Injektív függvények ( inverz függvény ).

Átírás

1 04 október 6 3 Függvényábrázolások, Függvények kompozíciója ( összetett üggvény ), Bev Mat BME Injektív üggvények ( inverz üggvény ) ( ) ( ) Ábrázolás Függvénytranszormációval : 3 y y 5 ( tengely mentén eltolás balra 5-tel ) 0 y 5 ( y tengely mentén 0-szeresre nyújtás ) 0 4 y 5 ( y tengely mentén eltolás leelé -gyel ) Ábrázolás Koordinátatranszormációval : 0 y 5 y 0 5 y ( ) 0 ( 5) Az új koordinátarendszer origója ( 0, y0 ) ( 5, ), az új tengelyeken az egységek a régi egységek A ill 0 B -szeresei Ebben az új koordinátarendszerben az η ξ graikont kell ábrázolnunk Megj: 0 > 0 > 0 < 5 < 0 5 < < ( ) ( ) ( ) ( ) y 5 0 alakban is megadhattuk volna az egyenletet, ekkor a vizszintes tengelyen 0-szereződött volna az új rendszerbeli egység, a üggőleges tengelyen változatlan maradt volna Az ábrázolt graikon ua Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek o :53

2 Rajzoljuk el az ) : 3 ( és a Adjuk meg az ( a ) ( a ) g( ) : 3 hozzárendelésekkel deiniált üggvények graikonjait! és a g ( a ) g( a ) értékeket! ( R Határozzuk meg az ( g( )) a ) a és az a g( ) összetett üggvényeket! ( o g és g o üggvénykompozíciók ) g () 3 () 3 ( a ) ( a ) a 3 a a a a ( ) 3 80 a 80 3 ( ( a ) ) g ( a ) g( a ) ( a ) ( a ) a a a 3 3 ( ) 3 a 80 ( g( a) ) ( g( )) ( ) 3 g 3 3 ( R ) és g ( ) ( R ) 3 Rajzoljuk el az sin a, sin, ( ) sin g, h ) π Ezek közül melyik üggvény lesz szigorúan monoton növő a ( 0, π ) intervallumon? ( üggvények graikonjait! Függvénytranszormációval : az itt szereplő üggvények közül csak az a sin üggvény ( 0, π intervallumon szig mon növő a ) Adjuk meg az alábbi üggvények zérushelyeit és értelmezési tartományát : 4 ( ) ( ) D 4 R \ { } ( ) 0 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 nullhelyei : 0,, Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek o :53

3 5 3 4 ( ) 3 ( ) D R \ { 0 } 6 0 ( ) ( 4 3 ( ) ) ( ) ( 3 ) 0 nullhelyei :,, 6 ( 4) ( 4) 3 D 4 R \ {, } ( 4) 0 ( 4) ( ( 4) 3 ) ( 4) ( 4 4 ) 8 ( 4) ( ) 0 nullhelyei : 0,, ( 3) ( ) (3 ) ( ) D 4 R \ {, 3 } ( 3) ( ) 0 3 ( 3) ( ) ( ( 3) ( ) ) 0 nullhelye : 0 3 ( 3) ( ) ( ( ) ) 0 Függvények kompozíciója ( Összetett üggvény ) : o g g o 8 ln ( ), 3 3 g ( ) ( g( )) ln ( ), 3 g ( ) (ln ( )) D R, R R { 0 } D g R, R g [, ) ln ( ) 3 4 ln ( ) D o g R, R o g R { 0 } Dg o R, Rg o [, ) ( g(0)) () 0, g ( ()) g(0) Legyen e, g( ) sin 3 Adjuk meg az ( g( ) ), g ( ), továbbá az ( g(0) ) és a g ( (0) ) értékeket is! ( g( ) ) ( sin (3) ) sin (3 ) ( g( ) ) e e e, g( ) sin (3 ) sin (3 e ) ( g(0) ) (sin (3 0) ) (0 ) 0 ( g(0) ) e e e e, g( (0) ) sin (3 (0) ) sin (3 (0 ) e ) sin 3 Megj : A 0 -beli értékek természetesen egyszerűbben megadhatók az ( g( ) ) és g ( ) megadása után 0 helyettesítéssel! Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek 3 o :53

4 Függvények inverze ( Injektív üggvények esetén!!! ) : Deiníció : Az : X Y üggvényt injektív -nek nevezzük, ha az értelmezési tartományának bármely két, helyére az ( ) egyenlőségből következik ( Azaz: D, ( ), vagy másképpen:, D ) Megj : Pl a szigorúan monoton növő ill szigorúan monoton ogyó üggvények injektívek Pl az a üggvény injektív, de nem szigorúan monoton ( R -on ill R -on külön-külön szigmon ogyó ) Deiníció : Az : X Y injektív üggvény inverze az : R D, ( ) üggvény ( inverze tehát az üggvénykapcsolat "megordítása" : értelmezési tartománya az értékkészlete, és az R y elemeihez azt az D elemet rendeli, melyre y, ( azaz ( y) értékkészlete emiatt az értelmezési tartományával egyezik ), ha y ) Descartes-koordinátarendszerben ábrázolva graikonja az graikonjának az y egyenesre vonatkozó tükörképe 0 4 injektív üggvény, hiszen, D R \ { 3 } inverzének meghatározása : D R R \ { 4 }, és 4 ( ) R D R \ { 3} Az inverz meghatározásánál lényegében úgy járhatunk el, hogy a üggvényváltozót és a üggvényértéket megcseréljük, így az inverzüggvény implicit alakját kapjuk, majd ebből az eplicit alakot meghatározzuk : y 4 az üggvénykapcsolat 4 inverzének, -nek implicit alakja 3 y 3 4 y 3 y 3 ( ) 3 y Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek 4 o :53

5 ( ) g injektív üggvény, hiszen szigmonnövő ( Így, Dg R ) g inverzének meghatározása : D R (, ), és g g g ( ) g ( ) log ( ) R D g g R Vagy így : y y inverz y log ( ) y log ( ) ( ) ln ( ) h injektív üggvény, hiszen szig mon növő h inverzének meghatározása : D R R, és h h ln ( h ( )) h ( ) e R h D h R Vagy így : y ln inverz ln y ln y y e 3 ( ) l injektív üggvény, hiszen szig mon növő l inverzének meghatározása : D R R { 0 }, azaz [ 0, ) l l és l l ( ) ( ) R [, ) l Dl Vagy így : y inverz y y y Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek 5 o :53

6 Ábrázoljuk az alábbi üggvényeket : 4 5 ha e ha < ( ) 4 ( ) e 5 g( ) / ha > 3 g( ) ha Adjuk meg a üggvény minimumait és maimumait a 3, ] [ intervallumon! A [ 3, ] intervallumon a v minimális értéke melyeket a v az, maimális értéke, ill az helyeken vesz el 6 h( ) ha h( ) ( ) (4 ) ha > Adjuk meg a üggvény lokális minimum és maimumhelyeit a [, 5] intervallumon! A [, 5] intervallumon a v lokális minimumhelye ( ( ) a lokális minimumérték ), lokális maimumhelye 3 ( ( 3) a lokális maimumérték ) Határozzuk meg az alábbi üggvények értelmezési tartomámyát és zérushelyeit : 7 3 D 0 D (, 05 ] Nullhelyek : Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek 6 o :53

7 D D [ 7, 3 ] zárt intervallum Nullhelyek : vagy 5 a nullhelyek 7 és 3 ln ( ) D > 0 pozitív -ek esetén >, negatív -ek esetén < (, 0 ) (, ) D Nullhelyek : 0 ± 5, 0 lg ( 5 ) 5 > 0 5 > 5 < < 5 4 < < 6 D D ( 4, 6 ) nyílt intervallum Nullhelyek : lg ( 5 ) vagy 4 a nullhelyek 3 és 5 lg ( ) D > 0, s mivel a bal oldalon álló polinom gyökei és, s a őegyüttható negatív, D (, ) nyílt intervallum Nullhelyek : ( ) lg ( ) 0 0 ± 4 a nullhelyek 5 és 5 Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek 7 o :53

8 ( ) log 3 D log3 0 log 3 3 [, ) D balról zárt, jobbról nyílt intervallum Nullhelyek : log3 0 log3 0 log 3 egyetlen nullhely : További eladatok : Legyen ( ) a b c 5, a, b, c R Mennyivel egyenlő (7), ha ( 7) 7? A g : 5 üggvény páratlan, ui R g( ) 7 3 a ( ) b ( ) c ( ) 7 3 ( a b c ) g( ) g ( 7) g( 7) ( ( 7) 5 ) (7 5) ( 7) g(7) 5 5 7, ( 7) 7 APPENDIX : A 7 alatti üggvény, g( ) : 3 ábrázolásához Károlyi Katalin : 04_03_Fuggvenyek 8 o :53