Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Átírás

1 ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak

2 I. modul: Dierenciálszámítás alkalmazásai lecke: Konveitás, elaszticitás Tanulási cél: A másodrendű deriváltat vizsgálva milyen következtetéseket vonhatunk le a üggvény konveitására vonatkozóan. Elaszticitás ogalmának megismerése. Motivációs példa A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk, akkor az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha euróval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis kg kenyér árának eurós növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának eurós növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát %-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük Egy termékből eladott mennyiséget az ( ) = 0 + üggvény adja meg, ahol a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 000 Ft-os árát %-kal növelik? Konveitás Elméleti összeoglaló Az elsőrendű derivált előjele meghatározza a üggvény monotonitását. A másodrendű derivált előjeléből is következtetéseket vonhatunk le a üggvény görbéjének alakjáról, ebben az esetben a üggvény konveitására vonatkozóan. deiníció rész Deiníció: Egy intervallumon értelmezett valós üggvény konve, ha a üggvénygörbe két pontját összekötő húr a üggvénygörbe elett halad. Egy intervallumon értelmezett valós üggvény konkáv, ha a üggvénygörbe két pontját összekötő húr a üggvénygörbe alatt halad.

3 {á:_.png} normál rész Tétel: Legyen az üggvény kétszer dierenciálható az ab, intervallumon. Az üggvény akkor és csak akkor konve az és csak akkor konkáv az deiníció rész ab, -n, ha ( ) 0 ab, -n, ha ( ) 0 az, az, ab intervallumon, illetve az üggvény akkor ab intervallumon. Deiníció: Legyen az üggvény olytonos az ab, intervallumon és c a, b. Ha konve ac, -n és konkáv cb, -n, vagy konkáv ac, -n és konve cb, -n, akkor c inleiós pontja az üggvénynek. normál rész Tétel: Legyen az üggvény a c hely környezetében kétszer dierenciálható. Ha a c pontban az üggvénynek inleiós pontja van, akkor (c) = 0. Fontos megjegyezni, hogy a tétel megordítása nem igaz. Abból, hogy az (c) = 0, még nem következik, hogy c inleiós pont. Tétel: Ha az üggvény kétszer dierenciálható c -ben és (c) 0 és =, továbbá ac, -n ( ) 0 cb, -n ( ) 0, vagy ac, -n ( ) 0 és cb, -n ( ) 0, azaz az ( ) üggvény c -ben előjelet vált, akkor c inleiós pontja az üggvénynek. A enti tételek birtokában a következő módon vizsgálhatjuk majd a üggvényeket konveitás és inleiós pont szempontjából.. Megvizsgáljuk, mi a legbővebb halmaz, amelyen a üggvény értelmezhető.

4 . Kétszer deriváljuk a üggvényt.. Megoldjuk az ( ) 0 lehet. = egyenletet. Ezzel megkapjuk azokat a helyeket, ahol inleiós pont 4. Az értelmezési tartományt a szakadási helyekkel és a másodrendű derivált zérushelyeivel részekre bontjuk, s az adott részeken megvizsgáljuk a derivált előjelét. Ezt például úgy hajtjuk végre, hogy mindegyik részből választunk egy számot, melyet a deriváltba behelyettesítünk. 5. Az értelmezési tartomány egyes részein a másodrendű derivált előjeléből következtetünk a konveitásra. Az utolsó két pontban leírtakat célszerű egy táblázatban összeoglalni, mert akkor tömörebben írhatjuk le az adatokat. Az inleiós pontnak van egy szemléletes jelentése is. Ha üggvény az inleiós pontja előtt és után is növekvő, akkor ez az a pont, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd. Ha a üggvény csökkenve halad át az inleiós pontján, akkor abban a pontban a csökkenés mértéke kezd lelassulni. Kidolgozott eladatok. eladat: Az ( ) üggvény értelmezési tartománya második deriváltja = +? ( ) ( )( 7) D =. Hol konve az ( ) üggvény, ha Megoldás: Amikor egy üggvényt olyan szempontból vizsgálunk, hogy hol konve, illetve hol konkáv, akkor ugyanúgy járhatunk el, mint a növekedés és csökkenés vizsgálatánál. Ilyenkor azonban a második derivált előjelével kell oglalkoznunk. Ahol ugyanis pozitív egy üggvény második deriváltja, ott konve a üggvény, ahol pedig negatív a második derivált, ott konkáv a üggvény. Először meghatározzuk a második derivált zérushelyeit, azaz megoldjuk az ( ) = 0 egyenletet. ( )( + 7) = 0 Egy szorzat akkor egyenlő nullával, ha valamelyik tényezője nulla, így a szorzat két egyenletre bontható. = 0 vagy ( + 7) = 0 Ezen egyenletek megoldásai: = és = 7. Most hasonló táblázatot készítenünk, mint amikor növekedés és csökkenés, azaz monotonitás szempontjából vizsgáltunk üggvényt. Annyi csak a változás, hogy a második sorban nem az első, hanem a második derivált előjelét tüntetjük majd el. Természetesen az értelmezési tartományt most a második derivált zérushelyei bontják részekre, hiszen ezeken a helyeken változhat meg a második derivált előjele. Ha egyelőre csak az első sort töltjük ki, akkor táblázatunk az alábbi lesz. ; 7 7 7; ; ( ) 4

5 ( ) Ezután vizsgáljuk meg a második derivált előjelét az értelmezési tartomány egyes részein. Ezt végrehajthatjuk úgy, hogy mindegyik intervallumból kiválasztottunk egy számot, és azt behelyettesítjük üggvénybe. Mivel azonban a második derivált egy szorzat, így megtehetjük azt is, hogy a ( ) külön vizsgáljuk az egyes tényezők előjelét, és ebből következtetünk a szorzat előjelére. Ha a ; 7 intervallumból választunk egy számot, akkor nyilván 0, azaz a derivált első tényezője negatív. Ekkor szintén teljesül, amiből ( + 7) 0 is következik, tehát a második tényező is negatív. Két negatív szám szorzata pedig pozitív, azaz ; 7 esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konve a üggvény. Hasonlóan, ha + 7 0, amiből 7; intervallumból választunk egy tetszőleges számot, akkor 0 és ( + 7) 0. Vagyis a szorzat egyik tényezője negatív, másik tényezője pedig pozitív, tehát ekkor negatív a második derivált. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a üggvény. Végül ha ; intervallumból választunk egy számot, akkor 0 és + 7 0, amiből ( + 7) 0. Tehát mindkét tényező pozitív, s így a második derivált is pozitív. Ennek következtében ezen az intervallumon konve a üggvény. Mivel a második derivált mindkét zérushelyében ( = 7, = ) megváltozik a második derivált előjele, így mindkét helyen inleiós pontja van a üggvénynek. Ezek alapján már kitölthetjük a táblázat második és harmadik sorát is. ; 7 7 7; ; ( ) ( ) konve inleiós pont konkáv inleiós pont konve Legvégül adjunk választ a eladat kérdésére. Amint a táblázatból látható, a üggvény konve az ; 7 és ; intervallumokon. Ugyanezt úgy is írhatjuk, hogy a üggvény a ; 7 ; halmazon konve.. eladat: Az ( ) üggvény értelmezési tartománya \ 0,5 (0 ) ( ) = (4 + ) üggvény, ha második deriváltja? 6 Megoldás: Oldjuk meg az ( ) = 0 egyenletet. D =. Hol konkáv az ( ) 5

6 (0 ) (4 + ) 6 = 0 Tört csak úgy lehet zérus, ha a számlálója zérus, így egyszerűbb egyenletet kapunk. 0 = 0 Ennek az egyenletnek a megoldása = 0. Mivel egy üggvény előjele ott is változhat, ahol a üggvény nincs értelmezve az értelmezési tartományt a szakadási helyek is részekre bontják. Tehát az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre. Ha elkezdjük kitölteni a szokásos táblázatot, akkor most a következőt kapjuk. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) X ( ) X Vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. A ; 0,5 intervallumom 0 0 és a nevező pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz ; 0,5 esetén pozitív a második derivált, s ebből következően itt konve a üggvény. A 0,5;0 intervallumom 0 0 és a nevező is pozitív. Két pozitív szám hányadosa pedig pozitív, azaz ezen az intervallunom szintén pozitív a második derivált, s ebből következően itt is konve a üggvény. Végül ha a 0; intervallumból választunk egy számot, akkor 0 0 és a nevező pozitív. Ebben az esetben a hányados negatív. Ez azt jelenti, ezen az intervallumon konkáv a üggvény. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) + X + 0 ( ) konve X konve inleiós pont A táblázatból kiolvasható, hogy a üggvény a 0; intervallumon konkáv. konkáv 6

7 . eladat: Az ( ) üggvény értelmezési tartománya üggvénynek, ha második deriváltja 6 ( ) = ( 7) ( e )? D =. Hol van inleiós pontja az ( ) Megoldás: Oldjuk meg az ( ) = 0 egyenletet. Egy üggvénynek ugyanis ott lehet inleiós pontja, ahol a második deriváltja 0. 6 ( 7) ( e ) = 0 Mivel a derivált szorzat, ezt egyszerűbb egyenletekre bontjuk. 6 ( 7) = 0 vagy e = 0 Az első egyenlet megoldása nyilván = 7. A második egyenletet rendezzük át. e = 0 e = Vegyük mindkét oldal logaritmusát. ln( e ) = ln Mivel a bal oldalon egy üggvény és az inverze áll egy összetételben, így ott valójában egyszerűen szerepel. = ln = 0 A második egyenlet megoldása így = 0. Két zérushelye van tehát a második deriváltnak, az = 0 és az = 7. Ezek után a táblázat első sora kitölthető. ;0 0 0;7 7 7; ( ) ( ) Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét. Mivel a derivált olyan szorzat, aminek első tényezője nem vesz el negatív értéket, hiszen páros kitevőjű hatvány, így csak a második tényező előjelével kell oglalkoznunk. A ;0 intervallumon e, ezért e 0 a üggvény.. Ekkor tehát negatív a második derivált, s itt konkáv 7

8 A 0; 7 intervallumon e, ezért e 0 üggvény. A 7; intervallumon e, ezért e 0 a üggvény. Amint látható, a második derivált zérushelyei közül az 0 így itt inleiós pontja van a üggvénynek. Viszont az 7 előjelet, így itt nincs inleiós pont. Töltsük ki a teljes táblázatot.. Így itt pozitív a második derivált, tehát konve a. Így itt is pozitív a második derivált, tehát itt is konve = helyen előjelet vált a második derivált, = helyen a második derivált nem vált ;0 0 0;7 7 7; ( ) ( ) konkáv inleiós pont konve A üggvénynek tehát az = 0 helyen van inleiós pontja. nincs inleiós pont konve 4. eladat: Adja meg a üggvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konveitás szempontjából a üggvényt! Számolja ki az inleiós pont(ok)hoz tartozó üggvényértéket! ( ) = e Megoldás: Elsőként most is a üggvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. Mivel nevező nem lehet zérus, így ki kell kötnünk, hogy a kitevőben 0, azaz D = \{0}. Állítsuk elő a üggvény második deriváltját, mert a konveitás vizsgálatához erre lesz szükségünk. Először az első derivált üggvényt határozzuk meg. Az első derivált előállításakor összetett üggvényt deriválunk. A külső üggvény az e, a belső üggvény pedig az, azaz. ( ) = e ( ) = e A második deriválás során a szorzatra vonatkozó szabályt használjuk. ( ) = e ( ) ( ) + e ( ) = e e e + e 4 + = 4 Ilyenkor célszerű kiemelni, amit csak lehet. ( ) = e + 8

9 Miután a második deriváltat sikerült egyszerűbb alakra hozni, oldjuk meg az ( ) = 0 egyenletet. e + = 0 Az első tényező nem lehet egyenlő nullával, hiszen az eponenciális üggvény csak pozitív értékeket vesz el. A második tényező szintén nem lehet nulla. Ennek következtében elég csak a harmadik tényezőt vizsgálnunk. 0 + = Mivel 0, ezért az egyenlet a következő alakra hozható. + = 0 Ennek megoldása pedig = 0,5. Ezután elkészíthetjük a táblázatot, kitöltve az első sort. Az értelmezési tartományt egyrészt a második derivált zérushelye, másrészt az értelmezési tartományban levő szakadási hely osztja részekre. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) X ( ) X Vizsgáljuk ezután a második derivált előjelét a különböző részeken. Vegyük igyelembe, hogy az csak pozitív értékeket vehet el. Töltsük ki a teljes táblázatot. ; 0,5 0,5 0,5;0 0 0; ( ) 0 + X + e ( ) konkáv inleiós pont konve X konve Ezután már csak az inleiós ponthoz tartozó üggvényértéket kell meghatároznunk. Ehhez helyettesítsük be a üggvénybe az = 0,5 értéket. 5) = 0,5 = = ( 0, e e e 5. eladat: Adja meg a üggvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konveitás szempontjából a üggvényt! Számolja ki az inleiós pont(ok)hoz tartozó üggvényértéket! 9

10 ( ) = + ln Megoldás: Elsőként most is a üggvény értelmezési tartományát kell vizsgálnunk. A logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés 0, azaz D = 0;. Először az első derivált üggvényt határozzuk meg. Az összeg második tagja egy szorzat (itt a szorzatra vonatkozó szabályt alkalmazzuk). = + + = + + ( ) ln ln A második derivált előállítása: ( ) = 6 + Oldjuk meg az ( ) = 0 egyenletet. 6 + = 0 Mivel az értelmezési tartományból tudjuk, hogy csak pozitív szám lehet, ezért az egyenlet a következő alakra hozható: 6 + = 0 Ennek az egyenletnek a valós számok halmazán nincs megoldása. Ugyanis most csak pozitív szám lehet, akkor és 6 + is csak pozitív lehet. Ez pedig azt jelenti, hogy az ( ) üggvénynek nincs inleiós pontja. A 0; intervallumon intervallumon konve , tehát a üggvény ezen az 6. eladat: Adja meg a üggvény értelmezési tartományát! Vizsgálja meg konveitás szempontjából a üggvényt! Számolja ki az inleiós pont(ok)hoz tartozó üggvényértéket! ( ) = ln( + + ) Megoldás: Először az értelmezési tartományt kell meghatároznunk. Tudjuk, hogy a logaritmus argumentumában kizárólag pozitív valós számok szerepelhetnek, tehát a kikötés Ez az egyenlőtlenség bármely valós számra ennáll, mivel a polinomnak nincs zérushelye (diszkrimináns negatív). Tehát a üggvény minden valós számra értelmezhető, D =. Először az elsőrendű deriváltat számoljuk ki. Az összetett üggvény deriválási szabályát elhasználva kapjuk, hogy 0

11 + ( ) = ( + ) = A másodrendű derivált kiszámolásánál a hányadosszabályt alkalmazva kapjuk, hogy ( + + ) ( + ) 4 ( ) = = ( + + ) ( + + ) Alkalmazva, hogy a tört csak úgy lehet nulla, ha a számlálója nulla, így a következő egyszerűbb egyenletet kapjuk. = 4 0 ( ) zérushelyei: ;0 Készítsük el a táblázatot, majd vizsgáljuk ezután az egyes részeken a második derivált előjelét. Most olyan törtünk van, melynek nevezője minden esetén pozitív, így csak a számlálót kell vizsgálnunk. ; ;0 0 0; ( ) ( ) konkáv inleiós pont konve Még az inleiós pontokhoz tartozó üggvényértékeket kell meghatároznunk. ( ) = ln = 0,69 (0) = ln = 0,69 teszt rész Ellenőrző kérdések inleiós pont konkáv. Az ( ) üggvény értelmezési tartománya második deriváltja ; ;5 5; ; 5; = +? ( ) ( ) ( 5) D =. Hol konkáv az ( ) üggvény, ha

12 . Az ( ) üggvény értelmezési tartománya = \ 4 második deriváltja ; 4; ; 4 ; ; 4 4; (6 ) ( ) = 8 ( + 4)? D. Hol konve az ( ) üggvény, ha. Az ( ) üggvény értelmezési tartománya D =. Hol van inleiós pontja az ( ) üggvénynek, ha második deriváltja = 5 ( ) ( ) ( e )? 0 és,5 -,5 és,5,5 nincs inleiós pontja 4. Hány inleiós pontja van az ( ) 5 = 0 + üggvénynek? 0 5. Hány inleiós pontja van az ( ) = 4 + ln üggvénynek? 0

13 6. Hány inleiós pontja van az ( ) = + ln üggvénynek? 0 = 0 + üggvény inleiós pontja (pontjai) 7. Az ( ) 5 -; -;0; nincs inleiós pontja = ln( + + 5) üggvény inleiós pontja (pontjai) 8. Az ( ) -;0 -; ;0 nincs inleiós pontja 9. Az ( ) e ( ) = üggvény inleiós pontjának üggvényértéke e e e e normál rész

14 Elaszticitás Elméleti összeoglaló A közgazdászok gyakran használják a derivált helyett az elaszticitást. Arra a kérdésre keressük a választ, hogy ha a termék árát megváltoztatjuk az hogy hat a termék iránti keresletre. Például, ha euróval növeljük a termék árát, akkor mennyivel változik meg a termék utáni kereslet. Azonban több szempont is létezik, amely szerint nem elegendő az árral szembeni érzékenységét a keresletnek ilyen módon mérni. Ugyanis kg kenyér árának eurós növekedése nagyon jelentős, míg egy autó árának eurós növekedése jelentéktelen. Célszerűbb tehát arra a kérdésre keresni a választ, hogy ha a termék árát %-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Az így kapott számot a kereslet árelaszticitásának vagy árrugalmasságának nevezzük. Az elaszticitás megmutatja, hogy a üggetlen változó ( ) értékét %-kal növelve, hány százalékkal változik a üggő változó ( ( )). Az elaszticitást a következő módon tudjuk deiniálni: ( ) E = ( ) ( ) Kidolgozott eladatok. eladat: Határozza meg az ( ) = üggvény elaszticitását! Megoldás: Első lépésként határozzuk meg az ( ) 4 9 ( ) = ( ) = 4 ( ) E üggvényt = ( ) = 4 4 ( ) = = 00. eladat: Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az ( ) = + 8 üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 00 Ft-os árát %-kal emelik? Megoldás: Első lépésként határozzuk meg az ( ) ( ) = 00 ( + 8) üggvényt. 4

15 ( ) E = ( ) ( ) ( + 8) ( ) = = = 8 ( 8) Az elaszticitás azt mutatja meg, hogy ha a termék árát %-kal növeljük, akkor hány százalékkal változik a kereslet. Most a termék ára 00 Ft, tehát 00 E ( 00) = = 0,965 0, A kereslet tehát 0,96 százalékkal csökken.. eladat: Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az ( ) = üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 00 Ft-os árát 4%-kal csökkentik? Megoldás: Az előző eladat eredményeit elhasználva tudjuk, hogy E ( 00) = 0,96. Az elaszticitás az %-kos növeléshez tartozó változást írja le, a 4 százalékkal való csökkentést az elaszticitás ( 4)-szerese adja. ( ) E ( ) ( ) ( ) 4 00 = 4 0,96 =,84 Ha a termék ára 4 százalékkal csökken, akkor a kereslet,84 százalékkal nő. 4. eladat: Egy termékből eladott mennyiséget az ( ) 4000 = 0 + üggvény adja meg, ahol a termék ára. Hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 000 Ft-os árát %-kal növelik? Megoldás: Az elaszticitás segítségével tudjuk meghatározni, hogy hány százalékkal változik az eladott mennyiség, ha a termék 000 Ft-os árát %-kal növelik. Első lépésként határozzuk meg az ( ) üggvényt ( ) = ( ) E = ( ) = = = ( ) 0 + A termék ára 000 Ft, tehát 4000 E ( 000) = = 0,857 0,

16 Az elaszticitás az %-kos növeléshez tartozó változást írja le, akkor a százalékkal való növekedést az elaszticitás -szerese adja. ( ) ( ) E 000 = 0, 9 = 0,58 Ha a termék ára százalékkal nő, akkor a kereslet 0,58 százalékkal csökken. teszt rész Ellenőrző kérdések 0. Határozza meg az ( ) = üggvény elaszticitását!. Az ( ) üggvény egy termék iránti keresletet adja meg, pedig a termék egységárát 0,04 orintban. Ha ( ) = e +, akkor mit jelent ( 50) E? Ha termék 50 orintos egységárát % -kal növeljük, akkor a kereslet százalékkal csökken. Ha termék 50 orintos egységárát % -kal növeljük, akkor a kereslet százalékkal csökken. A termék elaszticitása 50 orintos egységár esetén. A termék elaszticitása 50 orintos egységár esetén.. Az ( ) üggvény egy termék iránti keresletet adja meg, pedig a termék egységárát orintban. Állítsa elő az elaszticitás üggvényt, ha ( ) E( ) = 0 ( ) = 5 ( )! 6

17 E( ) E( ) E( ) = = 0 ( ) ( ) =. Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az ( ),5 = 8000 üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 4 euros árát %-kal növelik?, százalékkal csökken 0, százalékkal csökken 4,5 százalékkal csökken nem változik Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az ( ),5 = üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 4 euros árát %-kal csökkentik? százalékkal nő százalékkal csökken 8 százalékkal nő 0,08 százalékkal nő 7

18 lecke: Teljes üggvényvizsgálat Tanulási cél: A üggvényvizsgálat lépéseinek megismerése és begyakorlása. Motivációs példa Jelölje egy adott termék árát P, a termék keresleti üggvényét pedig ( ) P D P =. A teljes P árbevétel tehát TR( P) = P D( P) = P Milyen árakra van értelmezve a üggvény? Milyen árak esetén növekszik a bevétel és milyen értékek esetén csökken? Milyen ár mellett lesz maimális a bevétel? Ha a bevétel növekszik, van-e olyan pontja a üggvénynek, ahol a növekedés mértéke csökkeni kezd, azaz szemléletesen van-e inleiós pontja? Vajon hogy nézhet ki a üggvény görbéje? A kérdések alapján szeretnénk minél több tulajdonságát leolvasni a üggvénynek Ebben a leckében összeoglaljuk, hogy egy átogó képhez milyen szempontok alapján vizsgálhatjuk a üggvényeket. Elméleti összeoglaló A teljes üggvényvizsgálatot a következő lépésekben végezzük:. Az értelmezési tartomány meghatározása.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein. 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása. 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása. 7. Graikon rajzolása. 8. Az értékkészlet meghatározása. Kidolgozott eladatok = üggvényen.. eladat: Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az ( ) Megoldás. Az értelmezési tartomány meghatározása 8

19 Egy egyszerű polinomot ogunk vizsgálni. Mivel bármilyen valós számhoz tudunk helyettesítési értéket számolni, így a üggvény mindenütt értelmezve van, ezért D =.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása Egyrészt annak meghatározása, hogy a üggvény graikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az ( ) = 0 egyenlet megoldásai adják. Oldjuk meg tehát az megoldáshoz emeljük ki -et. ( ) = 0, ami akkor teljesül, ha 0 tengelyt. = 0 egyenletet. A = vagy ha =. Ebben a két pontban metszi tehát a graikon az Másrészt ide tartozik annak megállapítása, hogy a graikon hol metszi az y tengelyt. Ilyen persze csak akkor van, ha a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben ( 0) adja a keresett pontot. A mi esetünkben ( ) 0 = 0 0 = 0, a graikon tehát átmegy az origón.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata Ebben a pontban vizsgáljuk meg, hogy a üggvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az ( ) összetett üggvény képletének előállításával dönthető el. Ahhoz, hogy ( ) -t megkapjuk, az eredeti hozzárendelési utasításba helyettesítsünk be az helyére ( ) -t. Ennek eredményeként kapjuk, hogy ( ) ( ) ( ) = =. A üggvény akkor páros, ha ( ) = ( ) ( szemléletesen, ha szimmetrikus az y tengelyre), de ez most nem teljesül. A üggvény akkor páratlan, ha ( ) = ( ) (szemléletesen, ha szimmetrikus az origóra), de = +. most ez sem teljesül, mivel ( ) Függvényünk tehát se nem páros, se nem páratlan. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein Egy üggvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum előli egyoldali határértékeket kiszámítani. 9

20 Mivel a eladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza D R, intervallum széleit a és jelenti. Ezért két limeszt kell kiszámolnunk: ( ) lim = lim =, ( ) lim = lim =. 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása = =, az Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol ( ) = 0. Elkészítjük tehát a derivált üggvényt. =, ( ) 6 Megoldjuk az ( ) = 0 egyenletet. 6= 0 ( ) = 0 aminek a két gyöke = 0, illetve =. A derivált gyökei beletartoznak az értelmezési tartományba, ezért szélsőérték helyek lehetnek. Tudjuk, hogy a derivált üggvény zérushelyei közül azok lesznek szélsőérték helyek, ahol a derivált üggvény előjelet vált. Készítsünk ezután egy táblázatot. Az értelmezési tartomány ennél a eladatnál a valós számok halmaza, azaz egyetlen összeüggő intervallum. A derivált üggvény zérushelyei ezt a intervallumot három részre bontja. A táblázat első sorában ezen intervallumokat és a derivált üggvény zérushelyeit tüntessük el. A második sorban majd azt jelezzük, hogy az adott intervallumon milyen előjelű a derivált. A deriváltüggvény előjelének eldöntéséhez minden intervallumból válasszunk ki egy-egy tetszőleges üggvénybe. pontot, és helyettesítsük be az ( ) A,0 intervallumból kivesszük mondjuk a ( ) ( ) ( ) -et, és ekkor azt kapjuk, hogy = 6 = 9 0, ezért az egész intervallumon pozitív az első derivált előjele. A 0, intervallumból vegyük például az egyet, ekkor ( ) negatív a derivált üggvény előjele. Végül a = 6 = 0, intervallumból válasszuk a hármat, ekkor ( ) intervallumon pozitív az első derivált előjele. = 6 = 9 0. Az. Az intervallumon 0

21 Tudjuk, hogy ahol az első derivált pozitív, ott növekvő a üggvény, ahol negatív, ott csökkenő. A táblázat harmadik sorában ezt tüntetjük el. ;0 0 0; ; ( ) ( ) nő lok. ma. csökken lok. min. nő Látjuk azt is, hogy mindkét zérushely esetén megvan a szükséges előjelváltás, tehát mindkettő valóban szélsőértékhely. Mivel nullában a derivált pozitívból vált negatívba, itt lokális maimum hely van. A kettőben a derivált előjele negatívból vált pozitívba, itt tehát lokális minimum hely van. Ki kell még számolni a lokális szélsőérték helyekhez tartozó helyettesítési értékeket, azaz a üggvény lokális maimum és a minimum értékét: ( 0) = 0 ( ) = = 4 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása Inleiós pont ott lehet, ahol ( ) = 0. Állítsuk elő a második deriváltat: ( ) = 6 6 Oldjuk meg a következő egyenletet: 6 6 = 0 Megoldásként = pontot kapjuk. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez inleiós pont is lehet. Tudjuk, hogy a második derivált zérushelyei közül az(ok) valóban inleiós pont(ok), ahol a második derivált előjelet vált. Ezt a szélsőértékeknél használt eljáráshoz hasonlóan lehet megvizsgálni. Az eredményeket most is egy táblázatba oglaljuk. A második deriváltnak most csak egy zérushelye van. Ez a pont két intervallumra bontja a teljes értelmezési tartományt. A táblázat első sorában ezt a elbontást és a második derivált zérushelyét tüntessük el. A második derivált előjelének vizsgálatához minden intervallumból válasszunk ki egy-egy pontot és üggvénybe. helyettesítsük be az ( ) A ; intervallumból vegyük ki a például a nullát, itt ( ) ( ) intervallumon negatív a második derivált. 0 = = 6 0, ezért az egész

22 A második ; intervallumból vegyük ki a kettőt, ekkor ( ) ( ) intervallumon pozitív a második derivált. = 6 6 = 6 0, tehát az egész Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konve a üggvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az inormációkat tartalmazza. ; ; ( ) 0 + ( ) konkáv inleiós pont konve Megvan tehát a szükséges előjelváltás, az inleiós pont. Ki kell még számítanunk az inleiós ponthoz tartozó üggvényértéket: ( ) = =. 7. Graikon rajzolása Az eddig megszerzett inormációkat elhasználva elvázolható a üggvény graikonja. Felvéve egy koordináta-rendszert, először a nevezetes pontokat jelöljük meg. (tengelymetszetek, szélsőértékek, inleiós pontok) Ezután vegyük igyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat. Végül, a konveitási inormációkat is igyelembe véve, rajzoljuk meg a graikont. {á:_.png}

23 8. Az értékkészlet meghatározása A (helyes) graikonról leolvasható az értékkészlet. R =. eladat: Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az ( ) = + üggvényen. Megoldás. Az értelmezési tartomány meghatározása A üggvény mindenütt értelmezve van, ezért D =.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása Egyrészt annak meghatározása, hogy a üggvény graikonja hol metszi az tengelyt. Ezeket a pontokat az ( ) = 0 egyenlet megoldásai adják. Oldjuk meg tehát az Egyszerű kiemelést alkalmazva ( ) + = 0, + = 0 egyenletet. + = 0 egyenletnek nincs megoldása a valós számok ami akkor teljesül, ha = 0, ugyanis az halmazán. (Ha egy pozitív számhoz hozzáadunk egy nemnegatív számot, az összeg biztosan pozitív lesz.) Mivel a nulla eleme az értelmezési tartománynak, ebben az esetben ( 0) adja a keresett pontot. ( ) 0 = = 0 A graikon tehát átmegy az origón.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata Ebben a pontban azt vizsgáljuk meg, hogy a üggvény páros-e vagy páratlan-e. Mindkettő az ( ) összetett üggvény képletének előállításával kezdődik. ( ) ( ) ( ) = + =. A üggvény akkor páros, ha ( ) = ( ) (tehát szimmetrikus az y tengelyre), de ez most nem teljesül. A üggvény akkor páratlan, ha ( ) = ( ) (tehát szimmetrikus az origóra), ami most teljesül, =. mivel ( )

24 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein Egy üggvény értelmezési tartománya általában diszjunkt (véges vagy végtelen) intervallumok uniója. Ezeknek az intervallumoknak a végpontjaiban kell az intervallum előli egyoldali határértékeket kiszámítani. Mivel a eladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza D =, két limeszt kell kiszámolnunk: lim lim + = lim + =, ( ) + = lim + =. ( ) 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása =, ezért Tudjuk, hogy lokális szélsőérték ott lehet, ahol ( ) = 0. Elkészítjük tehát a derivált üggvényt. = + ( ) Ott lehetnek lokális szélsőértékek, ahol az ( ) = 0. Esetünkben + = 0 egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán, mivel egy pozitív számhoz, azaz kettőhöz mindig egy nemnegatív számot adunk, az eredmény csak pozitív lehet. Ez azt jelenti, hogy a üggvénynek nincs lokális szélsőértéke. Az ( ) = + üggvény tetszőleges valós szám esetén pozitív, amiből azt a következtetést vonhatjuk le, hogy az ( ) üggvény az egész értelmezési tartományon nő. 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása Inleiós pont ott lehet, ahol ( ) = 0. Állítsuk elő a második deriváltat: ( ) = 6 Oldjuk meg a következő egyenletet: 6 = 0 Megoldásként = 0 pontot kapjuk. Mivel ez a gyök benne van az értelmezési tartományban, ez az inleiós pont lehet. Tervezzük meg a táblázatot. Az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, és ezt az összeüggő intervallumot a második derivált üggvény zérushelye két részre bontja. A ;0 intervallumból vegyük ki a nullát, itt ( ) = ( ) intervallumon negatív a második derivált. 6 = 60, ezért az egész 4

25 A második 0; intervallumból vegyük a kettőt, ekkor ( ) ( ) intervallumon pozitív a második derivált. = 6 = 0, tehát az egész Tudjuk, hogy ahol a második derivált pozitív, ott konve a üggvény, ahol negatív, ott konkáv. A második táblázat harmadik sora ezeket az inormációkat tartalmazza. ;0 0 0; ( ) 0 + ( ) konkáv inleiós pont konve Megvan tehát a szükséges előjelváltás, a nulla inleiós pont. Ki kell még számítanunk az inleiós pont második koordinátáját: ( 0) ( 0) = 0 + = Graikon rajzolása Az eddig megszerzett inormációkat elhasználva elvázolható a üggvény graikonja. Felvéve egy koordináta-rendszert, először a nevezetes pontokat jelöljük meg. (tengelymetszetek, szélsőértékek, inleiós pontok) Ezután vegyük igyelembe a határértékeket és a monotonitási viszonyokat. Végül, a konveitási inormációkat is igyelembe véve, rajzoljuk meg a graikont. 8. Az értékkészlet meghatározása A (helyes) graikonról leolvasható az értékkészlet. {á:_.png} 5

26 R =. eladat: Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az ( ) Megoldás. Az értelmezési tartomány meghatározása Mivel nullával nem tudunk osztani, ezért vizsgáljuk, hogy = + üggvényen. + 0 mikor teljesül. Mivel egy pozitív számhoz, azaz egyhez mindig egy nemnegatív számot adunk, az eredmény csak pozitív lehet. Így D =.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása = egyenlet megoldása = 0, ami az tengellyel vett metszetet adja, azonban Az ( ) 0 ( 0) = 0 miatt, itt metszi a graikon a üggőleges tengelyt is.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata. A üggvény paritását vizsgálva látjuk, hogy ( ) = = = + + ( ) tehát a üggvény páratlan. ( ) 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein, Mivel a eladatunkban az értelmezési tartomány a valós számok halmaza D = ; =, ezért csak a végtelenekben kell kiszámolni a határértékeket. A számlálóból is és a nevezőből is kiemelve -et kapjuk, hogy lim = lim = lim = Teljesen hasonlóan lim = lim = lim = Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása 6

27 ( + ) ( + ) ( + ) ( ) = = A derivált nulla, ha a tört számlálója nulla, ez nyilván = és = esetén teljesül. Mindkét gyök az értelmezési tartományban van. Elkészítjük a táblázatot. ; ; ; ( ) ( ) csökken lok. min. nő lok. ma. csökken Az első intervallumból a 5 -t helyettesítve ( ) = 0. A második intervallumból 0 -t helyettesítve ( 0) = 0. Végül a harmadik intervallumból -t helyettesítve ( ) = 0. 5 Így kaptuk a második sor előjeleit. Látjuk, hogy az első derivált mindkét zérushelye esetén megvan az előjelváltás, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig a lokális minimum hely, az lokális maimum hely. A minimum értéke ( ) =, a maimum értéke (a páratlanság miatt is) ( ) 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ( ) ( ) ( ) 6 = = + + Az ( ) 0 =. = egyenletnek most három megoldása van: =, = 0, =. Mindhárom az értelmezési tartományban van. Most az alábbi táblázatot készíthetjük el. 7

28 ( ) ; ;0 0 0; ; ( ) konkáv inleiós pont konve inleiós pont konkáv Az előjeleket, például, a következő számok behelyettesítésével kaphatjuk: az első tartományból válasszuk a a második tartományból a a harmadikból az -et, ekkor ( ) a negyedikből -t, ekkor ( ) 4 5, -t, ekkor ( ) = 0 -et, ekkor ( ) = 0, 4 = = = 0, 8 inleiós pont konve Látjuk, hogy a második derivált mindhárom zérushelye esetén megvan az előjelváltás, mind a három =,7 = = 0,4 ; 4 valóban inleiós pont. Az inleiós pontok üggvényértékei: ( ) ( ) ( 0) 0 = és ( ) ( ) 7. Graikon rajzolása =,7 = = 0,4. 4 {á:_.png} 8

29 A graikont most is a nevezetes pontok berajzolásával kezdjük. Figyelembe véve a monotonitási és konveitási viszonyokat is, az alábbi ábrát kaphatjuk: png} {á:_4. A határértékek azt mondják, hogy a üggvény a végtelenek elé hozzásimul az tengelyhez. Ügyeljünk a páratlanság érzékeltetésére, azaz arra, hogy a graikon az origóra szimmetrikus. 8. Az értékkészlet meghatározása Az ábra alapján világos, hogy a üggvény a lokális minimuma és a lokális maimuma közötti értékeket veszi el, beleértve azokat is, tehát R = ;. 4. eladat: Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az ( ) Megoldás. Az értelmezési tartomány meghatározása Mivel a nevezőben nulla nem lehet, így D = \ 0 = ;0 0;.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása = üggvényen. Az ( ) = 0 egyenletnek most két gyöke van: = és =. Mivel a nulla nem eleme az értelmezési tartománynak, a graikon nem metszi a üggőleges tengelyt.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata 9

30 ( ) ( ) ( ) = = = = a üggvény tehát páratlan. 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein ( ) Az értelmezési tartomány két intervallumból áll, ezeknek négy széle van, négy limeszt kell tehát kiszámolnunk. (Valójában a páratlanság miatt csak kettőt.) Ezek: lim = lim = lim = 0,, lim 0 = =, 0 hiszen a számláló -hez tart, a nevező pedig nullához, de mindig negatív. lim = =, a páratlanság miatt persze az előző limesz mínusz egyszerese, és végül lim 0 =, most is igaz, hogy ez a mínusz végtelenben vett határérték mínusz egyszerese. 5. Monotonitás vizsgálata, lokális szélsőérték meghatározása ( ) ( ) + + ( ) = = = = Az ( ) = egyenlet megoldásai: =, =. Az első derivált mindkét zérushelye az értelmezési tartományba esik, meg kell őket vizsgálnunk. Az eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza. ; ;0 0 ( ) 0 + nincs értelmezve 0; ; + 0 0

31 ( ) csökken lok.min. nő nincs értelmezve nő lok.ma. csökken Az ( ) előjeleit rendre a következő helyettesítésekkel kaptuk: 6 Első intervallum: ( ) = 0 Második intervallum: ( ) = 0 Harmadik intervallum: ( ) = 0 Negyedik intervallum: ( ) = 0 6 Az első derivált mindkét zérushelyén előjelet vált, ezért mindkettő szélsőérték hely, mégpedig lokális minimum hely, ( ) = 0,8 7 ( ) 0,8. lokális maimum hely. A lokális minimum értéke 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása, a lokális maimum, a páratlanság miatt, ennek mínusz egyszerese, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = ( ) 0 = akkor és csak akkor, ha = 6, = 6 értelmezési tartományba esik. A táblázatunk most az alábbi:. A második derivált mindkét zérushelye az ( ) ; 6 6 6;0-0 + nincs értelmezve ( ) konkáv inleiós pont konve 0 nincs értelmezve 0; 6 6 6; konkáv inleiós pont konve Az előjeleket, alkalmas számok behelyettesítésével meghatározhatóak. Azonban az előjelek megkaphatók a következő okoskodással is. Egy tört előjelét kell kiszámolnunk. Ez akkor pozitív, ha a számláló és a nevező egyorma előjelű, akkor negatív, ha különböző előjelűek.

32 A számlálóban egy másodokú kiejezés áll, amelynek képe egy elelé nyíló parabola, ez tehát a gyökein kívül pozitív, a gyökei között pedig negatív. A nevezőben álló hatvány, a páratlan kitevő miatt, negatív -ekre negatív, pozitívakra pozitív. Ezek alapján is megkaphatjuk a enti előjeleket. A második derivált mindkét zérushelye inleiós pont tehát. Az inleiós pontok második koordinátái: 5 ( 6 ) = 0,4, ( ) = 0,4. A nulla előtti és utáni darabon is más előjelű a második derivált, de a nulla persze nem inleiós pont, hiszen ott értelmezve sincs a üggvény. Jól mutatja ez azonban azt, hogy a 6 és 6 közötti részt nem lehet egy intervallumként szerepeltetni a ejlécben. 7. Graikon rajzolása Az eddigiek igyelembevételével az alábbi ábrát rajzolhatjuk el: {á:_5.png}

33 {á:_6.png} 8. Az értékkészlet meghatározása R = 5. eladat: Végezzünk teljes üggvényvizsgálatot az ( ) ln( ) = + üggvényen. Megoldás. Az értelmezési tartomány meghatározása Mivel + 0 minden valós -re, ezért D =.. A graikon és a tengelyek közös pontjainak meghatározása A üggvény graikonja és az y tengely metszéspontját az egyszerűbb meghatározni. Mivel a 0 eleme az értelmezési tartománynak, akkor csak be kell helyettesítenünk a üggvénybe. (A graikon az y tengelyt legeljebb egy pontban metszheti.) (0) = ln(0 + ) = ln = 0 A graikon és az tengely több helyen is metszheti egymást. Ezen metszéspontok helyét az ( ) = 0 egyenlet megoldásai adják, azaz ilyenkor a üggvény zérushelyeit határozzuk meg. Jelen esetben az alábbi egyenletet kell megoldanunk. ln( + ) = 0 Tekintsük mindkét oldalt kitevőnek, s emeljük el az e számot a kitevőre. e ln( + ) 0 = e

34 A bal oldalon üggvény és inverze áll egy összetételben, így ott valójában csak az argumentum, azaz + áll. + = e = 0 Ennek az egyenletnek pedig nyilvánvalóan csak az = 0 a megoldása. A üggvénynek tehát most csak egy zérushelye van, és ez az = 0. A üggvény graikonja tehát átmegy az origón, így egyetlen helyen van közös pontja az és az y tengellyel. Mivel korábban már kiderült, hogy (0) = 0, így előre tudhattuk, hogy az = 0 zérushely lesz. Az egyenlet megoldásával azt igazoltuk, hogy csak ez az egyetlen zérushely létezik.. Szimmetria tulajdonságok vizsgálata Mivel tudjuk, az + páros üggvény, s jelen esetben ez a belső üggvény egy összetett üggvényben, így sejthető, hogy üggvényünk páros lesz. Igazoljuk ezt. Egy üggvény akkor páros, ha D esetén. Ennek teljesülését kell ellenőriznünk. ( ) = ( ) minden ( ) ( ) ( ) = ln ( ) + = ln + = ( ) Ez minden az y tengelyre. D esetén teljesül, tehát valóban páros a üggvény. A graikonja így szimmetrikus lesz 4. Határértékek az értelmezési tartomány szélein Mivel az értelmezési tartomány a valós számok halmaza, így két határértéket kell csak vizsgálnunk, egyrészt a mínusz végtelenben, másrészt pedig a végtelenben. Mert összetett üggvény határértékét kell vizsgálnunk, így először a belső üggvény határértékét határozzuk meg, majd vesszük a külső üggvény határértékét azon a helyen, ahova a belső üggvény tart. Kihasználva, hogy lim ( ) ( ) lim ln + = + = Mivel a üggvény páros, így előre tudhattuk, hogy a mínusz végtelenben és a végtelenben meg og egyezni a határérték. 5. Monotonitás és szélsőérték vizsgálata Deriváljuk a üggvényt. Az összetett üggvényekre vonatkozó szabályt használjuk. ( ) = ( + ) = = Oldjuk meg az ( ) = 0 egyenletet. 4

35 = 0 + Csak a számlálót kell vizsgálnunk, így a = 0 egyenletet kapjuk, aminek nyilván = 0 az egyetlen megoldása. Készítsük el a szokásos táblázatot. ;0 0 0; ( ) 0 + ( ) csökken lok.min. nő A minimum értékét megkapjuk, ha a üggvénybe 0 -t helyettesítünk. Mivel ezt már korábban megtettük, így tudjuk, hogy (0) = 0. Nem csak áthalad tehát az origón a üggvény, hanem itt lokális minimuma is van. A táblázatból az is látható, hogy ez a minimum nem csak lokális, hanem globális is, azaz a üggvény a teljes értelmezési tartományán itt veszi el a legkisebb értéket. 6. Konveitás vizsgálata, inleiós pontok meghatározása Állítsuk elő a második deriváltat is. Most a törtekre vonatkozó szabályt kell alkalmaznunk. ( ) ( + ) ( + ) + ( ) = = Oldjuk meg az ( ) = 0 egyenletet. ( + ) = 0 Ismét csak a számlálóval kell oglalkoznunk, így a 0 = egyenletet kapjuk. Ebből az = egyenlet következik, aminek megoldásai =. A második derivált előjelének vizsgálatakor nyilván csak a számlálóval kell oglalkozni, hisz a nevező biztosan pozitív. Mivel a olyan másodokú üggvény, amelyben a őegyüttható negatív, így a két gyök között vesz el pozitív, s a kisebb gyök előtt ill. a nagyobb gyök után negatív értékeket. Így az alábbiakat mondhatjuk. 5

36 Ha, akkor ( ) 0. Ha, akkor ( ) 0. Ha, akkor ( ) 0. Készítsük most el a konveitásról a táblázatot. ; ; ; ( ) ( ) konkáv inleiós pont konve inleiós pont konkáv Határozzuk meg az inleiós pontok második koordinátáit. Helyettesítsük a üggvénybe az inleiós pontok helyét, azaz a -et. Mivel a üggvény páros, így nyilván meg og egyezni a két helyen a üggvény értéke. ( ) = () = ln( + ) = ln 0,69 7. Graikon rajzolása Az eddig megszerzett inormációk alapján vázlatosan megrajzolhatjuk a üggvény graikonját. Először jelöljük meg a nevezetes pontokat a koordináta rendszerben. Ilyenek a tengelymetszetek, a szélsőértékek, és az inleiós pontok. Ezután elhasználva a határértékeket, a monotonitási és konveitási viszonyokat vázoljuk a graikont. Így az ábrán látható alakú graikont kapjuk. {á:_7.png} 8. Az értékkészlet meghatározása 6

37 Az ábráról leolvasható, hogy 0 a legkisebb érték, melyet elvesz a üggvény. Így a üggvény értékkészlete a következő: R = 0;. teszt rész Ellenőrző kérdések. Hol metszi az tengelyt az ( ) ln ( ) = üggvény graikonja? ; ; -; nem metszi. Hol metszi az y tengelyt az ( ) = üggvény graikonja? - 0 nem metszi = + üggvény. Az ( ) 4 páros páratlan se nem páros, se nem páratlan páros is és páratlan is 4. Az ( ) e = üggvény páros páratlan 7

38 se nem páros, se nem páratlan páros is és páratlan is 5. Hány lokális szélsőértéke van a ( ) = + üggvénynek? 0 6. Hány inleiós pontja van az ( ) = + üggvénynek? 0 7. Hány lokális szélsőértéke van a ( ) 4 = + üggvénynek? 0 8. Hány inleiós pontja van az ( ) 4 = + üggvénynek? 0 8

39 9. Az ( ) 4 = + üggvény lokális minimumának üggvényértéke Az ( ) = + üggvény lokális maimumának üggvényértéke 6 = +. Az ( ) üggvény lokális szélsőértékhelyei - ; 0; ; 0 ; = + + üggvény nő az alábbi intervallum(ok)on. Az ( ),,,, és, 9

40 = üggvény csökken az alábbi intervallum(ok)on. Az ( ),,,, és, = Az ( ) üggvény nő az alábbi intervallum(ok)on,,, és,, és, = Az ( ) üggvény lokális minimumának üggvényértéke - -0,5 0,5 = Az ( ) üggvény lokális maimumának üggvényértéke - -0,5 0,5 40

41 7. Hol konkáv az ( ) ; ; ; ; 0 6 = 8 üggvény? 4

42 Modulzáró ellenőrző kérdések. Az ( ) üggvény értelmezési tartománya második deriváltja ; ; ; 4 ( + ) ( ) = 6 ( 6)? D = \. Hol konve az ( ) üggvény, ha 4; pont. Hány inleiós pontja van az ( ) 4 = + + üggvénynek? 0 pont +. Az ( ) e ( ) = üggvény inleiós pontjának üggvényértéke e e 0 pont + 4. Az ( ) e ( ) = üggvény lokális minimumának üggvényértéke e 4

43 e - pont e + 5. Az ( ) = üggvény páros páratlan se nem páros, se nem páratlan páros is és páratlan is pont = + üggvény lokális maimumának üggvényértéke: 6. Az ( ) pont 7. Hol konkáv az ( ) ln ( ) ; 0; ; ; = + + üggvény? ; 0; pont = üggvény lokális szélsőértékhelye(i) 4 8. Az ( ) 4 - és 0 0 4

44 - nincs lokális szélsőértékhely pont Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az ( ),5 = üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 0 euros árát 4%-kal növelik? 4 százalékkal csökken,5 százalékkal csökken 6 százalékkal csökken nem változik pont 0. Egy termék iránti keresletet az ártól üggően az ( ) = üggvény adja meg. Hány százalékkal változik a kereslet, ha a termék 00 euros árát 7%-kal csökkentik? 0,05 százalékkal nő,5 százalékkal csökken,5 százalékkal nő 0,07 százalékkal nő pont 44