meghatározza, azt

Részletesebben

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények

Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti. Függvények Függvények 1. oldal Készítette: Ernyei Kitti Függvények DEFINÍCIÓ: Ha adott két nemüres halmaz: és, továbbá minden eleméhez hozzárendeljük a valamely elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük.

Részletesebben

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 9 és 11. Dr. Vincze Szilvia Egyváltozós valós függvények nevezetes osztályai I. Algebrai függvények Racionális egész függvények (polinomok) Racionális törtfüggvények Irracionális függvények

Részletesebben

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI A NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI 20-09-2 Terem: Munkaidő: 0 perc. A dolgozat megírásához íróeszközön kívül semmilyen segédeszköz nem használható! Csak és kizárólag tollal tölthető ki a feladatlap, a ceruzával

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Nagy Krisztián Analízis 2

Nagy Krisztián Analízis 2 Nagy Krisztián Analízis 2 Segédanyag a második zárthelyi dolgozathoz Tartalomjegyzék Deriválási alapok... 3 Elemi függvények deriváltjai... 3 Deriválási szabályok műveletekre... 4 Első feladat típus...

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2006. február 21. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. február 1. KÖZÉPSZINT I. 1) Mennyi annak a mértani sorozatnak a hányadosa, amelynek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pont) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Innen q Összesen:

Részletesebben

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék Gazdaságmatematika középhaladó szinten MÁSODFOKÚ EGYENLETEK ÉS EGYENLŽTLENSÉGEK Készítette: Gábor Szakmai felel s: Gábor

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása

Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása EL 1 Valós függvények tulajdonságai és határérték-számítása Az ebben a részben szereplő függvények értelmezési tartománya legyen R egy részhalmaza. EL 2 Definíció: zérushely Az f:d R függvénynek zérushelye

Részletesebben

Függvények vizsgálata

Függvények vizsgálata Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =

Részletesebben

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes

8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek. Készítette: Darabos Noémi Ágnes 8. modul Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Készítette: Darabos Noémi Ágnes Matematika A. évfolyam 8. modul: Egyszerűbb trigonometrikus egyenletek, egyenlőtlenségek Tanári útmutató

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / tanév 9. évfolyam I. Halmazok Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 2016 / 2017. tanév 1. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 2. Intervallumok 3. Halmazműveletek

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY

FÜGGVÉNYTANI ALAPOK A) ÉRTELMEZÉSI TARTOMÁNY FÜGGVÉNYTANI ALAPOK Foglalkoztunk az alaptulajdonságnak tekinthető értelmezési tartománnyal, és a paritással, továbbá az összetett függvények képzési módjával, illetve ezeknek az elemi függvényekre való

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval :

1.) = grafikont kell ábrázolnunk. Megj.: 5 1+ A = 1 ill. B = 10 -szeresei. Ábrázolás Függvénytranszformációval : 0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák)

Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz (Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) Feladatok megoldásokkal az ötödik gyakorlathoz Taylor polinom, szöveges szélsőérték problémák) 1. Feladat. Írjuk fel az fx) = e x függvény a = 0 pont körüli negyedfokú Taylor polinomját! Ennek segítségével

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Koczog András Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig

Koczog András  Matematika - Az alapoktól az érettségin át az egyetemig 07 www.feladat.matematikam.hu érettségin át az egyetemig Logaritmus és exponenciális egyenletek Kifejezések számítása Az exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldásához szükséges, hogy képesek legyünk

Részletesebben

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget!

2 2 = 2 p. = 2 p. 2. Végezd el a kijelölt műveleteket! 3. Végezd el a kijelölt műveleteket! 4. Alakítsad szorzattá az összeget! Matematika vizsga 014. 9. osztály Név: Az 1-1. feladatok megoldását a feladatlapra írd! A 1-19. feladatokat a négyzetrácsos lapon oldd meg! 1. Számítsd ki az alábbi kifejezések pontos értékét! 0, = = p

Részletesebben

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket!

Másodfokú egyenletek. 2. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő,a valós számok halmazán értelmezett függvényeket! Másodfokú egyenletek 1. Alakítsuk teljes négyzetté a következő kifejezéseket! a.) - 4 + 4 b.) - 6 + 8 c.) + 8 - d.) - 4 + 9 e.) - + 8 - f.) - - 4 + 3 g.) + 8-5 h.) - 4 + 3 i.) -3 + 6 + 1. Ábrázoljuk és

Részletesebben

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK

10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK MATEMATIK A 9. évfolyam 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 10. modul: FÜGGVÉNYEK, FÜGGVÉNYTULAJDONSÁGOK Tanári útmutató 2 MODULLEÍRÁS A modul

Részletesebben

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2.

Megoldás A számtani sorozat első három eleme kifejezhető a második elemmel és a differenciával. Összegük így a 2. d =33, azaz 3a 2. a 2. 1. Egy 33-as létszámú zenetagozatos osztályban hegedülni és zongorázni tanulnak a diákok. Minden diák játszik legalább egy hangszeren. Azok száma, akik mindkét hangszeren játszanak, akik csak hegedülnek,

Részletesebben

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz

Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK. című tárgyhoz Matematika és geometria feladatok a TERMÉSZETTUDOMÁNYI ALAPISMERETEK című tárgyhoz Összeállította : Kézi Csaba Gábor Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék Debrecen,

Részletesebben

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek 9 Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek Irracionális egyenletek /I a) Az egyenlet bal oldala a nemnegatív számok halmazán, a jobb oldal minden valós szám esetén

Részletesebben

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek?

Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6. 2005. május 29. 13. a) Melyik (x; y) valós számpár megoldása az alábbi egyenletrendszernek? Érettségi feladatok: Egyenletek, egyenlőtlenségek 1 / 6 Elsőfokú 2005. május 28. 1. Mely x valós számokra igaz, hogy x 7? 13. a) Oldja meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán! x 1 2x 4 2 5 2005.

Részletesebben

Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan elmélet, 9. osztály Függvénytan elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 9. KÖZÉPSZINT I. MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 006. május 9. KÖZÉPSZINT I. 1) Egy háromszög belső szögeinek aránya :5:11. Hány fokos a legkisebb szög? A legkisebb szög o 0. Összesen: pont ) Egy számtani sorozat első eleme 8, differenciája.

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. május 06. KÖZÉPSZINT I. 1) Adja meg a Például: 1 ; 8 8 M 1 ; 10 5 MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. május 06. KÖZÉPSZINT I. nyílt intervallum két különböző elemét! ( pont) ( pont) ) Egy 7-tagú társaságban mindenki mindenkivel egyszer

Részletesebben

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük.

Hozzárendelések. A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. Hozzárendelések A és B halmaz között hozzárendelést létesítünk, ha megadjuk, hogy az A halmaz egyes elemeihez melyik B-ben lévő elemet rendeltük. A B Egyértelmű a hozzárendelés, ha az A halmaz mindegyik

Részletesebben

FÜGGVÉNYEK x C: 2

FÜGGVÉNYEK x C: 2 FÜGGVÉNYEK 2005-2014 1. 2005/0511/2 Az ábrán egy [ 2; 2] intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! A: x x 2 2 B: x 2 2 x x

Részletesebben

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam

V. Békés Megyei Középiskolai Matematikaverseny 2012/2013 Megoldások 11. évfolyam 01/01 1. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor a kapott kétjegyű szám értéke az eredeti szám értékénél 108 %-kal nagyobb. Melyik ez a kétjegyű szám? Jelölje a kétjegyű számot xy. 08 A feltételnek

Részletesebben

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes

11. MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK. Készítette: Csákvári Ágnes . MODUL LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Készítette: Csákvári Ágnes 6 MATEMATIKA A 9. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Egyenes arányosság és a lineáris függvények kapcsolata Mintapélda A csapból percenként 5 l víz folyik

Részletesebben

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból

Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból Osztályozó- és javítóvizsga témakörei MATEMATIKA tantárgyból 9. évfolyam I. Halmazok 1. Alapfogalmak, jelölések 2. Halmaz, részhalmaz fogalma, részhalmazok száma, jelölések 3. Nevezetes számhalmazok (N,

Részletesebben

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b?

I. rész. Feladatsor. 2. Andi keresett két olyan számot, amelyre teljesül, hogy a < b. Igaz-e, hogy a < b? 1. Feladatsor I. rész 1. Adott két halmaz. A a 9-nél kisebb páros pozitív egészek; B a 30-nál kisebb, 6-tal osztható pozitív egészek halmaza. Adja meg az A B és a B \ A halmazokat!. Andi keresett két olyan

Részletesebben

13. Trigonometria II.

13. Trigonometria II. Trigonometria II I Elméleti összefoglaló Tetszőleges α szög szinusza a koordinátasíkon az i vektortól az óramutató járásával ellentétes irányban α szöggel elforgatott e egységvektor második koordinátája

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005

MATEMATIKA EMELT SZINTŰ SZÓBELI VIZSGA TÉMAKÖREI (TÉTELEK) 2005 2005 1. * Halmazok, halmazműveletek, nevezetes ponthalmazok 2. Számhalmazok, halmazok számossága 3. Hatványozás, hatványfüggvény 4. Gyökvonás, gyökfüggvény 5. A logaritmus. Az exponenciális és a logaritmus

Részletesebben

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1 Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =

Részletesebben

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása

I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása 11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1

3 függvény. Számítsd ki az f 4 f 3 f 3 f 4. egyenlet valós megoldásait! 3 1, 3 és 5 3 1 Érettségi, M, I-es feladatsor, természettudomány.. Számítsd ki a C! összeget! log 4. Határozd meg a. Számítsd ki az egyenlet valós megoldásait! összeg értékét, ha és az 4. Adott az f : 0,, f. Adottak az

Részletesebben

Koordináta-geometria feladatok (középszint)

Koordináta-geometria feladatok (középszint) Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy

Részletesebben

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek

Paraméteres és összetett egyenlôtlenségek araméteres és összetett egyenlôtlenségek 79 6 a) Minden valós szám b) Nincs ilyen valós szám c) c < vagy c > ; d) d # vagy d $ 6 a) Az elsô egyenlôtlenségbôl: m < - vagy m > A második egyenlôtlenségbôl:

Részletesebben

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú )

Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) Matematika javítóvizsga témakörök 10.B (kompetencia alapú ) 1. A négyzetgyök fogalma, a négyzetgyökvonás művelete 2. A négyzetgyökvonás azonosságai 3. Műveletek négyzetgyökökkel 4. A nevező gyöktelenítése

Részletesebben

2. Függvények. I. Feladatok

2. Függvények. I. Feladatok . Függvények I. Feladatok 1. Az y = x 1 + x + 1 függvény grafikonja és az y = c egyenletű egyenes által közrezárt síkidom területe 30. Mekkora a c állandó értéke?. Hány zérushelye van az a paramétertől

Részletesebben

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint TÁMOP-.1.4-08/2-2009-0011 A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint Vasvár,

Részletesebben

Hozzárendelés, lineáris függvény

Hozzárendelés, lineáris függvény Hozzárendelés, lineáris függvény Feladat 1 A ménesben a lovak száma és a lábaik száma közötti összefüggést vizsgáljuk. Hány lába van 0; 1; 2; 3; 5; 7... lónak? Készíts értéktáblázatot, és ábrázold derékszögű

Részletesebben

Függvény fogalma, jelölések 15

Függvény fogalma, jelölések 15 DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük

Részletesebben

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Sorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.

Részletesebben

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. A háromszög oldalainak nagysága:

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. A háromszög oldalainak nagysága: MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI 2010. Ponthatárok: (5) 83-100 (4) 65-82 (3) 47-64 (2) 30-46 (1) 0-29 Név, osztály Pontszám I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc I. rész 30 pont Érdemjegy II. rész 70 pont

Részletesebben

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás:

9. Trigonometria. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! Megoldás: 9. Trigonometria I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Tegye nagyság szerint növekvő sorrendbe az alábbi értékeket! x = cos 150 ; y = sin 5 ; z = tg ( 60 ) (A) z < x < y (B) x < y < z (C) y < x < z (D) z < y

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egyenletek, egyenletrendszerek 1) MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Egenletek, egenletrendszerek A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval

Részletesebben

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben.

1. Oldja meg a z 3 (5 + 3j) (8 + 2j) 2. Adottak az A(1,4,3), B(3,1, 1), C( 5,2,4) pontok a térben. Szak: Műszaki menedzser I. Dátum: 006. június. MEGOLDÓKULCS Tárgy: Matematika szigorlat Idő: 0 perc Neptun kód: Előadó: Berta Gábor szig 06 06 0 Pontszám: /00p. Oldja meg a z (5 + j (8 + j + = (+5j (7

Részletesebben

I. rész. 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

I. rész. 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! Paróczay József, 00. november Emelt szintű érettségi feladatsor és megoldása Összeállította: Paróczay József 00. november I. rész. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget

Részletesebben

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 9. évfolyam TANULÓK KÖNYVE. FÉLÉV A kiadvány KHF/46-/009. engedélyszámon 008.08.8. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási

Részletesebben

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK

11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK MATEMATIK A 9. évfolyam 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK KÉSZÍTETTE: CSÁKVÁRI ÁGNES Matematika A 9. évfolyam. 11. modul: LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK Tanári útmutató 2 A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály Modulkapcsolódási

Részletesebben

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY

MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY MATEMATIKA GYAKORLÓ FELADATGYŰJTEMÉNY (Kezdő 9. évfolyam) A feladatokat a Borbás Lászlóné MATEMATIKA a nyelvi előkészítő évfolyamok számára című könyv alapján állítottuk össze. I. Számok, műveletek számokkal.

Részletesebben

Nevezetes függvények

Nevezetes függvények Nevezetes függvények Függvények értelmezése Legyen adott az A és B két nem üres halmaz. Az A halmaz minden egyes eleméhez rendeljük hozzá a B halmaz egy-egy elemét. Ez a hozzárendelés egyértelmű, és ezt

Részletesebben

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja

Az értékelés a következők szerint történik: 0-4 elégtelen 5-6 elégséges 7 közepes 8 jó 9-10 jeles. A szóbeli vizsga várható időpontja 2016/17 I. félév MATEMATIKA szóbeli vizsga 1 A szóbeli vizsga kötelező eleme a félév teljesítésének, tehát azok a diákok is vizsgáznak, akik a többi számonkérést teljesítették. A szóbeli vizsgán az alább

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc

MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI Ponthatárok: (5) (4) (3) (2) (1) Pontszám. I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI 2015. Ponthatárok: (5) 83-100 (4) 65-82 (3) 47-64 (2) 30-46 (1) 0-29 Név, osztály Pontszám I. rész - A rendelkezésre álló idő: 45 perc I. rész 30 pont Érdemjegy II. rész 70 pont

Részletesebben

I. feladatsor. (t) z 1 z 3

I. feladatsor. (t) z 1 z 3 I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komple szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték 4 + i 3 + 4i 5i 6i 3 5 3 i 7i () Adottak az alábbi komple számok: z = + 3i, z = i, z 3 = i.

Részletesebben