Feladatok a logaritmus témaköréhez 11. osztály, középszint

Átírás

1 TÁMOP-4-08/ A kompetencia alapú oktatás feltételeinek megteremtése Vas megye közoktatási intézményeiben Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály, középszint Vasvár, 00 május összeállította: Nagy András

2 Feladatok a logaritmus témaköréhez osztály ) Írd fel a következő egyenlőségeket hatványalakban! a) log 9 = b) log 4 = - c) log 7 = d) lg 0 = e) lg 0 = - f) log 0,04 = - g) log 7 9 = h) log = - ) Írd fel a következő egyenlőségeket logaritmus segítségével! a) 7 = 49 b) = 4 c) - = 8 d) e) 4 f) g) 7 = 9 4 = 64 = 9 = h) = 0, ) Számítsd ki a következő kifejezések értékét! a) lg 000 b) lg 00 c) log d) log e) log (-4) f) log 49 7 g) log 0 h) log

3 4) Oldd meg az egyenleteket! a) log a = 4 b) lg b = - c) log c = d) log 7 d = 4 e) log e = - f) log 0, f = - g) log g = h) log h = ) Határozd meg a logaritmus alapját! a) log a 7 = b) log b 4 = c) log c 7 = - d) log d = e) log e 0, = f) log f = 0 g) log g = h) log h = 6) Számítsd ki a következő kifejezések számértékét log 4 a) b) 0 lg 8 log ( ) c) d) 4 7 e) log f) g) 9 h) 7 log 4 7 log log log 49 7) Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát! a) log (x 7) b) lg (x + 6) + lg ( x) c) log x d) log x

4 e) lg (x 4) f) log x 7 g) log 7 (x 8x + ) x 4 h) lg x 8) Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! a) f(x) = log x b) f(x) = log x + c) f(x) = log (x + ) d) f(x) = log x e) f(x) = -log (x + ) f) f(x) = log (x) g) f(x) = log (x + ) + h) f(x) = log (x ), ha x [-9] 9) Melyik nagyobb? a) log vagy log 6 b) log vagy log c) log 0, 4 vagy log 0, d) log 7 4 vagy log7 9 e) log 4 vagy log f) log vagy log 0) Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) log x = b) log x = -x + c) log x = - x + d) log x + = x e) log 4 x = x + f) log (x + ) = x g) log x = x h) log x = log (x ) + ) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát, a benne szereplő változók és számok logaritmusainak segítségével! a) x = bc b) x = a b 4

5 ab c) x = abc d) x = 4T a ab e) x = bc 4r π f) x = g) x = a b a h) x = b ) Fejezd ki x-et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg,4 + lg b) lg x = lg + lg + lg + lg 4 + lg c) lg x = lg lg 8 d) lg x = - lg 7 + lg e) lg x = lg 0 lg f) lg x = lg 9 lg lg 8 g) lg x = lg 8 lg 7 + lg h) lg x = lg + lg 4 lg 4 + lg ) Fejezd ki x-et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg a + lg b b) lg x = lg a + lg b lg c c) lg x = lg a lg b lg c lg d d) lg x = lg a + lg b e) lg x = lg a + lg b f) lg x = 0, lg a lg b g) lg x = (lg a lg b) h) lg x = lg (a b) 4) Határozd meg a következő kifejezések számértékét! a) lg + lg 4 b) log 7 log 7 c) log 6 + log 6 7 log 6 d) log log 7 e) lg lg lg f) lg + 6 lg + lg 8 lg

6 g) log 4 + log log 9 log 6 + log h) log 7 log 04 ) Határozd meg a következő hatványok számértékét! a) 0 -lg + log b) c) 0 -lg lg d) 00 log + log e) log 4 log 7 f) log log 4 g) 0, h) log log + 6) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg b) log (x + ) = log (x ) c) log x = log (0x 4) d) log( x + ) = log (x + ) e) log x = log x f) lg( x ) = lg( x ) g) log x + = log (x + ) h) lg x + = lg (x + ) 7) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x = b) log 7 (x 4) = c) log 9 x = d) log (x + ) = - e) log (x 6x + 8) = f) log 8 x = - g) log x+ (x + 8) = h) log log log 4 x = 0 8) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) lg x = lg + lg 6 b) log x = log + log 4 + log c) log 7 (x ) + = log 7 ( x) log 7 x d) log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 e) lg (x 4) + lg (x + ) = lg (x + 4) 6

7 f) log (x + ) = log (x + 8x + 6) g) lg x 8 + lg (x + ) = lg 6 h) log log ( x + ) = log (x 7) 9) Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) log x + log 4 x = b) log (x + ) + log (x + ) =, c) log x log x = d) log x + log x = 0) Oldd meg az alábbi egyenlőtlenségeket! a) log 7 (x + ) > log 7 (x + ) b) log (x ) log (6 x) c) log (7 + x) + log (x ) log (x + ) d) log 7 (7x ) < e) log x < 0 x + ) Oldd meg az alábbi feladatokat! a) Egy bankba forintot helyezünk el 6%-os éves kamatra Változatlan kamat mellett legalább hány év telik el, mire 0000 forintunk lesz? b) Egy fénymásoló beszerzési ára forint A gép értéke 0%-kal csökken évente A gép értéke hány év múlva éri az új árának csupán 60 %-át? 7

8 Megoldások ) a = 9 b = 4 c 7 = d 0 = 0 e 0 - = 0 f - = 0,04 (0,04 = ) g 7 = 9 h = ) a log 7 49 = b log 4 = c log 8 = - 4 d log = 9 e log 64 = - 4 f log 9 = g log 7 = h log 0, = (0, = ) 8 ) a lg 000 =, mert 0 = 000 b lg 00 =, mert 0 = 00 = 0 c log = 0, mert 0 = d log nem értelmezhető, mert x = (x R) e log (-4) nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) f log 49 = -, mert = g log 0 nem értelmezhető, mert x > 0 (x R) h log =, mert = 8

9 4) a a = 4 = 6 b b = 0 - = 000 = 0,00 c c = d d = e e = = = 49 f f = 0, = g g = h h = = = = = 9 = = ) a a = 7 a = b b = 4 b = c c - = 7 c = d d = d = e e = 0, e = 7 f nem értelmezhető, mert f 0 = (f R\{0}) g g = g = = = 8 h h 4 = h = 6) log 4 a = 4 b 0 lg 8 = 8 log ( ) c nem értelmezhető, mert a logaritmus csak pozitív számokra értelmezett d e f g log 4 7 log log = log = ( ) = ( ) log = ( ) log log log = ( ) = = = ( ) log = = 4 = = 9

10 h 7 log 49 = log = ( ) log = = 7) 7 7 a (x 7) > 0 x > ÉT: x b (x + 6) > 0 - < x és ( x) > 0 x < ÉT: x ]-[ c x > 0 x < ÉT: x d x > 0 x ÉT: x R\ e (x 4) > 0 x 4 ÉT: x R\{4} 7 7 f > 0 x 7 > 0 < x ÉT: x x 7 g x 8x + > 0 x < vagy 6 < x ÉT: x ]- [ U ]6 [ h x 4 > 0 eset: x 4 > 0 és x > 0 - < x x eset: x 4 < 0 és x < 0 < x < ÉT: x ]- -[ U ][ 0

11 8) a f(x) = log x ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs b f(x) = log x + ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log x +, a grafikonjának eltolása + egységgel az y tengely mentén v(0) ÉT: x R + Zérushely: x = 4 Szélsőérték: nincs c f(x) = log (x + ) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) ÉT: x ]- [ Zérushely: x = - Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

12 d f(x) = log x Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log, a grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs e f(x) = -log (x + ) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikonjának eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) f(x) = -log (x + ), b grafikonjának tükrözése az x tengelyre ÉT: x ]- [ Zérushely: x = 0 Szélsőérték: nincs f f(x) = log (x) ÉK: y R Monotonitás: szig monoton csökkenő Paritás: nem páros, nem páratlan Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása f(x) = log (x), a grafikonjának -szeres zsugorítása az x tengely mentén ÉT: x R + Zérushely: x = Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan

13 g f(x) = log (x + ) + Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x + ), a grafikon eltolása - egységgel az x tengely mentén v(-0) c(x) = log (x + ), b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén f(x) = log (x + ) +, c grafikonjának eltolása az y tengely mentén + egységgel v(0) ÉT: x ]- [ Zérushely: x -,8 Szélsőérték: nincs ÉK: y R Monotonitás: szig monoton növő Paritás: nem páros, nem páratlan h f(x) = log (x ), ha x [-9] Transzformációs lépések: a(x) = log x, az alapfüggvény ábrázolása b(x) = log (x ), a grafikonjának eltolása egységgel az x tengely mentén v(0) f(x) = log (x ), b grafikonjának eltolása - egységgel az y tengely mentén v(0-) ÉT: x ]9] ÉK: y ]- ] Zérushely: x = Monotonitás: szig monoton növő Szélsőérték: minimum nincs Paritás: nem páros, nem páratlan maximum hely: x = 9 maximum érték: y = 9) a A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szigorúan monoton növő < 6 log < log 6 b A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő > log < log c A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő 4 < log 0, 4 > log 0, d A logaritmus alapja nagyobb mint, tehát a függvény szigorúan monoton növő > log7 > log7 4 4

14 e A logaritmus alapja 0 és közti, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő 9 9 > log 4 < log f log < és log > log < log 0) Az egyenletek bal oldalából képezzük az a(x) függvényt, jobb oldalából a b(x) függvényt, majd ábrázoljuk grafikonjukat közös koordináta-rendszerben a log x = Az ábráról leolvasható megoldás: x = 9, más megoldás nincs b log x = -x + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs c log x = - x + Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x =, más megoldás nincs d log x + = x Az ábráról leolvasható megoldások: x =, x = 9, más megoldás nincs 4

15 e log 4 x = x + A grafikonoknak nincs közös pontja, tehát az egyenletnek nincs megoldása f log (x + ) = x Az ábráról leolvasható megoldások: x = -, x =, más megoldás nincs g log x = x Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs h log x = log (x ) + Az ábráról leolvasható megoldás: x =, más megoldás nincs

16 ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, és a logaritmus alapja k R + \{} a log k x = log k + log k b + log k c b log k x = log k a + log k b c log k x = log k + log k a + log k b log k d log k x = log k a + log k b + log k c log k 4 log k T e log k x = log k a + log k (a b) log k log k b log k c f log k x = log k 4 + log k r + log k π log k g log k x = log k a + logk b h log k x = logk a log k b ) a lg x = lg (,4 ) = lg 6 x = 6 b lg x = lg ( 4 ) = lg! = lg 0 x = 0 44 c lg x = lg = lg = lg 8 x = d lg x = lg (7-8 8 ) = lg x = e lg x = lg f lg x = lg g lg x = lg h lg x = lg 0 0 = lg = lg 4 = lg x = = lg = lg = lg x = 9 4 = lg x = = lg x = ) A kifejezésekben a változók pozitív valós számok, a lg x = lg ab x = ab ab ab b lg x = lg x = c c a a c lg x = lg x = bcd bcd d lg x = lg a b x = a b e lg x = lg a b x = a b f lg x = lg a a a = lg x = b b b g lg x = lg a lg b = lg a lg a b = lg b h lg x = lg (a b) x = a b, (a > b) = lg a b x = a b 6

17 4) a lg + lg 4 = lg 00 = b log 7 log 7 = log 7 = log7 7 = 7 c log 6 + log 6 7 log 6 = log 6 d log log 7 = + = e lg lg lg = lg 676 = log 6 6 = = lg 8 f lg + 6 lg + lg 8 lg = lg = lg = lg 000 = = lg 0 = 4 8 = 9 g log 4 + log log 9 log 6 + log = log 78 = log = log 44 = h log 7 log 04 = 0 = = ) a 0 -lg lg = ( 0 ) = - = + log b = log = 7 = 4 c 0 lg = = lg = vagy 0 -lg = 0 lg 0 lg lg = 0 = 0 lg = 0 lg d 00 = = = = 6 lg lg log + log log e = log log = = vagy log = = f g 0, h log 4 log 7 = 4 log log 4 4 log log = = vagy 7 log 7 6 = 9 log log + = = 4 log log 4 log = = = 4 = = 7 log log 4 log log 4 = ( ) = ( ) log = = log 4 log ( ) log = = 7

18 6) a 0 < x ÉT: x R + A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = x = ÉT, más megoldás nincs b x + > 0 - < x és x > 0 < x ÉT: x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs c x > 0 x 0 és 0x 4 > 0,4 < x ÉT: x ],4 [ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 0x 4 Az egyenlet megoldása x = 4 és x = 6, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d x + > 0 - < x és x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - ÉT: x U ]- [ log( x + ) = log (x + ) = log (x + ) log(x + ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x + Az egyenlet megoldása x = 0 ÉT, más megoldás nincs e x > 0 x 0 és x > 0 ÉT: x R + A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = x Az egyenlet azonosság, megoldása x R + f x > 0 x < és x > 0 < x és lg (x ) 0 x ÉT: x ][U ][ lg( x ) = lg ( - x) = lg (x ) lg( x ) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = (x ) 7 Az egyenlet megoldása x = + 7 feladat megoldása x = g + ÉT és x = + 7 x > 0 - < x és x + > 0 - < x ÉT: x ] [ ÉT, tehát a A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = (x + ) Az egyenletnek nincs megoldása h x + > 0 x - és x + > 0 - < x ÉT: x U ] [ A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = x + Az egyenlet megoldása x = - 4 ÉT, más megoldás nincs 8

19 7) a 0 < x ÉT: x R + log x = log x = log A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 4 x = 4 ÉT, más megoldás nincs b x 4 > 0 4 < x ÉT: x ]4 [ log 7 (x 4) = log 7 (x 4) = log 7 7 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 4 = 4 Az egyenlet megoldása x = 47 ÉT, más megoldás nincs c x > 0 x ÉT: x R\ log 9 x = log9 x = log 9 9 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = Az egyenlet megoldása x = és x = 8, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek d x + > 0 - < x ÉT: x log (x + ) = - log (x + ) = log - A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + = Az egyenlet megoldása x = - 4 ÉT, más megoldás nincs e x 6x + 8 > 0 x < vagy 4 < x ÉT: x ] [ U ] [ 4 (Megjegyzés: az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük) log (x 6x + 8) = log (x 6x + 8) = log A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x 6x + 8 = Az egyenlet megoldása x = és x =, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek f x > 0 x < ÉT: x log 8 x = - log8 x = log 8 8 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = 9 Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs g x + 8 > 0-4 < x és x + > 0 - < x és x + x 0 ÉT: x ]-0[U ]0 [ log x+ (x + 8) = log x+ (x + 8) = log x+ (x + ) 9

20 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x + 8 = (x + ) Az egyenlet megoldása x = - 7 ÉT és x = 7 ÉT, tehát a feladat megoldása x = 7 h Az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük A logaritmus definícióját alkalmazzuk: log log log 4 x = 0 log log 4 x = 0 log 4 x = x = 4 x = 64 Az ellenőrzést elvégezve megállapítható, hogy x = 64 valóban gyöke az egyenletnek 8) Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait! a x > 0 ÉT: x R + lg x = lg + lg 6 lg x = lg 6 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs b x > 0 ÉT: x R + log x = log + log 4 + log log = log ( 4 ) x A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: = 40 x 9 Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs 40 c x > 0 < x és x > 0 x < és 0 < x ÉT={}, azaz az egyenlet egyetlen valós számra sem értelmezhető, megoldása nincs d x > 0 < x és x + >0 - < x és x > 0 < x ÉT: x ] [ log (x ) + log (x + ) = log (x ) + log 8 log [(x )(x + )] = log [(x ) 8] A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x )(x + ) = (x ) 8 Az egyenlet megoldása x = és x =, mindkét gyök eleme az értelmezési tartománynak, azaz megoldása az egyenletnek e x 4 > 0 4 < x és x + > 0 - < x és x + 4 > 0-4 < x ÉT: x ]4 [ lg (x 4) + lg (x + ) = lg (x + 4) lg [(x 4)(x + )] = lg (x + 4) A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x 4)(x + ) = x + 4 Az egyenlet megoldása x = - ÉT és x = 8 ÉT, tehát a feladat megoldása x = 8 f x + > 0 - < x és x + 8x + 6 > 0 x -4 ÉT: x (Megjegyzés: az ÉT meghatározása helyett a gyököket ellenőrizzük) log (x + ) = log (x + 8x + 6) log (x + ) = log x + 8x + 6 A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: (x + ) = x + 8x + 6 0

21 Az egyenlet megoldása x = 8 7 ÉT és x = a feladat megoldása x = g x 8 > 0 < x és x + > 0 - < x ÉT: x lg x 8 + lg (x + ) = lg 6 lg ( x 8)(x + ) = lg 6 7 ÉT, tehát A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( x 8)(x + ) = 6 Az egyenlet megoldása x = - ÉT és x = ÉT, tehát a feladat megoldása x = h x + > 0 - < x és log (x + ) 0 x - és x 7 > 0 7 < x ÉT: x ]7 [ log = log (x 7) 0 = log (x 7) log (x + ) log( x + ) log (x 7) = 0 x = 8 ÉT vagy log (x + ) = 0 x = - ÉT A feladat megoldása x = 8 logb c 9) Használjuk fel, hogy log a c =, ahol a, b, c R + \{} logb a a 0 < x ÉT: x R + log log x + log 4 x = log x + x = log x + log x = 6 log 4 Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs b x + > 0 - < x ÉT: x ]- [ log ( x + ) log (x + ) + log (x + ) =, log (x + ) + =, log log (x + ) + log (x + ) = Az egyenlet megoldása x = 4 ÉT, más megoldás nincs c 0 < x ÉT: x R + log log x log x = x log log x = log x log x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs d x > 0 és x ÉT: x ]0[U ] [ log log x + log x = + log x = + (log x) = log x log x Vezessünk be új ismeretlent: a = log x Így az egyenlet + a = a a =

22 log x = x = Az egyenlet megoldása x = ÉT, más megoldás nincs 0) a x + > 0 - és x + > 0 - < x ÉT: x A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: (x + ) > (x + ) Az egyenlőtlenség megoldása: x < Az értelmezési tartománnyal összevetve x b x > 0 < x és 6 x > 0 x < 6 ÉT: x Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért: x 6 x Az egyenlőtlenség megoldása: x Az értelmezési tartománnyal összevetve x c 7 + x > 0-7 < x és x > 0 < x és x + > 0 - < x ÉT: x ] [ log (7 + x) + log (x ) log (x + ) log [(7 + x) (x )] log (x + ) A alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: (7 + x) (x ) (x + ) Az egyenlőtlenség megoldása: -6 x 4 Az értelmezési tartománnyal összevetve x ]4] d 7x > 0 < x ÉT: x 7 7 log 7 (7x ) < log7 (7x ) < log 7 A 7 alapú logaritmus függvény szigorúan monoton növő, ezért: 7x < Az egyenlőtlenség megoldása: x < 7 4 e 4 Az értelmezési tartománnyal összevetve x 7 7 x > 0 - < x < ÉT: x x + (Megjegyzés: az ÉT meghatározása helyett választható a gyökök ellenőrzése) x x log < 0 log < log x + x + Az alapú logaritmus függvény szigorúan monoton csökkenő, ezért:

23 x > x + Az egyenlőtlenség megoldása: - < x < Az értelmezési tartománnyal összevetve x ) a 00000,06 n 0000,06 n,7 Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg,7 lg,06 n lg,7 n lg,06 Az egyenlőtlenség megoldása: n 9,6 Legalább 0 évnek kell eltelnie, hogy 0000 forintunk legyen b ,9 n ,6 0,9 n 0,6 Vegyük mindkét oldal 0-es alapú logaritmusát: lg0,6 lg 0,9 n lg 0,6 n (negatív számmal osztottunk!) lg0,9 Az egyenlőtlenség megoldása: n 4,8 Legalább évnek kell eltelnie, hogy a gép értéke az új árának 60 %-át érje